Tuyển tập đề thi HSG Toán lớp 9

ĐỀ THI HSG TOÁN TOÁN THCS VIỆT NAM TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Lớp β α Năm - 2020 Biên soạn & sưu tầm: Ths NGUYỄN CHÍN EM Mục lục Đề số Đề thi HSG Lớp - Quận Ba Đình - TP Hà Nội năm 2017 Đề số Đề thi HSG Lớp - Quận Cầu Giấy - TP Hà Nội năm 2017-2018, Vòng Đề số Đề thi HSG Lớp - TP Hà Nội năm học 2010 - 2011 14 Đề số Đề thi HSG Lớp - TP Hà Nội năm học 2011-2012 19 Đề số Đề thi HSG Lớp - TP Hà Nội, năm học 2012 - 2013 24 Đề số Đề thi HSG Lớp - TP Hà Nội năm học 2013 - 2014 30 Đề số Đề thi HSG Lớp - TP Hà Nội năm học 2014-2015 35 Đề số Đề thi HSG Lớp - TP Hà Nội năm học 2016 - 2017 41 Đề số Đề thi HSG Lớp - Quận Hoàn Kiếm - TP Hà Nội năm 2018 47 Đề số 10 Đề thi Toán HSG năm học 2011, Tp Đà Nẵng 52 Đề số 11 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán năm học 2010-2011, Lâm Đồng 57 Đề số 12 Đề thi HSG lớp 9, Nghệ An, Bảng A, năm 2011 62 Đề số 13 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán năm học 2010-2011, Quảng B`47.65845nh 67 Đề số 14 Đề thi Toán Học sinh giỏi năm học 2012-2013, An Giang Đề số 15 HSG Toán 9, huyện B`47.65845nh Giang, tỉnh Hải Dương, năm học 71 2012 - 2013 77 Đề số 16 Đề thi Toán Học sinh giỏi năm học 2012-2013, Tp Đà Nẵng 81 Đề số 17 Đề thi HSG toán tỉnh Hải Dương năm học 2012-2013 ˜ Đề số 18 Đề thi chọn HSG Toán năm học 2012-2013, Tỉnh Hà T47.65845nh 85 90 Đề số 19 Đề thi Toán Học sinh giỏi năm học 2012 - 2013, Kiên Giang 95 Đề số 20 Đề thi Toán Học sinh giỏi năm học 2012-2013 tỉnh Quảng Ninh 99 Đề số 21 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán năm học 2012-2013, Tiền Giang 104 Đề số 22 Đề thi Toán Học sinh gỏi năm học 2013-2014, Tỉnh Bắc Ninh 110 | Nhóm GeoGebraPro Đề số 23 Đề thi học sinh giỏi Toán năm học 2013-2014, Nghi Xuân, Hà T˜47.65845nh 115 | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN Đề số 24 Đề thi Tốn Học sinh gỏi năm học 2013-2014, Ninh Thuận 120 Đề số 25 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán năm học 2013-2014, V˜47.65845nh Phúc 123 Đề số 26 Đề thi Toán Học sinh gỏi năm học 2017-2018, An Giang 127 Đề số 27 Đề thi Toán Học sinh gỏi năm học 2016-2017, Sở GD Bến Tre 132 Đề số 28 Đề thi Toán Học sinh giỏi năm học 2016-2017, Hải Phòng 137 Đề số 29 Đề thi HSG Toán 9, Phú Lộc, Thừa Thiên Huế, 2017 144 Đề số 30 Đề thi chọn học sinh giỏi Tốn năm học 2016-2017, Thanh Hóa 148 Đề số 31 Đề thi Toán Học sinh giỏi năm học 2016-2017, Sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế 153 Đề số 32 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán năm học 2016-2017, Thành phố ´ Hồ Ch47.65845 Minh 161 Đề số 33 Đề thi Toán Học sinh giỏi năm học 2017-2018, B`47.65845nh Định 166 Đề số 34 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán năm học 2017-2018, Hải Dương 171 Đề số 35 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán năm học 2017-2018, Huyện Tiền Hải - Tỉnh Thái B`47.65845nh 178 ĐỀ THI HSG TỐN | Nhóm GeoGebraPro TỐN THCS VIỆT NAM ĐỀ THITHCS HSG VIỆT TOÁN TOÁN NAM | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN ĐỀ SỐ CHUYÊN ĐỀ1KHỐI ĐỀ THI HSG LỚP - QUẬN BA