Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu nghiên cứu về đa tạp không giao hoán; định lý cơ bản; những cách tiếp cận khác; phiên bản connes về hình học không giao hoán; về các ứng dụng vật lý. Để nắm chi tiết nội dung mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.
TỔNG QUAN VỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAO HỐN Quangnx_ltd@yahoo.com Đa tạp khơng giao hốn Đa tạp (hoặc đa tạp khả vi) n-chiều đa tạp trơn mô tả hệ tọa độ địa phương x1 , , x n Nếu M đa tạp, hệ thống tất hàm khả vi vô tận tồn M ký hiệu C (M ) Các hàm thỏa mãn phép cộng nhân: ( f g )( x) f ( x ) g ( x ) ( fg )( x ) f ( x ) g ( x ) C (M ) đại số, đại số giao hoán Tồn đối tượng hình học khác M , chúng định nghĩa theo dạng đại số C (M ) Khái niệm trường vectơ Một trường vectơ hệ hàm X k (x ) với k 1, , n x x1 , , x n Trường vectơ có tốn tử vi phân: X 1 X n n x x Đây tốn tử tuyến tính từ C (M ) vào – tạm ký hiệu X X thỏa mãn phép tính theo cơng thức Leibniz: X ( fg ) X ( f ) g fX ( g ) Định lý: Các trường vectơ hay toán tử vi phân tương ứng, phép lấy đạo hàm C (M ) Tương tự cho đối tượng hình học khác M, form vi phân trường tensor , có định nghĩa túy đại số từ C (M ) Ngoài ra, cấu trúc khác đặt lên đa tạp M tensor metric Riemann với tensor cong, connection, đạo hàm hiệp biến, bó vector , định nghĩa nghiên cứu văn cảnh đại số Đại số C (M ) đặc trưng cho đa tạp M, thể định lý sau đây: Định lý: Hai đa tạp M Và N diffeomorphic (cùng đa tạp) đại số hàm C (M ) ) C (N ) đẳng cấu (cùng đại số) Mọi thuộc tính hình học vi phân đa tạp M mã hóa đại số C (M ) , điều minh họa sơ đồ sau đây: Đa tạp M → Đại số C (M ) → Các đối tượng hình học: trường vectơ, trường tensor, bó vectơ, metric Riemann, connection, đạo hàm hiệp biến, tensor độ cong,… Sơ đồ biểu thị thực tế mà hình học vi phân đa tạp M dựa vào đại số giao hoán, đại số C (M ) hàm khả vi vô tận Các thuật ngữ “giao hốn”, “hình học vi phân” “đa tạp giao hoán” dẫn tới gợi ý cho khái quát tự nhiên “hình học vi phân khơng giao hốn” “đa tạp khơng giao hốn” Thay cho đại số giao hoán A = C (M ) , đại số khơng giao hốn Aˆ , có theo cách hay từ C (M ) qua thủ tục biến dạng xác định Đa tạp giao hoán M ↓ Đại số A = C (M ) ↓ Các đối tượng hình học M, từ A = C (M ) Đa tạp khơng giao hốn ? ↓ → Đại số khơng giao hốn Aˆ ↓ → Các đối tượng hình học có từ Aˆ Nhiều định nghĩa hình học bình thường ý nghĩa văn cảnh đại số khơng giao hốn Định nghĩa trường vectơ phép lấy đạo hàm Aˆ ổn Định nghĩa form vi phân với đạo hàm exterior, với hầu hết thuộc tính thơng thường, cho trường tensor Các bó Vector đạo hàm hiệp biến xuất cách tiếp cận theo dạng riêng Một câu hỏi: " Các đối tượng hình học có từ Aˆ nằm khơng gian gì?" Thật hay trả lời: " đa tạp khơng giao hốn " Tuy nhiên, không gian không tồn Không có đa tạp nằm bên Nói cách xác, Các đối tượng hình học có từ Aˆ có ý nghĩa giới túy đại số Những đa tạp khơng giao hốn khơng tồn Nó khái niệm ảo đạo trực giác cơng việc cấu trúc đại số sinh từ hình học vi phân bình thường Định lý Trong mục ta bàn luận định lý cổ điển giải tích hàm (đại số tuyến tính vơ hạn chiều), cung cấp nhìn khơng gian khơng giao hốn Thật ra, chứng minh Gelfand Naimark từ năm 1940 hình học khơng giao hốn chưa tồn Để phát biểu