Thi thử HK II Toán_11 số 5

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II MÔN: TOÁN - LỚP 11 NÂNG CAO Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề) ------------------------------------------------------------------------ Bài 1 ( 1,75 điểm ) Tìm các giới hạn sau : a/ 4 2 x lim ( 3 2)x x x →−∞ − + − + b/ 2 x 2 2 4 5 lim 2 x x x − → − + + − c/ 2 x - lim ( 4 5 3 2 1)x x x → ∞ + + + − Bài 2 ( 1,75 điểm ) a/ Cho hai hàm số 2 ( ) 2 4 5 y f x x x x = = + + , 2 ( ) tan (sin )y g x x= = Tính f ‘(1) và g’(0) b/ Giải phương trình y’’= -36 , biết rằng y = cos(6 ) 4 x π + . Bài 3 ( 1, 25 điểm) Cho hàm số 2 2 5 1 x x y x − + = − . a/ Tìm các khoảng của x để y ’ > 0 . b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng 3. Bài 4 . (1 , 25 điểm ) Cho hàm số 3 2 1 ( ) (3 2) 1 3 y f x x mx m x = = − − + − với m là một tham số thực . a/ Khi m = 1 , hãy tính y ''(1) . b/ Với giá trị nào của m thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 sao cho ba số 1 2 , 7 , xx lập thành một cấp số nhân hữu hạn theo thứ tự đó. Bài 5 ( 0,75 điểm) Với giá trị nào của a thì hàm số 2 4 3 khi x 3 ( ) 3 a + 3x khi x = 3 x x y f x x  − + ≠  = = −    liên tục tại x = 3 Bài 6 ( 2,75 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , AB = a ; AD = 2a ; SA = 2a SA ⊥ (ABCD) ( với a > 0) , M là trung điểm của SD . a/ Chứng minh rằng : (SAM) ⊥ (SCD) . Tính AM. b/ Tính góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) . c/ Mặt phẳng (Q) đi qua đường thẳng AM và vuông góc với SD . Mặt phẳng (Q) cắt SC tại điểm N . Chứng minh rằng : Bốn điểm A , M , N, B đồng phẳng và MN // (ABCD) . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và CD . Bài 7 (0,5 điểm) Gọi S là tổng các hệ số của đa thức sau : 2 3 99 99 100 99 1 1 1 1 f(x) = 1- . ( 1) 2 4 8 2 x x x x x+ − + + − + Hãy so sánh tổng S với số 2 . ------------------------------------------------------------------------------------------------- • Học sinh không được sử dụng tài liệu trong khi làm bài . • Giám thị coi thi không giải thích gì thêm . ĐÁP ÁN TOÁN 11 NÂNG CAO Bài Câu Nội dung Điểm 1 1,75đ a/ 4 2 4 2 3 4 x 3 1 2 lim ( 3 2) lim ( 1 ) x x x x x x x x →−∞ →−∞   − + − + = − + − + = −∞     0,5 b/ 2 x 2 2 4 5 lim 2 x x x − → − + + = −∞ − Vì khi x → 2 - thì (x – 2) < 0 và (x – 2) → 0 và 2 2 lim ( 2 4 5) 8 0 x x x + → − + + = > 0.5 c/ 2 2 2 2 x - 2 2 4 5 3 4 4 1 lim ( 4 5 3 2 1) lim 4 5 3 (2 1) 2 (9 ) 9 2 9 lim lim 4 5 3 5 3 1 4 (2 1) ( 4 2 ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → ∞ →−∞ →−∞ →−∞ + + − + − + + + − = + + − − + + = = = − + + − − − + + − + 0,25 0,5 2 (1,75đ) a * 2 ( ) 2 4 5 y f x x x x= = + + 2 2 2 2 2 8 '( ) (2 4 5) ' (2 4 5 ) 2 4 5 4 '( ) 2 4 5 4 5 x f x x x x x x x x f x x x R x = + + = + + + + = + + + ∈ + 2 4 4 19 '(1) 2 4.1 5 5 3 3 3 f⇒ = + + + = + = * 2 ( ) tan (sin )y g x x= = 2 2 (sin ) ' '( ) 2 tan(sin )(tan sin ) ' 2 tan(sin ). cos (sin ) cos 2 tan(sin ). cos (sin ) x g x x x x x x x x = = = tan'(0)⇒ = '(0) 0g = 0,25 0,25 0,25 0,25 b y = cos(6 ) 4 x π + . ' (cos(6 ))' 6sin(6 ) 4 4 y x x π π = + = − + '' ( 6sin(6 ))' 36 cos(6 ) 4 4 y x x π π = − + = − + 0,25 0,25 '' 36 36 cos(6 ) 36 cos(6 ) 1 2 4 4 4 3 +k2 , 4 y x x x k x k Z π π π π π π π = − ⇔ − + = − ⇔ + = − ⇔ + = + ⇔ = ∈ 0,25 3 1,25đ a 2 2 2 2 2 2 5 , x 1 1 x 2 5 2 3 y'=( ) ' 1 ( 1) ' 0 2 3 0 ( ; 1) (3; ) x x y x x x x x x y x x x − + = ≠ − − + − − = − − > ⇔ − − > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ 0,25 0,5 b Khi x = 3 thì y = 4 . Ta có điểm M(3 ; 4) thuộc đồ thị hàm số đã cho . y’(3) = 0 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm M là y = 0(x – 3) + 4 hay y = 4 0,25 0,25 4 1,25đ a 3 2 1 ( ) (3 2) 1 3 y f x x mx m x = = − − + − Khi m = 1 ta có 3 2 2 1 5 1 3 ' 2 5 '' 2 2 ''(1) 0 y x x x y x x y x y = − − − = − − = − ⇒ = 0,25 0,25 b 3 2 2 2 2 1 ( ) (3 2) 1 3 ' 2 (3 2) ' 0 2 (3 2) 0 ' 3 2 y f x x mx m x y x mx m y x mx m m m = = − − + − = − − + = ⇔ − − + = ∆ = + + Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 khi và chỉ khi 2 ' 0 3 2 0 ( ; 2) ( 1; )m m m∆ > ⇔ + + > ⇔ ∈ −∞ − ∪ − +∞ . Theo định lí Viet ta có : x 1 + x 2 = 2m ; x 1 x 2 = -(3m + 2) Ba số x 1 , 7 , x 2 lập thành một cấp số nhân theo thứ tự đó khi và chỉ khi 2 1 2 . ( 7 ) 7 3 2 7 3x x m m= = ⇔ − − = ⇔ = − . 0,25 0,25 0,25 5 0,75đ 2 4 3 khi x 3 ( ) 3 a + 3x khi x = 3 x x y f x x  − + ≠  = = −    Với x ≠ 3 ta có 2 2 3 3 3 4 3 ( ) 3 4 3 ( 1)( 3) lim lim lim( 1) 2 3 3 (3) 9 x x x x x f x x x x x x x x x f a → → → − + = − − + − − = − = − − = + Để hàm số đã cho liên tục tại x = 3 thì 3 lim ( ) (3) 2 9 7 x f x f a a → = ⇔ = + ⇔ = 0,25 0,5 6 2,75đ 2 a a N O M D A B C S 0,25 a Ta có CD ⊥ AD ( Vì ABCD là hình chữ nhật) Và CD ⊥ SA ( Vì SA ⊥ (ABCD) ) Do đó CD ⊥ (SAD) . Vì SA = AD = 2a nên tam giác SAD cân tại A . Mà M là trung điểm của SD nên AM ⊥ SD . Lại có AM ⊥ CD ( vì CD ⊥ (SAD) ) Vậy AM ⊥ (SCD) ⇒ (SAM) ⊥ (SCD). Tam giác SAD vuông tại A và AM là đường cao nên 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 4 4 4 2 2 AM AD SA a a a AM a AM a = + = + = ⇒ = ⇒ = 0,25 0,25 0,25 b Vì SA ⊥ (ABCD) tại A , SB cắt (ABCD) tại B nên AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABCD). · · · ( , ( ) ( , )SB ABCD SB AB SBA= = Tam giác SAB vuông tại A nên · tan SA SBA AB = SA = 2a ; ABCD là hình chữ nhật có AB = a · · 0 2 tan 2 63 26' SA a SBA AB a SBA = = = ⇒ ≈ 0,25 0,25 0,25 c Mặt phẳng (Q) cắt (SCD) theo giao tuyến MN . Theo giả thiết SD ⊥ (Q) nên SD ⊥ MN Trong mặt phẳng (SCD) có CD và MN cùng vuông góc với SD nên CD // MN . Lại có CD // AB 0,25 ⇒ MN // AB . Do đó bốn điểm A , B , N , M đồng phẳng . // ( ) //( ) ( ) CD MN CD ABCD MN ABCD MN ABCD   ⊂ ⇒   ⊄  Vì (ABNM) đi qua BM và song song với CD nên khoảng cách giữa BM và CD bằng khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABNM). Mà MD ⊥ (ABNM) tại M nên ( , ( )) 2 2 SD d D ABNM DM AM a= = = = Vậy ( , ) 2d AN CD a= 0,25 0,25 0,25 7 100 100 100 99 1 1 1(1 ( ) ) 1 2 1 5 1 2 2 1 1 (1 ) 1 2 1 3 3 2 3 3.2 1 2 2 S − − − = + = + = − + = − < + Suy ra S < 2 0,5 . − − + + − + 0, 25 0 ,5 2 (1, 75 ) a * 2 ( ) 2 4 5 y f x x x x= = + + 2 2 2 2 2 8 '( ) (2 4 5) ' (2 4 5 ) 2 4 5 4 '( ) 2 4 5 4 5 x f x x x x. 2) Ba số x 1 , 7 , x 2 lập thành một cấp số nhân theo thứ tự đó khi và chỉ khi 2 1 2 . ( 7 ) 7 3 2 7 3x x m m= = ⇔ − − = ⇔ = − . 0, 25 0, 25 0, 25 5 0, 75 2