Cách tìm và trình bày một lời giải như thế nào ?

Tìm trình bày lời giải nào? Trần Nam Dũng (tường thuật trực tiếp từ diễn đàn www.mathscope.org)∗ Xuất phát từ đề nghị khơng thức bạn Khoa (nbkschool): “Có lẽ phải mở khóa “How to write solution” quá!” Đề nghị xuất phát từ vấn đề nóng hổi là: Trong kỳ thi VMO, VTST, Olympic 30/4 có nhiều bạn có điểm số khơng dự đốn Bỏ qua vấn đề chấm sai, ta thử tìm nguyên nhân giải pháp khắc phục Tại bạn lại điểm trơng đợi? Làm trình bày tốn cách chắn mà nhanh? Khi bàn đến vấn đề trình bày lời giải, dĩ nhiên ta khơng thể bỏ qua vấn đề tìm kiếm lời giải nào, có lời giải trình bày Do vậy, chủ đề mà muốn đưa “Tìm trình bày lời giải nào?” Thực ra, hai vấn đề có mối liên hệ trực tiếp với Nếu ta hiểu rõ trình đến lời giải phần trình bày dễ hiểu, chặt chẽ súc tích Đây chủ đề lớn, có nhiều vấn đề cần thảo luận Dưới đưa số câu hỏi: Tiếp cận toán nào? Đâu chiến thuật tối ưu ngày thi (với toán, toán)? Trình bày lời giải nào? Khi khơng giải tốn, làm để kiếm điểm này? Khi đặt vấn đề này, bạn tqdung có góp ý: Cuốn “Sáng tạo Tốn học” Polya Em thấy ghi rõ việc suy nghĩ, làm Tôi công nhận “Bộ ba sách: “Giải toán nào?”, “Toán học suy luận có lý” “Sáng tạo Tốn học” Polya sách hay, khuyên bạn trẻ yêu toán đọc suy ngẫm, thầy cô giáo trẻ nên nghiên cứu sách này.” (Xem phụ lục 1) Tôi bắt đầu viết việc trích dẫn lời khuyên A Kanel-Belov A K Kovaldzi dành cho bạn thi Olympic (đây hai tác giả tiếng Nga, có nhiều toán chọn làm đề IMO) Hãy đọc đề tất toán xác định xem bạn giải toán theo trình tự Chú ý thơng thường tốn xếp theo thứ tự khó dần Nếu tốn, theo ý bạn, theo nhiều nghĩa khác nhau, đừng chọn cách dễ cho bạn mà tốt hỏi giám thị ∗ Cảm ơn thành viên Mathscope.org thực chuyên đề Các bạn nguồn cảm hứng bất tận để làm việc Trần Nam Dũng Nếu toán giải cách q dễ dàng đáng ngờ Có thể bạn hiểu không đề sai Nếu bạn khơng giải tốn, thử làm đơn giản (xét số nhỏ hơn, xét trường hợp đặc biệt ) giải phản chứng, hay thay số ký hiệu Nếu khơng rõ khẳng định có khơng, thử vừa chứng minh, vừa phủ định Đừng dính vào tốn: phải rời đánh giá tình hình Nếu có chút thành tựu làm tiếp, ý tưởng lòng vòng tốt bỏ tốn (ít thời gian) Nếu bạn thấy mệt, nghỉ vài phút (có thể ngắm trời mây đơn giản nghỉ) Nếu giải toán, trình bày lời giải Điều giúp bạn kiểm tra tính đắn lời giải giúp bạn tập trung cho toán khác Mỗi bước lời giải phải trình bày, hiển nhiên Sẽ tiện lợi viết lời giải dạng bổ đề nhận xét Điều giúp người chấm dễ đọc dễ cho điểm 10 Trước nộp bài, đọc lại làm mắt người chấm – họ có hiểu lời giải bạn không? Đây lời khuyên bổ ích Tôi minh họa ý ví dụ Sau gửi lời khuyên Koval-Belov Kovaldzi lên, chủ đề bắt đầu trở nên sôi động số câu hỏi đặt ra: hocsinh: Thế lỗi cẩu thả có cách khắc phục khơng thầy? nbkschool: Thế thi có nên trình bày nháp trước khơng? Và có nên ghi vào thi chưa tìm lời giải hồn tồn? Thời gian thích hợp để “rà sốt” lại thi mình? Mong thầy bạn giải đáp câu hỏi Phuonglvt: Em thường nghe thầy giáo nói điều Một học sinh giỏi Tốn khơng cần có tư mà cần kỹ Tơi trả lời: Lỗi cẩu thả có cách khắc phục cẩn thận Đầu tiên, học cách cẩn thận cách sử dụng bút mực bút bi ngòi nhỏ, mực để viết đẹp, sau sử dụng thước để viết phân số, thức Cách vài năm, tơi có dạy học sinh, cậu có tật nhanh nhẩu đoảng, hay sai vặt Tôi quy định, lần cậu sai phải nộp phạt 10, 000 VND, buổi học cậu khơng sai 50, 000 VND Bây cậu bớt ẩu mà viết chữ đẹp, cẩn thận, khơng sai linh tinh nữa, lớp (Đại học) nêu gương Nói chung làm nháp cẩn thận khơng cần phải trình bày trước nháp (thời gian khơng có nhiều!), cần viết bước lời giải Nếu chưa có lời giải hồn tồn nên viết kết đạt (phần bàn sau – làm để kiếm điểm chưa có lời giải hoàn toàn) Chúng ta nên làm hoàn chỉnh kiểm tra ln sau làm xong Nếu trình bày cẩn thận thời gian để rà soát lại cần – 10 phút 3 Tìm trình bày lời giải nào? Kỹ dĩ nhiên quan trọng Tuy nhiên, kỳ thi Olympic người ta trọng đến tư nhiều Vì lời giải hình học phương pháp tọa độ thường bị “thị phi”, lời giải dài dòng, vét cạn khai triển Nếu chọn hướng cần phải trình bày chặt chẽ, xác sáng sủa Sai bị gạch bỏ liền Một vấn đề khác kỹ trình bày