ga HSGl8

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1: ( 2 điểm ) Cho biểu thức: A= 1212 36 . 6 16 6 16 2 2 22 + −       + − + − + x x xx x xx x ( Với x ≠ 0 ; x ≠ 6 ± ) 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A với 1 19 24 5 x = + Câu 2: (3 điểm). Giải phương trình: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 6 7 12 9 20 11 30 8x x x x x x x x + + + = − + − + − + − + Câu 3: ( 3 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x 2 - (2x + 3)(x + 5) + 3 b) x 20 + x +1 c) (x 2 + y 2 +1) 4 - 17(x 2 +y 2 +1) 2 x 2 + 16x 4 Câu 4 (8 điểm). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF. a) Chứng minh CE vuông góc với DF. b) Chứng minh = .CM CE a CF c) Gọi K là giao điểm CM và DA . Chứng minh ∆ MAD cân. d) Tính diện tích ∆ MDC theo a. Câu 5: (4 điểm ) Hai máy cày cùng làm việc trên một cánh đồng . Nếu cả hai máy cùng làm việc thì sau 4 ngày sẽ cày xong cả cánh đồng .Trên thực tế thì hai máy cùng làm việc trong hai ngày ,sau đó máy 1 bị điều động đi nơi khác làm việc .Máy hai làm một mình thì sau 6 ngày nữa thì cày xong cánh đồng . Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy cày xong cánh đồng trong bao lâu ? ----- Hết ----- HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 8, NĂM HỌC 2010 - 2011 Gợi ý Điểm Câu 1: ( 2 điểm ) Cho biểu thức: A= 1212 36 . 6 16 6 16 2 2 22 + −       + − + − + x x xx x xx x ( Với x ≠ 0 ; x ≠ 6 ± ) 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A với x = 1 19 24 5+ Giải 1) ( 1 điểm ) ĐK: x ≠ 0; x ≠ 6 ± ) A = )1(12 )6)(6( . )6( 16 )6( 16 2 + −+       + − + − + x xx xx x xx x = 2 2 2 6 36 6 6 36 6 1 . 12( 1) x x x x x x x x + + + + − − + = + = x x x x 1 )1(12 1 . )1(12 2 2 = + + 2) A= 1 1 19 24 5 1 19 24 5 x = = + + 1,5 0.5 Câu 2: (3 điểm). Giải phương trình: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 6 7 12 9 20 11 30 8x x x x x x x x + + + = − + − + − + − + ĐK : ∉{2;3;4;5;6}x Phương trình tương đương + + + = − − − − − − − − ⇔ − + − + − + − = − − − − − − − − 1 1 1 1 1 ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) ( 5)( 6) 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 4 3 5 4 6 5 8 x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − + = − − − − + − − − ⇔ = − − − − 1 1 1 2 6 8 8( 6) 8( 2) ( 2)( 6) 8( 2)( 6) 8( 2)( 6) x x x x x x x x x x ⇒ = − + ⇔ − − = ⇔ + − = 2 2 32 8 12 8 20 0 ( 2)( 10) 0 x x x x x x ⇔ = − =2 10x hoac x (thỏa điều kiện ) Vậy nghiệm của phương trình là x=-2;x=10 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 K M F E C B A D Bài 3.