Tuyển tập một số bài toán sơ cấp chọn lọc

Tuyển tập số vấn đề chọn lọc www.diendantoanhoc.net 05 - 08 - 2006 Lời nói đầu Cuốn sách nhỏ "Tuyển tập số toán sơ cấp chọn lọc www.diendantoanhoc.net" quà đặc biệt mà BTC kỳ thi VMEO II dành tặng cho bạn thành viên tham gia đoạt giải Đây quà mùa hè mà Nhóm Quản Lý muốn dành tặng cho tất bạn học sinh chuyên tốn nói riêng bạn u thích tốn sơ cấp nói chung Trong sách chúng tơi giới thiệu với bạn 250 toán thuộc chủ đề lớn tốn phổ thơng bao gồm Số Học, Tổ Hợp, Hình Học, Giải Tích Đại Số Kèm theo đề toán khoảng 20 viết chuyên đề nhỏ xoay quanh toán Số Học, Tổ Hợp Trong viết cố gắng thể đầy đủ thảo luận bạn diễn đàn tốn Một số viết chưa post lên diễn đàn mà trao đổi riêng thành viên giới thiệu tài liệu Chúng vui mừng biết rằng, trao đổi riêng phổ biến bạn thành viên Đây thực mong muốn lớn người điều hành diễn đàn Số Học Tổ Hợp chủ đề thú vị đẹp đẽ toán sơ cấp Tuy nhiên để viết tài liệu hai chủ đề điều không dễ Đối với Số Học lựa chọn nhiều chủ để nhỏ dựa khung tốn có diễn đàn, kiến thức Số Học đưa vào viết nhỏ, bạn đọc qua viết tìm hiểu kỹ lý thuyết số sơ cấp sách chuyên khảo hơn, giới thiệu hai sách: An introduction to the theory of number G.H.Hardy & E.M.Wright Elementary theory of number Sierpinsky Bản điện tử hai sách giới thiệu diễn đàn Về Tổ Hợp, chủ trương lựa chọn chủ đề cách tương đối rời rạc, cho không nên khiến bạn phải tiếp thu kiến thức tổ hợp cách giáo khoa Đối với tốn tổ hợp chúng tơi cho vẻ đẹp tốn có ý nghĩa cao tới việc nhận thức người Do chúng tơi cố gắng lựa chọn tốn tổ hợp đẹp đẽ để kích thích tính tìm tòi bạn đọc Hai sách sơ cấp tổ hợp không nên bỏ qua 102 combinatorial problem Titu Andrecscu & Zuming Feng Extrenal combinatorics Stasys Jukna Tất nhiên chủ đề Hình Học, Giải Tích Đại Số thú vị, nội dung ấn phẩm diễn đàn Và ấn phẩm diễn đàn chủ yếu xây dựng dựa thảo luận bạn nên hi vọng thời gian tới có nhiều chủ đề thú vị chất lượng ngày cao Cuốn sách nhỏ đời dựa cộng tác nhiều bạn thành viên Đó bạn K09, TuanTS, lehoan, NDTPX, clmt, anhminh, neverstop, bk2004, chuyentoan, camum, hungkhtn lovepearl_maytrang Bạn camum lựa chọn hầu hết tốn giải tích, mục tổ hợp lehoan tuyển chọn với cộng tác NDTPX, tốn hình học MrMATH soạn với giúp đỡ nhiệt tình bk2004, chuyentoan nhận nhiều ý kiến bạn neverstop Cuối toán số học lựa chọn K09 lehoan, sau TuanTS MrMATH có nhiều thảo luận để hồn thiện thảo Trong q trình tuyển chọn chúng tơi nhận có nhiều tốn sáng tạo bạn thành viên Trong thời gian tới mong điều phát huy Cuốn sách soạn phần mềm PCTEX version 5.0, gói