định lý, ta nhắc đến hai khái niệm 1/Không gian topo: Là tập họp theo nghĩa hệ thống tập mở, hôi tụ, giới hạn liên tục Một khơng gian topo biến dạng, kéo căng, không bị xé rách Bề mặt hình cầu hình khối lập phương không gian ba chiều không gian topo Các khơng gian topo compact, thuộc tính ln ln làm đơn giản hóa nhiều vấn đề Ở n-chiều, khơng gian Euclide compact theo nghĩa đóng (chứa tất điểm giới hạn) có biên Các hàm phức liên tục không gian topo X tạo thành đại số giao hoán, ký hiệu C (X) 2/ C*- Đại số: Khi nhà vật lý nói đại số họ thường hàm ý nói đại số Lie Ví dụ đại số cụ thể: đại số giao hoán hàm C (M ) hay C (X), đại số khơng giao hốn ma trận vng Trong phần tử đại số định chuẩn, “độ lớn”, hay norm, ký hiệu a , có tính chất bất đẳng thức tam giác Norm định nghĩa khái niệm hội tụ dãy phần tử Một đại số định chuẩn gọi đầy đủ dãy Cauchy hội tụ, đại số định chuẩn đầy đủ gọi đại số Banach Trong *- đại số, phần tử a có phần tử liên hợp hermitic a*, với thuộc tính hiển nhiên (a*)*= a (ab)*= b*a* Cuối cùng, đại số Banach với a a a , phần tử a, gọi C*- đại số Định lý Gelfand- Naimark: 1) Đại số hàm liên tục C(X) không gian topo compact X đại số giao hoán C*- đại số, mà cực đại hàm f f , liên hợp phức fˆ liên hợp hermitic f * 2) Cho đại số giao hốn phức C*- đại số A, xây dựng không gian topo compact X nhất, đại số A xác định với đại số C(X) Điều có nghĩa là, có phép tương ứng 1- không gian topo compact C*- đại số Định lý ngụ ý thông tin khơng gian topo compact mã hóa đại số hàm Khơng gian tự phục hồi theo cách định từ đại số Nghiên cứu C*- đại số giao hoán nhằm nghiên cứu không gian topo compact, ngược lại Từ quan điểm chung hình học khơng giao hốn giải thích trên, gợi ý: Nghiên cứu C*- đại số khơng giao hốn nhằm nghiên cứu khơng gian topo compact khơng giao hốn Có thể minh họa điều sơ đồ: Không gian topo compact X Không gian topo khơng giao hốn? ↓↑ ↓? C*-Đại số giao hốn A = C(X) → C*-Đại số khơng giao hốn Aˆ ↓(định lý GN) ↓ Các đối tượng topo → Các đối tượng theo cách tương tự X, từ A =C(X) (K-lý thuyêt) có từ Aˆ (K-lý thuyết) Tương tự trường hợp đa tạp, không gian topo khơng giao hốn khơng tồn tại, chúng hướng dẫn trực giác nghiên cứu C*-đại số không giao hoán tổng quát Điều xảy topo đại số “K-lý thuyết”, hữu hiệu khảo sát vấn đề khơng giao hốn tổng quát Những cách tiếp cận khác Thuật ngữ hình học khơng giao hốn nói chung liên quan đến công việc Alain Connes Tuy nhiên, trước bàn luận điều này, Ta tóm tắt lại cách tiếp cận khác, hay thực ý tưởng Cơ học cổ điển có khơng gian pha Cho hệ thống N hạt không tương đối tính, khơng gian Euclide 6N-chiều, cho bối cảnh khác, ví dụ, chuyển động hạt bề mặt, ràng buộc định, đa tạp vi phân không tầm thường Đây kiểu đa tạp đặc biệt, symplectic Những tọa độ đặc biệt, tọa độ tắc q j moment p j Theo góc độ vật lý, lượng, momen góc,… hàm tọa độ Vì ta có đa tạp M, khơng gian pha, đại số A = C (M ) Thuyết lượng tử tương ứng tồn việc định nghĩa tốn tử khơng gian Hilbert H, tốn tử Qˆ j , Pˆ j thỏa mãn hệ thức giao hoán Heisenberg, đến biểu thức toán tử f ( p, q ) fˆ ( qˆ , pˆ ) , có nghĩa ta thay đại số giao hoán cổ điển A = C (M ) đại số không giao hốn quan điểm lượng tử Aˆ , gồm có tốn tử khơng gian Hilbert H Sơ đồ trước vẽ lại: Khơng gian pha (đa tạp symplectic M với tọa độ p j , q j ) Khơng gian pha khơng giao hốn? ↓ ↓? Đại số giao hoán A = C (M ) → Đại số khơng giao hốn Aˆ (của hàm f ( p, q ) M) (của tốn tử khơng gian Hilbert H ) ↓ ↓ Cơ học cổ điển → Cơ học lượng tử ( với tiến hóa theo thời gian ( với tiến hóa theo thời gian đối xứng) đối xứng) Chú ý quan niệm vật lý học lượng tử đại diện tốn tử tự liên hợp hermitic Chúng khơng tạo thành đại số, tích hai tốn tử hermitic nói chung khơng hermitic, trừ chúng giao hốn Do đại số Aˆ đại số phức tốn tử, có tốn tử hermitic nhúng vào Tương tự đại số A = C (M ) gồm hàm phức khả vi vô tận đa tạp M, với hàm thực đại số theo quan điểm vật lý, nên lưu ý phân biệt tốn tử có biên khơng có biên Ý tưởng ban đầu lượng tử hóa, xây dựng nên lý thuyết học lượng tử từ lý thuyết cổ điển cho, đơn giản là: Các biểu thức cổ điển f ( p j , q j ) dẫn toán tử fˆ ( Pˆ , Qˆ j ) học lượng tử Ngoài bracket Poisson { f,g} trở thành j giao hoán tử i fˆ , gˆ Tuy nhiên gán ghép khơng rõ ràng Các tốn tử Pˆ j Qˆ k khơng phải giao hốn, gán biểu thức toán tử tới hàm pˆ j , qˆ k , đa thức, chưa ổn Những lựa chọn khác khả dĩ, dẫn đến cách lượng tử hóa khác lý thuyết cổ điển cho Lưu ý quan hệ bracket Poisson cổ điển giao hoán tử lượng tử phức tạp so với quan hệ 1-1 đơn giản đề cập trên, vốn dạng bậc thấp chuỗi lũy thừa theo cách đối xứng hóa (lượng tử hóa Weyl), hay lượng tử hóa Moyal Hai lượng tử hóa có ý nghĩa cho khơng gian pha tuyến tính đơn giản Từ khởi đầu lý thuyết lượng tử, người ta tìm kiếm thủ tục lượng tử hóa dễ hiểu phân loại thủ tục khác Từ trước 1970, Flator, Sternheimer Lichnerowicz phát triển hướng tiếp cận gọi lượng tử hóa biến dạng Họ không gian pha, đa tạp symplectic tổng quát (hay đa tạp Poisson), với đại số giao hoán quan điểm cổ điển C (M ) cố gắng xây dựng đại số khơng giao hốn quan điểm lượng tử, việc định nghĩa C (M ) khơng gian vectơ với định nghĩa tích khơng giao hốn gọi tích sao, ký hiệu * Cấu trúc sử dụng chuỗi lũy thừa theo Tích * định nghĩa chuỗi lũy thừa, với bậc cho dạng tích giao hốn cổ điển dạng bậc chứa bracket Poisson cổ điển Họ chứng minh tích tồn số trường hợp khác đưa cấu trúc tường minh, phân loại theo ngôn ngữ lý thuyết đối đồng điều Kết đại số Aˆ tương tự A = C (M ) không gian vector, khác với đại số Đại số Aˆ lượng tự phải đại diện cho đại số tốn tử khơng gian Hilbert H Vài năm gần đây, có phát triển mạnh lượng tử hóa biến dạng lý thuyết túy tốn học Đó cách tiếp cận tới hình học khơng giao hốn John Madore Giovanni Landi, người mà hai có viết sách hình học khơng giao hốn theo cách tổng qt đặc biệt cơng trình nghiên cứu họ Julius Wess, nhà phát minh đối xứng siêu hấp dẫn, phát triển cách tiếp cận tọa độ x spacetime bị biến dạng, với [ x , x ] thay [ xˆ , xˆ ] i Cuối cùng, để thực hóa ý tưởng hình học khơng giao hoán, cần phải đề cập đến siêu đa tạp, siêu đối xứng siêu hấp dẫn Đại số Aˆ hàm siêu đa tạp đại số siêu giao hoán hay siêu đại số, khác với đại số giao hoán xuất dấu trừ Liệu có phải trường hợp này, đa tạp nằm bên tồn tập điểm, tương tự hình học giao hốn Phiên Connes hình học khơng giao hốn Lý thuyết tốn tử khơng gian Hilbert phát triển vào cuối năm 1920 đầu năm 1930 John volt Neumann, nhằm nghiên cứu toán học sở học lượng