(3 điểm) a) x 2 - (2x + 3)(x + 5) +3= x 2 - 2x 2 -13x-15 +3 = -x 2 -13x -12 =-(x 2 +x+12x+12)=-[x(x+1)+12(x+1)]=-(x+1)(x+12) b) x 20 + x +1 =x 20 -x 2 +x 2 +x+1 =x 2 (x 18 -1) +(x2+x+1) =x 2 (x 9 +1)(x 9 -1)+(x 2 +x+1) =x 2 (x 9 +1)(x 3 -1)(x 6 +x 3 +1)+(x 2 +x+1) =x 2 (x 9 +1)(x-1)(x 2 +x+1)(x 6 +x 3 +1)+(x 2 +x+1) =(x 2 +x+1)[x 2 (x 9 +1)(x-1)(x 6 +x 3 +1)+1] c) (x 2 + y 2 +1) 4 - 17(x 2 +y 2 +1) 2 x 2 + 16x 4 =A Đặt t =x 2 +y 2 +1 Ta có : A = t 4 -17t 2 x 2 +16x 4 = t 4 –t 2 x 2 -16t 2 x 2 +16x 4 = t 2 (t 2 -x 2 ) -16x 2 (t 2 -x 2 ) =(t 2 -x 2 )(t 2 -16x 2 ) =(t+x)(t-x)(t-4x)(t+4x) = ( x 2 +y 2 +1+x) ( x 2 +y 2 +1-x)(x 2 +y 2 +1-4x)( x 2 +y 2 +1+4x) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 4 (8 điểm). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF. a) Chứng minh CE vuông góc với DF. b) Chứng minh = .CM CE a CF c) Gọi K là giao điểm CM và DA . Chứng minh ∆ MAD cân. d) Tính diện tích ∆ MDC theo a. a. ∆BEC = ∆CFD ⇒ = ∆CFD vuông tại C ⇒ + = 90 vuông tại M Hay CE ⊥ DF. b.Xét ∆CMF = ∆CBE có BEC = CFD = 90 và · MCF chung => ∆CMF đồng dạng ∆CBE (gg) => .CM CF CM CE BC CB CE CF = => = Mà BC =a Do đó : .CM CE a CF = 2 2 c.Gọi K là giao điểm của AD với CE. Ta có : ∆AEK = ∆BEC (g.c.g) => BC = AK ⇒ AM là trung tuyến của tam giác MDK vuông tại M 1 2 AM KD AD AMD⇒ = = ⇒V cân tại A d. ( . ) CD CM CMD FCD g g FD FC ⇒ =:V V Do đó : 2 2 . CMD CMD FCD FCD S CD CD S S S FD FD     = ⇒ =  ÷  ÷     V V V V Mà : 2 1 1 . 2 4 FCD S CF CD CD= = V . Vậy : 2 2 2 1 . 4 CMD CD S CD FD = V . Trong DCFV theo Pitago ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 5 . 2 4 4 DF CD CF CD BC CD CD CD   = + = + = + =  ÷   . Do đó : 2 2 2 2 2 1 1 1 . 5 4 5 5 4 MCD CD S CD CD a CD = = = V 2 2 Câu 5: (4 điểm ) Hai máy cày cùng làm việc trên một cánh đồng . Nếu cả hai máy cùng làm việc thì sau 4 ngày sẽ cày xong cả cánh đồng .Trên thực tế thì hai máy cùng làm việc trong hai ngày ,sau đó máy 1 bị điều động đi nơi khác làm việc .Máy hai làm một mình thì sau 6 ngày nữa thì cày xong cánh đồng . Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy cày xong cánh đồng trong bao lâu ? Giải Cả hai máy cùng làm việc 4 ngày cày xong cánh đồng Và cả hai máy cùng làm việc trong hai ngày Suy ra : còn ½ cánh đồng máy 2 phải hoàn thành công việc 1 mình . Mà máy 2 phải cày một mình ½ cánh đồng đó trong 6 ngày Suy ra : máy 2 cày xong hết cánh đồng mất 12 ngày . Ta có : 1 ngày, máy 2 cày được 1 12 cánh đồng => 2 ngày , máy 2 cày được : 1 6 cánh đồng Mà 2 máy , 2 ngày cày chung được ½ cánh đồng => 2 ngày máy 1 cày