Cái khơng thể thiếu Và bạn có kỹ trình bày tốt chứng tỏ bạn có tư tốt Bạn 99 có góp ý: Nói chung học sinh sinh viên viết lời giải toán dở (nói chung thơi) Ngun nhân có lẽ nguyên nhân có hệ thống từ cấp cấp Đại học Các lời khuyên mà thầy Dũng trích dẫn có ích 99 xin phép góp thêm kinh nghiệm cá nhân này: Để trình bày cho sáng sủa nên trình bày theo kiểu diễn dịch, nghĩa phát biểu ý định chứng minh trước Sau trình bày chứng minh ý Ví dụ: Ta chứng minh tam giác ABC tam giác Thật vậy, Trình bày theo kiểu quy nạp cần phải khéo léo, vụng nên tránh Ngồi ra, cần phải học tốt lơ-gíc học ngữ pháp tiếng Việt cho tốt, chịu khó sử dụng cặp liên từ cho đúng, hạn chế tối đa dùng dấu “⇒” Giám khảo nói chung khơng thoải mái với dấu Có cách để luyện viết cho tốt học ngoại ngữ, cụ thể học viết ngơn ngữ có cấu trúc ngữ pháp chặt (như Anh, Pháp, chẳng hạn) Học giúp thân viết tốt Tơi đồng ý với ý kiến 99, đặc biệt ý ngoại ngữ Riêng vấn đề quy nạp tơi nghĩ khơng thể tránh Học Tốn mà khơng có quy nạp khác chặt cánh tay Do vụng phải học để hết vụng Tôi bắt đầu minh họa ý thứ lời khuyên Kanel-Belov Kovaldzi cách phân tích đề thi VMO 2010 Đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn năm 2010 Ngày thi 11/3/2010 Thời gian làm bài: 180 phút Bài Giải hệ phương trình x4 − y = 240 x3 − 2y = 3(x2 − 4y ) − 4(x − 8y) Bài Cho dãy số (an ) xác định a1 = 5, an = n n−1 + · 3n−1 an−1 n−1 + (a) Tìm cơng thức tổng qt tính an (b) Chứng minh dãy (an ) giảm với n = 2, 3, 4, Trần Nam Dũng Bài Cho đường tròn (O) Hai điểm B, C cố định đường tròn, BC khơng phải đường kính Lấy A điểm đường tròn khơng trùng với B, C AD, AE đường phân giác ngồi góc BAC I trung điểm DE.Qua trực tâm tam giác ABC kẻ đường thẳng vng góc với AI cắt AD, AE M, N (a) Chứng minh M N qua điểm cố định (b) Tìm vị trí điểm A cho diện tích tam giác AM N lớn Bài Chứng minh với n nguyên dương, phương trình x2 + 15y = 4n có n nghiệm tự nhiên Bài Cho bảng × n số nguyên dương cho trước Tìm số cách tô màu không tô ô n màu (Hai cách tô màu gọi cách nhận từ cách phép quay quanh tâm.) Nếu cá nhân tôi, xếp thứ tự làm sau: (1) Bài Bài hướng rõ ràng Trình bày đơn giản Ở tơi phân tích rõ hướng giải cách trình bày (2) Bài Bài đặt vị trí 1, khơng khó (3) Bài Hình học, dù khơng phải sở trường khơng khó (4) Bài Bài thấy quen quen, tơi biết đẳng thức Fibonacci: (x2 + 15y )(a2 + 15b2 ) = (xa + 15yb)2 + 15(xb − ya)2 (5) Bài Bài để làm vào cuối Tổ hợp thường khó mà Phân tích lời giải Lũy thừa n hai vế đẳng thức truy hồi, ta n−1 ann = an−1 + 2n−1 + · 2n−1 √ Từ dễ dàng suy ann = 2n + 3n , hay an = n 2n + 3n Bây ta chứng minh (an ) dãy số giảm Có ba hướng suy nghĩ n n n+1 + 3n+1 Điều Hướng Chứng minh an+1 > an+1 n n+1 (khử vế), tức an (2 + ) > tương đương với (an − 2)2n + (an − 3)3n > Như cần chứng minh an > xong, mà điều hiển nhiên! n(n+1) (n+1)n Hướng Chứng minh an > an+1 (khử hai vế) Trong trường hợp này, ta cần chứng minh (2n + 3n )n+1 > (2n+1 + 3n+1 )n Khi khai triển ra, ý vế trái có n + số hạng, vế phải có n + số hạng, ý tưởng chứng minh cách bắt cặp Nếu làm theo cách này: Phải bắt cặp cho Trình bày chặt chẽ Trong thực tế nhiều bạn làm theo cách bị trừ điểm chí khơng cho điểm Bắt cặp sai (dẫn đến bất đẳng thức trung gian không đúng) Trình bày ẩu, sơ sài Tính tốn nhầm 5 Tìm trình bày lời giải nào? Hướng Khảo sát hàm số f (x) = (2x + 3x )1/x với x > chứng minh hàm số giảm Để ln(2x + 3x ) chứng minh điều này, ta xét hàm y = ln f (x) = Tính đạo hàm y ta x y = 2x [ln 2x − ln(2x + 3x )] + 3x [ln 3x − ln(2x + 3x )] < 0, (2x + 3x )x2 ln 2x < ln(2x + 3x ) ln 3x < ln(2x + 3x ) Vậy y hàm giảm suy f (x) hàm giảm, suy f (n) > f (n + 1), tức an > an+1 hay dãy (an ) giảm (đpcm) Tơi tiếp tục phân tích lời giải cho tốn (bài sau hồi làm thử thấy chưa tiến triển nhiều, đặt x = 2u, y = 2v để rút gọn bớt số tìm nghiệm u = 2, v = 1) Đầu tiên vẽ hình Tơi xét trường hợp A nằm cung lớn BC lệch phía C Tơi đặt ∠BAC = α Gọi H trực tâm tam giác ABC Tơi vẽ hình nhớ điều sau: Về D, E, I Tam giác DAE vuông A I trung điểm cạnh huyền AH = 2R cos α không đổi Tôi bắt đầu chứng minh M N, tức đường thẳng (d) qua H vng góc với AI qua điểm