vntex giới thiệu bạn tamnd File cài đặt chương trình gói lệnh bạn dowload mạng khơng q khó khăn Nếu có thắc mắc việc sử dụng TEX bạn giải tham khảo sách tác giả Nguyễn Hữu Điển (sách cho Viện Tốn Học ấn hành), ngồi bạn tham gia diễn đàn TEX www.viettug.com trao đổi với thành viên có kinh nghiệm soạn thảo diễn đàn Mặc dù cố gắng việc kiểm tra thảo, chúng tơi bỏ sót số lỗi Mọi ý kiến đóng góp nội dung lần hình thức xin gửi địa mail nqk_mrmath@yahoo.com Chúng xin chân thành cám ơn hứa cố gắng việc thiết kế ấn phẩm Thay mặt Ban Biên Tập a MrMATH www.diendantoanhoc.net Nguyễn Quốc Khánh SV K9 Hệ Đào Tạo CNKHTN ĐHKHTN ĐHQG Hà Nội Cộng tác viên Trong thời gian hoàn thành thảo, thực giới thiệu sách nhỏ khơng hồn tồn tất nhóm CTV làm Trên thực tế nhóm CTV hoàn thiện hầu hết đề mục cho ba nội dung Hình Học, Giải Tích Đại Số Tuy nhiên việc giới thiệu đồng thời tất chủ đề có lẽ khơng phù hợp với mục đích Bản liệt kê khơng nêu lên hết CTV công việc họ, dù tra cứu đủ dùng cho bạn đọc.Trong ấn phẩm tiếp nối sách nhỏ này, công việc CTV giới thiệu đầy đủ chi tiết a Trần Nam Dũng (namdung) GV ĐHKHTN ĐHQG TP Hồ Chí Minh: [1] a Trần Quốc Hồn (K09) SV K50 CA Đại Học Công Nghệ Hà Nội: [2], [3.6], [3.8] a Trần Mạnh Tuấn (TuanTS) SV K9 CNTN ĐHKHTN ĐHQG Hà Nội: [2], [3.2], [3.3],[3.4] a Lê Hồng Quý (lehoan) HS lớp 12 chuyên toán ĐHSP Vinh: [6], [7.2], [7.3], [7.7] a Trần Đức Anh (camum) SV năm hệ CLC ĐHSP Hà Nội: [10] Mục lục I Một số chủ đề Số Học Tổng hai bình phương 11 Các đề toán số học chọn lọc 17 Một số chủ đề số học chọn lọc 3.1 Số bập bênh 3.2 Định lý F ermat nhỏ ứng dụng đẹp 3.3 Một số tính chất hàm tổng chữ số 3.4 Hai ứng dụng phương trình P ell 3.5 Định lý phần dư Trung Hoa 3.6 Biểu diễn số 3.7 Một dạng phương trình Diophante đặc biệt 3.8 Số nguyên phức 3.8.1 Các khái niệm mở đầu 3.8.2 Thuật toán Euclid ước chung lớn hai số nguyên phức 3.8.3 Số phức nguyên tố vấn đề phân tích số nguyên phức 3.8.4 Sử dụng số nguyên phức để giải số toán 3.9 Phương trình Carmichael 3.10 Một số toán khác 23 23 26 27 30 32 34 37 40 40 41 43 44 45 47 Tổng nghịch đảo 53 II 59 Một số chủ đề Tổ Hợp Bổ 5.1 5.2 5.3 đề Sperner 61 Bao lồi 63 Bổ đề KKM 64 Chứng minh định lý điểm bất động Brower 64 Các đề toán tổ hợp chọn lọc 65 Một số chủ đề tổ hợp chọn lọc 71 7.1 Bài toán Rubik lục lăng 71 7.2 Nguyên lý bất biến nửa bất biến 73 MỤC LỤC 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.2.1 Bất biến 7.2.2 Nửa bất biến Phương pháp phân nhóm Vai trò số đặc biệt Hai tốn phủ hình vng Câu hỏi mở tính chất chùm Định lí Konig-Hall Định lý Erdos - Skerezes Một số toán khác Góc màu 8.1 Khái niệm góc màu 8.2 Mở rộng toán người 8.3 Phương pháp hàm đếm vài ứng 8.4 Mở rộng đề thi IMO 1992 III Một số toán khác dụng đường tròn 95 95 99 103 105 73 75 78 81 84 86 88 90 92 109 Hình Học 111 10 Giải Tích 117 11 Đại Số 125 Phần I Một số chủ đề Số Học Chương 10 Giải Tích Bài tốn 10.1 Xét dãy số thực {an } thoả mãn am+n ≤ an + am với số m Hỏi có an tồn lim hay khơng? n→+∞ n Bài tốn 10.2 Xét hai dãy số {un } {vn } thoả mãn:  u0 >    un+1 = un − e−1/un   u3n e1/un  = n Tìm giới hạn dãy {vn } Bài toán 10.3 Cho số tự nhiên m Với số tự nhiên n, ký hiệu an số số cách viết n hệ số m Đặt: n (m − 1)(m2 − m − 1)aj j3 S(m) = j=1 Chứng minh S(m) → m → Bài toán 10.4 Giả sử P đa thức hệ số thực có hệ số a mà minh tập {sin(f (n))|n ∈ N } trù mật [−1, 1] Bài toán 10.5 Dãy số a1, a2, , an thoả mãn với số thực δ > 1: lim a[δn] = n→∞ Chứng minh rằng: lim an = n→∞ Bài toán 10.6 Xét hai dãy số {an }, {bn} xác định bởi:   a0 = b0 = an+1 = an + bn với số tự nhiên n   bn+1 = an + 3bn 117 a ∈ / Q Chứng π 118 CHƯƠNG 10 GIẢI TÍCH Tính: an n→∞ bn lim Bài toán 10.7 Giả sử ta có đẳng thức sau với n tự nhiên tuỳ ý: √ √ √ √ √ (1 + + 3)n = pn + rn + sn + tn Trong pn , rn , sn , tn ∈ Z Tìm giới hạn sau n tiến đến vô cùng: lim rn pn lim sn pn lim tn pn Bài toán 10.8 Giả sử P đa thức hệ số nguyên bất khả quy với hệ số bậc cao P (0) ước số phương Với nghiệm phức P có modun lớn Chứng minh đa thức h(x) = f (x3 ) bất khả quy Bài tốn 10.9 Cho hàm tuần hồn f : R → R khác số liên tục điểm Chứng minh f tuần hồn có chu kì sở Bài tốn 10.10 Tính giới hạn dãy số {un } sau đây: n un = k=0 cos √ −1 n+k Bài toán 10.11 Cho dãy số {xn } với điều kiện xn+1 = x2n − ∀n ≥ Tìm giá trị x0 2xn cho |xn | ≤ ∀n Bài toán 10.12 Chứng minh { n |n, k ∈ N } trù mật (0, +∞) 10k Bài toán 10.13 Tìm điều kiện cần đủ để tập hợp điểm A = {({nα}, {nβ})|n ∈ N } trù mật hình vng đơn vị [0, 1] × [0, 1] Bài toán 10.14 Cho số thực x > thoả mãn lim xx{x}n = x ∈ Z n→∞ n xn với n ≥ Chứng minh + xn n tồn N cho với n > N ta có n ≤ xn ≤ n + Bài toán 10.15 Cho dãy số {xn } với x1 = 1, xn+1 = Bài toán 10.16 Cho < cn < ∀n Chứng minh đặt: xn = (1 − c1)(1 − c2 ) (1 − cn ) yn = (1 + c1)(1 + c2 ) (1 + cn ) tbì khẳng định sau tương đương với nhau: ∞ cn = ∞ (1) n=1 (2) xn → (3) yn → ∞ 119 Bài tốn 10.17 Tính giới hạn sau đây: lim n→+∞ π π 2π 2π 3π 3π + sin2 sin1/n + sin2 sin1/n + sin2 sin1/n 7 7 7 n Bài toán 10.18 Các số dương c1 , c2, , cm gọi thông ước với nếu: ci ∈ Q với số i, j cj i) Cho dãy tăng số thực dương {an } Với số thực Ai = với i = 1, 