Mối quan hệ giữa đại số - hình học qua phép tịnh tiến
Chun đề phương pháp LỜI NĨI ĐẦU Để hồn thành tiểu luận này, em xin chân thành cảm ơn Lê Thị Hồi Châu có giúp đỡ hướng dẫn tận tình Đây đề tài mẻ nên có cố gắng đầu tư vào tiểu luận, nhiên khó tránh khỏi hết thiếu sót, mong bạn khác có dịp đọc góp ý, sửa chữa bổ sung để góp phần cho tiểu luận hồn chỉnh Xin chân thành cám ơn Với kiến thức nhiều hạn chế nguồn tư liệu thiếu khó tránh khỏi phân tích mang tính chủ quan chương trình, sách giáo khoa Nếu lỡ vướng phải sai sót gì, thành thật xin lỗi tác giả sách giáo khoa Mong tác giả thông cảm Sinh viên thực Thổ Thị Nhớ Thổ Thị Nhớ Chuyên đề phương pháp PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài : • Đại số-Giải tích-Hình học mơn cấu thành nên khoa học Tốn học Do đó, việc nghiên cứu mối quan hệ ĐS-GT-HH việc làm cần thiết Hơn nữa, hiểu rõ mối quan hệ mơn này, ta có nhìn biện chứng ngành khoa học Tốn học • Ngày nay, giáo dục giới coi trọng việc dạy học liên môn: môn học với phân môn môn học Việt Nam dần tiếp cận với xu hướng dạy học • Trong chương trình Tốn trường THPT nay, mơn Tốn thường chia thành : ĐS-GT HH Điều mặt tích cực giúp cho HS thấy cấu trúc chương trình tiếp thu kiến thức cách có hệ thống mặt khác lại làm cho em nghĩ môn độc lập lẫn nhau, khơng có mối quan hệ gắn bó với • Thực tế chứng minh điều đó, đại đa số em cho môn riêng lẻ Ở môn em tiếp thu kiến thức giải tập theo mơn mà khơng nhận mối liên hệ môn với nhau, không thấy ứng dụng môn với mơn cịn lại Về phía GV, họ khơng có trách nhiệm việc truyền thụ cho em học sinh thấy mối quan hệ môn mà em học ĐS-GT-HH thông qua việc giảng dạy kiến thức giải tập Đối với họ, điều khơng thật cần thiết • Đây đề tài mà từ trước đến người nghiên cứu chưa có cơng trình cụ thể Vì lý đây, định chọn đề tài: Mối quan hệ ĐS-GT-HH SGK Toán trường THPT Hy vọng qua nghiên cứu nhỏ này, thấy rõ mối quan hệ ba mơn Tốn học qua việc phân tích sách với lí thuyết tập , mong có Thổ Thị Nhớ Chuyên đề phương pháp thể giúp bạn đọc nắm rõ dạy học liên qan đến phép tịnh tiến II Định hướng nghiên cứu: Thu hẹp đề tài : Đây đề tài rộng Tốn học mơn ĐS-GT-HH mn màu mn vẻ Do đó, nghiên cứu này, thu hẹp mối quan hệ ĐS-HH thể phần đồ thị “ứng dụng phép tịnh tiến nghiên cứu vẽ đồ thị hàm số” ứng dụng rõ mối quan hệ ĐS-HH hay không ?các đồ thị hàm số hệ trục toạ độ ln có mối quan hệ với thân việc v4 đồ thị có mối liên quan nắm điều việc vẽ đồ thị hàm số phức tạp trở nên đơn giản Mục đích nghiên cứu: Việc nghiên cứu dừng lại công việc sau đây: 2.1 Trả lời cho câu hỏi: Phép tịnh tiến trình bày đại số hình học ?ứng dụng nghiên cứu vẽ đồ thị hàm số ? Sgk thể mối quan hệ ĐS-HH ( ứng dụng phép tịnh tiến) qua hệ thống lí thuyết tập ? Thể đầy đủ hay chưa ? Qua việc trình bày sgk học sinh có thấy rõ mối quan hệ phân mơn tốn học , xác có thấy ứng dụng phép tịnh tiến việc nghiên cứu vẽ đồ thị hàm số khơng ? 