cố định Lý luận đối xứng cho thấy điểm cố định phải nằm trung trực BC Vì tơi gọi X giao điểm (d) trung trực BC, muốn chứng minh X cố định Trên trung trực BC có điểm đặc biệt tâm O đường tròn ngoại tiếp Muốn chứng minh X cố định, tơi cần chứng minh OX khơng đổi Bây hình vẽ xác tơi cho phép tơi dự đốn OA vng góc AI Như thế, tơi quy tốn việc chứng minh AI vng góc với OA Với có nhiều cách giải Cách IA vng góc với OA ⇔ IA2 = IC · IB ⇔ ID2 = IB · IC (do IA = ID) Cái hệ EB DB thức Newton hàng điểm điều hòa (BCDE) (Hoặc sử dụng đẳng thức = DC EC IB − ID IB + ID (tính chất phân giác) ⇔ = ⇔ ID = IB · IC (chú ý ID = IE) – ID − IC IC + ID cách chứng minh hệ thức Newton) Cách Dùng góc: Ta có ∠AOC = 2∠B, suy ∠OAC = 90◦ − ∠B Từ ∠OAD = 90◦ − ∠B − ∠A Mặt khác ∠DAI = ∠IDA = ∠CDA = 180◦ − ∠C − ∠A Suy ∠OAD + ∠DAI = tức ∠OAD = 90◦ (đpcm) 1 90◦ − ∠B − ∠A + 180◦ − ∠C − ∠A 2 = 90◦ , Trần Nam Dũng Bây sang câu (b) Dùng góc ta thấy H trung điểm M N (cụ thể tam giác HAM, HAN cân) Mà ta lại có HA = 2R cos α không đổi, nên M N = 4R cos α Suy M N · AH diện tích tam giác khơng lớn Dấu xảy AH vng góc với M N Vì M N OA (chứng minh trên) nên điều tương đương với AH vng góc OA Điều xảy A trùng với giao điểm đường thẳng qua O song song với BC đường tròn (O) Vậy xong Với tốn này, ý đến vị trí tương đối A nên đặt α độ lớn góc chắn cung nhỏ BC Nếu lý luận dùng góc A đại lượng cos A bị bắt bẻ (khi A tù 2R cos A < 0) Trong trường hợp, tơi nói rõ xét trường hợp A nằm cung nhỏ BC lệch phía A Hình vẽ minh họa vẽ cho trường hợp Tơi tiếp tục trình bày cách tìm tòi trình bày lời giải cho VMO (Trong q trình “thi”, sau hồn tất 2, 3, thấy tiến triển nên chuyển sang 4) Bài yêu cầu chứng minh phương trình x2 + 15y = 4n có n nghiệm tự nhiên Với n = 1, ta tìm nghiệm (2, 0), với n = 2, có hai nghiệm (4, 0) (1, 1) Ta gọi phương trình x2 + 15y = 4n phương trình PT(n) Dễ thấy (x, y) nghiệm phương trình PT(n) (2x, 2y) nghiệm phương trình PT(n + 1) Vì vậy, ta nghĩ đến ý tưởng chứng minh quy nạp: Nếu phương trình PT(n) có n nghiệm (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), , (xn , yn ) PT(n + 1) có n nghiệm (2x1 , 2y1 ), (2x2 , 2y2 ), , (2xn , 2yn ) Như ta cần tìm thêm nghiệm PT(n + 1) Vì nghiệm xây dựng quy nạp có x, y chẵn nên cách tự nhiên, ta tìm nghiệm PT(n + 1) có x, y lẻ Bài tốn ban đầu đưa toán mới: (∗) Chứng minh với n > 1, phương trình x2 + 15y = 4n có nghiệm lẻ Bài tốn khơng tương đương với tốn ban đầu, chứng minh toán ban đầu giải lý luận quy nạp nói Vấn đề lại làm để giải toán (∗)? (Cũng ý rằng, theo đáp án, trình bày đến đây, nêu mệnh đề toán ban đầu giải xong ta chứng minh bổ đề (∗) thí sinh điểm) Cách Tôi nhớ đến đẳng thức Fibonacci: (x2 + 15y )(a2 + 15b2 ) = (xa + 15yb)2 + 15(xb − ya)2 = (xa − 15yb)2 + 15(xb + ya)2 Từ chọn a = b = ta có mệnh đề sau: Nếu (x, y) nghiệm PT(n) (x + 15y, |x − y|), (|x − 15y|, |x + y|) nghiệm tự nhiên PT(n + 2) Mệnh đề có hai điểm yếu: n → n + 7 Tìm trình bày lời giải nào? Do x, y ln tính chẵn lẻ nên nghiệm sinh cách chẵn → Không giải vấn đề Phải làm bây giờ? Suy nghĩ chút, ta thấy hai điểm yếu hợp lại thành điểm mạnh Do x, y tính chẵn lẻ nên ta chọn a = b = ta được: Nếu (x, y) x + 15y x − y x − 15y x + y , , nghiệm tự nhiên nghiệm PT(n) , 2 2 PT(n + 1) Như vấn đề giải Chỉ vấn đề Tức liệu nghiệm sinh cách nghiệm lẻ hay không? x+y x−y x+y x−y + = x lẻ nên hai số có số 2 2 lẻ (và số chẵn), hai nghiệm nói có nghiệm lẻ (Nếu (x, y) nghiệm x, y tính chẵn lẻ, ta nói có nghiệm lẻ tức x y lẻ) Ta nhận thấy Bây ta hình dung lại tồn lời giải để trình bày lại cho gọn gàng, súc tích Cách Cách dành cho bạn khơng biết không nhớ đẳng thức Fibonacci Biết phải tốn thời gian Bằng phương pháp thử sai, ta tìm cặp nghiệm (x, y) lẻ ứng với n = 2, 3, 4, 5, 6, sau (1, 1), (7, 1), (11, 3), (17, 7), (61, 5), Ở cần cơng sức lao động óc nhận xét chút Công sức lao động bỏ để tính nghiệm Bây cần óc nhận xét Để ý chút ta thấy nghiệm y ứng với n = 3, 4, 5, tính từ nghiệm (x, y) phương trình trước theo công thức sau: 1= 1+1 , 3= 7−1 , 7= 11 + , 5= 17 − Ô, thật thú vị! Ta thử kiểm tra với số tiếp theo, lần kiểm tra xuôi Ta 61 + = 33 Thậy kiểm tra