http://www.ebook.edu.vn Chu . o . ng 6 D - ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng Ch´ung ta d¯˜a nghiˆen c´u . u c´ac t´ınh chˆa ´ t cu ˙’ a c´ac d¯ˆo ` thi . con, chˇa ˙’ ng ha . n, c´ac dˆay chuyˆe ` n, chu tr`ınh v`a c´ac cˆay bao tr`um trong mˆo . t d¯ˆo ` thi . d¯˜a cho. Trong chu . o . ng n`ay, ch´ung ta s˜e nghiˆen c´u . u to`an bˆo . d¯ˆo ` thi . G v´o . i cˆau ho ˙’ i sau: khi n`ao G l`a phˇa ˙’ ng? Chu . o . ng n`ay bˇa ´ t d¯ˆa ` u v´o . i hai v´ı du . vˆe ` d¯ˆo ` thi . Kuratowski d¯´ong vai tr`o trung tˆam trong viˆe . c kiˆe ˙’ m tra t´ınh phˇa ˙’ ng cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . . Kˆe ´ tiˆe ´ p l`a c´ac t´ınh chˆa ´ t cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng, chˇa ˙’ ng ha . n d¯i . nh l´y Euler v`a gia ˙’ thuyˆe ´ t bˆo ´ n m`au nˆo ˙’ i tiˆe ´ ng “mo . i d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng l`a 4−sˇa ´ c” (ph´at biˆe ˙’ u nˇam 1850 v`a d¯u . o . . c ch´u . ng minh nˇam 1976). Ch´ung ta c˜ung t`ım hiˆe ˙’ u tiˆeu chuˆa ˙’ n cˆa ` n v`a d¯u ˙’ d¯ˆe ˙’ d¯ˆo ` thi . l`a phˇa ˙’ ng-D - i . nh l´y Kuratowski. Cuˆo ´ i c`ung l`a d¯ˆo ´ i ngˆa ˜ u h`ınh ho . c cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng. 6.1 D - i . nh ngh˜ıa v`a c´ac v´ı du . Nhˇa ´ c la . i rˇa ` ng d¯ˆo ` thi . G d¯u . o . . c go . i l`a phˇa ˙’ ng nˆe ´ u tˆo ` n ta . i mˆo . t ph´ep biˆe ˙’ u diˆe ˜ n G lˆen mˆo . t mˇa . t phˇa ˙’ ng sao cho hai ca . nh bˆa ´ t k`y cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . khˆong cˇa ´ t nhau ngoa . i tr`u . ta . i d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a ch´ung. C´ac d¯ˆo ` thi . m`a c´o thˆe ˙’ biˆe ´ n d¯ˆo ˙’ i cho tr`ung nhau bˇa ` ng ph´ep biˆe ´ n da . ng co d˜an liˆen tu . c trˆen mˇa . t phˇa ˙’ ng th`ı khˆong coi l`a nh˜u . ng d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng kh´ac nhau. Theo d¯i . nh ngh˜ıa, d¯ˆo ` thi . trong H`ınh 6.1 l`a phˇa ˙’ ng. V´ı du . 6.1.1 (B`ai to´an ba biˆe . t thu . . v`a ba nh`a m´ay). C´o ba biˆe . t thu . . a, b, c v`a ba nh`a m´ay: mˆo . t nh`a m´ay nu . ´o . c d, mˆo . t nh`a m´ay ho . i d¯ˆo ´ t e v`a mˆo . t nh`a m´ay d¯iˆe . n f. Mˆo ˜ i biˆe . t thu . . nˆo ´ i v´o . i c´ac nh`a m´ay bˇa ` ng nh˜u . ng ˆo ´ ng dˆa ˜ n nu . ´o . c, ˆo ´ ng dˆa ˜ n ho . i v`a d¯u . `o . ng dˆay d¯iˆe . n. Vˆa . y c´o thˆe ˙’ v˜e trˆen mˇa . t phˇa ˙’ ng ba biˆe . t thu . . v`a ba nh`a m´ay v`a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯u . `o . ng vˆa . n chuyˆe ˙’ n sao cho khˆong c´o hai d¯u . `o . ng n`ao cˇa ´ t nhau o . ˙’ mˆo . t d¯iˆe ˙’ m kh´ac c´ac d¯ˆa ` u m´ut cu ˙’ a ch´ung hay khˆong? Ta c´o mˆo h`ınh ho´a bo . ˙’ i d¯ˆo ` thi . hai phˆa ` n K 3,3 : C´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . tu . o . ng ´u . ng c´ac nh`a v`a c´ac nh`a m´ay 149 http://www.ebook.edu.vn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d • c • e • b • a • H`ınh 6.1: V´ı du . vˆe ` d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng. (xem H`ınh 6.2); mˆo . t ca . nh liˆen thuˆo . c hai d¯ı ˙’ nh tu . o . ng ´u . ng v´o . i mˆo . t nh`a v`a mˆo . t nh`a m´ay. B`ai to´an d¯u . a vˆe ` kiˆe ˙’ m tra t´ınh phˇa ˙’ ng cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . Kuratowski K 3,3 . Bˇa ` ng thu . . c nghiˆe . m c´o thˆe ˙’ chı ˙’ ra rˇa ` ng d¯ˆo ` thi . n`ay khˆong phˇa ˙’ ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Kuratowski K 3,3 . V´ı du . 