2, , n xét hàm số sau đây: n f (x) = Ai cos x i=1 Giả sử f (x) hàm số tuần hoàn, chứng minh số {an } thông ước ii) Với n, m ∈ N số thực Ai Bj khác với i = 1, n j = 1, m Các số dương {a1, a2, , a − n} đôi khác nhau, số dương {b1 , b2, , bm} đôi khác Xét hàm số g(x) sau đây: n g(x) = n Ai cos x + i=1 Bi cos bi x j=1 Chứng minh hàm số g(x) tuần hoàn {a1, a2, , an, b1, b2, , bm} số thơng ước với Bài tốn 10.19 Với số nguyên dương n gọi f (n) số chữ số cách viết n dạng thập phân Cho a > Chứng minh rằng: ∞ n=1 af (n) < ∞ ⇐⇒ a < 91 n2 Bài toán 10.20 Cho dãy {an } với a1 = x an+1 = a2n + y với n Tìm tất cặp số (x, y) để dãy số {an } hội tụ Bài toán 10.21 Giả sử = x0 < x1 < < xn < xn+1 = và: n+1 j=0,j=i =0 xi − xj với ≤ i ≤ n Chứng minh xi + xn+1−i = với ≤ i ≤ n + Bài toán 10.22 Xét dãy số thực dương an > với n = 1, 2, 3, Đặt Sn = a1 + a2 + + an Chứng minh với n ≥ ta có: an+1 ≤ Sn+1 (Sn − 1)an + an−1 suy ra: lim an = n→∞ 120 CHƯƠNG 10 GIẢI TÍCH xn n Bài toán 10.23 Cho < x1 < xn+1 = xn + (n ≥ 1) Chứng minh dãy có giới hạn a chứng minh rằng: lim n(a − xn ) = a2 Bài tốn 10.24 Chứng minh khơng tồn giới hạn lim (sin n)n n→∞ Bài toán 10.25 Cho ≤ r < hàm số: F (r) = lim n→∞ ± ± r ± rn−1 Chứng minh ta có đẳng thức: √ 5−1 √ = F 6− F √ = Bài toán 10.26 Cho hàm số f : R → R liên tục, tồn M > cho: |f (x + y) − f (x) − f (y)| < M với x, y ∈ R i) Chứng minh với số thực x tồn giới hạn hữu hạn: g(x) = lim n∈N,n→∞ f (nx) n ii) Chứng minh hàm số g(x) liên tục điểm x = iii) Chứng minh tồn giới hạn hữu hạn: f (x) x→0 x lim Bài toán 10.27 Chứng minh tồn hàm số liên tục toàn tập số thực R khơng khả vi điểm Bài tốn 10.28 Giả sử b ∈ Z, b > Tập hợp S ∈ Z thoả mãn : 0∈S x≡y mod b ∀x = y, x, y ∈ S ∞ Cho kn ∈ S ∀n thoả mãn kn = Chứng minh kn = với n ≥ n n=1 b Bài toán 10.29 Cho hàm số f : R → R Chứng minh mệnh đề sau: f (3x) − f (x) f (x) = =⇒ lim = x→0 x→0 x x lim f (x) = lim x→0 121 Bài toán 10.30 Cho đa thức P (x) = xn + a1xn−1 + + an ≥ ∀x Giả thiết ≥ a1 ≥ a2 ≥ an ≥ Gọi λ nghiệm phức P mà |λ| ≥ Chứng minh tồn số tự nhiên m mà λm = Bài toán 10.31 Cho dãy số thực {an } Chứng minh mệnh đề: n a2j lim an n→∞ = =⇒ lim 3n · a3n = n→∞ j=1 Bài toán 10.32 Cho hàm số f : R → R khả vi liên tục cấp Chứng minh tồn a ∈ R thoả mãn: f (a)f (a)f (a)f (a) ≥ Bài toán 10.33 Chứng minh công thức giới hạn sau tìm ý nghĩa hình học chúng:  π π2   =  lim n2 − cos n→∞ n 2 π π   = − − cos  lim n→∞ n2 n Bài toán 10.34 Cho dãy số {an } thoả mãn a0 = 0, a1 = và: an+1 = an + sin an−1 an > an−1 an + cos an−1 an ≤ an−1 Tìm giới hạn lim an n→∞ Bài toán 10.35 Với song ánh