tử Connes phát triển trình bày rõ ràng hình học vi phân theo thuật ngữ đại số giao hốn, từ tổng qt hóa thành khơng giao hốn Hai giới thiệu đáng quan tâm: Hình học hình học metric Connes, nghiên cứu đa tạp với cấu trúc Riemann đưa tenxơ metric g Lorentz cho rằng:" Có thể nghe thấy hình dạng trống?" Về điều này, ông ta giải thích thuộc tính quan trọng hình dạng bề mặt hai chiều bị chặn bắt nguồn từ tính chất tiệm cận trị riêng rời rạc toán tử Laplace, giả định điều kiện biên định Theo nghĩa đó, Connes chấp nhận ý tưởng này, tìm thấy tương tự thú vị mang xa Ông ta xem xét đa tạp kích thước tùy ý, với cấu trúc Riemannian, đưa toán tử vi phân bậc 1, toán tử Dirac Ơng ta chứng minh đa tạp đó, bao gồm tensor metric hồn tồn tái tạo từ trị riêng rời rạc toán tử này, lưu ý đa tạp phải compact Ơng ta mã hóa thuộc tính phổ đối tượng toán học, gọi spectral triple, chứa liệu đại số mô tả đa tạp Riemann cách đầy đủ Điều có nghĩa trình bày rõ ràng hình học Riman bình thường hình học Riemann giao hốn Các spectral triple Giao hoán Xét đa tạp n-chiều compact với metric Riemann M, tensor metric g, hay g hệ tọa độ địa phương Dưới điều kiện bổ sung cấu trúc spin Điều có nghĩa là, tồn không gian trường spinor ψ(x) M ( phần bó spinor), tốn tử Dirac tác động, hệ tọa độ địa phương toán tử vi phân D = i x với ma trận- Dirac thỏa điều kiện g Lưu ý rằng, trường hợp tổng quát, g phụ thuộc x = x1 , , x n Tồn tích vơ hướng tự nhiên trường spinor, làm cho không gian trường trở thành không gian Hilbert H, D tốn tử tự liên hợp hermitic Trường spinor H nhân hàm M Theo cách C (M ) đại diện cho đại số A toán tử H Connes gọi hệ thống gồm H , đại số A = C (M ) toán tử Dirac D, spectral triple (H ,A,D) liên hệ với đa tạp Riemann (M.g) Ơng ta trình bày số thuộc tính đại số hệ thống này, đặc trưng đặc tính khác đa tạp metric Sau đó, Ơng ta chứng minh định lý, gọi định lý Gelfand- Naimark cho đa tạp Riemann compact spectral triple Định lý: Đối với đa tạp Riemann compact ( M, g) tồn mối liên hệ đến spectral triple (H,A,D) xác định Đối với spectral triple (H ,A,D) , với không gian Hilbert H , đại số giao hoán toán tử H , toán tử tuyến tính D H (thỏa mãn thuộc tính) tồn đa tạp có tính compact ( M, g) cho (H ,A,D) spectral triple liên quan đến ( M, g) Hơn nữa, đa tạp M tensor metric g xây dựng từ (H ,A,D) Khái niệm spectral triple, khái niệm đại số trừu tượng, khái quát hóa thành phiên tồn đại số khơng giao hốn Aˆ Các spectral triple khơng giao hốn Định nghĩa: Một spectral triple khơng giao hốn hệ thống (H ,A,D) gồm có đối tượng: Không gian Hilbert H Đại số khơng giao hốn Aˆ tốn tử H Toán tử tự liên hợp hermitic D H thỏa mãn danh sách tiên đề, thuộc tính đề cập trước Một hệ thống vậy, theo Connes, hình học khơng giao hốn Ý tưởng trực giác đằng sau quan điểm minh họa sơ đồ: Đa tạp Riemann (M,g) Đa tạp Riemann không giao hoán? ↓↑(Định lý GN) ↓? Spectral triple (H, A, D) → Spectral triple (H, Aˆ , D) (đại số giao hốn A) (đại số khơng giao hốn Aˆ ) Connes, kết hợp với Giovanni Landi, Michel Dubois- Violette…đã xây dựng vài ví dụ hình học khơng giao hốn theo sơ đồ cho đa tạp cầu, biến dạng khơng giao hốn S S , hình cầu khơng gian kích thước Về ứng dụng vật lý Những nỗ lực ứng dụng vật lý hình học khơng giao