6.1.2 C˜ung bˇa ` ng thu . . c nghiˆe . m, c´o thˆe ˙’ ch´u . ng to ˙’ d¯ˆo ` thi . d¯ˆa ` y d¯u ˙’ K 5 (xem H`ınh 6.3) l`a khˆong phˇa ˙’ ng. Vˆe ` t´ınh khˆong phˇa ˙’ ng cu ˙’ a c´ac d¯ˆo ` thi . K 3,3 v`a K 5 s˜e d¯u . o . . c gia ˙’ i th´ıch trong nh˜u . ng phˆa ` n sau. Ch´u ´y rˇa ` ng c´ac d¯ˆo ` thi . K 5 v`a K 3,3 c´o nh˜u . ng t´ınh chˆa ´ t: 1. Ca ˙’ hai l`a khˆong phˇa ˙’ ng; 2. Nˆe ´ u xo´a mˆo . t ca . nh hoˇa . c mˆo . t d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . th`ı s˜e nhˆa . n d¯u . o . . c mˆo . t d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng. 150 http://www.ebook.edu.vn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a • b • c • d • e • H`ınh 6.3: D - ˆo ` thi . Kuratowski K 5 . 3. K 5 l`a d¯ˆo ` thi . khˆong phˇa ˙’ ng c´o sˆo ´ d¯ı ˙’ nh ´ıt nhˆa ´ t; K 3,3 l`a d¯ˆo ` thi . khˆong phˇa ˙’ ng c´o sˆo ´ ca . nh ´ıt nhˆa ´ t. 6.2 C´ac biˆe ˙’ u diˆe ˜ n kh´ac nhau cu ˙’ a mˆo . t d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng Tru . ´o . c hˆe ´ t ta c´o kˆe ´ t qua ˙’ sau. D - i . nh l´y 6.2.1 [Fary] Mo . i d¯o . n d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n trˆen mˆo . t mˇa . t phˇa ˙’ ng sao cho c´ac ca . nh l`a c´ac d¯oa . n thˇa ˙’ ng v`a ch´ung chı ˙’ cˇa ´ t nhau ta . i c´ac d¯ı ˙’ nh chung. Ch´u . nh minh. Ch´u . ng minh cu ˙’ a d¯i . nh l´y n`ay kh´a ph´u . c ta . p v`a khˆong d¯´ong g´op nhiˆe ` u trong viˆe . c hiˆe ˙’ u t´ınh phˇa ˙’ ng cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . . Ba . n d¯o . c quan tˆam c´o thˆe ˙’ xem [24]. Chˇa ˙’ ng ha . n, d¯ˆo ` thi . trong H`ınh 6.1 c´o thˆe ˙’ v˜e la . i chı ˙’ su . ˙’ du . ng c´ac d¯oa . n thˇa ˙’ ng nhu . trong H`ınh 6.4. Trong d¯i . nh l´y n`ay, d¯ˆo ` thi . cˆa ` n pha ˙’ i d¯o . n v`ı c´ac khuyˆen hoˇa . c mˆo . t trong hai ca . nh song song khˆong thˆe ˙’ v˜e bo . ˙’ i c´ac d¯oa . n thˇa ˙’ ng. Diˆe . n K´y hiˆe . u R(G) l`a d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng G d¯u . o . . c biˆe ˙’ u diˆe ˜ n trˆen mˇa . t phˇa ˙’ ng. C´ac v`ung liˆen thˆong (theo tˆo pˆo cu ˙’ a mˇa . t phˇa ˙’ ng R 2 ) cu ˙’ a tˆa . p R 2 \ R(G) go . i l`a c´ac diˆe . n. Mˆo . t diˆe . n l`a mˆo . t v`ung cu ˙’ a mˇa . t phˇa ˙’ ng d¯u . o . . c gi´o . i ha . n bo . ˙’ i c´ac ca . nh go . i l`a biˆen; hai diˆe . n go . i l`a kˆe ` nhau nˆe ´ u c´ac d¯u . `o . ng biˆen cu ˙’ a ch´ung c´o ´ıt nhˆa ´ t mˆo . t ca . nh chung. 151 http://www.ebook.edu.vn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d • c • e • b • a • H`ınh 6.4: N´oi chung, biˆen cu ˙’ a diˆe . n gˆo ` m c´ac chu tr`ınh d¯o . n gia ˙’ n v´o . i c´ac ca . nh r`o . i nhau, c´ac ca . nh treo (ca . nh c´o mˆo . t d¯ı ˙’ nh bˆa . c mˆo . t), hoˇa . c c´ac ca . nh nˆo ´ i hai chu tr`ınh. Diˆe . n ph´ıa ngo`ai, go . i l`a diˆe . n vˆo ha . n, luˆon luˆon tˆo ` n ta . i mˆo . t chu tr`ınh l`a d¯u . `o . ng biˆen ch´u . a bˆen trong n´o c´ac ca . nh kh´ac; d¯´o l`a chu tuyˆe ´ n cu ˙’ a diˆe . n vˆo ha . n. V´ı du . 