ĐÌNH - TP HÀ NỘI NĂM 2017 Họ tên thí ĐỀ SỐsinh: Lớp: Câu Rút gọn biểu thức sau √ √ 29 − 12 − 16 + √ √ Å ã √ a + a2 − b a − a2 − b a − a2 b2 √ √ b) B = : với a = 0; b = 0; |a| > |b| − b2 a − a2 − b a + a2 − b a) A = Lời giải a) Ta có » √ √ √ 3−2 29 − 12 − 16 + = −2 » 1+ √ √ √ = 5−3−2 + = −5 b) Ta cóÅ B= = = = = √ √ ã √ a2 − b a − a2 − b a − a2 b2 √ √ − : b2 a − a2 − b a + a2 − b √ √ 2 a + a2 − b − a − a2 − b b2 √ √ ·√ a + a2 − b a − a2 − b a4 − a2 b √ b2 4a a2 − b2 √ · a2 − (a2 − b2 ) a4 − a2 b √ 4a a2 − b2 b2 √ · b2 |a| a2 − b2 4a |a| a+ Câu a) Giải phương trình: √ 3−x=x √ + x b) Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện: a + b + c = Chứng minh a b c 2018 + + > 2 1+b 1+c 1+a 2013 ĐỀ THI HSG TOÁN | Nhóm GeoGebraPro Lời giải | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN a) ĐK: ≤ x ≤ √ √ t Đặt t = x hay x = √ Với t ≥ , phương trình tương đương với … … √ √ √ t t t t √ 3− √ = √ + √ ⇔ − t = √ + t ⇔ t2 (3 + t) = (3 − t) 3 3 √ √ 10 − thỏa mãn ĐK ⇔ (t + 1)3 = 10 ⇔ t = 10 − ⇔ x = √ √ 10 − Vậy x = √ a + b2 − ab2 ab a ab2 ab2 = a− (Áp dụng BĐT Cô-si) = = a − ≥ a − 2 1+b 1+b 1+b 2b b c bc ca Tương tự ta có: ≥b− ; ≥c− 2 1+c 1+a b) Ta có Mặt khác ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2 =3 Nên b c ab + bc + ca a + + ≥a+b+c− 2 1+b 1+c 1+a ⇔ a b c 3 2018 + + ≥3− = > 2 1+b 1+c 1+a 2 2013 (đpcm) Câu Từ điểm A ngồi đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), B, C tiếp điểm Trên đoạn OB lấy điểm N cho BN = 2ON Đường trung trực đoạn thẳng CN cắt OA M , tính tỉ số Lời giải ĐỀ THI HSG TOÁN AM AO | Nhóm GeoGebraPro | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN C H M O K A N E B Gọi I, E, K trung điểm N C, N B, BC Suy K giao điểm BC OA Ta có EI đường trung bình N BC ⇒ EI Ta lại có EK đường trung bình Từ K trực tâm BC ⇒ OM ⊥ EI N BC ⇒ EK N C ⇒ EK ⊥ IM IM E Mặt khác IK đường trung bình N BC ⇒ IK N B ⇒ EM ⊥ N B Hơn N B ⊥ AB ⇒ EM AB AM OE Áp đụng định lý Ta-lét ta có = = AO OB Câu Cho tam giác ABC vuông A Các tứ giác M N P Q ADEF hình vuông cho: M thuộc cạnh AB ; N , P thuộc cạnh BC ; Q thuộc cạnh AC ; D, E, F tương ứng thuộc cạnh AB, BC, AC So sánh diện tích hình vng M N P Q, ADEF Lời giải ĐỀ THI HSG TỐN | Nhóm GeoGebraPro A MD Q | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN F C P H E N B Gọi r, R cạnh hình vng ADEF, M N P Q đặt AB = c, AC = b, BC = a Kẻ đường cao AH = h tam giác ABC Ta có 1 1 SACB = SAEB + SAEC = ED · AB + EF · AC = r (AB + AC) = r (b + c) 2 2 1 Mà SABC = AH · BC = ah 2 ah Từ suy r = b+c MN BM Do M N AH nên theo định lý Ta-lét ta có = AH BA AM MQ = Và M Q BC nên theo định lý Ta-lét ta có BC AB MN MQ BM AM R R ah Nên + = + ⇔ + =1⇔R= AH BC BA AB h a a+h Mặt khác (a + h)2 = a2 + 2ah + h2 = b2 + c2 + 2bc + h2 = (b + c)2 + h2 > (b = c)2 a2 h2 a2 h2 = Do r2 = > R ⇔ SADEF > SM N P Q (b + c)2 (a + h)2 Câu a) Tìm tất số nguyên x để √ √ √ √ x + 19; 2x + 10; 3x + 13; 4x + 37 số nguyên b) Trong buổi gặp có 294 người tham gia, người quen bắt tay Biết A bắt tay B hai người A B bắt tay khơng q lần Hỏi có nhiều bắt tay Lời giải a) Đặt √ √ x + 19 = a; 4x + 37 = b, a, b ∈ Z+ Ta có ĐỀ THI HSG TỐN | Nhóm GeoGebraPro 4a2 − b2 = 39 ⇔ (2a − b) (2a + b) = 39 Do 2a > b a, b ∈ Z+ nên ta có trường hợp     2a − b = a = 10 • ⇔ ⇔ x = 81, thử lại thấy sai nên loại     | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 2a + b = 39 b = 19     a = 2a − b = ⇔ •   b = 2a + b = 13 ⇔ x = −3, thử lại thấy nên nhận Vậy x = −3 b) Do A bắt tay B hai người A B bắt tay không lần nên tham dự hội nghị có số bắt tay không Giả sử X tập hợp người bắt tay lần, Y tập hợp người bắt tay không lần |X| = m, |Y | = n Ta có X ∩ Y = ∅ m + n = 294 Nhận xét: người tập hợp khơng bắt tay với Tổng số bắt tay S ≤ n × min{6; 294 − n} Ta có khả sau • = ⇒ n = 293 ⇒ S = 293 • = ⇒ n = 292 ⇒ S = 584 • = ⇒ n = 291 ⇒ S = 873 • = ⇒ n = 290 ⇒ S = 1160 • = ⇒ n = 289 ⇒ S = 1445 • = ⇒ 294 − n ≥ ⇒ n ≤ 288 ⇒ S ≤ 288 × = 1728 Do S ≤ 1728 Vậy có nhiều 1728 bắt tay ———————–HẾT———————– ĐỀ THI HSG TỐN | Nhóm GeoGebraPro TOÁN THCS VIỆT NAM ĐỀ THITHCS HSG VIỆT TỐN TỐN NAM | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN ĐỀ SỐ CHUYÊN ĐỀ2KHỐI ĐỀ THI HSG LỚP - QUẬN CẦU GIẤY - TP HÀ NỘI NĂM 2017-2018, VÒNG Họ tên thí ĐỀ SỐsinh: Lớp: Câu Å 1) Cho biểu thức A = å √ √ ãÇ 3x + 3x3 √ 6x + √ √ √ − − 3x với x ≥ 0; + 3x 3x3 − 3x + 3x + 4 x= a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên 2) Cho biểu thức P = 1 + + + 2a + b + ab + 2b + c + bc + 2c + a + ca với a, b, c số thực làm cho P xác định thoả mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca + abc = Chứng minh P = Lời giải 1) å √ √ ãÇ 6x + 3x + 3x3 √ √ √ a) Ta có A = √ − − 3x + 3x 3x3 − 3x + 3x + √ √ ï ò √ √ 6x + − ( 3x − 2) 3x √ = √ 3x − 3x + − 3x ï ( 3x − 2)(3x√+ 3x + 4) ò √ 3x + 3x + √ = √ 3x − 3x + ( 3x − 2)(3x + 3x + 4) √ 3x − = √ 3x − √ 3x − 3x + 3x − 3x − √ b) Ta có A = =√ −2 Suy A ∈ Z B = √ ∈ 3x − 3x − 3x − Å Z ĐỀ THI HSG TỐN | Nhóm GeoGebraPro 10 Nếu 3x − = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Nếu 3x − = 0⇔ x = √ 3x − ∈ Z Vì x ∈ Z nên √ 3x − ∈ I √ • Nếu 3x − ∈ I A ∈ I (Vơ lý) √ √ • Nếu 3x − ∈ Z B = 3x + + √ 3x − √ Do B ∈ Z 3x − ∈ {−1; 1}, từ tìm x = thỏa mãn u cầu Vậy x ∈ {1; 3} 2) Đẳng thức điều kiện tương đương với (1 + a) (1 + b) (1 + c) = ⇒ + a, + b, + c = Do đó, ta có: 1 + + + (1 + a) + (1 + a)(1 + b) + (1 + b) + (1 + b)(1 + c) + (1 + c) + (1 + c)(1 + a) 1+a = + + + (1 + a) + (1 + a)(1 + b) (1 + a) (1 + (1 + b) + (1 + b)(1 + c)) (1 + a)(1 + b) + (1 + a)(1 + b) (1 + (1 + c) + (1 + c)(1 + a)) + (1 + a) + (1 + a)(1 + b) = = 1 + (1 + a) + (1 + a)(1 + b) P = Câu √ a) Giải phương trình: x2 + = x3 − 2x2 + b) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x2 (x − y) = (y − 1) Lời giải a) Điều kiện: x ≥ −1 Khi đó, ta có: Phương trình ⇔ (x2 − 3x + 3) + 3(x + …1) = (x + 1)(x − 3x + 3) ⇔1+ … Đặt t = x2 3(x + 1) =4 x2 − 3x + x+1 (vì x2 − 3x + > 0, ∀x) x2 − 3x + x+1 (t ≥ 0), ta phương trình: − 3x +  t = (thỏa mãn điều kiện) + 3t2 = 4t ⇔ 3t2 − 4t + = ⇔  t = (thỏa mãn điều kiện) … • Với t = 1, ta có: điều kiện) ĐỀ THI HSG TOÁN √ x+1 − 4x + = ⇔ x = ± (thỏa mãn = ⇔ x x2 − 3x + | Nhóm GeoGebraPro 168 Dấu “ =” xảy m = √ | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Vậy GTNN M + m = 