được 1 1 1 2 6 3 − = cánh đồng 4 => 1 ngày máy 1 cày được 1 6 cánh đồng => máy 1 cày hết cánh đồng hết 6 ngày Vậy máy 1 cày hết cánh đồng mất 6 ngày . Máy 2 cày hết cánh đồng mất 12 ngày . (học sinh giải được bằng cách khác vẫn có điểm tối đa) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút ( Không kể thời gian giao đề) 1. Phân tích đa thức thành nhân tử (a + b + c) 3 - (a + b - c) 3 - (b + c - a) 3 - (c + a - b) 3 (3,5 điểm) 2. Tìm a, b, c để tam thức f(x) = ax 3 + bx 2 + c chia hết cho x + 2, còn khi chia cho x 2 - 1 thì dư là x + 5 (2,5 điểm) 3. Chứng minh đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zyx xyzxyz yxzxzyzyx yxzxzyzyx ++ ++ = −+−+− −+−+− 333 223223223 (4 điểm) 4. Cho biểu thức : 1 )1(3 23 +++ + = xxx x A . Tìm x để A lớn nhất (2 điểm) 5. Giải phương trình: 9 2008 8 2007 7 2006 6 2005 5 2004 4 2003 3 2002 2 2001 1 2000 = + + + + + + + + + + + + + + + + xxxxxxxxx (4 điểm) 6. Cho hình thang ABCD đáy nhỏ BC. Từ trung điểm I của CD, kẻ đường thẳng d // AB, dBEdAH ⊥⊥ , . Chứng minh S ABEH = S ABCD (4 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 8, NĂM HỌC 2010 - 2011 1. Phân tích đa thức thành nhân tử(3,5 điểm) (a + b + c) 3 - (a + b - c) 3 - (b + c - a) 3 - (c + a - b) 3 Đặt x = a + b - c; y = b + c –a; z = c + a – b ( 0,5 điểm) => x + y + z = a + b + c; x + y = 2b; y + z = 2c; z + x = 2a ( 0,25 điểm) Ta có:(a + b + c) 3 - (a + b - c) 3 - (b + c - a) 3 - (c + a - b) 3 = (x + y + z) 3 – x 3 – y 3 – z 3 = [(x + y + z) 3 – x 3 ] – (y 3 + z 3 ) (1,0 điểm) = (x + y + z - x)[(x + y + z) 2 + x(x + y + z) + x 2 ] - (y + z)(y 2 - yz + z 2 ) = (y + z)[(x + y + z) 2 + x(x + y + z) + x 2 - y 2 + yz - z 2 ] (0,5 điểm) = (y + z)(x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2yz+2zx+x 2 +xy+xz+x 2 - y 2 + yz - z 2 ) = (y + z)(3x 2 + 3xy + 3yz + 3zx) = 3(y + z)[x(x + y) + z(x + y)] (0,5 điểm) = 3(y + z)(x + y)(x + z) = 3. 2c.2b.2a = 24abc (0,5 điểm) Vậy (a + b + c) 3 - (a + b - c) 3 - (b + c - a) 3 - (c + a - b) 3 = 24abc (0,25) 2. Tìm a, b, c để tam thức f(x) = ax 3 + bx 2 + c chia hết cho x + 2, còn khi chia cho x 2 - 1 thì dư là x + 5 (2,5 điểm) Ta có: ( 2) 0 (1) 6 ( 1) 4 f f f − =   =   − =  8 4 0 6 4 a a c a b c a b c − + + =   ⇔ + + =   − + + =  1 1 4 a b c =   ⇔ =   =  (1,5 điểm) Vậy f(x) = x 3 + x 2 + 4 (1 điểm) 3. Chứng minh đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zyx xyzxyz yxzxzyzyx yxzxzyzyx ++ ++ = −+−+− −+−+− 333 223223223 (4 điểm) Xét tử thức vế trái: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 2 3 2 2 x y z y