p : Z + → Z + xây dựng hàm số f : (0, 1) → R sau: f (0, a1 a2 , a3 ) = 0, ap(1)ap(2)ap(3) Hỏi với song ánh p f khả vi điểm Bài tốn 10.36 Cho số thực α > n số thực dương b1, b2, , bn Chứng minh với số thực x1, x2 , , xk ta có: n n i=1 j=1 xi − xj ≥ (bi + bj )α x3 g(x)dx biết hàm g thoả mãn: Bài tốn 10.37 Tìm giá trị lớn −1      (g(x))2dx = −1     −1 g(x)dx = x2 g(x)dx = xg(x)dx = −1 −1 122 CHƯƠNG 10 GIẢI TÍCH Bài tốn 10.38 Cho hàm số f liên tục R tuần hoàn chu kỳ Chứng minh với số vơ tỷ α ta có: lim n→∞ N N f (nα) = n=1 f (t)dt Bài toán 10.39 Cho dãy số thực dương an > Chứng minh rằng: ∞ N =1 N N an ≤ n=1 p p−1 ∞ apn n=1 Bài toán 10.40 Xây dựng hàm số liên tục fn : [0, 1] → R thoả mãn:    fn (t)dt = với số tự nhiên n   lim fn (x) = với số thực x ∈ [0, 1] n→∞ Bài tốn 10.41 Cho m số vơ tỷ a1 , a2, , am có tính chất khơng tồn m số nguyên t1 , t2, , tm không đồng thời mà t1a1 + t2a2 + + tmam = Chứng minh với < s < t < tồn số tự nhiên n thoả mãn {nai } ∈ (s, t) với ≤ i ≤ n Bài toán 10.42 Chứng minh tồn số thực dương k cho với n ∈ N : n i=1 sin i < k i Xét tổng riêng sau: Sn+ = sin i i sin i>0 Sn− = sin i i sin i đoạn [0, ] chứa vô số phần tử f (Z) (tập hợp toàn p giá trị f ) Từ suy có vơ số số hữu tỷ thoả mãn: q p < q |q| a− Bài toán 10.47 Cho số thực a1, a2 , , ak Với số tự nhiên n tuỳ ý đặt: k bn = sin(nai) i=1 Biết lim bn = Chứng minh tồn số i mà n→∞ ∈ Z π Bài toán 10.48 Giả sử {an } dãy số thực bị chặn thoả mãn: 1 n  → b  n i=1 n   → c ln(n) i=1 Chứng minh b = c Bài toán 10.49 (Bổ đề Dirichlet - 1842) Cho số thực α n ∈ N Chứng minh tồn số nguyên p ∈ Z số tự nhiên q ∈ N thoả mãn: i) ii) p < q qn p < α− q q(n + 1) α− Từ suy với số vô tỷ α tồn vô số phân số α− p thoả mãn: q p < q q Với điều kiện q → +∞ Lời Bình Có thể mở rộng bổ đề Dirichlet cho nhiều số Hãy chứng minh trường hợp hai số sau Chứng minh với hai số thực α, β số tự nhiên n tồn hai số nguyên p, r ∈ Z số tự nhiên q ∈ N , q ≤ n2 thoả mãn: α− p < q qn α− r < q qn 124 CHƯƠNG 10 GIẢI TÍCH Bài tốn 10.50 i) Xét dãy số {xn } xác định bởi: x1 = t = xn+1 (xn + t) = t + với số tự nhiên n Tính giới hạn: lim xn n→∞ ii) Xét dãy số {yn } xác định bởi:   y1 = a = −1 2yn2 + −  yn+1 = 2yn + 2yn2 + với số tự nhiên n Tính giới hạn: lim yn n→∞ a Chương 11 Đại Số Bài toán 11.1 Ký hiệu Nm tập hợp tất số ngun khơng bé số ngun m cho trước Tìm tất hàm f : Nm → Nm thoả mãn: f (x2 + f (y)) = y + (f (x))2 ∀x, y ∈ Nm Bài toán 11.2 Số thực c gọi giá trị bội dãy số (xn ) tồn hai số k, l thoả mãn xk = xl = c Với cặp số thực (a, b) ta lập dãy số: U (a, b) : u0 = a, u1 = b − un+1 = un + un−1 với số tự nhiên n Chứng minh tồn a, b nguyên cho dãy U (a, b) có 2006 giá trị bội Bài toán 11.3 Xét dãy số {an } thoả mãn a1, a2, a3 số nguyên an+3 = an+1 + an với số tự nhiên n Chứng minh với số nguyên tố p ta có p ước số: an+3p+1 − an+p+1 − an+1 Bài toán 11.4 Với số tự nhiên n lớn 1, xét đa thức: [ n−2 ] Cn3k+2.xk Pn (x) = k=0 n−1 Tìm tất số nguyên a thoã mãn |Pn (a3 ) với n ≥ Bài toán 11.5 Xét dãy số (an ) xác định sau: a1 = a2 = a3 = a4 = an an−4 = an−1 an−3 + a2n−2 với n > Chứng minh an ∈ Z với n ∈ N Bài toán 11.6 Với điều kiện xi > với i = 1, n Tính giá trị sau: 1 + x2, , , } c = max {x1, x1 xn−1 xn Giả sử có thêm điều kiện x1 + x2 + + xn = Tính: x1 x2 xn c = max { , , , } + x1 + x1 + x2 + x1 + x2 + + xn 125 126 CHƯƠNG 11 ĐẠI SỐ Bài toán 11.7 Cho dãy tăng số tự nhiên {ai } thoả mãn tính chất với hai tập I, J ∈ {1, 2, , n} I = J ta có: = i∈I i∈J Tính giá trị lớn của: n i=1 Bài toán 11.8 Tìm tất hàm số f : (1, +∞) → R thoả mãn: f (x) − f (y) = (y − x)f (xy) với x, y > Bài tốn 11.9 Tồn hay khơng số thực u có tính chất [un] − n số phương với số tự nhiên n Bài toán 11.10 Cho dãy số dương {an } thoả mãn: a0 = a2005 √ = · ai−1ai+1 ∀1 ≤ i ≤ 2005 Chứng minh an = a2005−n với ≤ n ≤ 2005 Bài toán 11.11 Cho dãy số {an } thoả mãn a1 = a2000 với n ∈ N : xn+2 = xn xn+1 + 5x4n xn − xn+1 Chứng minh x2 = x1999 Bài toán 11.12 Xét hàm số f (x) = 3(|x + |x − 1| − |x + 1|) đặt xn+1 = f (xn ) với n ≥ Hỏi có số thực x0 thoả mãn x0 = x2007 số x0, x1, , x2006 đơi phân biệt Bài tốn 11.13 Hỏi có tồn hay không đa thức P (x) bậc n mà đa thức hợp m lần P P ( (P (x)) ) nhận đủ nghiệm 1, 2, , mn m lần P Bài toán 11.14 Cho số nguyên n > n số thực a1, a2, , an Đặt:  n  S = a2i i=1  P = (ai − aj )2 i n số thực a1, a2, , an Chứng minh tồn n số thực b1, b2 , , bn thoả mãn tính chất:   ai − bi ∈ Z với ≤ i ≤ n n2 −  (b − b ) ≤ i j  12 1≤i 4(a + b + c) + 8(ab + bc + ca) Bài toán 11.17 Trên mặt phẳng cho n vecto sau v1, v2, , v3 có: n |vi| = h i=1 Chứng minh có k vecto vi1 , vi2 , , vin số vecto {vi1 } cho: k | vij | ≥ j=1 h π Bài toán 11.18 Giả sử số tự nhiên n có ước số ngun tố khác Chứng minh tồn hoán vị (a1, a2, , an) (1, 2, , n) mà: n k cos k=1 2πak = n Bài toán 11.19 Cho số nguyên dương p, thoả mãn p = 2n + số nguyên tố a không chia hết cho p Chứng minh mệnh đề sau: n sin k=1 2πak p chẵn ⇐⇒ p|an − Bài tốn 11.20 Tìm điều kiện cần đủ số tự nhiên b1, b2 , , bn cho ta có đẳng thức sau với ≤ k ≤ n − 1: n cos i=1 2kπ bi n n sin = i=1 2kπ bi n Bài toán 11.21 Cho đa thức f (x) = xn + a1xn−1 + + an−1 x + an ∈ R[x] Cho n số