1 1 + + ≤ Câu Cho x, y, z > Chứng minh rằng: x + yz y + xz z + xy Å ã 1 + + xy yz zx Lời giải Áp dụng BĐT Côsi cho số dương x2 yz ta có √ x2 yz = 2x yz ⇒ 1 1 ≤ √ = · √ + yz 2x yz x yz 1 1 1 Tương tự ta có ≤ · √ ≤ · √ y + xz y xz z + xy z xy x2 + yz ≥ x2 Suy Å 1 1 1 + + ≤ √ + √ + √ x + yz y + xz z + xy x yz y xz z xy √ √ √ Ta có yz + xz + xy ≤ x + y + z (2) Thật √ √ √ (2) ⇔ yz + xz + xy ≤ 2x + 2y + 2z √ √ √ √ √ √ ⇔ x− y + z− x + y− x ã = · √ yz + √ xz + xyz √ xy (1) ≥ (luôn đúng) Đẳng thức xảy x = y = z 1 1 x+y+z Từ (1) (2) suy + + ≤ · = x + yz y + xz z + xy xyz Đẳng thức xảy x = y = z Å ã 1 + + yz xz xy Câu 1) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R M điểm di động cung nhỏ BC đường tròn a) Chứng minh M B + M C = M A b) Gọi H, I, K chân đường vng góc hạ từ M xuống AB, BC, CA Gọi S, S diện tích ABC M BC Chứng minh M di động ta ln có đẳng thức sau: √ (S + 2S ) MH + MI + MK = 3R 2) Cho ABC có ba góc nhọn AD, BE, CF đường cao Lấy M đoạn F D, ’ ’ Chứng minh M A tia phân giác lấy N tia DE cho M AN = BAC ’ N MF Lời giải ĐỀ THI HSG TOÁN | Nhóm GeoGebraPro 169 A | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN O H N B I C K M E 1a) Trên tia đối tia M C lấy điểm E cho M E = M B (1) ’ ˘ đường tròn (O) nên BM ’ Ta có BM C góc nội tiếp chắn cung BAC C = ’ ’ ’ sđBAC = · 240◦ = 120◦ ⇒ BM E = 180◦ − BM C = 180◦ − 120◦ = 60◦ (2) 2 Từ (1) (2) ⇒ BM E ⇒ BE = BM = EM Xét BEC , ta có: BM A BM = BE (cmt) ’ = BCE ’ (cùng chắn cung nhỏ BM ) BAM BA = BC (do Vậy BM A = ABC đều) BEC ⇒ M A = EC ⇒ M B + M C = M E + M C = EC = M A 1b) Gọi N giao điểm AO BC ABC nên O tâm √ ABC ⇒ A, O, N thẳng hàng AN = √ 3 AN 3 AO = R Ta có AB = = R: = R 2 ’ sin ABN Vì Ta lại có: S M AB S M BC S M AC √ 2S M AB 2S M AB · S M AB √ = M H · AB ⇒ M H = = = AB 3R R √ 2S M BC 2S M BC · S M BC √ = M I · BC ⇒ M I = = = BC 3R R √ 2S M AC 2S M AC · S M AC √ = M K · AC ⇒ M K = = = AC 3R R ĐỀ THI HSG TOÁN | Nhóm GeoGebraPro 170 | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN √ ⇒ MH + MI + MK = · S M AB + S 3R √ = · S ABC + S 3R √ (S + 2S ) = 3R M BC +S M AC M BC +S M BC 2) Qua M kẻ đường thẳng song song với A BC cắt DE K Tứ giác AEDB có D, E nhìn AB góc vng nên AEDB tứ ’ = BAC ’ giác nội tiếp ⇒ CDE N ÷ ’ (vì M K BC ) nên Mà M KD = CDE ÷ ’ = M ’ M KD = BAC AN ⇒ tứ giác E ’ ’ AM KN nội tiếp ⇒ AM N = AKN F Tứ giác F DCA có F, D nhìn AC góc vng nên F DCA tứ ’ ’⇒F ’ giác nội tiếp ⇒ F DB = BAC DB = M B K D C ’ (= BAC) ’ ⇒M ’ ’ EDC DA = KDA DM K có DA phân giác vừa đường cao nên cân D ⇒ DM = DK AM D = ’ ’ ⇒ F’ ’ AKD (c.g.c) ⇒ AM D = AKD M A = AKN ’ = AM ’ ˜) Suy F’ ’ Mà AKN N (2 góc nội tiếp chắn cung nhỏ AN M A = AM N ’ hay M A tia phân giác N MF ———————–HẾT———————– ĐỀ THI HSG TỐN | Nhóm GeoGebraPro 171 TỐN THCS VIỆT NAM ĐỀ THITHCS HSG VIỆT TOÁN TOÁN NAM | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN ĐỀ SỐ CHUYÊN ĐỀ34KHỐI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2017-2018, HẢI DƯƠNG Họ tên SỐ thí sinh: ĐỀ 34 Lớp: Câu » √ √ a) Cho biểu thức P = − x + (1 − x) − x + − x − (1 − x) − x2 với −1 ≤ x ≤ Tính giá trị biểu thức P x = − 2017 √ √ √ b) Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn a + b + c = a + b + c = √ √ √ a b c Chứng minh rằng: + + = 1+a 1+b 1+c (1 + a)(1 + b)(1 + c) » Lời giải » » √ √ a) P = − x + (1 − x) − x2 + − x − (1 − x) − x2 Ä ä √ √ √ = 1−x + − x2 + − − x2 (vì −1 ≤ x ≤ 1) ä Ä Suy ra: P = (1 − x) + − (1 − x2 ) = 2(1 − x)(1 + |x|) 2(1 − x)(1 + |x| 2018 √ Thay x = − ta P = 2017 2017 √ √ √ b) Đặt x = a; y = b; z = c ⇒ xy + yz + zx = ⇒ a + = (x + y)(x + z) Mà P > nên P = Tương tự ta có √ b + = (y + z)(y + x); c + = (z + x)(z + y) √ √ a b c 2(xy + yz + zx) Do + + = = 1+a 1+b 1+c (x + y)(y + z)(z + x) (1 + a)(1 + b)(1 + c) Câu √ a) Giải phương trình: 2x2 − 2x + = (2x + 1) x2 − x + −    x2 + (y + 1)2 = xy + x + b) Giải hệ phương trình:   2x3 = x + y + Lời giải ĐỀ THI HSG TOÁN | Nhóm GeoGebraPro 172 a) 2x2 − 2x + = (2x + 1) √ x2 − x + − ⇔ (x2 − x + 2) + x2 − x − = (2x + √ x2 − x + − (1) √ Đặt t = x2 − x + − ⇒ x2 − x + = (t + 1)2 Thay vào phương trình (1) ta có: 1)  | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN (t − x)(t − x + 1) = ⇒  Với t = x ⇒ t=x t=x−1   x ≥ −1  x2 − x − = (x + 1)2   x ≥ −1 Với t = x − ⇒ ⇔x= ⇔ x =  x2 − x − = x2 b) Vậy nghiệm phương trình là: x = ; x =      x2 + (y + 1)2 = xy + x +  x2 + (y + 1)2 − x(y + 1) = ⇔   2x3 = x + y +   2x3 = x + y + Đặt  t = y + ta được:   x2 + t2 − xt =     x2 + t2 − xt = t=x=1 ⇔ ⇔    2x3 = (x + t)(x2 + t2 − xt)  x=t t = x = −1 Vậy nghiệm hệ là: (1; 0); (−1; −2) Câu a) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2x3 + 2y + 3x − 6y = 5xy − √ b) Tìm tất số tự nhiên n cho n2 + 2n + n2 + 2n + 18 + số phương Lời giải a) Ta có 2x3 + 2y + 3x − 6y = 5xy − ⇔ (x − 2y)(2x − y + 3) = −7 Xét tất trường hợp ta có cặp nghiệm nguyên (x; y) là: (3; 2); (−5; −6); (−7; −4); (1; 4) √ b) n2 + 2n + n2 + 2n + 18 + số phương Suy Đặt √ √ n2 + 2n + 18 số tự nhiên n2 + 2n + 18 = k (k ∈ N) ⇔ (k + n + 1)(k − n − 1) = 17 Vì k, n số tự nhiên   k + n + > k − n − nên ta xét trường hợp sau:    k + n + = 17 k = ⇔     k−n−1=1 ĐỀ THI HSG TOÁN n=7 | Nhóm GeoGebraPro 173 √ Khi đó: n2 + 2n + n2 + 2n + 18 + = 81 = 92 số phương Vậy n = thỏa u cầu tốn | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Câu 1) Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC , nội tiếp đường tròn (O) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tia AI cắt (O) J khác A Đường thẳng JO cắt BC E , cắt (O) K khác J a) Chứng minh J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC JE.JK = JI b) Tiếp tuyến (O) B C cắt S Chứng minh SJ.EK = SK.EJ c) Đường thẳng SA cắt (O) D khác A, đường thẳng DI cắt (O) M khác D Chứng minh JM qua trung điểm đoạn thẳng IE 2) Cho tứ giác lồi ABCD Gọi E, F trung điểm AB CD; AF cắt DE P ; BF cắt CE Q Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = Lời giải 1) ĐỀ THI HSG TOÁN F A F B ED EC + + + FP F Q EP EQ | Nhóm GeoGebraPro 174 a) Dễ thấy J điểm K cung BC nên E trung điểm BC , M A JK đường kính | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN đường tròn (O) Trong tam giác AIB , góc ∠BIJ góc ngồi đỉnh I nên ∠BIJ = ∠BAI + ∠ABI = (∠A + ∠B) Lại có ∠IBJ = ∠IBC + ∠CBJ = (∠A+ ∠B) Nên tam giác JIB cân J , hay O I B C E JI = JB Chứng minh tương tự ta có JI = JC Do đó, J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC D J Từ đó, áp dụng thêm hệ thức lượng tam giác vuông JCK , ta dễ dàng thu JI = JC = JE · JK S N b) Do SO đường trung trực BC nên S nằm đường thẳng JK Đẳng thức cần chứng minh tương đương với EJ SJ SJ SC SJ = Mà = · = SK EK SK SC SK Å ã2 JC JE · JK EJ CJ = = = , CK KC KE · KJ EK nên ta có điều cần chứng minh c) Trước hết, ta có SE · SO = SD · SA(= SB ) suy tứ giác AOED nội tiếp Nên ∠DAE = ∠DOE = ∠DOJ = 2∠DAJ Dẫn đến AJ phân giác góc ∠EAS, hay ∠BAD = ∠EAC Từ đây, với ∠ADB = ∠ACE(= ∠ACB), ta suy tam giác ABD ACE đồng dạng với Dẫn đến AE · AD = AB · AC (1) Gọi N giao điểm thứ hai AI với đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC Dễ thấy hai tam giác AIB ACN đồng dạng với nhau, nên AI · AN = AB · AC (2) Từ (1) (2) suy AE ·AD = AI ·AN Cùng với ∠DAI = ∠N AE , ta suy tam giác AID AEN đồng dạng với Suy ∠EN A = ∠IDA = ∠M DA = ∠M JA Hay EN song song với JM Mà rõ ràng J trung điểm IN , nên M J ĐỀ THI HSG TỐN | Nhóm GeoGebraPro 175 qua trung điểm IE 2) Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Bổ đề Cho tứ giác lồi ABCD có C O giao điểm hai đường chéo B Gọi M, N trung điểm N O AD BC Đường thẳng qua A C song song với CD cắt đường thẳng qua D song song với AB S A M Khi SO song song (hoặc trùng) với M N Chứng minh Gọi B đối xứng với B B qua M Khi M N song song với B C Ta chứng minh SO song song với B C Thật vậy, gọi C giao AC SD Để ý tứ giác ABDB hình bình hành, nên CB CA CD CC CC CB = · = · = CS CA CS CO CD CO Ta có điều cần chứng minh Trở lại tốn ĐỀ THI HSG TỐN S D | Nhóm GeoGebraPro 176 Áp dụng bổ đề với tứ giác J ABCD AEF D, ta suy S, O, P B N Q Q C O H thẳng hàng, suy OP song song với | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN M N Tương tự, ta có OQ song E song với M N Do đó, O, P, Q thẳng I hàng P Q M N F P Gọi I giao điểm F E M N , A K P , Q giao điểm P Q với AD, BC M P C G D Qua F , kẻ đường thẳng song song với P Q, cắt đoạn AD G cắt tia đối tia CB H Các điểm J, K định nghĩa tương tự (xem hình vẽ) Theo trên, IM đường trung bình hình thang EF GK nên M trung điểm S KG Suy GA = KD Áp dụng định lí Thales BĐT Cauchy-Schwartz, ta thu GA KD 1 DK F A ED + = + = DK + ≥ DK · =4 FP EP GP KP GP KP GPÅ + KP ãGK F B EC CJ DK CJ Tương tự, ta thu + ≥4 Suy T ≥ + F Q EQ HJ GK HJ CJ DK + = 2, đó, GTNN T Cuối cùng, ta chứng minh GK HJ Thật vậy, gọi C điểm AD cho CC song song với HG Khi đó, F DK CJ DK CK trung điểm CD nên G trung điểm C D Do + = + = GK HJ GK GK KD + KC = KG Câu Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: √ a2 + 3ab + b2 6a2 + 8ab + 11b2 +√ b2 + 3bc + c2 6b2 + 8bc + 11c2 +√ c2 + 3ca + a2 6c2 + 8ca + 11a2 Lời giải Ta có: 6a2 + 8ab + 11b2 = (2a + 3b)2 + 2(a − b)2 ≥ (2a + 3b)2 a2 + 3ab + b2 a2 + 3ab + b2 ⇒√ ≤ 2a + 3b 6a2 + 8ab + 11b2 a2 + 3ab + b2 3a + 2b Tiếp tục ta chứng minh ≤ ⇔ (a − b)2 ≥ (luôn đúng) 2a + 3b Tương tự ta có: ĐỀ THI HSG TỐN ≤3 | Nhóm GeoGebraPro b2 + 3bc + c2 3b + 2c 6b2 + 8bc + 11c2 c2 + 3ca + a2 3c + 2a √ ≤ 2 6c + 8ca + 11a √ ≤ Cộng ba bất đẳng thức ta được: b2 + 3bc + c2 c2 + 3ca + a2 +√ +√ ≤ a + b + c 6a2 + 8ab + 11b2 6b2 + 8bc + 11c2 6c2 + 8ca + 11a2 Mặt khác: (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2 ) = ⇒ a + b + c ≤ | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN M=√ a2 + 3ab + b2 Vậy M ≤ Dấu xảy a = b = c = ———————–HẾT———————– ĐỀ THI HSG TỐN 177 | Nhóm GeoGebraPro 178 TỐN THCS VIỆT NAM | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN ĐỀ THITHCS HSG VIỆT TOÁN TOÁN NAM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ SỐ CHUYÊN ĐỀ35KHỐI TOÁN NĂM HỌC 2017-2018, HUYỆN TIỀN HẢI - TỈNH THÁI Họ tên SỐ thí sinh: Lớp: ĐỀ 35 BÌNH Câu Tính giá trị biểu thức sau: » » √ √ a) A = + 10 + + − 10 + … … … (a + bc)(b + ca) (c + ab)(b + ca) (c + ab)(a + bc) b) B = + + , (với a, b, c số c + ab thực dương a + b + c = 1) a + bc b + ca Lời giải √ 10 + + − 10 + > nên » √ √ √ A = + 10 + + − 10 + + 16 − (10 + 5) »√ √ = + − = + ( − 1)2 √ √ √ = + 2( − 1) = + = ( + 1)2 √ Suy A = + (do A > 0) a) Ta có A = » √ 4+ » b) Vì a,… b, c > a + b + c = nên biểu thức B có nghĩa < a, b, c < Ta có: … (1 − b − c + bc)(1 − a − c + ca) + − a − b + ab B=   = (1 − b)(1 − c)(1 − a)(1 − c) + (1 − a)(1 − b)   (1 − a − b + ab)(1 − a − c + ca) − b − c + bc … (1 − a − b + ab)(1 − b − c + bc) + − a − c + ca (1 − a)(1 − b)(1 − a)(1 − c) (1 − b)(1 − c)   + = (1 − c)2 + (1 − a)2 + (1 − b)2 = |1 − c| + |1 − a| + |1 − b| = (1 − c) + (1 − a) + (1 − b) =2 (do a + b + c = 1) ĐỀ THI HSG TOÁN (do < a, b, c < 1) (1 − a)(1 − b)(1 − b)(1 − c) (1 − a)(1 − c) | Nhóm GeoGebraPro 179 Câu | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN a) Tìm số a, b cho đa thức f (x) = x4 +ax3 +bx−1 chia hết cho đa thức x3 −3x+2 b) Chứng minh B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y z số phương với x, y, z số nguyên Lời giải a) Ta có x2 − 3x + = (x − 1)(x − 2) Theo ta có f (x) (x − 1)(x − 2) ⇒ f (x) (x − 1) f (x) (x − 2) Do f (x) (x − 1) ⇒ f (1) = ⇒ a + b = ⇒ b = −a (1) Do f (x).(x − 2) ⇒ f (2) = ⇒ 8a + 2b = −15 (2) 5 Thử lại: x − x + x − : (x − 3x + 2) = x2 + 2 5 Vậy a = − , b = 2 1 x− 2 Từ (1) (2) ⇒ 8a + 2(−a) = −15 ⇒ a = − ⇒ b = b) Ta có B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y z = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y z = 4(x2 + xy + xz)2 + 4(x2 + xy + xz)yz + y z = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 Vì x, y, z số nguyên nên 2x2 + 2xy + 2xz + yz số nguyên Do B số phương Câu a) Tìm m để phương trình 2m − = m − vơ nghiệm x−2 √ b) Giải phương trình x + = x2 − 5x + 14 c) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình Lời giải a) ĐKXĐ x = ĐỀ THI HSG TOÁN xy yz zx + + = z x y | Nhóm GeoGebraPro 180 2m − = m − ⇒ 2m − = (x − 2)(m − 3) ⇒ (m − 3)x = 4m − x−2 +) Xét m = 3, phương trình (3) trở thành 0x = (vơ lý) (3) Do đó, với m = phương trình cho vơ nghiệm 4m − m−3 4m − Do đó, để phương trình cho vơ nghiệm =2⇒m= m−3 Vậy với m = 3, m = phương trình cho vơ nghiệm | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN +) Xét m = 3, phương trình (3) có nghiệm x = b) ĐKXĐ: x ≥ −1 Ta có √ √ x + = x2 − 5x + 14 ⇔ x2 − 5x − x + + 14 = √ ⇔ x2 − 6x + + x + − x + + = √ ⇔ (x − 3)2 + ( x + − 2)2 = ⇔   x − = √   x+1−2=0 ⇔x=3 (thoả mãn) c) Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho …các số dương ta có xy yz zx xy yz zx √ + + ≥33 · · = 3 xyz ⇒ xyz ≤ z x y z x y Do x, y, z số nguyên dương nên từ (4) suy x = y = z = xy yz zx Thử lại: Với x = y = z = ta có + + = z x y Vậy nghiệm nguyên dương phương trình (x, y, z) = (1, 1, 1) 3= (4) Câu Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Kẻ AH vng góc với BC H Gọi D, E hình chiếu H AB, AC a) Biết AB = 6cm, HC = 6, 4cm Tính BC, AC b) Chứng minh DE = BC.BD.CE c) Đường thẳng kẻ qua B vuông góc với BC cắt HD M , đường thẳng kẻ qua C vng góc với BC cắt HE N Chứng minh M, A, N thẳng hàng d) Chứng minh BN, CM, DE đồng qui Lời giải ĐỀ THI HSG TỐN | Nhóm GeoGebraPro 181 | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN C N H E I A D B M a) Đặt BH = x (đơn vị: cm) (0 < x < 6) Ta có BC = x + 6,4 Ta có AB = BH · BC ⇒ 62 = x(x + 6,4) ⇒ x = 3,6 ⇒ BC = 10 cm ⇒ AC = cm Tứ giác ADHE có A = D = E = 90◦ b) ADHE hình chữ nhật ⇒ DE = AH Tam giác AHB vuông H, đường cao HD ⇒ BH = BD · BA Tam giác AHC vuông H, đường cao HE ⇒ CH = CE · CA Ta có AH = HB · HC ⇒ AH = HB · HC ⇒ AH = BD · BA · CE · CA = BD · CE · BC · AH ⇒ AH = BD · CE · BC Vậy DE = BD · CE · BC ’ ’ (cùng phụ với CHN ’) c) Ta có CN H = BHM Do ADHE hình chữ nhật ⇒ HD = AE Gọi M giao điểm N A HD Ta có NE NC NE AE ’ cos2 CN H= · = = NC NH NH MH HD HB HD AE = · = = HB HM HM HM AE AE ⇒ = ⇒ M H = MH MH HM ⇒ M ≡ M ⇒ M, A, N thẳng hàng ’ cos2 BHM d) Ta có BM CN, BD N E, M D CE BD DM ⇒ BDM ∼ N EC ⇒ = NE EC DI DM Gọi I giao điểm M C DE ⇒ = EI EC DI BD Gọi I giao điểm BN DE ⇒ = EI NE ĐỀ THI HSG TOÁN (5) (6) (7) | Nhóm GeoGebraPro Từ (5), (6), (7) ⇒ 182 DI DI = ⇒I≡I EI EI | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Vậy BN, CM, DE đồng quy Câu Cho đa thức f (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (với a, b, c, d số thực) Biết f (1) = 10; f (2) = 20; f (3) = 30 Tính giá trị biểu thức A = f (8) + f (−4) Lời giải Xét đa thức g(x) = f (x) − 10x ⇒ bậc đa thức g(x) Từ giả thiết ⇒ g(1) = g(2) = g(3) = Mà g(x) có bậc nên g(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − a) (với a số thực đó) ⇒ f(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − a) + 10x ⇒  f (8) = · · · (8 − a) + 80  f (−4) = (−5)(−6)(−7)(−4 − a) − 40 = · · · (4 + a) − 40 ⇒ f (8) + f (−4) = · · · (8 − a + + a) + 40 = 2560 ———————–HẾT———————– ĐỀ THI HSG TOÁN ... ———————–HẾT———————– ĐỀ THI HSG TỐN | Nhóm GeoGebraPro TOÁN THCS VIỆT NAM ĐỀ THITHCS HSG VIỆT TOÁN TỐN NAM | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN ĐỀ SỐ CHUYÊN ĐỀ2KHỐI ĐỀ THI HSG LỚP - QUẬN CẦU... ———————–HẾT———————– ĐỀ THI HSG TỐN | Nhóm GeoGebraPro 14 TOÁN THCS VIỆT NAM ĐỀ THITHCS HSG VIỆT TOÁN TOÁN NAM ĐỀ THI HSG LỚP - TP HÀ NỘI NĂM HỌC 2010 - 2011 | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN ĐỀ SỐ... ———————–HẾT———————– ĐỀ THI HSG TỐN | Nhóm GeoGebraPro 19 TỐN THCS VIỆT NAM ĐỀ THITHCS HSG VIỆT TOÁN TOÁN NAM | Nhóm GeoGebraPro - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN ĐỀ SỐ CHUYÊN ĐỀ4KHỐI ĐỀ THI HSG LỚP - TP HÀ