đồ thị phẳng tô màu đồ thị Toán rời rạc

Slide toán rời rạc Chương tô màu đồ thị đồ thị phẳng Hi vọng sẽ giúp ích cho mọi người Slide khá dễ hiểu. Xin không edit bản quyền tác giả Chân thành cảm ơn Made by VanAnh TheGioiTinHoc.Org Mình sẽ up sớm các bài slide khác cho các bạn nghiên cứu Share và like nếu bạn thích.

Nhóm 6

Đỗ Văn Anh – KHMT3

TOÁN RỜI RẠC

ĐỒ THỊ PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN

VỀ TÔ MÀU ĐỒ THỊ

 Mô hình bài toán

ĐỒ THỊ PHẲNG

 Đồ thị phẳng

 Một đồ thị được gọi là phẳng nếu nó có thể vẽ được trên một mặt phẳng mà không có các cạnh nào cắt nhau ở điểm không phải là điểm mút của mỗi cạnh

 Hình vẽ như vậy được gọi là một biểu diễn phẳng của đồ thị.

 Nếu an+1, bn+1 đều thuộc Gn

 an+1, bn+1 nằm trên miền biên của miền chung

 Nếu bn+1 (hoặc an+1) không thuộc Gn

 Chỉ có an+1 nằm trên miền biên của miền chung

 Mỗi miền được bao ít nhất 3 cạnh

 Mỗi cạnh nằm trên nhiều nhất 2 miền

⇒ 3r ≤ 2e (*)

 Theo định lý Euler: r = e – v + 2

 Thay vào (*) ta có: e ≤ 3v − 6 (đpcm)

ĐỒ THỊ PHẲNG

 Hệ quả 2

 Cho G là một đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh

và v đỉnh; v ≥ 3 và không có chu trình độ dài 3

Khi đó: e ≤ 2v − 4

 Chứng minh:

 Trong một đồ thị phẳng không có chu trình độ dài 3

 Mỗi miền được bao ít nhất 4 cạnh

 Mỗi cạnh nằm trên nhiều nhất 2 miền

⇒ 4r ≤ 2e (*)

 Theo định lý Euler: r = e – v + 2

 Thay vào (*) ta có: e ≤ 2v − 4 (đpcm)

ĐỒ THỊ PHẲNG

 Hệ quả 2

 Ví dụ: Chứng minh K3,3 không phẳng

 Cho G là một đơn đồ thị phẳng với e cạnh, v đỉnh và

có k thành phần liên thông Gọi r là số miền (regions)

trong biểu diễn phẳng của G Khi đó:

v − e + r = k + 1.

ĐỒ THỊ PHẲNG

 Định lý Kuratowski

 Đồ thị G là không phẳng khi và chỉ khi G chứa

một đồ thị con đồng phôi với K3,3 hoặc K5.

a b

c d e f g h

 Xác định số màu tối thiểu cần có để tô màu một bản đồ sao cho hai miền kề nhau có màu khác nhau.

 Cạnh: nối hai đỉnh nếu

các miền được biểu diễn bằng hai đỉnh này có biên giới chung

 Yêu cầu: Gắn các màu

cho các đỉnh của đồ thị sao cho không tồn tại 2 đỉnh kề nhau có cùng

Tô màu đồ thị

 Tô màu một đơn đồ thị là việc gán màu cho các đỉnh của nó sao cho hai đỉnh liền kề có màu khác nhau.

 Sắc số (Chromatic number)

 Số màu tối thiểu cần thiết để tô màu G

 Ký hiệu: χ(G)

Tô màu đồ thị

 Một số định lý về tô màu đồ thị

 Định lý 4 (Định lý 4 màu)

 Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số không lớn hơn 4

 Định lý được chứng minh bởi Appel và Haken

 Đây là định lý đầu tiên được chứng minh với sự trợ giúp của máy tính

 Ta có thể chứng minh định lý yếu hơn:

 Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số không lớn hơn 5

 Bắt đầu trở lại đầu danh sách, tô màu thứ hai cho đỉnh chưa được tô và lập lại quá trình trên cho đến khi tất cả các đỉnh đều được tô màu

Tô màu đồ thị

 Chú ý

 Kết quả của thuật toán có thể không là sắc số

 Thuật toán chỉ cho ta kết quả chấp nhận được

 Bài toán tìm sắc số là một bài toán khó!

Tô màu đồ thị

Tô màu đồ thị

có thể được

Thuật toán tô màu đồ thị đơn

- Bước 1:Liệt kê tất cả các đỉnh theo thứ tự

giảm dần, giả sử: deg(v1)>=deg(Vn)…

Thuật toán tô màu đồ thị đơn

Tức là chọn đỉnh chưa gán màu có bậc lớn

nhất gán màu 2

Gán màu 2 cho các đỉnh không kề với đỉnh

màu 2 không gán được màu 2 nữa mà đồ thị còn đỉnh chưa có màu thì sang màu 3

Không gán được màu 3 nữa mà đồ thị còn đỉnh chưa có màu thì sang màu 4

Thuật toán tô màu đồ thị đơn

E

Thuật toán tô màu đồ thị đơn

E

E

Thuật toán tô màu đồ thị đơn

E

Tô màu đồ thị

 Hãy lập lịch thi cho các sinh viên trong một trường đại học sao cho không có sinh viên nào phải thi 02 môn trong cùng một buổi thi Cho biết các môn thi có chung sinh viên dự thi đối với từng môn thi.

Have a nice day!