6.2.2 Ba ˙’ n d¯ˆo ` d¯i . a l´y l`a d¯ˆo ` thi . tˆo pˆo phˇa ˙’ ng khˆong c´o cˆa ` u; d¯ˆo ` thi . d¯´o c´o t´ınh chˆa ´ t d¯ˇa . c biˆe . t l`a: bˆa . c cu ˙’ a mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh ≥ 3. Mˆo . t diˆe . n c´o thˆe ˙’ kˆe ` v´o . i diˆe . n kh´ac o . ˙’ nhiˆe ` u ca . nh. Trˆen H`ınh 6.5 ta ch´u ´y rˇa ` ng c´ac diˆe . n d v`a g khˆong kˆe ` nhau mˇa . c d`u ch´ung c´o mˆo . t d¯ı ˙’ nh chung; a l`a diˆe . n vˆo ha . n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a b c d e g f h H`ınh 6.5: 152 http://www.ebook.edu.vn Biˆe ˙’ u diˆe ˜ n trˆen mˇa . t cˆa ` u D - ˆe ˙’ tr´anh phˆan biˆe . t gi˜u . a c´ac diˆe . n h˜u . u ha . n v`a diˆe . n vˆo ha . n, ch´ung ta thu . `o . ng biˆe ˙’ u diˆe ˜ n c´ac d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng trˆen mˇa . t cˆa ` u S 2 ⊂ R 3 du . . a v`ao ph´ep chiˆe ´ u nˆo ˙’ i t`u . S 2 lˆen R 2 . K´y hiˆe . u S l`a d¯iˆe ˙’ m tiˆe ´ p x´uc cu ˙’ a mˇa . t cˆa ` u v´o . i mˇa . t phˇa ˙’ ng, v`a N l`a d¯iˆe ˙’ m thuˆo . c mˇa . t cˆa ` u sao cho NS vuˆong g´oc v´o . i mˇa . t phˇa ˙’ ng. V´o . i mˆo ˜ i d¯iˆe ˙’ m P ∈ S 2 , P = N, d¯u . `o . ng thˇa ˙’ ng NP cˇa ´ t mˇa . t phˇa ˙’ ng R 2 ta . i d¯´ung mˆo . t d¯iˆe ˙’ m Q. Nhu . vˆa . y ta c´o tu . o . ng ´u . ng mˆo . t-mˆo . t t`u . mˇa . t cˆa ` u (bo ˙’ d¯i d¯iˆe ˙’ m N) lˆen mˇa . t phˇa ˙’ ng. Theo c´ach xˆay du . . ng n`ay, hiˆe ˙’ n nhiˆen rˇa ` ng d¯ˆo ` thi . l`a phˇa ˙’ ng nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n n´o trˆen mˆo . t mˇa . t cˆa ` u sao cho c´ac ca . nh cu ˙’ a n´o khˆong cˇa ´ t nhau ngo`ai c´ac d¯ı ˙’ nh chung. Do d¯´o, theo D - i . nh l´y 6.2.1 ta c´o D - i . nh l´y 6.2.3 Mˆo . t d¯ˆo ` thi . c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n trˆen mˇa . t cˆa ` u sao cho c´ac ca . nh khˆong tu . . cˇa ´ t nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u n´o c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n phˇa ˙’ ng trˆen mˇa . t phˇa ˙’ ng. Mˆo . t d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng d¯u . o . . c biˆe ˙’ u diˆe ˜ n trˆen mˇa . t cˆa ` u s˜e phˆan chia mˇa . t cˆa ` u th`anh nhiˆe ` u v`ung kh´ac nhau. Mˆo ˜ i v`ung trˆen mˇa . t cˆa ` u l`a miˆe ` n gi´o . i nˆo . i, diˆe . n vˆo ha . n trˆen mˇa . t phˇa ˙’ ng d¯u . o . . c ´anh xa . th`anh v`ung trˆen mˇa . t cˆa ` u ch´u . a d¯iˆe ˙’ m cu . . c bˇa ´ c N. Hiˆe ˙’ n nhiˆen rˇa ` ng, bˇa ` ng ph´ep quay th´ıch ho . . p qua ˙’ cˆa ` u ch´ung ta c´o thˆe ˙’ ´anh xa . mˆo . t v`ung bˆa ´ t k`y th`anh diˆe . n vˆo ha . n trˆen mˇa . t phˇa ˙’ ng. T`u . d¯´o ta nhˆa . n d¯u . o . . c: D - i . nh l´y 6.2.4 Mˆo . t d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n trˆen mˆo . t mˇa . t phˇa ˙’ ng sao cho diˆe . n bˆa ´ t k`y cho tru . ´o . c l`a diˆe . n vˆo ha . n. Mˆo ´ i liˆen quan c´ac v`ung trˆen mˇa . t cˆa ` u cho ph´ep ch´ung ta thˆa ´ y rˇa ` ng khˆong c´o su . . phˆan biˆe . t thu . . c su . . gi˜u . a diˆe . n vˆo ha . n v`a c´ac diˆe . n h˜u . u ha . n trˆen mˇa . t phˇa ˙’ ng. Do d¯´o, khi n´oi vˆe ` c´ac v`ung trong mˆo . t biˆe ˙’ u diˆe ˜ n cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng trˆen mˇa . t phˇa ˙’ ng, ch´ung ta x´et ca ˙’ diˆe . n vˆo ha . n. Ngo`ai ra, do khˆong c´o su . . kh´ac nhau cˆo ´ t yˆe ´ u gi˜u . a c´ac ph´ep biˆe ˙’ u diˆe ˜ n d¯ˆo ` thi . trˆen mˆo . t mˇa . t phˇa ˙’ ng hay mˇa . t cˆa ` u (mˇa . t phˇa ˙’ ng c´o thˆe ˙’ xem l`a mˇa . t cˆa ` u bo ˙’ d¯i mˆo . t d¯iˆe ˙’ m), thuˆa . t ng˜u . “biˆe ˙’ u diˆe ˜ n phˇa ˙’ ng” cu ˙’ a mˆo . t d¯ˆo ` thi . thu . `o . ng d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng d¯ˆe ˙’ bao h`am c´ac ph´ep biˆe ˙’ u diˆe ˜ n trˆen mˇa . t cˆa ` u c˜ung nhu . trˆen mˇa . t phˇa ˙’ ng. Biˆe ˙’ u diˆe ˜ n trˆen mˇa . t phˇa ˙’ ng v`a t´ınh liˆen thˆong Trong mˆo . t d¯ˆo ` thi . khˆong liˆen thˆong, viˆe . c biˆe ˙’ u diˆe ˜ n mˆo ˜ i th`anh phˆa ` n trˆen mˇa . t phˇa ˙’ ng c´o thˆe ˙’ d¯u . o . . c kha ˙’ o s´at mˆo . t c´ach d¯ˆo . c lˆa . p. Do d¯´o, d¯ˆo ` thi . l`a phˇa ˙’ ng nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u c´ac th`anh phˆa ` n liˆen thˆong cu ˙’ a n´o l`a phˇa ˙’ ng. Tu . o . ng tu . . , trong mˆo . t d¯ˆo ` thi . t´ach d¯u . o . . c (t´u . c 1−liˆen thˆong) viˆe . c 153 http://www.ebook.edu.vn biˆe ˙’ u diˆe ˜ n mˆo ˜ i khˆo ´ i (t´u . c l`a d¯ˆo ` thi . con khˆong t´ach d¯u . o . . c cu . . c d¯a . i) trˆen mˇa . t phˇa ˙’ ng c´o thˆe ˙’ d¯u . o . . c kha ˙’ o s´at d¯ˆo . c lˆa . p. Do d¯´o mˆo . t d¯ˆo ` thi . t´ach d¯u . o . . c l`a phˇa ˙’ ng nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u mˆo ˜ i khˆo ´ i l`a phˇa ˙’ ng. Vˆa . y, kiˆe ˙’ m tra t´ınh phˇa ˙’ ng cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . chı ˙’ cˆa ` n x´et d¯ˆo ´ i v´o . i d¯ˆo ` thi . khˆong t´ach d¯u . o . . c. Mˆo . t d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng khˆong t´ach d¯u . o . . c c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n duy nhˆa ´ t lˆen mˆo . t mˇa . t cˆa ` u khˆong? Tru . ´o . c khi tra ˙’ l`o . i cˆau ho ˙’ i n`ay, ch´ung ta cˆa ` n gia ˙’ i th´ıch ´y ngh˜ıa cu ˙’ a t`u . “biˆe ˙’ u diˆe ˜ n duy nhˆa ´ t”. Hai biˆe ˙’ u diˆe ˜ n cu ˙’ a mˆo . t d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng l`a giˆo ´ ng nhau nˆe ´ u ch´ung c´o thˆe ˙’ l`am tr`ung nhau bˇa ` ng ph´ep quay mˇa . t cˆa ` u n`ay th`anh mˇa . t cˆa ` u kia v`a c´o thˆe ˙’ biˆe ´ n da . ng c´ac v`ung (khˆong di chuyˆe ˙’ n d¯ı ˙’ nh bˇang qua ca . nh). Nˆe ´ u tˆa ´ t ca ˙’ c´ac ph´ep biˆe ˙’ u diˆe ˜ n lˆen mˆo . t mˇa . t cˆa ` u l`a tr`ung nhau th`ı ta n´oi d¯ˆo ` thi . c´o duy nhˆa ´ t mˆo . t ph´ep biˆe ˙’ u diˆe ˜ n. D - i . nh l´y du . ´o . i d¯ˆay, cho ch´ung ta ch´ınh x´ac cˆau tra ˙’ l`o . i khi n`ao th`ı mˆo . t d¯ˆo ` thi . d¯u . o . . c biˆe ˙’ u diˆe ˜ n duy nhˆa ´ t trˆen mˆo . t mˇa . t cˆa ` u. D - i . nh l´y 6.2.5 [Whitney] Ph´ep biˆe ˙’ u diˆe ˜ n lˆen mˇa . t cˆa ` u cu ˙’ a mˆo ˜ i d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng 3−liˆen thˆong l`a duy nhˆa ´ t. Ch´u . ng minh. Xem [54]. D - i . nh l´y n`ay d¯´ong mˆo . t vai tr`o quan tro . ng trong viˆe . c x´ac d¯i . nh xem mˆo . t d¯ˆo ` thi . c´o phˇa ˙’ ng hay khˆong: V´o . i c´ac d¯ˆo ` thi . 