2.2 Tổng hợp lại dạng tốn thể rõ nét mối quan hệ hệ thống tập chương trình Tốn phổ thơng nhằm giúp GV HS thấy rõ mối quan hệ này.đồng thời mở rộng thêm số dạng toán khác giải nhờ phép tịnh tiến III Phương pháp nghiên cứu: Tham khảo tổng hợp lại số tài liệu nghiên cứu khái niệm phép biến hình Phân tích SGK Tốn : Bộ 1: * Đại số 10, Sách chỉnh lí hợp năm 2000, Trần Văn Hạo chủ biên [M1] * Hình học 10, Sách chỉnh lí hợp năm 2000, Văn Như Cương chủ biên [M2] Bộ 2: * Đại số 10 ban nâng cao , 1, trần văn hạo tổng chủ biên [M3] *đại số 10, SGK ban , 1, Đoàn Quỳnh tổng chủ biên [M4] Tham khảo đề cương tập Toán trường THPT Thổ Thị Nhớ Chuyên đề phương pháp NỘI DUNG NGHIÊN CỨU A.SƠ LƯỢC HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM 1.PHÉP BIẾN HÌNH : Phép tịnh tiến phép dời hình thuận phép dời hình dạng phép biến hình được nghiên cứu trường phổ thơng việc nghiên cứu lịch sử phép tịnh tiến ngiên cứu lịch sử phép biến hình Phần viết dựa vào [M8 ] Euclide nhà Toán học, Triết học Hy Lạp, sống vào kỉ thứ trước cơng ngun Ơng đặt móng cho đời việc xây dựng lý thuyết hình học theo tư tưởng phương pháp tiên đề Tác phẩm toán học tiếng ông Cơ sở gồm 13 tập đóng góp xuất sắc cho việc xây dựng phát triển hình học Trong hình học Euclide, đối tượng nghiên cứu hình xét tổng thể với tư cách hình dạng Phép biến hình khơng phải đối tượng nghiên cứu, ngầm ẩn xuất tình so sánh hai hình, hiểu theo nghĩa phép chuyển dời hình từ vị trí sang vị trí khác, chưa xem xét tác động lên không gian điểm Cho đến kỉ thứ 17, 18, với hàng loạt cơng trình nghiên cứu nhà toán học như: Desargues (1591-1661), Pascal (1623-1662), De La Hir (1640-1718), Newton (1642-1727) …phép biến hình xuất công cụ ngầm ẩn để chuyển tính chất hình học (bất biến) từ hình sang hình kia, sử dụng để giải số tốn Tuy nhiên, phép biến hình xét ngữ cảnh đường cơnic, có phép chiếu sử dụng Phép biến hình chưa xem đối tượng nghiên cứu.Từ “phép biến hình” đưa vào thuật ngữ mô tả khơng phải đối tượng tốn học Cuối kỉ 18, phép biến hình trở thành đối tượng nghiên cứu Toán học Nghiên cứu cách hệ thống đối tượng “phép biến hình” Bellavitis (1803-1880) trình bày Lý thuyết hình ơng sau số nhà tốn học khác bổ sung thêm Ở giai đoạn này, quan niệm phép biến hình gắn liền với quan niệm xem hình tập hợp điểm, mà hình học giải tích đóng vai trị quan trọng việc hình thành quan niệm Có thể nói phương pháp tọa độ Descartes (1596-1650) Fermat (1601-1665) phát minh đem lại thay đổi quan trọng quan niệm hình, cho Thổ Thị Nhớ Chun đề phương pháp phép chuyển từ cách nhìn hình tổng thể vào cách nhìn theo điểm Cụ thể hơn, việc thiết lập mối liên hệ giải tích điểm với toạ độ tất yếu dẫn đến chỗ phải hiểu hình tập hợp