phương trình x2 + 15y = 47 có nghiệm y = 2 − 15 · 33 = 49 = ta có nghiệm (7, 33) Sau dự đoán nghiệm yn+1 = xn ± yn , ta tính x2n+1 = 4n+1 = 4(x2n + 15yn2 ) − 15 xn ± yn 2 = xn ∓ 15yn 2 Từ dẫn đến lời giải tương tự Tóm lại này: Có thể dễ dàng lấy điểm trình bày sáng sủa ý đầu Nếu nhớ đẳng thức Fibonacci tìm lời giải hồn chỉnh nhanh Nếu khơng, thời gian có óc nhật xét tốt, kiên trì tính tốn làm 8 Trần Nam Dũng Tơi tiếp tục phân tích đường đến cách giải cho post Tuy nhiên, nói tốn biết lời giải khó dễ bị đánh giá “đã biết lời giải nói chẳng được” Và để tạo hứng thú cho bạn, post lên đề thi USAMO vừa qua để giải phân tích Đề thi USAMO 2010 Ngày thi thứ 27/4/2010 Thời gian làm 4:30 Bài Cho AXY ZB ngũ giác lồi nội tiếp nửa đường tròn đường kính AB Gọi P, Q, R, S chân đường vng góc hạ từ Y xuống AX, BX, AZ, BZ tương ứng Chứng minh góc nhọn hợp P Q RS nửa ∠XOZ O trung điểm AB Bài Có n học sinh xếp thành hàng dọc Các học sinh có chiều cao h1 < h2 < · · · < hn Nếu học sinh có chiều cao hk đứng sau học sinh có chiều cao hk−2 thấp cho phép hai học sinh đổi chỗ Chứng minh thực nhiều Cn3 phép đổi chỗ thực phép đổi chỗ Bài Cho 2010 số dương a1 , a2 , , a2010 thỏa mãn điều kiện aj ≤ i + j với số i = j Hãy tìm giá trị lớn a1 a2 · · · a2010 Ngày thi thứ 28/4/2010 Thời gian làm 4:30 Bài Cho tam giác ABC có ∠A = 90◦ Các điểm D E nằm cạnh AC AB tương ứng cho ∠ADB = ∠DBC Các đoạn BD CE cắt I Hỏi xảy tình đoạn AB, BC, BI, CI, DI, EI có độ dài nguyên? Bài Cho q = 3p − p số nguyên tố lẻ đặt Sq = Chứng minh 1 + + ··· + 2·3·4 5·6·7 q(q + 1)(q + 2) m − 2Sq = với m, n nguyên m − n chia hết cho p p n Bài Trên bảng có 68 cặp số nguyên khác Giả sử với số nguyên dương k, nhiều hai cặp (k, k) (−k, k) có bảng Một học sinh xóa số số 136 số với điều kiện khơng có hai số xóa có tổng Với cặp số có số bị xóa, học sinh điểm Hãy tìm số điểm N lớn mà học sinh có bất chấp 68 cặp số bảng cặp số Sau tập dành cho bạn: Hãy lập chiến thuật làm cho ngày Hãy cố gắng giải trình bày đầy đủ mà bạn có lời giải hoành chỉnh Hãy thử kiếm điểm tốn khác 9 Tìm trình bày lời giải nào? Chú ý, thời gian làm ngày 30 phút Tôi bắt đầu phân tích chiến thuật tìm lời giải cho ngày USAMO Bài rõ ràng dễ Dù sở trường hình cảm thấy Chứng minh góc với đống góc vng dùng tứ giác nội tiếp Trong hai thấy dễ chịu Ít đề rõ ràng Vì tơi làm trước Như chiến thuật – – Bây tơi bắt tay vào tìm lời giải Đầu tiên tơi vẽ hình to, rõ, đẹp Để không đưa trường hợp đặc biệt, chọn X, Y, Z không đối xứng Nối P Q, RS cắt I, thấy I nằm AB Y I vng góc AB Lạ ghê! Nhưng nhìn kỹ lại cấu hình thấy điều hiển nhiên I hình chiếu I lên AB P, Q, I đường thẳng Simson tam giác ABX S, R, I đường thẳng Simson tam giác ABZ Vậy ngon lành q gì! Nhìn kỹ chút ta có ngay: Trong tứ giác nội tiếp Y P AI ∠Y IP = ∠Y AP = sđ(XY ) Tương tự tứ giác nội tiếp Y SBI ta có ∠Y IS = ∠Y BS = phải chứng minh sđ(Y Z) Cộng lại ta có điều Phù, có 15 phút để tìm lời giải Cộng thêm 15 phút để trình bày cho ngon lành Vậy tiết kiệm cho lại Bạn LTL có nhận xét bổ sung cho toán sau: Bài tổng quát: Cho năm điểm A, X, Y, Z, B ∈ (O) Chứng minh góc tạo hai đường thẳng Simson Y ứng với hai tam giác AXB AZB nửa cung XZ Lời giải sử dụng tính chất sau: Từ Y kẻ đường vng góc với AB cắt (O) lần hai T XT song song với đường thẳng Simson Y ứng với tam giác ABC Quay trở lại với VMO 2010 Sau hoàn tất lời giải ba 2, 3, 4, tơi 15 phút dành cho Với 5, ghi ý sau: Nếu n = có cách tơ (hiển nhiên q, khơng điểm) Có n9 cách tơ màu cho Ta phải tìm cách loại cách tô màu bị đếm trùng Ta nhận xét rằng, qua phép quay khơng thay đổi, đáp số cần tìm n nhân với số cách tô ô chung quanh, khơng có cách tơ thu từ phép quay Đến hết Tơi chấp nhận làm ba hoàn toàn viết số ý Dù không hồn tồn ý tơi tự tin giải, lời giải tơi chặt chẽ Kết 13 điểm (bị trừ 0.5 điểm hình 0.5 điểm 5), đủ điểm tham dự vòng Ra ngồi phòng thi, tơi tiếc khơng làm 1, mà ý giải hóa đơn giản Nhưng tơi mừng khơng sa lầy vào cuối 10 Trần Nam Dũng giải để thay (dù khó điểm) Bài tơi giải sau Tuy nhiên, lời giải hai không đưa vào phần phân tích mà đính kèm đáp án đề nghị để người tham khảo (Xem phụ lục 2) Lúc ý kiến góp ý