Báo cáo Mặt bậc hai môn Hình học giải tích

Báo cáo nội dung Mặt bậc hai môn Hình học giải tích gồm: 1 Giới thiệu mặt bậc hai định nghĩa và ví dụ 2 Tâm của mặt bậc hai 3 Phương và đường tiệm cận 4 Mặt phẳng tiếp xúc 5 Mặt kính liên hợp với một phương 6 Bài tập minh hoạ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN – TIN HỌC ———————————————– HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI Nhóm thực : Giảng viên : Nhóm 10 - Sáng thứ hai tuần chẵn TS Nguyễn Lê Chí Quyết Thành phố Hồ Chí Minh Tháng 11 năm 2017 MẶT BẬC HAI Nhóm 10 Tóm tắt nội dung Tâm - Tiệm cận - Mặt phẳng tiếp xúc Mặt kính liên hợp với phương Danh sách thành viên nhóm 10 • Nguyễn Phan Tuấn 43.01.101.115 • Nguyễn Thị Ánh Tuyết 43.01.101.121 • Nguyễn Thanh Tùng 43.01.101.118 • Lê Cơng Trứ 43.01.101.112 • Phan Vũ Hồi Linh 42.01.102.067 Mục lục Mặt bậc hai Tâm mặt bậc hai 3 Phương tiệm cận đường tiệm cận Mặt phẳng tiếp xúc 5 Mặt kính liên hợp với phương Bài tập Danh sách hình vẽ x2 + y + z − 2xy − 2yz − 2zx − 10x − 20y + 30z = x2 + 2y + 3z = x2 + 2y − 5z + 2xy + 3z + = x2 + 2y + 2z + 2xy − 2x − 4y − 4z = 2x2 + 5y + 8z + 2xy + 12yz + 6zx + 8x + 14y − 16z = 2x2 + 5y + 8z + 2xy + 12yz + 6zx + 8x + 14y + 18z = x2 + y − z = y2 + z2 = x y2 x2 z2 + 16 + = 3 7 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI Mặt bậc hai Định nghĩa Mặt bậc hai không gian A3 tập hợp S gồm tất điểm M có tọa độ (x, y, z) mục tiêu cho thoả mãn phương trình bậc hai dạng: F (x, y, z) = a11 x2 + a22 y + a33 z + 2a12 xy + 2a23 yz + 2a13 zx + 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = Trong đó: a211 a222 a233 a212 a223 (1) a213 + + + + + >0 A = [aij ]n ma trận đối xứng thực Phần bậc hai gọi phần toàn phương Phần bậc gọi phần tuyến tính a44 phần hệ số tự Các ví dụ minh hoạ Hình 1: x2 + y + z − 2xy − 2yz − 2zx − 10x − 20y + 30z = Hình 2: x2 + 2y + 3z = Hình 3: x2 + 2y − 5z + 2xy + 3z + = Tâm mặt bậc hai Định nghĩa Gọi I(x0 , y0 , z0 ) tâm mặt bậc hai tọa độ I nghiệm hệ phương trình:   Fx (x0 , y0 , z0 ) = Fy (x0 , y0 , z0 ) =   Fz (x0 , y0 , z0 ) =   a11 x0 + a12 y0 + a13 z0 + a14 = ⇐⇒ a12 x0 + a22 y0 + a23 z0 + a24 =   a13 x0 + a23 y0 + a33 z0 + a34 = (2) Nhận xét Tương tự tâm đường bậc hai mặt phẳng, tâm mặt bậc hai tâm đối xứng Điều có nghĩa phép đối xứng qua I biến (S) thành Chứng minh Giả sử I(x0 ; y0 ; z0 ) tâm mặt bậc hai Gọi TOI Nhóm 10   x = x + x phép tịnh tiến theo OI có biểu thức tọa độ: y = y + y0   z = z + z0 Trang HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Từ ta có: MẶT BẬC HAI = F (x , y , z ) = a11 (x + x0 )2 + a22 (y + y0 )2 + a33 (z + z0 )2 + +2a12 (x + x0 )(y + y0 ) + 2a13 (x + x0 )(z + z0 ) + 2a23 (y + y0 )(z + z0 )+ +2a14 (x + x0 ) + 2a24 (y + y0 ) + 2a34 (z + z0 ) + a44 Đặt: • G(x , y , z ) = 2x (a11 x0 + a12 y0 + a13 z0 + a14 ) + 2y (a22 y0 + a12 x0 + a23 z0 + a24 ) +2z (a33 z0 + a13 x0 + a23 y0 + a34 ) • H(x , y , z ) = F (x , y , z ) − G(x , y , z ) suy ra: H(x , y , z ) + G(x , y , z ) = Do I tâm mặt bậc hai nên: G(x , y , z ) = G(−x , −y , −z ) Từ ta có hệ phương trình:   2(a11 x0 + a12 y0 + a13 z0 + a14 ) = 2(a12 x0 + a22 y0 + a23 z0 + a24 ) = (i)   2(a13 x0 + a23 y0 + a33 z0 + a34 ) = Do đó, hệ (i) có nghiệm thực (x0 , y0 , z0 ) mặt bậc hai có tâm I(x0 , y0 , z0 ) Nhận xét Khi tịnh tiến mặt bậc hai tới tâm (tịnh tiến theo OI) phương trình mặt bậc hai sau tịnh tiến là: F (x, y, z) = a11 x2 + a22 y + a33 z + 2a12 xy + 2a23 yz + 2a13 zx + F (x0 , y0 , z0 ) = (3) Nhận xét Nếu I tâm (S) I ∈ (S) I gọi điểm kỳ dị (S) Ví dụ Cho mặt bậc hai (S) : x2 + 2y + 2z + 2xy − 2x − 4y − 4z = Tìm tâm phương trình biến biến đổi sau tịnh tiến (S) tâm Hình 4: x2 + 2y + 2z + 2xy − 2x − 4y − 4z = Lời giải Giả sử I(x0 , y0 , z0 ) tâm (S) Ta suy toạ độ I thoả hệ phương trình:     2x0 + 2y0 + −2 = Fx (x0 , y0 , z0 ) = ⇐⇒ 2x0 + 4y0 − = Fy (x0 , y0 , z0 ) =     Fz (x0 , y0 , z0 ) = 4z0 − =   x0 = ⇐⇒ y0 =   z0 = suy tâm (S) là: I(0, 1, 1) Ta có: F (0, 1, 1) = + − − = −4 Phương trình sau tịnh tiến (S) tâm là: x2 + 2y + 2z + 2xy − = Nhóm 10 Trang HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI Phương tiệm cận đường tiệm cận Định nghĩa Ta nói v = (α, β, γ) = vector phương tiệm cận mặt bậc hai (α, β, γ) nghiệm phương trình: a11 α2 + a22 β + a33 γ + 2a12 αβ + 2a23 βγ + 2a13 γα = (4)   x = x0 + αt Chứng minh Gọi tiệm cận (nếu có) mặt bậc hai (S) (d) : y = y0 + βt   z = z0 + γt Gọi M (x0 , y0 , z0 ) điểm thuộc (d) Đặt F (x0 , y0 , z0 ) = u M (x0 , y0 , z0 ) thuộc mặt bậc hai (S) có phương trình F (x, y, z) − u = Khi đó, F (x0 , y0 , z0 ) mặt bậc hai theo t có phương trình: = a11 (x0 + αt)2 + a22 (y0 + βt)2 + a33 (z0 + γt)2 +2a12 (x0 + αt)(y0 + βt) + 2a23 (y0 + βt)(z0 + γt) + 2a13 (z0 + γt)(x0 + αt) +a14 (x0 + αt) + a24 (y0 + βt) + a34 (z0 + γt) + a44 − u Để (d) tiệm cận mặt bậc hai (S) lim F (x0 , y0 , z0 ) = Do ta có hệ số t2 t→∞ Từ suy ra: a11 α2 + a22 β + a33 γ + 2a12 αβ + 2a23 βγ + 2a13 γα = Kết luận Mặt bậc hai (S) có tâm I Tiệm cận (S) đường thẳng (d) qua I, nhận v = (α, β, γ) = làm