3−liˆen thˆong, nˆe ´ u c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n trˆen mˆo . t mˇa . t cˆa ` u th`ı ph´ep biˆe ˙’ u diˆe ˜ n n`ay l`a duy nhˆa ´ t. 6.3 C´ac t´ınh chˆa ´ t cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng Phˆa ` n n`ay liˆe . t kˆe nghiˆen c´u . u mˆo . t sˆo ´ t´ınh chˆa ´ t co . ba ˙’ n cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng. Tru . ´o . c hˆe ´ t ta c´o D - i . nh l´y 6.3.1 [Berge] Trong mˆo . t d¯ˆo ` thi . tˆo pˆo phˇa ˙’ ng, c´ac chu tuyˆe ´ n cu ˙’ a diˆe . n h˜u . u ha . n ta . o th`anh mˆo . t hˆe . co . so . ˙’ c´ac chu tr`ınh d¯ˆo . c lˆa . p. Ch´u . ng minh. Ch´ung ta s˜e ch´u . ng minh bˇa ` ng quy na . p theo sˆo ´ diˆe . n f cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G. Hiˆe ˙’ n nhiˆen d¯i . nh l´y d¯´ung khi G c´o mˆo . t hoˇa . c hai diˆe . n h˜u . u ha . n. Gia ˙’ su . ˙’ d¯i . nh l´y d¯´ung cho mo . i d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng c´o sˆo ´ diˆe . n h˜u . u ha . n l`a (f − 1); ta ch´u . ng minh d¯i . nh l´y d¯´ung cho mo . i d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng c´o f diˆe . n h˜u . u ha . n. Thˆa . t vˆa . y, gia ˙’ su . ˙’ khˆong pha ˙’ i tˆa ´ t ca ˙’ c´ac chu tuyˆe ´ n d¯ˆe ` u l`a c´ac chu tr`ınh khˆong giao nhau (theo ngh˜ıa l`a c´o ca . nh chung) v`ı v´o . i tru . `o . ng ho . . p d¯´o th`ı d¯i . nh l´y l`a hiˆe ˙’ n nhiˆen. Khi d¯´o ta c´o thˆe ˙’ bo ˙’ b´o . t mˆo . t ca . nh e n`ao d¯´o cu ˙’ a G v`a d¯u . o . . c d¯ˆo ` thi . G c´o (f − 1) diˆe . n h˜u . u ha . n m`a c´ac chu 154 http://www.ebook.edu.vn tuyˆe ´ n cu ˙’ a n´o theo gia ˙’ thiˆe ´ t quy na . p lˆa . p th`anh mˆo . t co . so . ˙’ gˆo ` m c´ac chu tr`ınh d¯ˆo . c lˆa . p. Khi tra ˙’ la . i ca . nh e, ta c´o mˆo . t diˆe . n h˜u . u ha . n m´o . i m`a chu tuyˆe ´ n l`a mˆo . t chu tr`ınh khˆong phu . thuˆo . c v`ao c´ac chu tr`ınh tru . ´o . c (v`ı n´o ch´u . a mˆo . t ca . nh khˆong thuˆo . c v`ao mˆo . t chu tr`ınh n`ao trong sˆo ´ c´ac chu tr`ınh ˆa ´ y). Do bˆo ˙’ sung mˆo . t ca . nh khˆong thˆe ˙’ l`am tˇang chu sˆo ´ lˆen qu´a mˆo . t d¯o . n vi . , nˆen sˆo ´ diˆe . n h˜u . u ha . n cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G qua ˙’ l`a x´ac d¯i . nh mˆo . t co . so . ˙’ gˆo ` m c´ac chu tr`ınh d¯ˆo . c lˆa . p. Hˆe . qua ˙’ 6.3.2 [Euler, 1752] Gia ˙’ su . ˙’ G l`a d¯ˆo ` thi . tˆo pˆo phˇa ˙’ ng liˆen thˆong n d¯ı ˙’ nh, m ca . nh v`a f diˆe . n. Khi d¯´o f = m − n + 2. Ch´u . ng minh. Thˆa . t vˆa . y, sˆo ´ c´ac diˆe . n h˜u . u ha . n bˇa ` ng chu sˆo ´ ν(G), nˆen f = ν(G) + 1 = (m − n + 1) + 1 = m − n + 2. C˜ung c´o thˆe ˙’ ch´u . ng minh c´ach kh´ac nhu . sau. Nhˆa . n x´et rˇa ` ng chı ˙’ cˆa ` n ch´u . ng minh cho mˆo . t d¯o . n d¯ˆo ` thi . , v`ı viˆe . c thˆem mˆo . t khuyˆen hoˇa . c thˆem mˆo . t ca . nh song song chı ˙’ d¯o . n gia ˙’ n l`a tˇang sˆo ´ diˆe . n v`a sˆo ´ ca . nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . lˆen mˆo . t d¯o . n vi . . Ch´ung ta c˜ung c´o thˆe ˙’ xo´a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh treo v`a c´ac ca . nh liˆen thuˆo . c n´o. Nˆe ´ u thˆem (hoˇa . c b´o . t) mˆo . t ca . nh v`a mˆo . t d¯ı ˙’ nh th`ı hiˆe . u sˆo ´ (m − n) khˆong d¯ˆo ˙’ i. V`ı mˆo ˜ i d¯o . n d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n trˆen mˇa . t phˇa ˙’ ng sao cho mˆo ˜ i ca . nh l`a mˆo . t d¯oa . n thˇa ˙’ ng (D - i . nh l´y 6.2.1), nˆen mˆo . t d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng c´o thˆe ˙’ d¯u . o . . c v˜e trˆen mˇa . t phˇa ˙’ ng sao cho c´ac diˆe . n l`a c´ac d¯a gi´ac. K´y hiˆe . u f l`a sˆo ´ diˆe . n v`a k p l`a sˆo ´ c´ac diˆe . n c´o p ca . nh. V`ı mˆo ˜ i ca . nh thuˆo . c biˆen cu ˙’ a d¯´ung hai d¯a gi´ac, nˆen 3k 3 + 4k 4 + 5k 5 + · · · + rk r = 2m, trong d¯´o k r l`a sˆo ´ c´ac d¯a gi´ac v´o . i sˆo ´ ca . nh cu . . c d¯a . i. Mˇa . t kh´ac k 3 + k 4 + · · · + k r = f. Tˆo ˙’ ng tˆa ´ t ca ˙’ c´ac g´oc ta . i mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh trong d¯a gi´ac tu . o . ng ´u . ng d¯ˆo ` thi . l`a 2nπ. Nhˇa ´ c la . i rˇa ` ng tˆo ˙’ ng tˆa ´ t ca ˙’ c´ac g´oc trong mˆo . t d¯a gi´ac p ca . nh l`a (p − 2)π v`a tˆo ˙’ ng tˆa ´ t ca ˙’ c´ac g´oc ngo`ai l`a (p + 2)π. Do d¯´o 2nπ = (3 − 2)πk 3 + (4 − 2)πk 4 + · · · + (r − 2)πk r + 4π = (2m − 2f)π + 4π. T`u . c´ac d¯ˇa ˙’ ng th´u . c trˆen, ta suy ra 2(m − f)π + 4π = 2nπ. Vˆa . y f = m − n + 2. 155 http://www.ebook.edu.vn V´ı du . 6.3.3 [Euler] Ta x´et trong khˆong gian ba chiˆe ` u mˆo . t d¯a diˆe . n lˆo ` i c´o n d¯ı ˙’ nh, m ca . nh v`a f diˆe . n. Hiˆe ˙’ n nhiˆen ta c´o thˆe ˙’ v˜e n´o trˆen mˆo . t mˇa . t cˆa ` u sao cho hai ca . nh bˆa ´ t k`y khˆong cˇa ´ t nhau ta . i nh˜u . ng d¯iˆe ˙’ m kh´ac c´ac d¯ˆa ` u m´ut. Sau d¯´o tiˆe ´ n h`anh ph´ep chiˆe ´ u nˆo ˙’ i v´o . i tˆam o . ˙’ gi˜u . a mˆo . t trong c´ac diˆe . n ta c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n d¯a diˆe . n d¯´o trˆen mˇa . t phˇa ˙’ ng. V`ı d¯ˆo ` thi . l`a phˇa ˙’ ng nˆen ta c´o hˆe . th´u . c co . ba ˙’ n sau d¯ˆay cu ˙’ a c´ac d¯a diˆe . n lˆo ` i: n − m + f = 2. Hˆe . qua ˙’ 6.3.4 Trong mˆo . t d¯o . n d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng, liˆen thˆong c´o f diˆe . n, n d¯ı ˙’ nh, m ca . nh (m ≥ 2), c´ac bˆa ´ t d¯ˇa ˙’ ng th´u . c sau luˆon nghiˆe . m d¯´ung 2m ≥ 3f, 3n − 6 ≥ m. Ch´u . ng minh. Mˆo ˜ i diˆe . n c´o biˆen ´ıt nhˆa ´ t l`a ba ca . nh, mˆo ˜ i ca . nh l`a chung cu ˙’ a ch´ınh x´ac hai diˆe . n, do d¯´o 2m ≥ 3f. Thay thˆe ´ f = m − n + 2 trong cˆong th´u . c Euler, ta c´o bˆa ´ t d¯ˇa ˙’ ng th´u . c th´u . hai. Ch´ung ta lu . u ´y rˇa ` ng bˆa ´ t d¯ˇa ˙’ ng th´u . c th´u . hai chı ˙’ l`a mˆo . t d¯iˆe ` u kiˆe . n cˆa ` n m`a khˆong d¯u ˙’ vˆe ` t´ınh phˇa ˙’ ng cu ˙’ a mˆo . t d¯ˆo ` thi . . N´oi c´ach kh´ac, mo . i d¯o . n d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng cˆa ` n pha ˙’ i tho ˙’ a m˜an c´ac d¯iˆe ` u kiˆe . n n`ay, nhu . ng d¯iˆe ` u ngu . o . . c la . i l`a khˆong d¯´ung. Chˇa ˙’ ng ha . n d¯ˆo ` thi . Kuratowski K 3,3 tho ˙’ a 3n − 6 = 3.6 − 6 = 12 ≥ m = 9. Nhu . ng V´ı du . 6.3.5 D - ˆo ` thi . K 3,3 khˆong phˇa ˙’ ng. D - ˆe ˙’ ch´u . ng minh ch´ung ta cˆa ` n chı ˙’ ra rˇa ` ng trong d¯ˆo ` thi . n`ay khˆong tˆo ` n ta . i diˆe . n m`a biˆen cu ˙’ a n´o c´o sˆo ´ ca . nh nho ˙’ ho . n 5. Thˆa . t vˆa . y, nˆe ´ u d¯ˆo ` thi . l`a phˇa ˙’ ng th`ı 2m ≥ 4f. Theo cˆong th´u . c Euler 2m ≥ 4(m − n + 2). Vˆa . y 2.9 ≥ 4(9 − 6 + 2). Hay 18 ≥ 20! Mˆau thuˆa ˜ n. Do d¯´o d¯ˆo ` thi . K 3,3 khˆong phˇa ˙’ ng. V´ı du . 