Đề thi học sinh giỏi vòng trường

Phòng GD&ĐT Thanh Sơn Trờng THCS Lê Quý Đôn Đề thi chọn Học sinh giỏi vòng trờng năm học 2010- 2011 Môn: Toán Thời gian: 150 phút Không kể thời gian giao đề) Câu 1(4 điểm): Tìm x, y, z nguyên dơng thoả mãn x 4 + y 4 + z 4 = 2009 Câu 2(3 điểm): Cho các số thực 1 2 2010 ; ; .;a a a thỏa mãn 1 2 2010 . 1a a a+ + + = . Chứng minh rằng. 2 2 2 1 2 2010 1 . 2010 a a a+ + + Câu 3(3 điểm): Cho phơng trình ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 x + x - 2 x m x m = 0 + Tìm điều kiện của m để phơng trình trên có 4 nghiệm phân biệt. Câu 4(2 điểm): Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và h a , h b , h c là các chiều cao tơng ứng. Gọi S, r lần lợt là diện tích và bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh: a) S = pr b) 1 1 1 1 a b c h h h r + + = Câu 5(4 điểm): Cho đờng tròn tâm O và hai điểm B, C thuộc đờng tròn. Các tiếp tuyến với đờngtròn tại B và C cắt nhau tại A. M là điểm thuộc cung nhỏ BC. Tiếp tuyến với đờng tròn tại M cắt AB, AC thứ tự tại D, E. Gọi giao điểm của OD, OE với BC theo thứ tự ở I, K. Chứng minh: a) Các tứ giác OBDK và DIKE nội tiếp. b) Các đờng thẳng OM, DK, EI đồng quy. Câu 6(4 Điểm): Giả sử 1 2 x , x là nghiệm của phơng trình ( ) 2 2 1 x px 0 p 0 p + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4 1 2 x x+ . -----------------------Hết------------------ Họ tên thí sinh: .SBD: . ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Phòng GD&ĐT Thanh Sơn Trờng THCS Lê Quý Đôn đáp án thi chọn HSG vòng trờng năm học 2010- 2011 Môn: Toán Câu 1(4 điểm): Tìm x, y, z nguyên dơng thoả mãn x 4 + y 4 + z 4 = 2009 Phần Nội dung Điểm Chứng minh bổ đề: a 4 chia 5 có d là một trong các số 0; 1( Với a là số nguyên) Thật vậy, khi chia a cho 5 ta có các khả năng a = 5k; a =5k 1 ; a = 5k 2 (k là số nguyên) Nếu a = 5k => a 4 M 5 Nếu a = 5k 1 => a 4 : 5 d 1 Nếu a = 5k 2 => a 4 : 5 d 1 Vậy bổ đề đợc chứng minh. 0,5 0,5 0,5 0,5 Giả sử pt đã cho có nghiệm nguyên (x, y, z). áp dụng kết quả bổ đề ta có: x 4 : 5 d 0 hoặc 1; y 4 : 5 d 0 hoặc 1; z 4 : 5 d 0 hoặc 1; Nên x 4 + y 4 + z 4 : 5 d chỉ có thể là 0; 1; 2; 3 Nhng 2009: 5 d 4 Vậy phơng trình đã cho không có nghiệm nguyên. 0,5 0,5 0,5 0,5 Cách khác Chứng minh bổ đề: a 4 chia 7 có d là một trong các số 0; 1; 2; 4 (Với a là số nguyên) Giả sử pt đã cho có nghiệm nguyên (x, y, z). Ta có x 4 + y 4 + z 4 = 2009 (1) VP = 2009 M 7 => VT = x 4 + y 4 + z 4 M 7, áp dụng bổ đề trên x, y, z cùng chia hết cho 7 => x = 7m; y = 7n; z = 7p, thay vào (1) suy ra 7 4 (m 4 + n 4 + p 4 ) = 2009 => 2009 M 7 4 => 2009 M 2401 (vô lý). Vậy phơng trình đã cho không có nghiệm nguyên. 1 1 1 1 Câu2(4 Điểm): Giả sử 1 2 x , x là nghiệm của phơng trình ( ) 2 2 1 x px 0 p 0 p + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4 1 2 x x+ . Phần Nội dung Điểm Điều kiện để pt có nghiệm: 2 4 2 2 p 0 p 4 0 p 2 p = 2 2 p p Với điều kiện p 2 phơng trình đã cho có hai nghiệm là x 1 , x 2 . Theo định lí Viet ta có 1 2 x x p+ = ; 1 2 2 1 x x p = . Do đó ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 2 2 2 x x x x 2x x x x 2x x 2x x p p 4 p p p + = + = + = = + ữ Lại có ( ) 4 4 4 4 4 4 4 4 7 2 2 p 2 7p p 2 7 1 p 4 4 2 . 4 1 4 p 8 p 8 8 p 8 2 2 + = + + + = + = ữ . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi p 2= (thỏa mãn điều kiện phơng 1 1 0,5 1 => x 4 + y 4 + z 4 2009 a c b r r r I B C A trình có nghiệm). Do đó ( ) 4 4 1 2 min 1 x x 2 + = <=> p 2= 0,5 Câu 3(3 điểm): Tìm m để phơng trình ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 x + x - 2 x m x m = 0 + có 4 nghiệm phân biệt. Phần Nội dung Điểm Phơng trình ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x + x - 2 x 2 m 1 x m 2 = 0 * + tơng đơng với ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x + x - 2 = 0 1 x - 2 m -1 x + m - 2 = 0 2 Phơng trình (1) có hai nghiệm nghiệm phân biệt là 1 và -2 nên phơng trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và khác -2. Do đó ta phải có hệ ( ) ( ) ( ) ( ) = > + + 2 / 2 2 2 m 1 m 2 0 1 2 m 1 m 2 0 4 4 m 1 m 2 0+ 2 2 2m 3 0 m 1,5 m 2m 1 0 m 1 m 4m 2 0 m 2 6 + > < + + Vậy: Với m 1,5; m 1; m 2 6< phơng trình dã cho có 4 nghiệm phân biệt. 1 0,5 1 0,5 Câu 4(2 điểm): Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác và h a , h b , h c là các chiều cao t- ơng ứng. Gọi S, r lần lợt là diện tích và bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng: a) S = pr b) 1 1 1 1 a b c h h h r + + = Phần Nội dung Điểm a Giả sử tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC => I nằm trong tam giác ABC. => S = S AIB + S BIC + S AIC = 1 2 r.a + 1 2 r.b + 1 2 r.c = 1 2 r(a + b + c) = p.r 0,5 + 0,5 b S = 1 2 h a .a = 1 2 h b .b = 1 2 h c .c = p.r => 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c p p h h h S S S S S pr r + + + + = + + = = = = (Đpcm) 0,5 0,5 Câu 5(4 điểm): Cho đờng tròn tâm O và hai điểm B, C thuộc đờng tròn. Các tiếp tuyến với đờngtròn tại B và C cắt nhau tại A. M là điểm thuộc cung nhỏ BC. Tiếp tuyến với đ- ờng tròn tại M cắt AB, AC thứ tự tại D, E. Gọi giao điểm của OD, OE với BC theo thứ tự ở I, K. Chứng minh: a) Các tứ giác OBDK và DIKE nội tiếp. b) Các đờng thẳng OM, DK, EI đồng quy. Phần Nội dung Điểm K I O A B C D E M a ã ã ẳ 1 DBK = DOE = SdBMC 2 => Tứ giác OBDK nội tiếp ( Theo quỹ tích cung chứa góc) => ã ã 0 180DBO DKO+ = => ã 0 90DKO = và ã 0 90DKE = Chứng minh tơng tự ã 0 90DIE = => DIKE nội tiếp đơng tròn đờng kính DE 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b Theo câu a) EI và; DK là các đờng cao của DOE; OM cũng là đờng cao của DOE => Các đờng thẳng OM, DK, EI đồng quy tại một điểm. 0,5 0,5 Câu 6(3 điểm): Cho 1 2 2010 . 1a a a+ + + = . Chứng minh rằng. 2 2 2 1 2 2010 1 . 2010 a a a+ + + Phần Nội dung Điểm Đặt 1 1 2 2 2010 2010 1 1 1 ; ; .; 2010 2010 2010 a x a x a x= + = + = + (1) 0.5 Suy ra : 2 2 1 1 1 2 1 1 2 . 2010 2010 a x x= + + 2 2 2 2 2 2 1 1 2 . 2010 2010 a x x= + + (2) . . . 2 2 2010 2010 2010 2 1 1 2 . 2010 2010 a x x= + + 0.5 0.5 Cộng từng vế các đẳng thức ở (1), kết hợp với giả thiết ta có : 1 2 2010 . 0x x x+ + + = 0.5 Cộng từng vế của các đẳng thức ở (2) ta có : 2 2 2 1 2 2010 .a a a+ + + = 2 2 2 1 2 2010 1 . 2010 x x x+ + + + 1 2010 0.5 Vậy : 2 2 2 1 2 2010 1 . 2010 a a a+ + + (đpcm). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 2010 1 . 2010 a a a= = = = 0.5 Cách khác áp dụng BĐT Bu_nhia_côpxki ta có ( 1 2 2010 .a a a+ + + ) 2 ( 2 2 2 1 2 2010 .a a a+ + + )(1 2 + 1 2 + . + 1 2 ) = ( 2 2 2 1 2 2010 .a a a+ + + ).2010 => 1 2 ( 2 2 2 1 2 2010 .a a a+ + + ).2010 => Đpcm. Dấu "=" xảy ra <=> 1 2 2010 1 . 2010 a a a= = = = 1 1 0,5 0,5 . Trờng THCS Lê Quý Đôn Đề thi chọn Học sinh giỏi vòng trờng năm học 2010- 2011 Môn: Toán Thời gian: 150 phút Không kể thời gian giao đề) Câu 1(4 điểm): Tìm. thêm) Phòng GD&ĐT Thanh Sơn Trờng THCS Lê Quý Đôn đáp án thi chọn HSG vòng trờng năm học 2010- 2011 Môn: Toán Câu 1(4 điểm): Tìm x, y, z nguyên dơng