z x z x y− + − + − = x 3 (y 2 – z 2 ) + y 3 [(z 2 – y 2 ) + (y 2 – x 2 )] + z 3 (x 2 – y 2 ) = x 3 (y 2 – z 2 ) + y 3 (z 2 – y 2 ) + y 3 (y 2 – x 2 ) + z 3 (x 2 – y 2 ) = (y 2 – z 2 )(x 3 – y 3 ) + (x 2 – y 2 )(z 3 – y 3 ) (1,0 điểm) = (y – z)(x – y)[(y + z)(x 2 + xy + y 2 ) – (x + y)(y 2 + yz + z 2 )] = (y – z)(x – y)(x 2 y+xy 2 +y 3 +x 2 z+xyz+y 2 z-xy 2 -xz 2 -xyz-y 3 -yz 2 -y 2 z) = (y – z)(x – y)(x 2 y – yz 2 + x 2 z – xz 2 ) = (y – z)(x – y)[y(x 2 – z 2 ) + xz(x – z)] = (y – z)(x – y)(x – z)[y(x + z) + xz] = (y – z)(x – y)(x – z)(xy + yz + zx) (1,0 điểm) Xét mẫu thức vế trái: x 3 (y – z) + y 3 (z – x) + z 3 (x – y) = x 3 (y – z) + y 3 [(z – y) + (y – x)] + z 3 (x – y) = x 3 (y – z) + y 3 (z – y) + y 3 (y – x) + z 3 (x – y) = (y – z)(x 3 – y 3 ) + (x – y)(z 3 – y 3 ) (1,0 điểm) = (y – z)(x – y)(x 2 + xy + y 2 - y 2 - yz - z 2 ) = (y – z)(x – y)(x 2 – z 2 + xy – yz) = (y – z)(x – y)(x – z)(x + y + z) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) y z x y x z xy yz zx xy yz zx VT y z x y x z x y z x y z − − − + + + + = = − − − + + + + Vậy đẳng thức đã được chứng minh (1,0 điểm) 4. Cho biểu thức : 1 )1(3 23 +++ + = xxx x A . Tìm x để A lớn nhất (2,0 điểm) Ta có: 1 )1(3 23 +++ + = xxx x A 2 3( 1) ( 1) ( 1) x x x x + = + + + 2 3( 1) ( 1)( 1) x x x + = + + 2 3 1x = + (1 điểm) Mà 2 2 3 1 1 3 1 x x + ≥ ⇒ ≤ + (0,5 điểm) A đạt giá trị lớn nhất là 3 khi x = 0 (0,5 điểm) 5. Giải phương trình: 9 2008 8 2007 7 2006 6 2005 5 2004 4 2003 3 2002 2 2001 1 2000 = + + + + + + + + + + + + + + + + xxxxxxxxx (1)(4 điểm) Ta có: (1) 0)1 2008 8 ()1 2007 7 ( )1 2006 6 ()1 2005 5 ()1 2004 4 ()1 2003 3 ()1 2002 2 ()1 2001 1 ()1 2000 ( =− + +− + + − + +− + +− + +− + +− + +− + +−⇔ xx xxxxxxx (1,0 điểm) 0 2008 2000 2007 2000 2006 2000 2005 2000 2004 2000 2003 2000 2002 2000 2001 2000 2000 2000 = − + − + − + − + − + − + − + − + − ⇔ xxxxxxxxx (1,0 điểm) 0) 2008 1 2007 1 2006 1 2005 1 2004 1 2003 1 2002 1 2001 1 2000 1 )(2000( =++++++++−⇔ x (1,0 điểm) 200002000 =⇔=−⇔ xx Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 2000 (1,0 điểm) 6. Cho hình thang ABCD đáy nhỏ BC. Từ trung điểm I của CD, kẻ đường thẳng d // AB, dBEdAH ⊥⊥ , . Chứng minh S ABEH = S ABCD (4 điểm) Gọi J, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng d với BC, AD ABJKABCDIKD SSSScgcIJCIKD =⇒=⇒∆=∆ ∆∆ IJC ) ( (1) (1 điểm) Và HAKEBJ SSHAKEBJ ∆∆ =⇒∆=∆ (1 điểm) Mà ABEH ABEK HAK ABEH ABJK ABJK ABEK EBJ S S S S S S S S = +  ⇒ =  = +  (2) (0,5 điểm) Từ (1) và (2) ta có: S ABEH = S ABCD (0,5 điểm) I (d) K B A D C H E J (1 điểm)