Đáp án thi HSG CASIO lớp 9 09-10

Phòng GD - ĐT Lục Ngạn Kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện giải toán trên máy tính Casio Khối 9 THCS năm học 2009 2010 Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 04 / 12/ 2009 Chú ý: 1. Thí sinh đợc phép sử dụng máy tính casio fx-570MS trở xuống. 2. Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này. 3. Nếu không nói gì thêm hãy tính chính xác đến 10 chữ số. ( Đề thi gồm 7 trang ) Điểm của bài thi Các giám khảo( Kí, họ tên) Bằng số Bằng chữ 1/ . 2/ . B i 1 . (5 im) a) Tính giá trị biểu thức N = 521973+ 491965+ 1371954+ 6041975+ 1122007 N 722,9628188 ( 2 điểm) b) Tính không sai số giá trị biểu thức sau A = 1322007 x 1322009 B = 6666688888 x 7777799999 Tóm tắt lời giải a) đặt a = 132 , b = 2007 Ta có A = (a. 10 4 + b).(a.10 4 + b + 2) = a 2 .10 8 + 2. a.b.10 4 +2.a.10 4 + b 2 + 2b Tính đợc a 2 = 17424 , ab = 264924 Lập bảng tính đơc kết quả A = 1747705152063 (1,5 điểm) b) Làm tơng tự phần a đặt a = 11111 1 Ta có: B = 5 5 6. .10 8 7. .10 9.a a a a + ì + = 42.a 2 .10 10 + 54.a 2 .10 5 +72.a 2 .10 5 +72a 2 Lập bảng ta có 42.11111 2 .10 10 5 1 8 5 0 8 1 4 8 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 54.11111 2 .10 5 6 6 6 6 5 3 3 3 3 4 0 0 0 0 0 56.11111 2 .10 5 6 9 1 3 4 4 1 9 7 6 0 0 0 0 0 72.11111 2 8 8 8 8 7 1 1 1 1 2 Cộng 5 1 8 5 2 1 7 2 8 2 6 4 1 9 7 1 1 1 1 2 Vậy: B = 51852172826419711112 (1,5 điểm) B i 2. (5 điểm) a) Giải hệ phơng trình ( Lấy đủ các chữ số thập phân trên máy tính): 2,518x 84, 26y 4,6821 19,26x 6,571y 2,843 = + = x ; - 0,127355095 (1 điểm) y ; - 0,059373132 (1 điểm) b) Tính = + + 2009 2009 2009 A 0,20092009 . 0,020092009 . 0,0020092009 . c) Bài giải = + + 2009 2009 2009 A 0,20092009 . 0,020092009 . 0,0020092009 . = = + + 2009 2009 2009 A 2009 2009 2009 9999 99990 999900 (1,5 điểm) = 9999 + 99990 + 999900 = 11099889 (1,5 điểm) B i 3. (5 Điểm) Giải phơng trình sau 2 2 2009+2010 x +x+0,1= 20+ 2009-2010 x +x+0,1 2 Tóm tắt lời giải ĐK: x - 0,112701665 hoặc x - 0,887298334 (*) Đặt 2 x +x+0,1 = a (a 0) (**) (1 điểm) 2 2 2009+2010 x +x+0,1= 20+ 2009-2010 x +x+0,1 (1) 2009+2010.a = 400 + 40. 2009-2010.a + 2009-2010.a 40. 2009-2010.a = 4020.a - 400 2009-2010.a = 1005.a 10 2009 2010.a = 1010025.a 2 -20100.a + 100 1010025.a 2 -18090.a 1909 = 0 (2) (2 điểm) Giải phơng trình (2) ta có: a 1 = 0,053342702. (Thoả mãn ĐK (**)) a 2 = - 0,035432254 (Không thoả mãn ĐK (**) (1 điểm) Vậy 2 x +x+0,1 = 0,053342702 x 2 + x + 0,097154556 = 0 (3) Giải phơng trình (3) ta đợc: x 1 = - 0,10904547; x 2 = - 0,890954529 Đối chiếu ĐK (*) ta có nghiệm phơng trình (1) là x 1 = - 0,10904547; x 2 = - 0,890954529 (1 điểm) B i 4. (5 Điểm) P = 2 1 3 1 5 1 7 1 + + + + 4 3 5 6 8 7 9 1 + + + ; Q = b a 1 1 7 1 5 1 3 1 + + + + a) Tính P (Cho kết quả ở dạng phân số) b) Tìm a; b biết: 3326 10625 = Q 3 a) P = 6871 28462 (2 điểm) b) Viết Q = 1 1 3 1 5 1 7 1 9 10 + + + + = b a 1 1 7 1 5 1 3 1 + + + + (2 điểm) Từ đó suy ra a = 9 và b = 10 ( 1 điểm) B i 5. ( 5 điểm) Cho biết đa thức Q(x) = x 4 - 2x 3 - 60x 2 + mx - 186 chia hết cho x + 3. a) Hãy tính giá trị của m . b) Tìm tất cả các nghiệm của Q(x) với m vừa tìm đợc. a) m = -197 (2 điểm) b) x 1 = -3 x 2 = 10,07647322 x 3 = -3,076473219 x 4 = - 2 (Tính đúng mỗi nghiệm cho 0,75 điểm) B i 6. ( 5 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức: 2 3 1 2cos 3cos 4cosB = + + + . Nếu là góc nhọn sao cho 3sin cos 2 + = b)Tính giá trị của biểu thức : 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 x x x x x x x x x A y y y y y y y y y + + + + + + + + + = + + + + + + + + + Khi 1, 