hốn có thuyết lượng tử tương đối tính vật lý hạt Ý tưởng đằng sau hình học khơng giao hốn cho hiểu biết tốt không-thời gian thang vi mô Vấn đề nghiêm túc lý thuyết trường lượng tử, tính chất kỳ dị phân kỳ, biểu lộ khoảng cách cực ngắn Điều gợi ý tồn điều khác cách so với tranh không-thời gian chúng ta, vốn đa tạp Riemann 4-kích thước Cùng với John Lott, Connes khéo léo phát triển hình thức luận Mơ hình Tiêu chuẩn vật lý hạt sơ cấp khn khổ hình học khơng giao hốn, sau phát triển xa Thomas Schaucker, Daniel Kastler… Cách làm phù hợp hình thức luận đại số cho lý thuyết trường lượng tử nhiễu loạn phát triển Connes Dirk Kreimer Vào 1997 Connes, Albert Schwarz Micheal Douglas nêu quan hệ hình học khơng giao hốn lý thuyết M Cơng trình dẫn hình học khơng giao hốn thâm nhập vào giới dây Phiên Connes hình học khơng giao hoán áp dụng chủ đề khác, hiệu ứng Hall lượng tử Jurg Frohlich Jean Bellissard Đối với ứng dụng Lý thuyết trường tương đối tính Vật lý hạt sơ cấp, Hình học khơng giao hốn Connes tồn hai hạn chế: Nó có ý nghĩa cho không gian compact Connes xem xét hình học vi phân Euclide Riemann, tức với tensor metric dương Điều phản ánh quan tâm đến tính tổng quát Trong đa số sách nghiên cứu tốn, có quan tâm đến gọi đa tạp giả Riemann Tất nhiên, compact luôn dễ không compact Riemann dễ so với giả Riemann Tuy nhiên với vật lý, đặc biệt vật lý tương đối tính, yêu cầu đa tạp không compact với tensor metric không xác định Tồn đa tạp compact với metric bất định Vòng xuyến 2- kích thước, tất nhiên compact, dễ dàng có metric Minkơpxki Tuy nhiên khơng có khái niệm chấp nhận tính nhân quả, thời gian vòng tròn Điều xảy cho đa tạp giả Riemann compact Cho đến nói chung, vấn đề bị bỏ ngỏ Một đa tạp Riemann (hay giả Riemann) ( M, g) khái niệm kết hợp: Tồn đa tạp khả vi M nằm bên dưới, thêm vào có cấu trúc Riemann (hay giả Riemann) cho tensor metric g Để hiểu không compact, tính chất hàng đầu đa tạp, khác Riemann giả Riemann, thuộc tính cấu trúc metric đặt lên đa tạp, phải có phân biệt đa tạp tính chất metric Sự mô tả Connes (M, g) hộp đen, khó để nhìn thấy bảy thuộc tính phải làm với đa tạp liên hệ đến metric Do chương trình hiệu chỉnh mơ tả sau: Xét lại spectral triple Connes Nghiên cứu topo sau đa tạp khả vi Chứng minh định lý Gelfand Naimark cho đa tạp (có thể khơng compact) Có thể định lý khơng tồn tại, người ta chưa làm q khó khăn, topo học tập hợp điểm tiêu chuẩn giải tích hàm phải làm lại Tìm thay cho tốn tử Dirac Đây cơng việc thật khó khăn, cần có ý tưởng Xuất phát từ Connes, ý tưởng trực giác Riemann khơng giao hốn đa tạp cần phải có yếu tố độ dài ds lượng tử hóa Từ học lượng tử ơng ta lấy gợi ý theo cách mà khoảng cách lượng tử hóa phải nghịch đảo tốn tử Dirac, tức lan truyền Trên đa tạp giả Riemann ds không khoảng cách thật Cần phải có khác để thay Thật cần ý tưởng Phụ lục 1/ Thuật ngữ đại số Trong toán học thuật ngữ đại số có hai ý nghĩa: Đại số chủ thể, phân tích, lý thuyết nhóm,… Đại số đối tượng tốn học Trong đó, định nghĩa đơn giản nhất, đại số khơng gian vectơ phần tử khơng cộng nhân vơ hướng, mà nhân lẫn Khi phép nhân kết hợp, tức (ab)c = a(bc), đại số gọi kết hợp Đại số ma trận vuông n-chiều Đại số hàm kết hợp Ví dụ quan trọng đại số không kết hợp đại số Lie