USAMO đưa bạn truongln: Ngay tiếp cận đề thi USAMO thấy giá trị max số lần đổi tính theo n hàm bậc 2, hàm bậc Theo cảm tính, gọi f (n) số lần đổi max cho n người Xét n + người Ta thấy số lần đổi người → n không f (n) người n + đổi với n − người n người lại trừ người n, từ dễ thấy f (n + 1) ≤ f (n) + n − Truy hồi f (n) có cận hàm bậc Như vậy, đề tốn sai Lên mạng tìm đề USAMO thấy There are n students is standing in a circle, one behind the other Thầy Nam Dũng đính lại đề cho anh em suy nghĩ tiếp Tơi trả lời: Ah, có người phát đề sai Tơi cố tình dịch sai Cảm ơn truongln thông báo Rõ ràng xếp hàng dọc tốn dễ nhiều (chứ khơng phải sai) số phép chuyển nhỏ (n − 2) + (n − 3) + · · · + = (n − 2)(n − 1) ≤ Cn3 Cần đọc lại đề sau: Có n học sinh đứng vòng tròn, người xếp sau người Các học sinh có chiều cao h1 < h2 < · · · < hn Nếu học sinh có chiều cao hk đứng sau học sinh có chiều cao hk−2 thấp cho phép hai học sinh đổi chỗ Chứng minh thực nhiều Cn3 phép chuyển thực phép chuyển Bây quay trở lại với ngày thứ USAMO Như trình bày trên, sau hồn tất cách gọn gàng (tôi tự thấy bất ngờ tơi vốn hình học) tơi chọn làm tiếp bất đẳng thức sở trường tơi Với có cố mà muốn kể để minh họa cho ý thứ ba lời khuyên Số đọc đề (bản tiếng Anh), không để ý đến chữ distinct hiểu đề sau: Cho a1 , a2 , , a2010 số dương thỏa mãn điều kiện aj ≤ i + j (∗) với số i, j Tìm giá trị lớn a1 a2 · · · a2010 √ Tôi viết bất đẳng thức ra, trường hợp i = j cho a2i ≤ 2i, hay ≤ 2i Từ suy √ √ √ √ a1 a2 · · · a2010 ≤ · · 4020 = 22010 · 2010! √ Dấu xảy = 2i Vấn đề số có thỏa mãn điều kiện (∗) hay không? √ √ Thay giá trị vào (∗), thấy để kiểm tra (∗), ta cần chứng minh: 2i 2j ≤ i+j Nhưng điều hiển nhiên theo AM-GM Ura! Bài số giải xong! Chỉ có 10 phút! Mình thiên tài! Tuy nhiên, sau đôi phút bay bổng, bắt đầu tỉnh trí lại Khơng lẽ số đề thi làm 30 phút mà làm vòng 10 phút Chắc có vấn đề Tơi đọc lại đề phát chữ distinct Hey, lời giải sụp đổ May mà phát sớm 11 Tìm trình bày lời giải nào? Nhưng thất bại tơi hóa lại giúp ích cho tơi việc tìm kiếm lời giải cho n(n − 1) tốn mà tơi trình bày post sau Tôi phát điều là: hệ gồm bất phương trình có số bất phương trình quan trọng, số lại hệ bất phương trình mà ta chọn Tơi trình bày đường tới lời giải seminar Còn bây giờ, bạn thử tự suy nghĩ cho xem sao? Đến lúc bạn truongln tìm lời giải cho USAMO: Tiếp tục với USAMO Đầu tiên sửa đề toán lại xét đường tròn Bây ta phải đếm số lần đổi chỗ lớn Ta thấy hành động đổi chỗ liên quan đến hai người đứng kề nhau, để đếm số lần đổi chỗ ta đếm theo hai cách: • Cách đếm số lần đổi người, cộng tất lại, sau chia đơi • Cách xem lần đổi chỗ hành động hai người, ta phải đếm người có hành động cộng lại Hai cách cảm tính đọc đề, làm thử hiển nhiên thấy cách đếm thứ hai đơn giản hiệu Dựa vào ta xem lần đổi chỗ hành động người đứng trước người đứng sau, người đứng trước nhảy sau lưng người đứng sau người đứng sau nhảy trước mặt người đứng trước Nói chung muốn tiến lên, chọn cách là: “xem lần đổi chỗ người đứng sau nhảy lên trước mặt người đứng trước, người đứng trước khơng thực hành động gì!” Ý tưởng nghĩ đến quy nạp Bây phải nghĩ xem quy nạp Mất khoảng 30 phút suy nghĩ quy nạp theo n Cuối mù tịt, không rút kết Cái khó đứng vòng tròn, nên khó để tìm đánh giá khác n + người n người Sau định thử xem có cố định hai đỉnh kề đó, cách đưa đường thẳng khơng, vơ phương Tóm lại gần tiếng vơ phương (ở phòng thi hoảng rồi) Từ bỏ quy nạp theo n Bây thấy người k nhảy qua người k − 2, k − 3, k − 4, , k lớn khả số lần nhảy người lớn Vậy thử quy nạp theo k (người thứ k) Bây giờ, gọi số lần nhảy người k nk Theo ý tưởng quy nạp ta đánh giá nk theo nk−1 , nk−2 , Trong người này, có người k − người k nhảy qua Như người k nhảy qua người đứng trước người k đứng sau người k − 1, nhảy qua tiếp người mà người k − nhảy qua để lại phía sau Ban đầu người k người k − có k − người người k có khả nhảy qua 1, 2, , k − 2, số người người k − nhảy qua để lại phía sau để người k nhảy qua tiếp sk−1 (theo định nghĩa) Như vậy, người k nhảy nhiều sk−1 + k − lần (phù, cuối tìm cơng thức truy hồi) Rõ ràng người 1, không nhảy qua Suy s1 = s2 = Từ suy sk ≤ (k − 2)(k − 1) 12 Trần Nam Dũng với k ≥ Từ suy n n sk ≤ k=1 k=3 (k − 1)(k − 2) n(n + 1)(2n + 1) − 12 − 22 − n(n − 1)(n − 2) = Cn3 (đpcm) = = n(n + 1) − − + 2(n − 2) Ở ý biến đổi cuối làm gọn n k=3 (k − 1)(k − 2) = n k=1 (k − 1)(k − 2) = n [k(k − 1)(k − 2) − (k − 1)(k − 2)(k − 3)] k=1 n(n − 1)(n − 2) = Bạn huynhcongbang đóng góp ý kiến kiến giải cho việc tìm tòi lời giải đề thi VMO 2010: “Thoạt nhìn, em nghĩ hệ có hệ số tồn số ngun hết nên khơng q rắc rối Theo kinh nghiệm thân phương trình, hệ phương trình đề thi học sinh giỏi thường sử dụng bất đẳng thức để giải, sử dụng đạo hàm khảo sát hàm số biến đổi đại số để tìm nghiệm Nhìn vào đề tốn em khơng thấy có hướng để theo đường bất đẳng thức đề năm trước hết, khó rút hàm số cả, có lẽ phải biến đổi đại số thơi Nhưng muốn biến đổi đại số chắn phải nhẩm nghiệm đã, điều tự nhiên, mò mẫn đến lời giải phải biết tìm Nếu biến đổi mà biết nghiệm trước khỏe nhiều Với phương trình kiểu nhẩm nghiệm nguyên hết sức, khơng nghiệm ngun mệt Em bắt đầu thử với phương trình đầu (tất nhiên rồi, có số hạng chứa biến, dù bậc cao tính khỏe so với số hạng phương trình thứ sau nhiều) Việc nhẩm khơng q khó khăn thơng thường, em dám thử với số nhỏ nhỏ 1, 2, 3, 4, thơi chút tính tốn thấy x = 4, y = phù hợp Cũng mừng chút với phương trình Hy vọng chúng phương trình sau thỏa ln! Thay giá trị vào cách cẩn thận vào tính, may mắn thay, hai vế phương trình 48 Vậy cặp (x, y) = (4, 2) nghiệm Đến dù an tâm chút tự tin giải phương trình Nhưng đến tiếp tục khơng dễ! Cũng theo kinh nghiệm giải phương trình tương tự loại này, em thử đặt ẩn phụ thêm coi sao: a = x − 4, b = y − thay vô hai phương trình để thử xem có phương trình tích khơng đó, chắn hệ nhận phải có nghiệm a = b = Hào hứng biến đổi, khai triển đẳng thức bậc 2, 3, khoảng 10 phút, khử số 240, hết số hạng tự khơng thấy tiến triển Hai biến a, b chẳng có liên hệ với cả, số hạng chứa a b thơi, khơng có mà a, b chung hết mà phân tích thành nhân tử để có phương trình tích Có lẽ cách khơng khả quan lắm! 13 Tìm trình bày lời giải nào? Đến em phát biến x, y ban đầu vậy, khơng có liên hệ nhiều lắm, dường chúng xuất phát từ hai biểu thức rời Em thử biến đổi phương trình hai, chuyển số hạng chứa x bên, số hạng chứa y bên để xem có phát khơng Thực ý ban đầu có nghĩ thấy có nghiệm đẹp nên muốn thử cách đặt ẩn phụ, ngờ khơng thành cơng, thơi quay lại thử xem Em có đẳng thức khác, chưa tiến triển sáng sủa chút x3 − 3x2 + 4x = 2(y − 16y + 16y) Đến đây, điều nghi ngờ rõ rõ rồi, có số hạng x, y số hạng hẳng đẳng thức không Các số hạng hai vế phương trình giống giống với hệ số khai triển lũy thừa với số a, b em làm hồi nãy, chút khác biệt bị đặt nhân tử chung bỏ Do khai triển đẳng thức với a, b lần nên em không ngại làm thêm lần nữa, công sức bỏ tiếc thật, thử hướng coi Do hai vế phương trình có số âm, số dương nên phải chọn hiệu x với số mà tính, thử số đi, trước sau x thơi! (Thực chọn biểu thức kiểu để đánh giá (x − 4)4 tự nhiên dễ thấy nhất) Em tính (x − 4)4 = x4 − 16x3 + 96x2 − 256x + 256 À, tới có khả quan lắm, nhóm cần nhóm lại thử xem! (x − 4)4 = x4 + 256 − 16(x3 − 6x2 + 16x) Còn với y nhỉ, xét thêm hiệu nữa, x trừ cho y trừ thơi, y trước sau mà Biến đổi trên, khoảng phút sau, em có (y − 2)4 = y − 8y + 24y − 32y + 16 = y + 16 − 8(y − 3y + 4y) Dừng lại chút nghỉ mệt để ngắm lại hai biểu thức vừa tính Chợt em phát hệ số x, y dấu ngoặc giống với hệ số phương trình hai Hoàn toàn y hệt mà khoan, chúng bị đổi chỗ rồi, phải mà cho x3 − 6x2 + 16x = y − 3y + 4y tốt Đang lúng túng suy nghĩ cách khắc phục nghĩ ra, thay đổi đề đổi biểu thức đi, rồi! Đúng rồi! Phải đổi biểu thức, thay tính (x − 4)4 , ta tính (x − 2)4 xem sao; với y ln, phải tính (y − 4)4 Lại lần biến đổi, thực thay chữ x y, y x hai biểu thức Viết hai biểu thức liền nhau, em nhận điều thú vị (x − 2)4 = x4 + 16 − 8(x3 − 3x2 + 4x), (y − 4)4 = y + 256 − 16(y − 6y + 16y) Cả vế hai phương trình cho gần xuất đầy đủ cả, có điều vế nằm 16 phương trình thơi Đã có hệ số x, y giống đề cho rồi, có thêm = nữa, q hay! Như trừ vế biểu thức phức tạp rồi, trừ (x − 2)4 − (y − 4)4 = (x4 + 16) − (y + 256) Một