điểm Quan niệm tập hợp điểm đóng vai trị quan trọng lịch sử hình thành phát triển lý thuyết phép biến hình Đến cuối kỉ 19, phép biến hình khơng sử dụng cơng cụ để dựng hình hay tính chất hình Khái niệm nhóm phép biến hình đời từ vấn đề xếp tính chất bất biến phép biến hình Chính từ phát triển lý thuyết nhóm đại số Galois (1811-1832), nhà toán học Đức, Felix Klien (1849-1925) nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm Ơng phân loại tính chất hình học theo phép biến hình bảo tồn tính chất Với cơng trình ông, hình học đặc trưng bất biến phép biến hình xác định Việc hiểu khái niệm “phép biến hình” phân thành cấp độ: + Cấp độ 1: Phép biến hình gắn liền với mối liên hệ hình dáng hai hình hai phần hình (đặc trưng hàm hoàn toàn vắng mặt) + Cấp độ 2: Phép biến hình hiểu ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng qt hơn, từ khơng gian, lên nó, mặt phẳng khơng gian nghiên cứu với tư cách tập hợp điểm + Cấp độ 3: Phép biến hình xem cơng cụ giải tốn hình học + Cấp độ 4: Phép biến hình xem phần tử nhóm dùng để phân loại lý thuyết hình học Trong việc dạy-học chủ đề phép biến hình trường phổ thông, người ta không yêu cầu phải đạt đến cấp độ ( mà mong muốn ngầm tạo nên biểu tượng cấu trúc đại số, làm chỗ dựa để sau học sinh tiếp cận với tốn học đại ) cấp độ lại trọng tâm, cấp độ đòi hỏi cao thấp tùy thể chế dạy học SƠ LƯỢC MỐI QUAN HỆ GIỮA ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC: Phần viết dựa [M5,6] Trong lịch sử , quan hệ Đại số Hình học trước hết chỗ hình học cho phép giải số toán đại số mà lời giải khó tịm thấy phạm vi đại số Trong giai đoạn đầu hình học đóng vai trị thống trị tốn đại số khó chuyển sang hình học Vào kỉ XVII, Descartes cho cơng bố HÌNH HỌC tác phẩm LUẬN VỀ PHƯƠNG PHÁP Từ tác phẩm này, mơn hình học giải tích – kết hợp hình học đại số đời Ngoài Descartes , Fermat nghiên cứu đưa sở cho mơn hình học giải tích Cả hai ơng chung tư tưởng , biểu diễn quan hệ hình họcbằng phương trình đại số thơng qua trung gian hệ toạ độ Nhờ phương pháp , tốn hình học chuyển thành toán đại số việc giải toán thứ hai thường dễ thực giải trực tiếp toán ban đầu khái niệm đồ thị hàm số tầm quan trọng :[M9] Khái niệm : Thổ Thị Nhớ Chuyên đề phương pháp Đại số (NXBGD 1980) : Đồ thị hàm số y=f(x)là quỹ tích điểm mà toạ độ (x;y) liên hệ với mặt phẳng toạ độ với x thuộc D Đại số 10(NXBGD 2006) : Đồ thị hàm số y=f(x) xác định tập D tập hợp tất điểm M(x;f(x)) mặt phẳng toạ độ với x thuộc D Từ định nghĩa đồ thị ta nhận thấy , phương tiện phản ánh trực quan hầu hết tính chất hàm số : Các hàm số trường phổ thông liên tục miền xác định , đồ thị hàm số đường cong liên tục điều cho phép vẽ đồ thị cách vẽ điểm nối điểm rời rạc đường cong liền Với nhận thức từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng , đồ thị xem phương tiện quan trọng để khảo sát hàm số Từ đồ thị suy biến thiên hàm số ( tăng , giảm , liên tục ,cực đại , cực tiểu …) cách tiếp cận phù hợp với đổi dạy học , giáo viên tổ chức hoạt động cho học sinh , qua học sinh tự khám phá , rút kết luận khoa học cần thiết đồ thị trở thành phương tiện nhận thức Và ta biết điều việc dạy học vẽ đồ thị trước sau học đạo hàm khác Học sinh học tốn ngồi u cầu làm thuật tốn cịn địi hỏi hợp lí , ngắn gọn , tư nhạy bén Do đồ thị việc vẽ đồ thị hàm số phức tạp sở vẽ đồ thị hàm số hàm đơn giản nhờ thực phép biến đổi đồ thị : tịnh tiến , đối xứng … ĐIỂM QUA VIỆC DẠY PHÉP BIẾN HÌNH TRONG TRƯỜNG PHỔ THƠNG CỦA MỘT SỐ NƯỚC :[M5] Cộng hoà Pháp : Kiến thức phép biến hình trường phổ thơngcủa cộng hồ pháp từ năm 1920 chủ đề phép biến hình dạy rải rác nhiều năm , phân thành hai giai đoạn hai giai đoạn việc trình bày khái niệm phép biến hình cụ thể gắn liền với hình học quen thuộc , đích cần đạt cách hiểu phép biến ánh xạ điểm từ khơng gian lên phép biến hìn ứng dụng nhiều vào việc nghiên cuu71cac1 hình học quen thuộc để giải toán Nhật Bản : Liên quan đến chủ đề “phép biến hình ”, chương trình trường phổ thơng nhật có cấu trúc : bậc tiểu học ( lớp đến lớp )tập trung vào hoạt động hình học gấp hình , vẽ hình , di chuyển hình , phóng đại Thổ Thị Nhớ Chuyên đề phương pháp thu nhỏ hình để có biểu tượng ban đầu phép dời hình phép đồng dạng phép tịnh tiến phép đối xứng trục , phép đối xứng tâm , phép quay giảng dạy lớp Liên bang Nga Trong chương trình trường phổ thơng liên bang nga chủ đề phép biến hình giảng dạy bậc tiểu học THCS B.Phân tích sách giáo khoa Ở khơng q trọng đến việc phân tích cách trình bày khái niệm phép tịnh tiến Sgk phổ thông mà chủ yếu phân tích để thấy góc độ thể mối quan hệ đại số hình học thể phần vẽ đồ thị hàm số số ứng dụng khác : tìm giá trị (x,y)thoả mãn điều kiện cho trước Ta xem qua [M1] : Thấy bóng dáng phép tịnh tiến xuất chương 2, , III phần 1cơng thức đổi trục toạ độ Và trình bày sau : Trong hệ trục toạ dộ Oxy , cho điểm I(x, y).lấy I làm gốc , ta dựng hệ trục toạ độ IXY cho IX song song hướng đơn vị với Ox , IY song song hướng đơn vị với Oy Gọi M điểm mặt phẳng , điểm M có toạ độ (x;y)trong hệ trục toạ độ Oxy có toạ độ (X;Y) hệ trục toạ độ IXY Ta tìm mối liên hệ cặp toạ độ (x;y) (X;Y) ta có : OM=OI+IM Chiếu vecto lên trục Ox vàOy ta x = x0 + X y = y0 + Y Công thức gọi công thức đổi trục toạ độ Thổ Thị Nhớ Chuyên đề phương pháp Y y y M Y X y0 I x0 x x Như tác giả lập công thức cơng thức đổi trục toạ độ , khơng nhắc đến phép tinh tiến Trong phần ; Nhận dạng đồ thị (C) hàm số y = ax + bx + c tác giả vận dụng công thức đổi trục toạ độ :chuyển phương trình đồ thị (C) hệ toạ độ Oxy thành Y = aX hệ toạ độ IXY Với : b x = − 2a + X ∆ b I − ; − , công thức đổi trục : 2a 4a y = − ∆ +Y 4a Tuy nhiên tập dạng tổng quát , sang phần ví dụ ta thấy công thức đổi trục toạ độ không nhắc đến , không củng cố học sinh khơng hiểu , mau chóng qn thấy có biết đến khơng dùng làm ứng dụng phép tịnh tiến không sử dụng Xét ứng dụng việc vẽ đồ thị hàm số quan trọng , có tác động lớn đến phát triển tư toán học cho học sinh Theo [M2]: Phép tịnh tiến trình bày chương 3: phép dời hình phép đồng dạng , Định nghĩa : Phép đặt tương ứng với điểm M điểm M’ cho ( v vecto cố định ) gọi phép tịnh tiến theo vecto v Các tính chất phép tịnh tiến : Định lí : Nếu phép tịnh biến hai điểm M , N thành điểm M’, N’ MN = M’N’ Nói cách khác phép tịnh tiến khơng làm thay đổi khoảng cách Thổ Thị Nhớ Chuyên đề phương pháp N M v v M’ N’ Từ định lí suy hệ : Hệ : phép tịnh tiến biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự điểm thẳng hàng Hệ 2: Biến đường thẳng thành đường thẳng Biến tia thành tia Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng Biến góc có số đo Biến tam giác thành tam giác nó, đường trịn thành đường trịn Áp dụng ; giải ví dụ Bài tập : có tập Căn vào nội dung trình bày ta thấy phép tịnh tiến hình học trình bày với nội dung khơng liên quan đến đại số , hồ phần đồ thị Lí thuyết tập đơn hình học Điều làm cho học sinh thấy phân mơn khơng có quan hệ với , đại số hồn tồn độc lập với hình học Trong SGK hình học ban nâng cao phép tịnh tiến không đề cập Trong [M3] : Trong mục đồ thị trình bày : Dưới ( xem đọc thêm ) ta thấy đồ thị hàm số y = ax + bx + c đường parabol sau số phép “dịch chuyển “trên mặt phẳng toạ độ Ở ta thấy cụm từ “ phép dịch chuyển ” thể phép biến đổi mà qua đồ thị xây dựng từ đồ thị cho Ở học sinh mờ mờ khái niệm phép dịch chuyển , khơng biết , tưởng phép biến đổi khác khong nghĩ phép tịnh tiến Qua đọc thêm : Đường parabol nói : Trong , ta khẳng định đồ thị hàm số bậc y = ax + bx + c đường parabol Dưới ta chứng tỏ điều cho thấy đường parabol suy từ parabol Y = aX nào: Đồ thị hàm số : y = ax + yo sau biến đổi công thức , đưa kết luận : Thổ Thị Nhớ Chuyên đề phương pháp Đồ thị hàm số y = ax + yo nhận từ đồ thị hàm số y = ax nhờ phép tịnh tiến song song với trục tung y0 đơn vị , lên yo > , xuống y0 < y x yo > Đồ thị hàm số y = a ( x + x0 ) : đồ thị hàm số y = a ( x + x0 ) nhận từ đồ thị hàm số y = ax nhờ phép tịnh tiến song song với trục hoành x0 đơn vị , lên xo > , xuống x0 < y x xo < Đồ thị hàm số y = ax + bx + c : Đồ thị hàm số y = ax + bx + c nhận từ đồ thị hàm số y = ax nhờ phép tịnh tiến song song với trục hoành b đơn vị , bên trái 2a 10 Thổ Thị Nhớ Chuyên đề phương pháp b b > , bên phải < , sau nhờ phép tịnh tiến song song với 2a 2a ∆ ∆ ∆ trục tung − đơn vị , lên − > , xuống − < 4a 4a 4a y a>0, b ∆ 0 2a 4a Ở ta thấy có khác biệt [M1] với [M3] : bên phép tịnh tiến trình bày mục cụ thể học , dạng