vector phương khơng cắt (S) Nhận xét Nếu (S) có tâm có vector phương tiệm cận v đường thẳng qua tâm nhận v làm vector phương gọi đường tiệm cận mặt bậc hai (S) Ví dụ Cho mặt bậc hai (S) : 2x2 + 5y + 8z + 2xy + 12yz + 6zx + 8x + 14y − 16z = Tìm vector phương tiệm cận (S) Hình 5: 2x2 + 5y + 8z + 2xy + 12yz + 6zx + 8x + 14y − 16z = Lời giải Ta có v = (α, β, γ) = (2, 0, 2) = vector phương tiệm cận (S) (α, β, γ) nghiệm phương trình: 2α2 + 5β + 6γ + 2αβ + 12βγ − 8γα = Mặt phẳng tiếp xúc Định nghĩa Đường thẳng cắt mặt bậc hai hai điểm trùng gọi tiếp tuyến với mặt bậc hai điểm trùng Quỹ tích tiếp tuyến điểm gọi mặt phẳng tiếp xúc với mặt điểm Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt bậc hai điểm M (x0 , y0 , z0 ) có dạng: (x − x0 )Fx (x0 , y0 , z0 ) + (y − y0 )Fy (x0 , y0 , z0 ) + (z − z0 )Fz (x0 , y0 , z0 ) = (5) Chứng minh Gọi mặt bậc hai (S) : F (x, y, z) = Gọi M (x0 , y0 , z0 ) ∈ (S) Phương trình tham số đường thẳng (d) qua M nhận v = (α, β, γ) = làm vector phương là: Nhóm 10 Trang HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI   x = x0 + αt y = y0 + βt   z = z0 + γt (t ∈ R)(i) Thay (i) vào F (x, y, z) = 0, ta có: = a11 (x0 + αt)2 + a22 (y0 + βt)2 + a33 (z0 + γt)2 +2a12 (x0 + αt)(y0 + βt) + 2a23 (y0 + βt)(z0 + γt) + 2a13 (z0 + γt)(x0 + αt) +a14 (x0 + αt) + a24 (y0 + βt) + a34 (z0 + γt) + a44 Từ phương trình trên, ta suy phương trình bậc hai ẩn t có dạng: P t2 + Qt + R = Để (d) tiếp tuyến mặt bậc hai phương trình (ii) có nghiệm kép P =0 Suy ra: Q2 − 4P R = Ta tính R = F (x0 , y0 , z0 ) = Q = suy ra: α(2a11 x0 + 2a12 y0 + 2a13 z0 + 2a14 ) + β(2a12 x0 + 2a22 y0 + 2a23 z0 + 2a24 )+ +γ(2a13 x0 + 2a23 y0 + 2a33 z0 + 2a34 ) = ⇐⇒ αFx (x0 , y0 , z0 ) + βFy (x0 , y0 , z0 ) + γFz (x0 , y0 , z0 ) = Từ ta có: (x − x0 )Fx (x0 , y0 , z0 ) + (y − y0 )Fy (x0 , y0 , z0 ) + (z − z0 )Fz (x0 , y0 , z0 ) = (ii) Nhận xét Mặt phẳng tiếp xúc giao với mặt bậc hai theo đường cong bậc hai suy biến Ví dụ Cho mặt bậc hai (S) : 2x2 + 5y + 8z + 2xy + 12yz + 6zx + 8x + 14y + 18z = Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) M (1, 1, 2) Hình 6: 2x2 + 5y + 8z + 2xy + 12yz + 6zx + 8x + 14y + 18z =   Fx = 4x + 2y + 6z + Lời giải Ta có: Fy = 2x + 10y + 12z + 14   Fz = 6x + 12y + 16z + 18 Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) M (1, 1, 2) có dạng: (x − 1)Fx (1, 1, 2) + (y − 1)Fy (1, 1, 2) + (z − 2)Fz (1, 1, 2) = ⇐⇒ 27(x − 1) + 50(y − 1) + 68(z − 2) = ⇐⇒ 27x + 50y + 68z − 213 = Vấn đề 1: Giao tuyến hai mặt bậc hai Ví dụ Tìm