6.3.6 D - ˆo ` thi . d¯ˆa ` y d¯u ˙’ c´o nˇam d¯ı ˙’ nh K 5 l`a khˆong phˇa ˙’ ng. Thˆa . t vˆa . y, nˆe ´ u ngu . o . . c la . i th`ı K 5 s˜e c´o f = m − n + 2 = 10 − 5 + 2 = 7 156 http://www.ebook.edu.vn diˆe . n. Chu tuyˆe ´ n cu ˙’ a mˆo ˜ i diˆe . n d¯ˆe ` u c´o ´ıt nhˆa ´ t ba ca . nh. Nˆe ´ u lˆa . p d¯o . n d¯ˆo ` thi . liˆen thuˆo . c diˆe . n-ca . nh, th`ı sˆo ´ ca . nh mˆo . t mˇa . t ≤ 2m v`a mˇa . t kh´ac la . i ≥ 3f. T`u . d¯´o 20 = 2m ≥ 3f = 21. Vˆo l´y, vˆa . y K 5 l`a khˆong phˇa ˙’ ng. Hˆe . qua ˙’ 6.3.7 Mˆo ˜ i ba ˙’ n d¯ˆo ` d¯i . a l´y c´o ´ıt nhˆa ´ t mˆo . t diˆe . n m`a sˆo ´ ca . nh cu ˙’ a chu tuyˆe ´ n nho ˙’ ho . n hoˇa . c bˇa ` ng 5. Ch´u . ng minh. Thˆa . t vˆa . y, trong ba ˙’ n d¯ˆo ` d¯i . a l´y, mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh l`a d¯ˆa ` u m´ut cu ˙’ a ´ıt nhˆa ´ t 3 ca . nh; nˆe ´ u lˆa . p d¯o . n d¯ˆo ` thi . liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh-ca . nh th`ı sˆo ´ ca . nh mˆo . t mˇa . t ≤ 2m, mˇa . t kh´ac la . i ≥ 3n, vˆa . y n ≤ 2m/3. Nˆe ´ u gia ˙’ thiˆe ´ t rˇa ` ng mˆo ˜ i diˆe . n c´o chu tuyˆe ´ n gˆo ` m ´ıt nhˆa ´ t 6 ca . nh v`a nˆe ´ u lˆa . p d¯o . n d¯ˆo ` thi . liˆen thuˆo . c diˆe . n-ca . nh, th`ı sˆo ´ ca . nh cu ˙’ a n´o, mˆo . t mˇa . t ≤ 2m, mˇa . t kh´ac la . i ≥ 6f. Vˆa . y f ≤ 2m/6. Ta luˆon luˆon c´o thˆe ˙’ gia ˙’ thiˆe ´ t l`a d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong (nˆe ´ u khˆong th`ı ch´u . ng minh hˆe . qua ˙’ cho t`u . ng th`anh phˆa ` n), v`a do d¯´o c´o thˆe ˙’ viˆe ´ t 2 = n − m + f ≤ 2m/3 − m + m/3 = 0. D - iˆe ` u d¯´o khˆong thˆe ˙’ xa ˙’ y ra. Hˆe . qua ˙’ 6.3.8 Gia ˙’ su . ˙’ G l`a d¯o . n d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng liˆen thˆong. Khi d¯´o tˆo ` n ta . i d¯ı ˙’ nh v ∈ V sao cho d(v) ≤ 5. Ch´u . ng minh. Thˆa . t vˆa . y, trong d¯ˆo ` thi . G, mˆo ˜ i diˆe . n d¯u . o . . c bao ´ıt nhˆa ´ t bo . ˙’ i ba ca . nh kh´ac nhau; nˆe ´ u lˆa . p d¯ˆo ` thi . H liˆen thuˆo . c diˆe . n-ca . nh (t´u . c l`a d¯ˆo ` thi . gˆo ` m tˆa . p X c´ac d¯iˆe ˙’ m d`ung d¯ˆe ˙’ biˆe ˙’ u thi . c´ac diˆe . n, tˆa . p ho . . p Y c´ac d¯iˆe ˙’ m d`ung d¯ˆe ˙’ biˆe ˙’ u thi . c´ac ca . nh v`a c´ac ca . nh nˆo ´ i d¯iˆe ˙’ m x ∈ X v´o . i y ∈ Y nˆe ´ u diˆe . n x liˆen thuˆo . c ca . nh y) th`ı sˆo ´ ca . nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . H, mˆo . t mˇa . t ≤ 2m, mˇa . t kh´ac la . i ≥ 3f, vˆa . y f ≤ 2m/3. Nˆe ´ u mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh l`a d¯ˆa ` u m´ut ´ıt nhˆa ´ t cu ˙’ a 6 ca . nh, th`ı c˜ung bˇa ` ng c´ach nhu . vˆa . y ta thu d¯u . o . . c n ≤ 2m/6, ngh˜ıa l`a (theo cˆong th´u . c Euler) 2 = n − m + f ≤ m/3 − m + 2m/3 = 0. Vˆo l´y! 6.4 Ph´at hiˆe . n t´ınh phˇa ˙’ ng Viˆe . c x´ac d¯i . nh d¯ˆo ` thi . G l`a phˇa ˙’ ng hay khˆong l`a mˆo . t b`ai to´an quan tro . ng, chˇa ˙’ ng ha . n trong ho´a ho . c: o . ˙’ d¯´o nhiˆe ` u chˆa ´ t ho´a ho . c m`a cˆong th´u . c cˆa ´ u ta . o cu ˙’ a n´o c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n