SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP Đề thức NĂM HỌC 2009 – 2010 Mơn thi: TỐN LỚP - BẢNG A Thời gian làm bài: 150 phút Câu (4,5 điểm): a) Cho hàm số f (x) (x3 12x 31)2010 Tính f (a) a 3 16 16 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5(x2 xy y2) 7(x 2y) Câu (4,5 điểm): a) Giải phương trình: x2 x3 x2 x2 x b) Giải hệ phương trình: 2 x y z 12 4 xy z Câu (3,0 điểm): Cho x; y; z số thực dương thoả mãn: xyz = Tìm giá trị lớn biểu thức: A x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 1 Câu (5,5 điểm): Cho hai đường tròn (O; R) (O'; R') cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay đổi tia đối tia AB Vẽ tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O') Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O' M N (M N khác với điểm A) Đường thẳng DE cắt MN I Chứng minh rằng: a) MI.BE BI.AE b) Khi điểm C thay đổi đường thẳng DE qua điểm cố định Câu (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến AD Điểm M di động đoạn AD Gọi N P hình chiếu điểm M AB AC Vẽ NH PD H Xác định vị trí điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn - - - Hết - - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Trang 1/4 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2009 – 2010 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn biểu điểm chấm gồm 04 trang ) Mơn: TỐN - BẢNG A Câu Ý Nội dung Điểm a 3 16 16 0,5 0,5 a3 32 33 (16 5)(16 8 5).( 16 16 ) 0,25 0,25 a) a3 32 3.( 4).a 0,25 (2,0đ) a3 32 12a 0,25 a3 12a 32 0 a3 12a 31 1 0,25 f (a) 12010 1 0,25 5(x2 xy y2 ) 7(x y) (1) 0,25 7(x y)5 (x y)5 0,25 1, Đặt x y 5t (2) (t Z ) 0,25 (4,5đ) (1) trở thành x2 xy y2 7t (3) Từ (2) x 5t y thay vào (3) ta 0,25 2, 3y2 15ty 25t 7t 0 (*) 0,25 (4,5đ) 0,25 b) 84t 75t 0,25 (2,5đ) Để (*) có nghiệm 0 84t 75t2 0 0,25 0,25 a) t 28 0,25 (2,5đ) 25 0,25 0,5 Vì t Z t 0 t 1 Thay vào (*) 0,5 Với t 0 y1 0 x1 0 0,25 0,25 Với t 1 y2 3 x2 y3 2 x3 1 ĐK x 0 x 1 Với x 0 thoã mãn phương trình Với x 1 Ta có x3 x2 x2 (x 1) 1 (x2 x 1) x2 x 1(x2 x) 1 (x2 x 1) x3 x2 x2 x x2 x2 x Dấu "=" Xẩy x x 1 Trang 2/4 x2 x x 1 x Vô lý 0,25 x x 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x 0 0,25 1 2 (1) 0,25 x y z ĐK x; y; z 0 (I ) 4 (2) xy z Từ (1) x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz 4 0,25 Thế vào (2) ta được: 0,25 21 111222 xy z2 x2 y2 z2 xy xz yz b) x2 y2 z2 2xz 2yz 0 0,25 (2,0đ) 121 21 0,25 ( x2 xz z2 ) ( y2 yz z2 ) 0 1 2 1 2 0,25 0 x z y z 1 0 0,25 x z x y z 0 y z Thay vào hệ (I) ta được: (x; y; z) (1 ; ; 1) (TM ) 0,25 22 Ta có (x y)2 0 x; y 0,25 x2 xy y2 xy 0,25 Mà x; y > =>x+y>0 0,25 Ta có: x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) 0,25 x3 + y3 ≥ (x + y)xy 0,25 x3 + y3 +1 = x3 + y3 +xyz ≥ (x + y)xy + xyz 0,25 x3 + y3 + ≥ xy(x + y + z) > 0,25 3, z3 + x3 Tương tự: y3 + z3 + ≥ yz(x + y + z) > 0,25 + ≥ zx(x + y + z) > 0,25 (3,0đ) A 0,25 xy(x y z) yz(x y z) xz(x y z) A x y z 0,25 xyz(x y z) A 1 0,25 xyz Vậy giá trị lớn A x = y = z = 0,25 Trang 3/4 4, (5,5đ) C M DA Q E K O' O H I B N Ta có: B DE B AE (cùng chắn cung BE đường tròn tâm O) 0,25 B AE B MN (cùng chắn cung BN đường tròn tâm O') 0,25 B DE B MN 0,25 hay B DI B MN BDMI tứ giác nội tiếp 0,50 a) M DI M BI (cùng chắn cung MI) 0,25 (3,0đ) mà M DI A BE (cùng chắn cung AE đường tròn tâm O) 0,25 A BE M BI 0,25 mặt khác B MI B AE (chứng minh trên) 0,25 MBI ~ ABE (g.g) 0,25 MI BI MI.BE = BI.AE 0,50 AE BE b) Gọi Q giao điểm CO DE OC DE Q 0,50 (2,5đ) OCD vuông D có DQ đường cao OQ.OC = OD2 = R2 (1) Gọi K giao điểm hai đường thẳng OO' DE; H giao điểm 0,50 AB OO' OO' AB H Xét KQO CHO có Q H 900;O chung 0,50 KQO ~ CHO (g.g) KO OQ OC.OQ KO.OH (2) 0,50 CO OH Từ (1) (2) KO.OH R2 OK R2 OH Trang 4/4 Vì OH cố định R khơng đổi A 0,50 OK không đổi K cố định P C H' H N M O B D E ABC vuông cân A AD phân giác góc A AD BC 0,25 5, D (O; AB/2) (2,5đ) Ta có ANMP hình vng (hình chữ nhật có AM phân giác) 0,50 tứ giác ANMP nội tiếp đường trịn đường kính NP mà N HP 900 H thuộc đường tròn đường kính NP A HN A MN 450 (1) Kẻ Bx AB cắt đường thẳng PD E 0,25 tứ giác BNHE nội tiếp đường trịn đường kính NE Mặt khác BED = CDP (g.c.g) BE = PC 0,50 mà PC = BN BN = BE BNE vuông cân B N EB 450 mà N HB N EB (cùng chắn cung BN) N HB 450 (2) Từ (1) (2) suy A HB 900 H (O; AB/2) 0,50 gọi H' hình chiếu H AB SAHB HH '.AB SAHB lớn HH' lớn mà HH' ≤ OD = AB/2 (do H; D thuộc đường trịn đường kính AB 0,50 OD AB) Dấu "=" xẩy H D M D Lưu ý:- Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa - Điểm thi tổng điểm khơng làm trịn Trang 5/4 ...SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2009 – 2010 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn biểu điểm chấm gồm 04 trang ) ... giác góc A AD BC 0,25 5, D (O; AB/2) (2,5đ) Ta có ANMP hình vng (hình chữ nhật có AM phân giác) 0,50 tứ giác ANMP nội tiếp đường trịn đường kính NP mà N HP 900 H thuộc... xyz(x y z) A 1 0,25 xyz Vậy giá trị lớn A x = y = z = 0,25 Trang 3/4 4, (5,5đ) C M DA Q E K