giao tuyến hai mặt bậc hai (S1 ) : x2 + y − z = a2 (S2 ) : x2 − y = 2az với a ∈ R Phương pháp Giải hệ phương trình gồm hai mặt bậc hai Nhóm 10 Trang HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI Lời giải Để tìm giao tuyến (S1 ) (S2 ), ta xét hệ phương trình sau: x2 + y − z = a x2 − y = 2az (i) (ii) (6) √ √ Lấy (i) − (ii) vế theo vế, ta được: 2y = (z − a)2 ⇐⇒ y √2 = z − a hay y √2 = a − z Lấy (ii) − (i) vế theo vế, ta được: 2x2 = (z + a)2 ⇐⇒ x = z + a hay x = −z − a √ √ y = z − a hay y = a − z √ √ Do đó, hệ (7) tương đương với: x = z + a hay x = −z − a Vậy giao tuyến (S1 ) (S2 ) đường thẳng: √ y 2−z+a=0 √ x 2−z−a=0 √ y 2−z+a=0 √ ; x 2+z+a=0 √ y 2+z−a=0 √ ; x 2−z−a=0 √ y 2+z−a=0 √ ; x 2+z+a=0 Vấn đề 2: Giao tuyến mặt bậc hai với mặt phẳng Ví dụ Cho mặt nón tròn xoay (S) : x2 + y − z = Cho mặt phẳng (P ) : Ax − By + Cz + D = (1) cắt (S) theo giao tuyến (∆) Tìm điều kiện A, B, C, D để (∆) đường tròn Hình 7: x2 + y − z = Lời giải Ta có: (S) nhận trục Oz làm trục đối xứng nên giao mặt nón với mặt phẳng song song với (Oxy) đường tròn Do đó: (∆) đường tròn (P ) (Oxy) suy ra: phương trình (P ) có dạng αz + β = (α = 0) (2) Đồng (1) (2) ta thu A = B = 0, C = 0, D ∈ R Vậy A = B = 0, C = 0, D ∈ R (∆) đường tròn Ví dụ Cho mặt bậc hai (S) : y + z = x Tìm giao tuyến (S) với mặt phẳng toạ độ Hình 8: y + z = x Lời giải Ta tìm giao tuyến (S) với mặt phẳng toạ độ Tìm giao tuyến (S) với (Oxy) : z = z=0 z=0 Hệ phương trình giao tuyến: ⇐⇒ 2 y +z =x y2 = x Nhóm 10 Trang HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI Vậy giao tuyến (S) với (Oxy) Parabola nằm (Oxy) có đỉnh gốc toạ độ O(0, 0, 0), tham số tiêu p = 12 , nhận tia Ox làm trục đối xứng Tìm giao tuyến (S) với (Ozx) : y = y=0 y=0 ⇐⇒ Hệ phương trình giao tuyến: z2 = x y2 + z2 = x Vậy giao tuyến (S) với (Ozx) Parabola nằm (Ozx) có đỉnh gốc toạ độ O(0, 0, 0), tham số tiêu p = 12 , nhận tia Ox làm trục đối xứng Tìm giao tuyến (S) với (Oyz) : x =  x =  x=0 Hệ phương trình giao tuyến: ⇐⇒ y=0  y2 + z2 = x  z=0 Vậy giao tuyến (S) với (Oyz) gốc toạ độ O(0, 0, 0) Mặt kính liên hợp với phương Định nghĩa Ta có v = (α, β, γ) = vector phương tiệm cận mặt kính liên hợp với phương v có phương trình: αFx + βFy + γFz = (7) Chứng minh Gọi đường thẳng (d) có phương v cắt (S) hai điểm M, N Gọi I(x0 , y0 , z0 ) trung điểm M N Phương trình tham số đường thẳng (d) qua I nhận v = (α, β, γ) = làm vector phương là:   x = x0 + αt y = y0 + βt (t ∈ R)(i)   z = z0 + γt Thay (i) vào F (x, y, z) = 0, ta có: = a11 (x0 + αt)2 + a22 (y0 + βt)2 + a33 (z0 + γt)2 +2a12 (x0 + αt)(y0 + βt) + 2a23 (y0 + βt)(z0 + γt) + 2a13 (z0 + γt)(x0 + αt) +a14 (x0 + αt) + a24 (y0 + βt) + a34 (z0 + γt) + a44 Từ phương trình trên, ta suy phương trình bậc hai ẩn t có dạng: P t2 + Qt + R = Do M ∈ (d) N ∈ (d) nên ta gọi: (ii) • M (x0 + αt1 , y0 + βt1 , z0 + γt1 ) • N (x0 + αt2 , y0 + βt2 , z0 + γt2 ) Vì I trung điểm M N nên ta có:   2xI = xM + xN ⇐⇒ 2yI = yM + yN   2zI = zM + zN   2x0 = 2x0 + αt1 + αt2 2y0 = 2y0 + βt1 + βt2   2z0 = 2z0 + γt1 + γt2   α(t1 + t2 ) = ⇐⇒ β(t1 + t2 ) =   γ(t1 + t2 ) = mà v = nên suy t1 + t2 = ⇐⇒ t1 = −t2 (ii) nhận t1 , t2 nghiệm nên Q = Vậy, αFx + βFy + γFz = Nhận xét Mặt kính liên hợp quỹ tích trung điểm M N (M ,N giao điểm d (S)) Ví dụ Tìm phương trình mặt kính x2 + y2 16 + z2 = liên hợp với phương v = (2, 1, 2) Lời giải Phương trình mặt kính cần tìm là: 2Fx (2, 1, 2) + Fy (2, 1, 2) + 2Fz (2, 1, 2) = ⇐⇒ Nhóm 10 4x y + + z = ⇐⇒ 32x + 9y + 72z = Trang HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI Hình 9: x2 + y2 16 + z2 =1 Bài tập Bài tập Cho mặt cầu (S) : (x − 4)2 + (y − 7)2 + (z + 1)2 = 36 mặt phẳng (P ) : 3x + y − z − = Chứng minh (S) (P ) cắt theo giao tuyến đường tròn Tìm tâm bán kính đường tròn Bài tập Chứng minh giao tuyến mặt cầu (S1 ) : x2 + y + z − 50z = mặt bậc hai 2 (S2 ) : x5 + y4 = 2z đường tròn Tìm bán kính đường tròn Bài tập Tìm phương trình mặt kính liên hợp mặt bậc hai: (S) : 2x2 + 5y + 8z + 12yz + 6zx + 2xy + 8x + 14y + 18z = Biết (S) liên hợp với dây song song với: a (d) : x−5 = y = z+1 −5 b Trục Ox c Trục Oy d Trục Oz Bài tập Cho mặt bậc hai (E) : x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 =1 a Khi a = b = c (E) trở thành mặt gì? b Cho a ≥ b ≥ c Chứng minh c ≤ OM ≤ a, ∀M ∈ (E) c Chứng minh a > b > c giao tuyến (E) với mặt phẳng (P ) : x b2 − a2 ±z c2 − b2 =0 đường tròn Nhóm 10 Trang ... đề 1: Giao tuyến hai mặt bậc hai Ví dụ Tìm giao tuyến hai mặt bậc hai (S1 ) : x2 + y − z = a2 (S2 ) : x2 − y = 2az với a ∈ R Phương pháp Giải hệ phương trình gồm hai mặt bậc hai Nhóm 10 Trang... cắt mặt bậc hai hai điểm trùng gọi tiếp tuyến với mặt bậc hai điểm trùng Quỹ tích tiếp tuyến điểm gọi mặt phẳng tiếp xúc với mặt điểm Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt bậc hai điểm M (x0... HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI Mặt bậc hai Định nghĩa Mặt bậc hai không gian A3 tập hợp S gồm tất điểm M có tọa độ (x, y, z) mục tiêu cho thoả mãn phương trình bậc hai dạng: F (x, y, z) = a11