nhu . mˆo . t 157 http://www.ebook.edu.vn d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng; v`a tra ˙’ l`o . i cˆau ho ˙’ i n`ay bˇa ` ng c´ach cˆo ´ gˇa ´ ng thu . ˙’ v˜e n´o lˆen mˆo . t mˇa . t phˇa ˙’ ng r˜o r`ang khˆong pha ˙’ i l`a mˆo . t cˆau tra ˙’ l`o . i tˆo ´ t. Vˆe ` thuˆa . t to´an th`o . i gian O(n) kiˆe ˙’ m tra mˆo . t d¯ˆo ` thi . c´o phˇa ˙’ ng hay khˆong, v`a nˆe ´ u phˇa ˙’ ng th`ı biˆe ˙’ u diˆe ˜ n n´o nhu . thˆe ´ n`ao c´o thˆe ˙’ xem [34], [18]. C˜ung c´o mˆo . t thuˆa . t to´an [33] th`o . i gian O(n log n) d¯ˆe ˙’ kiˆe ˙’ m tra t´ınh d¯ˇa ˙’ ng cˆa ´ u cu ˙’ a hai d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng. B`ai to´an n`ay c˜ung thu . `o . ng na ˙’ y sinh trong ho´a ho . c khi ch´ung ta muˆo ´ n nghiˆen c´u . u c´ac phˆan tu . ˙’ . C´ac tiˆeu chuˆa ˙’ n d¯o . n gia ˙’ n v`a hiˆe . u qua ˙’ sau cho ph´ep ph´at hiˆe . n t´ınh phˇa ˙’ ng cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . . Ph´ep r´ut go . n co . so . ˙’ 1. Do d¯ˆo ` thi . l`a phˇa ˙’ ng nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u c´ac th`anh phˆa ` n liˆen thˆong cu ˙’ a n´o l`a phˇa ˙’ ng, ch´ung ta chı ˙’ cˆa ` n x´et mˆo . t th`anh phˆa ` n liˆen thˆong cu ˙’ a n´o. C˜ung vˆa . y, mˆo . t d¯ˆo ` thi . c´o d¯iˆe ˙’ m kh´o . p l`a phˇa ˙’ ng nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u c´ac khˆo ´ i cu ˙’ a n´o l`a phˇa ˙’ ng. V`ı vˆa . y d¯ˆo ´ i v´o . i mˆo . t d¯ˆo ` thi . G cho tru . ´o . c, x´ac d¯i . nh G = {G 1 , G 2 , . . . , G k }, trong d¯´o G i , i = 1, 2, . . . , k, l`a c´ac d¯ˆo ` thi . con khˆong t´ach d¯u . o . . c cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G. Rˆo ` i th`ı ch´ung ta chı ˙’ cˆa ` n kiˆe ˙’ m tra t´ınh phˇa ˙’ ng cu ˙’ a mˆo ˜ i G i . 2. Do viˆe . c thˆem hay x´oa c´ac khuyˆen khˆong l`am mˆa ´ t t´ınh phˇa ˙’ ng, ta xo´a c´ac khuyˆen. 3. Tˆa ´ t ca ˙’ c´ac ca . nh song song c˜ung khˆong a ˙’ nh hu . o . ˙’ ng trong viˆe . c x´et t´ınh phˇa ˙’ ng, v`ı vˆa . y xo´a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac ca . nh song song tr`u . mˆo . t ca . nh c`on la . i. 4. Loa . i bo ˙’ tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh bˆa . c hai v`a coi hai ca . nh nˆo ´ i v´o . i d¯ı ˙’ nh d¯´o l`a mˆo . t khˆong a ˙’ nh hu . o . ˙’ ng d¯ˆe ´ n t´ınh phˇa ˙’ ng cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . . N´oi c´ach kh´ac thu . . c hiˆe . n “r´ut go . n chuˆo ˜ i.” Lˇa . p la . i c´ac Bu . ´o . c 3 v`a 4 cho d¯ˆe ´ n khi ta d¯u . o . . c mˆo . t d¯ˆo ` thi . d¯o . n gia ˙’ n nhˆa ´ t cho ph´ep x´ac d¯i . nh dˆe ˜ d`ang t´ınh phˇa ˙’ ng cu ˙’ a n´o. D - ˆo ´ i v´o . i mˆo . t d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong khˆong c´o d¯iˆe ˙’ m kh´o . p G i , sau khi ´ap du . ng c´ac Bu . ´o . c 3 v`a 4 ta s˜e d¯u . o . . c mˆo . t d¯ˆo ` thi . H i c´o c´ac d¯ˇa . c tru . ng: D - i . nh l´y 6.4.1 D - ˆo ` thi . H i c´o mˆo . t trong ba da . ng 1. Mˆo . t ca . nh d¯o . n; hoˇa . c l`a 2. Mˆo . t d¯ˆo ` thi . d¯ˆa ` y d¯u ˙’ c´o bˆo ´ n d¯ı ˙’ nh; hoˇa . c l`a 3. Mˆo . t d¯o . n d¯ˆo ` thi . khˆong t´ach d¯u . o . . c c´o sˆo ´ d¯ı ˙’ nh n ≥ 5 v`a sˆo ´ ca . nh m ≥ 7. 158