lần nữa, tuyệt vời! Bên vế phải quen quen, phải rồi, phương trình ban đầu, Như (x − 2)4 − (y − 4)4 = 0, (x − 2)4 = (y − 4)4 Đến đây, em thấy đích đến khơng xa rồi, bỏ bậc 4, khơng qn dấu ±, em có liền hai quan hệ x, y đẹp: x − = y − ⇔ x = y − 2, x − = − y ⇔ x = − y 14 Trần Nam Dũng Xong rồi, chút Ra quan hệ sử dụng phương pháp hay Mà vào phương trình hai tốt hơn, phương trình bậc chắc, có nghiệm biết phương trình bậc hai lại giải nhanh gọn thơi Nghiệm lấy hết, đâu có điều kiện đâu Tính tốn thêm khoảng phút nữa, em tìm thêm nghiệm đẹp không (x, y) = (−4, −2) Bắt tay vào việc trình bày lời giải thơi Các suy luận kéo dài từ 10 – 30 phút nên theo em nghĩ cách tự nhiên kết thúc số khoảng từ 20 – 40 phút hợp lí! Dưới lời giải em, có vài bước chưa tự nhiên rõ ràng trình suy nghĩ hoàn toàn tự nhiên! Từ hệ phương trình cho suy x4 + 16 = y + 256 x3 − 3x2 + 4x = 2(y − 6y + 16y) (∗) Ta có (x − 2)4 = x4 + 16 − 8(x3 − 3x2 + 4x), (y − 4)4 = y + 256 − 16(y − 6y + 16y) Trừ vế hai đẳng thức này, kết hợp với (∗), ta được: (x − 2)4 − (y − 4)4 = (x4 + 16) − (y + 256) − 8[(x3 − 3x2 + 4y) − 2(y − 6y + 16y)] = 0, suy (x − 2)4 = (y − 4)4 , hay x − = y − ⇔ x = y − ∨ x − = − y ⇔ x = − y Xét trường hợp • Nếu x = y − 2, thay vào phương trình thứ hai hệ (∗) biến đổi, ta y − 3y + 4y + 28 = ⇔ (y + 2)(y − 5y + 14) = ⇔ y + = ⇔ y = −2 (do y − 5y + 14 > 0, ∀y) Suy x = −2 − = −4 • Nếu x = − y, thay vào phương trình thứ hai hệ (∗) biến đổi, ta 3y − 27y + 108y − 132 = ⇔ (y − 2)(y − 7y + 22) = ⇔ y − = ⇔ y = (do y − 7y + 22 > 0, ∀y) Suy x = − = Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm (x, y) = (−4, −2), (4, 2).” Bây tơi phân tích đường đến lời giải USAMO Nhắc lại đề là: Cho a1 , a2 , , a2010 số dương thỏa mãn điều kiện aj ≤ i + j với số i = j Tìm giá trị lớn a1 a2 · · · a2010 Con số 2010 rõ ràng nhân tạo Vì tơi nghĩ đến việc tổng qt hóa tốn thay 2010 n xét trường hợp n nhỏ để tìm quy luật (looking for pattern) Với n = 2, toán hiển nhiên có điều kiện a1 a2 ≤ dĩ nhiên giá trị lớn a1 a2 15 Tìm trình bày lời giải nào? Với n = 3, tốn tầm thường √ từ a1 a2 ≤ 4, a2 a3 ≤ ta suy a1 a2 a3 ≤ √3, a1 a3 ≤ √ 60 60 60 Dấu xảy a1 = , a2 = , a3 = √ 60 Với n = 4, vấn đề trở nên khó khăn có đến điều kiện: a1 a2 ≤ 3, a1 a3 ≤ 4, a1 a4 ≤ 5, a2 a3 ≤ 5, a2 a4 ≤ 6, a3 a4 ≤ Việc nhân bất đẳng thức lại vế theo vế trường hợp n = để tìm GTLN rõ ràng khơng ổn rõ ràng bất đẳng thức (a1 a3 )(a2 a4 ) ≤ · = 24 bất đẳng thức (a1 a4 )(a2 a3 ) ≤ · = 25 hệ bất đẳng thức (a1 a2 )(a3 a4 ) ≤ · = 21 (∗) Một cách tự nhiên, ta nghĩ 21 giá trị lớn a1 a2 a3 a4 Vấn đề tìm a1 , a2 , a3 , a4 thỏa mãn điều kiện a1 a2 = 3, a3 a4 = thỏa mãn bất đẳng thức a1 a3 ≤ 4, a1 a4 ≤ 5, a2 a3 ≤ 5, a2 a4 ≤ Theo lý luận (∗), chọn cho a2 a3 = 5, a2 a4 = bất đẳng thức a1 a3 ≤ a1 a4 ≤ hiển nhiên Như ta có 5·6 5·7 6·7 thể chọn a2 = tất yêu cầu , a3 = , a4 = , a1 = 5·6 thỏa mãn Trực quan cho thấy trường hợp n = trường hợp “chốt” tốn Một cách tự nhiên ta nghĩ n = 2k đáp số tốn đến từ đánh giá a1 a2 a3 a4 · · · a2k−1 a2k = (a1 a2 )(a3 a4 ) · · · (a2k−1 a2k ) ≤ · · (4k − 1) Vấn đề phải tìm số dương a1 , a2 , a3 , a4 , , a2k−1 , a2k thỏa mãn điều kiện a1 a2 = 3, a3 a4 = 7, ., a2k−1 a2k = 4k − 1.(∗∗) đồng thời thỏa mãn hệ điều kiện aj ≤ i + j với số i = j (∗ ∗ ∗) Ta xem, hệ thức (∗∗), hệ thức chọn? Đương nhiên, ứng cử viên a2 a3 = 5, , a2k−2 a2k−1 = 4k − Lúc hồn toàn xác định biết a1 Đặt a1 = x ta tính a2i = · · · · (4i − 1) · · · · (4i + 1) , a2i+1 = x · · · (4i − 3)x · · · (4i − 1) Bây ta cần chọn x cho (∗∗) Dựa theo ý tưởng bất đẳng thức (∗), ta có j − i > aj = (ai ai+1 )(ai+2 aj ) 2i + = ai+2 aj ai+1 ai+2 2i + Cho nên, (∗∗) với i + 2, jthì ta có aj ≤ 2i + (i + j + 2) < i + j 2i + Vì (∗∗) trở thành đẳng thức j = i + nên ta cần chọn x cho (∗∗) với j = i + 2, tức a2i a2i+2 ≤ 4i + 2, a2i−1 a2i+1 ≤ 4i, 16 Trần Nam Dũng · · · · (4i − 1) · · · · (4i + 3) · · · · (4i − 3) · · · · (4i + 1) · ≤ 4i + 2, x x ≤ 4i + · · · (4i − 3)x · · · (4i + 1)x · · · (4i − 5) · · · (4i − 1) Từ suy · · · · (4i − 1) · · · · (4i + 3) · · = ui ∀i = 1, 2, , k − 1, · · · (4i − 3) · · · (4i + 1) 4i + · · · 4i − · · · 4i − x2 ≤ (4i + 3) · = vi ∀i = 2, , k − · · · · 4i − · · · · 4i + x2 ≥ Vấn đề cuối cần chứng minh tồn x thỏa mãn đồng thời bất đẳng thức Xét (4i + 3)(4i + 7)(4i + 2) ui+1 = > 1, suy ui dãy số tăng ui (4i + 1)(4i + 5)(4i + 4) Tương tự vi+1 (4i + 5)(4i − 1)(4i + 3) = < nên vi dãy số giảm vi (4i + 3)(4i + 1)(4i + 5) Vì vậy, để chứng minh tồn x, ta cần chứng minh ui < vi Điều tương đương với (4i − 1)(4i + 3) < 4i + 3, 4i + hiển nhiên Bài toán giải Chú ý, lời giải cho trường hợp n = gợi ý cho ta đến hướng giải khác, thay tìm x1 , ta cho x2k−2 x2k = 4k − 2, từ tính x2k−2 , x2k−1 , x2k sau tất xi với i < 2k − Cuối ta chứng minh xi chọn thỏa mãn (∗∗) cách quy nạp lùi theo i + j Đây cách giải đáp án USAMO (xem phụ lục 3) Đến đây, ta tạm dừng phần phân tích cách tìm tòi lời giải cho số toán đưa số lời khuyên nhà sư phạm Loren Larson “Problem – Solving Through Prolems” liệt kê phương pháp tiếp cận heuristic sau: Tìm kiếm quy luật Vẽ hình Phát biểu toán tương đương Thay đổi đề tốn Chọn ký hiệu thích hợp Khai thác tính đối xứng Chia trường hợp Lý luận quay lui Lý luận phản chứng Tìm trình bày lời giải nào? 17 10 Xét tính chẵn lẻ 11 Xét trường hợp cực hạn 12 Tổng quát hóa Naoki Sato, huấn luyện viên tiếng cho đội tuyển, sách “Problems Solving & Contests Seminar” bổ sung thêm: 13 Đọc hiểu rõ đề toán 14 Xem xét liệu toán xem xem liệu có ý nghĩa ý nghĩa nào? 15 Nhớ lại nguyên lý bản: Quy nạp, nguyên lý Dirichlet, thuật toán chia, 16 Ln nhớ u cầu tốn 17 Biết cách chứng minh định lý mà bạn biết, ví dụ tổng n số nguyên dương đầu tiên, chứng minh định lý Pythaore phương pháp ghép hình, Và việc viết lời giải 18 Tiên đề tính giải được: Mọi tốn có lời giải (đẹp) Tiên đề khả năng: Tơi khơng dốt Hệ quả: Tơi giải tốn Erdos thường nói Chúa trời có sách có giải ngắn gọn (hay đẹp đẽ nhất) cho toán 19 Hãy kiếm điểm phần Và cuối 20 Hãy tự sáng tác đề tốn Và, bạn muốn trở thành ngơi tốn Có nhiều cách để nâng cao kỹ giải tốn bạn Điều phụ thuộc vào bạn Tôi (Naoki Sato) đề xuất lời khuyên sau: Hãy viết lại tất kỳ thi mà bạn biết, kể thi, kỳ Olympic, Bạn biết nhiều dạng toán, phải tốn nhiều thời gian Kinh nghiệm phát huy tác dụng Rèn luyện kỹ trình bày lời giải tốt Một lời giải, cho dù xuất sắc không điểm tối đa trình bày Hãy nhớ quy tắc 3C: Clear, concise and correct (Rõ ràng, ngắn gọn xác) Một cách tốt tham gia giải toán báo THTT thi mạng Đọc sách Thực sách tốt Nhưng bạn có thời gian nên cần chọn sách tốt Hãy bắt đầu lập tuyển chọn toán, xếp theo chủ đề, ghi danh sách công thức quan trọng Điều giúp bạn cá nhân hóa tài liệu 18 Trần Nam Dũng Thảo luận với người khác, người làm toán bạn: thầy cô, bạn bè, người mạng, Trao đổi ý tưởng với người khác việc làm bổ ích Cuối cùng, chúng tơi đề nghị bạn làm số tập sau Trình bày lời giải ngày USAMO Đưa chiến thuật cho ngày thứ hai USAMO tìm cách kiếm điểm tối đa theo khả bạn (bạn có 30 phút) Bạn thử sức với đề tốn sau (USAMTS, vòng 4, năm học 2009 – 2010 – Cuộc thi tìm kiếm tài tốn học Mỹ – www.usamts.org) – Khơng hạn chế thời gian Đây đề toán hay Bài Archimedes định tính tất số nguyên tố từ đến 1000 sử dụng sàng Erastothenes sau: (a) Viết tất số từ đến 1000 (b) Khoanh tròn số nhỏ danh sách gọi số p (c) Xóa tất bội số p danh sách, ngoại trừ p (d) Gọi p số nhỏ lại khơng bị khoanh tròn khơng bị xóa Khoanh tròn p (e) Lặp lại bước (c) (d) khơng số khơng bị khoanh tròn khơng bị xóa Khi kết thúc q trình số khoanh tròn số ngun tố, số bị xóa hợp số Đáng tiếc xóa bội số (ngoại trừ 2), Archimedes xóa nhầm thêm hai số ngun tố lẻ Còn lại ơng làm theo thuật toán nêu Nếu số số khoanh tròn Archimedes kết thúc với số số nguyên tố từ đến 1000 số ngun tố lớn mà Archimedes xóa nhầm bao nhiêu? Bài Cho a, b, c, d bốn số dương cho a + b + c + d = 8, ab + ac + ad + bc + bd + cd = 12 Tìm giá trị lớn d Bài Tôi đưa cho bạn đánh số từ đến n Mỗi lần thực hiện, bạn lấy quân đặt vào chỗ tùy ý Bạn cần xếp theo thứ tự, quân mang số quân mang số n Nếu đưa cho bạn với thứ tự ngẫu nhiên bạn biết thứ tự giá trị kỳ vọng số nhỏ lần thực để bạn hoàn tất việc xếp bao nhiêu? Bài Cho S tập hợp gồm 10 số thực dương đôi khác Chứng minh tồn x, y thuộc S cho (1 + x)(1 + y) 0