2345x = ; 5,6789y = a) B = 7,244681574 hoặc 2,267318417 (Mỗi kết quả đúng cho 1,5 điểm) b) A = 0, 0000041299 (2 điểm) B i 7. (5 điểm) Tam giác ABC có cạnh BC = 9,95 cm, góc ã 0 125 41'10"ABC = , goc ã 0 22 26 '18"BCA = . Từ A vẽ đờng cao cao AH, đờng phân giác trong AD, ng phân giac ngoai AE v đ ờng trung tuyến AM. a) Tính độ d i của cac canh con lại cua tam giac ABC và cac đoan th ng AH, AD, AE, AM. b) Tính diện tích tam giác AEM. (Kết quả lấy hai chữ số thập phân) 4 Tóm tắt lời giải a) Tính đợc ã BAC = 180 0 - 0 125 41'10" - 0 22 26'18" = 31 0 5232 (0,5 điểm) Kẻ BK vuông góc với AC ta có: BK = BC.sinC = 9,95.sin 0 22 26'18" 3,80 cm (0,5 điểm) Mà BK = AB. Sin ã ABC => AB = ã sin BK BAC = 0 3,80 sin 31 5232 7,20 cm (0,5 điểm) Góc ABH = 180 0 - ã ABC = 180 0 - 0 125 41'10" = 54 0 1850 AH = AB.sinABH = 7,20.sin54 0 1850 5,85 cm (0,5 điểm) AC = sin AH C = 0 5,85 sin 22 26 '18" 15,33 cm ( 0,5 điểm) Tính góc ADB = 38 0 2234 AD = sin AH ADB = 0 5,85 9,42 cm sin 38 2234 ; AE = AD.tgADB = 9,42.tg 0 38 2234 7,46cm ( 0,5 điểm) Tính HB = AB.sinABH = 7,20.sin54 0 1810 5,85 cm => HM = HB + BM = 5,85 + 9,95 :2 10,83 cm Vậy AM = 2 2 AH HM+ = 2 2 5,85 10,83 12,31 cm+ (0,5 điểm) b) Tính EH 4,91 cm ( 0,5 điểm) => EM = EH + HM = 4,91 + 10,83 = 15,74 cm Từ đó tính đợc: Diện tích tam giác AEM = 1 . . 2 AH EM = 1 .15, 74.5,85 46,04 2 cm 2 ( 1 điểm) 5 K B i 8. (5 điểm) Cho t giác ABCD có 4 đỉnh nằm trên ng tron (O) ban kinh R = 5,15 cm, AB = 7,71 cm, BC = 5,25 cm, CD = 4,52 cm. Tim độ dai canh con lai va tinh diện tich cua t giac ABCD. (Kết quả lấy với hai chữ số phần thập phân) Kết quả + Cạnh DA = 9.94 cm (2,5 điểm) + Diện tích tứ giác ABCD = 41,94 cm 2 (2,5 điểm) B i 9. (5 điểm) Cho dãy số với số hạng tổng quát cho bởi ( ) ( ) 6 2 7 6 2 7 4 7 n n n u + = với n = 1, 2, 3, , k, a) Tính u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , u 6 , u 7 , u 8 b) Lập công thức truy hồi tính u n+1 theo u n v u n-1 Bài giải a) Tính đúng mỗi ý 0,25 điểm U 1 = 1 U 2 = 12 U 3 = 136 U 4 = 1536 U 5 = 17344 U 6 = 195840 U 7 = 2211328 U 8 = 24969216 b) Giả sử công thức truy hồi để tính u n+1 theo u n v u n-1 là: U n+1 = a.u n + bu n-1 + c (a; b; c là các số thực) (1 điểm) Theo câu a ta có: 136 12. 1. 1536 136. 12. 17344 1536. 136. a b c a b c a b c = + + = + + = + + Giải hệ này ta có: a = 12; b = - 8; c = 0 (1 điểm) Vậy ta có công thức ruy hồi cần tìm là: U n+1 = 12.u n 8.u n-1 (1 điểm) B i 10. (5 điểm) Cho ba h m số 8 - 2 7 y x= (1) , 3 3 8 y x= (2) v 18 6 29 y x= + (3) a) Vẽ đồ thị cua ba h m số trên mặt phẳng toạ độ Oxy. 6 b) Tìm toạ độ giao điểm A(x A , y A ) của hai đồ thị hàm số (1) và (2); giao điểm B(x B , y B ) của hai đồ th ham số (2) va (3); giao điểm C(x C , y C ) của hai đồ thị hàm số (1) va (3) (Kết quả d ới dạng phân số hoặc hỗn số) c) Tính các góc của tam giác BC (Lấy nguyên kết quả trên máy) Tóm tắt lới giải 7 A C (1) (2) (3) B a) Vẽ đồ thị đúng cho 2 điểm. b) Hoành độ của A là nghiệm phong trình : 8 - 2 7 x = 3 3 8 x x = 56 43 thay vào hàm số (1) ta có y = 150 43 Vậy A( 56 43 ; 150 43 ) Tơng tự tìm đợc B( 696 77 ; 30 77 ) và C( 812 570 ; 179 179 ) (Tính đúng mỗi toạ độ cho 0,5 điểm) c) Tính đợc à 0 52 23'B ; à 0 28 15 'A => à 0 99 22 'C (Tính đúng mỗi góc 0,5 điểm 8 . 0,0020 092 0 09. c) Bài giải = + + 20 09 20 09 20 09 A 0,20 092 0 09. 0,020 092 0 09. 0,0020 092 0 09. = = + + 20 09 20 09 20 09 A 20 09 20 09 20 09 999 9 99 990 99 990 0. 99 990 0 (1,5 điểm) = 99 99 + 99 990 + 99 990 0 = 11 099 8 89 (1,5 điểm) B i 3. (5 Điểm) Giải phơng trình sau 2 2 20 09+ 2010 x +x+0,1= 20+ 20 09- 2010 x +x+0,1 2