thực n phân biệt b1, b2 , , bn thoả mãn = −a1 Chứng minh rằng: i=1 n i=1 f (bi ) = (bi − bj ) j=i 128 CHƯƠNG 11 ĐẠI SỐ Bài toán 11.22 Chứng minh bất đẳng thức: n k=1 (1 + x2k )n/2 ≥ n (bk − bj ) j=k Bài toán 11.23 Cho số tự nhiên n ui = cos n 2i − · π với ≤ i ≤ n Chứng minh rằng: 2n + 1 n = i=1 1− u2i |ui − bj | j=i,1≤j≤n+1 Từ suy định lý Markov: giả sử đa thức hệ số thực f (x) = xn + a1xn−1 + + an−1x + an thoả mãn: √ − x2 · |f (x)| ≤ ∀x ∈ [−1, 1] Chứng minh rằng: |a0| ≤ 2n Bài toán 11.24 Ký hiệu phép toán ∗ sau Với hai số thực dương x, y: x∗y = x+y + xy Tính giá trị biểu thức ∗ ∗ ∗ ∗ 2006 với thứ tự phép toán tuỳ ý Bài toán 11.25 Chứng minh tồn phân hoạch: N = {[nα]|n ∈ N } ∪ {[nβ]|n ∈ N } Với hai số vô tỷ dương α, β thoả mãn 1 + = Tuy nhiên không tồn ba số vô tỷ dương α β α, β, λ cho ta có phân hoạch: N = {[nα]|n ∈ N } ∪ {[nβ]|n ∈ N } ∪ {[nλ]|n ∈ N } Bài toán 11.26 Trong bảng số m.n có tính chất tổng hàng hay cột số nguyên Chứng minh thay số bảng hai số nguyên gần cho tổng hàng cột khơng đổi Bài tốn 11.27 Cho tập n số thực tuỳ ý {an } Chứng minh tồn tập T ∈ A cho tổng số T số thực sai khác với số ngun gần khơng q n+1 Bài toán 11.28 Cho n số thực {an } Chứng minh tìm số {bi } mà bi hai số nguyên gần với k bất kỳ: k k aij − j=1 bij ≤ j=1 n+1 129 Bài toán 11.29 Cho số thực dương a, b, c, d thoả mãn a > b > c > d > e (với e số logarith tự nhiên) Chứng minh rằng: b c d a a b c d ae + be + ce + de < be + ce + de + ae Bài tốn 11.30 Với mội số ngun dương n tìm số thực dương q = q(n) tốt cho với dãy n số thực x1, x2, , xn ta có bất đẳng thức: n i xi (1) i=1 j=1 n i x2i ≥q· i=1 n (2) xi i=1 n x2i ≤q· j=1 i=1 Bài toán 11.31 Xét dãy số {an } xác định sau:  a1 = 3an an+1 = với số tự nhiên n Chứng minh (1) (2) (3) Trong dãy số có vơ hạn số chẵn vơ hạn số lẻ Tồn số thực α cho an+1 = α Số 0, a1a2, số vơ tỷ hay hữu tỷ Ngồi có tồn hay không số thực α cho an+1 = n + n α + 1? Bài tốn 11.32 Chứng minh khơng tồn hàm số f : R → R mà: f (f (x)) = x2 − 3x − với số thực x Bài toán 11.33 Chứng minh đẳng thức sau n tự nhiên tuỳ ý: + n − = 12 n+ + n − 12 Bài toán 11.34 Chứng minh đẳng thức sau với số tự nhiên n: n p − 1+ p=1 q=1 8q + (2p − 1)2 n(n + 1)(n + 2) =− Bài toán 11.35 Giả sử P Q đa thức thoả mãn P ≡ Q2 Chứng minh rằng: deg(P − Q2) ≥ deg(P ) + Nếu đặt F = P − Q4 ta có: deg(F ) ≥ · deg(Q) + 130 CHƯƠNG 11 ĐẠI SỐ Bài toán 11.36 Tìm tất hàm số f : R → R thoả mãn: f (x − f (y)) = 4f (x) − f (y) − 3x với x, y ∈ R Bài toán 11.37 Cho số thực a, b, c thoả mãn (b − 1)2 − 4ac = Xét dãy đa thức: f (1, x) = ax2 + bx + c f (n + 