công thức đổi trục toạ độ , bên trình bày đọc thêm nhung có nói rõ dùng phép tịnh tiến Cả hai dùng vào việc vẽ đồ thị hàm số từ đồ thị dã vẽ từ trước Tuy nhiên SGK [M3] trình bày rõ qua việc vẽ đồ thị đọc thêm nên quan tâm , không quan trọng tầm quan trọng phép tịnh tiến không sử dụng Nó trở thành mờ nhạt khơng củng cố qua tập Như , lần mối quan hệ , ứng dụng phép tịnh tiến không học sinh khai thác Trong [M4]: Xét chương , , mục có trình bày : sơ lược tịnh tiến đồ thị Như sgk hình học khơng đề cập tới kiến thức phép tịnh tiến trình bày , kiến thức đại số : a Tịnh tiến điểm : mặt phẳng toạ độ xét điểm M với số k >0 cho ta dịch chuyển điểm M: Lên xuống dưới( theo phương trục tung) k đơn vị Sang trái sang phải ( theo phương trục hoành ) k đơn vị Khi dịch chuyển M ta cịn nói tịnh tiến điểm M song song với trục toạ độ b Tịnh tiến dồ thị : Cho số k>0 tịnh tiến đồ thị (G) lên k đơn vị hình ( G1 ) , hình ( G1 ) có tịnh tiến đồ thị (G) lên k đơn vị Ta lưu ý chỗ : 11 Thổ Thị Nhớ Chuyên đề phương pháp Vấn đề : (G) đồ thị hàm số y=f(x) ( G1 ) có đồ thị hàm số khơng ? có ( G1 ) đồ thị hàm số ? Ở xuất nhu cầu , cần thiết phải đưa phép tịnh tiến Ta thấy có định lí thừa nhận : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đồ thị (G)của hàm số y=f(x) ; p, q hai số dương tuỳ ý : Tịnh tiến (G) lên q đơn vị đồ thị hàm số y=f(x) +q; Tịnh tiến (G) xuống q đơn vị đồ thị hàm số y=f(x) - q; Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị đồ thị hàm số y=f(x+p) ; Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị đồ thị hàm số y=f(x-p); ví dụ 1: Nếu tịnh tiến đường thẳng đường thẳng (d):y=2x-1 sang phải đơn vị đồ thị hàm số ? x 1 d1 y d2 ví dụ 2: Cho đồ thị (H)của hàm số y=1/x hỏi muốn có đồ thị hàm số y=(-2x+1)/x ta phải tịnh tiến (H) ? Sang phần hoạt động : Hãy chọn phương án trả lời phương án cho sau : Khi tịnh tiến parabol sang trái đơn vị , ta đồ thị hàm số ? ( A) : y = (2 x + 3) ( B) : y = x + (C ) : y = 2( x − 3) ( D) : y = x − Như nói , phép tịnh tiến khơng cịn phạm vi hình học mà thuộc phạm vi đại số kiến thức đưa , có ví dụ áp dụng , có thêm hoạt động Trong :Hàm số bậc , xét ví dụ 1: Đồ thị hàm số y = x + đường thẳng qua điểm A ( −2;0 ) B ( 0; ) Từ đẳng thức 2x+4=2(x+2 ) dễ suy đường thẳng thu B 12 Thổ Thị Nhớ Chuyên đề phương pháp từ đường thẳng (d): theo cách sau : A Tịnh tiến (d) lên đơn vị ; Tịnh tiến (d) sang trái đơn vị ; Đây ví dụ minh hoạ đồ thị hàm số bậc có dùng phép tịnh tiến để vẽ Tiếp theo đọc thêm :phép tịnh tiến hệ toạ độ Đây nói thêm phép tịnh tiến , có nói đến cơng thức đổi trục Trong [M1] Sang 3: Tiếp tục dùng phép tịnh tiến để vẽ đồ thị hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ ) tác giả thực hai phép tịnh tiến liên tiếp : P Tịnh tiến( ) sang phải p đơn vị p>0, sang trái p0 , xuống q đơn vị q