1, x) = f (1, f(n, x)) với số tự nhiên n Tìm số nghiệm thực x ∈ R phương trình f (n, x) = Bài tốn 11.38 Tìm tất số thực (x1, x2, , xn) thoả mãn: (x1 + x2 + + xk )(xk + + xn ) = với ≤ k ≤ n Bài toán 11.39 Cho a, b số tự nhiên khác Chứng minh mệnh đề: bn − 1|an − ∀n ∈ N =⇒ ∃k ∈ N a = bk Bài toán 11.40 Giả sử f : R → R hàm số thoả mãn với số thực dương x tồn đa thức Pc (x) có tính chất: |f (x) − Pc (x)| ≤ cx2006 ∀x ∈ R Chứng minh f đa thức Bài tốn 11.41 Tìm tất đa thức P hệ số nguyên cho đa thức: Q(x) = (x2 + 6x + 10)(P (x))2 − = (R(x))2 bình phương đa thức hệ số nguyên Bài toán 11.42 Cho số tự nhiên m > số p1 , p2 , , pn tất số nguyên tố không vượt m Chứng minh rằng: n k=1 1 + pk pk ≥ ln(ln(n)) Bài toán 11.43 Tìm tất số thực a, b cho với n xn nghiệm phương cos x trình = n ta ln có cos axn + cos bxn ≥ − x2n x Bài tốn 11.44 Tìm tất số thực k cho tồn hàm số f khả vi toàn R thoả mãn với số thực x thì: f (x) ≤ (f (x))2 + (f (x))2 = k Bài tốn 11.45 Tìm tất hàm số f : [0, 1] → [0, 1] thoả mãn: f (xy) = xf (x) + yf (y) với x, y ∈ R 131 Bài tốn 11.46 Tìm tất toàn ánh f : R → R thoả mãn: f (f (x − y)) = f (x) − f (y) với x, y ∈ R Bài toán 11.47 Cho x √ số thực thoả mãn [nx ] = [x[xn]] + với số tự nhiên n bất 1+ kỳ Chứng minh x = Chứng minh x3 = x2 + x > tồn số {Cn } nhận giá trị 0, 1, mà: [nx] + [nx2] + [nx3] = [x[n4]] + Cn Bài toán 11.48 Một học sinh chơi với hệ số phương trình bậc hai sau Lấy hai số p, q bất kỳ, xét phương trình x2 + px + q = Nếu phương trình có hai nghiệm p1 , q1 thi lại xét phương trình x2 + p1 x + q1 Hỏi học sinh chơi q lượt hay khơng (khơng tính phương trình đầu tiên) Bài toán 11.49 Cho tập hợp hữu hạn A có khơng phần tử cho a, b, c, d, e, f phần tử phân biệt A ab + cd + ef thuộc vào A Tìm giá trị lớn số phần tử A Bài toán 11.50 Trên mặt phẳng toạ độ cho 101 đường thẳng đánh dấu tất giao điểm chúng Hỏi xảy hay khơng tình đường thẳng có 50 điểm đánh dấu có hồnh độ dương 50 điểm đánh dấu khác có hoành độ âm a ... Một số chủ đề số học chọn lọc 3.1 Số bập bênh Bài toán 3.1.1 (Số bập bênh) Một số tự nhiên bập bênh đem nhân với ta số viết theo thứ tự ngược lại chữ số Chẳng hạn số 1089 số bập bênh có chữ số. .. Cho số nguyên tố p = 4k + Chứng minh tồn vô số số tự nhiên n √ cho số [n p] số phương Bài tốn 2.29 Tìm tất số ngun dương m n cho với số dương a thoả mãn am, an số nguyên suy a số nguyên Bài toán. .. tất số nguyên dương n cho n khơng có bội số số đong đưa Bài toán 3.1.4 (Số luân phiên) Một số nguyên dương gọi luân phiên biểu diễn thập phân nó, hai chữ số đứng cạnh có số chẵn số lẻ Tìm tất số