Trong trường hợp này, Tích viết bracket hai phần tử Trong vật lý, đặc biệt lý thuyết trường lượng tử/ vật lý hạt, đại số thường đại số Lie, hay đặc biệt hơn, hệ thống hệ thức giao hoán đại số Lie, với hệ thống vectơ sở 2/ Thuật ngữ topology Trong tốn học topology giống thuật ngữ đại số có hai ý nghĩa: Topology chủ thể Trong topology đại cương hay topology tập họp điểm quan tâm đến khái niệm chủ thể: định nghĩa khái quát thuộc tính khơng gian topo, khái niệm tính liên tục, hội tụ, giới hạn,… Một phần riêng biệt chủ thể topo đại số, khảo sát thuộc tính khơng gian cách hệ thống Topology vi phân xem xét thuộc tính đa tạp khả vi Topology đối tượng toán học: hệ thống T tập mở tập X cho trước, đặc tính làm cho X trở thành không gian topo Trong vật lý, người ta sử dụng thuật ngữ theo phát biểu : " topology khơng gian nấy”, có nghĩa thuộc tính khơng gian phù hợp với topo đại số 3/ Đối đồng điều Khi nhà vật lý sử dụng thuật ngữ đối đồng điều, không loại trừ lý do, hồi nghi mà người nói cố gây ấn tượng lên người nghe Để tránh điều này, sau giải thích ngắn gọn khái niệm tốn học quan trọng Đối đồng điều Ur đối đồng điều de Rham Cho M đa tạp n-chiều, với tọa độ (địa phương) x1 , , x n Trên M tồn hệ thống form vi phân: 0-form hàm f(x), 1- form biểu thức: n 1 Ai ( x)dx i , i 1 2- form biểu thức: 2 n Aij ( x )dx i dx j , i 1, j 1 tổng qt k-form có dạng: k n A j1 , , j k ( x )dx j1 dx j k k! j1 1, , j k 1 Những hàm thành phần A j1 , , jk phản xứng Chúng hình thành nhà vật lý gọi trường tensor hiệp biến phản xứng Với k > n k-form nhận dạng = 0, tính phản xứng Tồn đạo hàm exterior d, xếp k-form vào (k + 1)- form, với d Những thành phần đạo hàm tác động 0- form gradient ( df ) j j f , 2- form ( d1 ) i A j j Ai (có thể trình bày phương trình Maxwell dạng form vi phân với tương đối tính A j (x) 1- form trường tensor Fij (x ) 2-form.) Một form α gọi đóng dα = xác có form β cho α = dβ Bởi triệt tiêu d, form xác tất yếu phải đóng Ngược lại, nói chung khơng đúng: form đóng khơng cần phải xác Khơng gian form xác không gian không gian form đóng Nghiên cứu điều mục tiêu lý thuyết đối đồng điều, trường hợp lý thuyết đối đồng điều de Rham Từ ví dụ hình học vi phân, ý tưởng lý thuyết đối đồng điều thực chất khái niệm đại số tổng quát hóa phạm vi rộng bối cảnh toán học khác trở nên khái niệm toán học trung tâm Ý tưởng lý thuyết đối đồng điều luôn giống : có khơng gian với tốn tử tuyến tính d với d (nilpotency) Khơng gian phần tử với dα = chứa không gian phần tử với α = dβ, β Lý thuyết đối đồng điều nghiên cứu quan hệ không gian Những kết thông thường cho đặc trưng đối tượng tốn học khác Đối đồng điều chu trình, đặc trưng thuộc tính đại số tổng qt, phát triển Connes cho hình học khơng giao hốn Đó sản phẩm hình học khơng giao hốn sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực toán học khác NGUYỄN XUÂN QUANG - 2008 Tài liệu tham khảo 1/ Alain Connes - Noncommutative Geometry 2/ Jose M Gracia-Bondıa, Joseph C Varilly and Hector Figueroa - Elements of Noncommutative Geometry 3/ John Madore - An Introduction to Noncommutative Differenial Geometry and its Physical Applications 4/ Giovanni Landi - Noncommutative Spaces and their Geometry ... Các thuật ngữ giao hốn”, hình học vi phân” “đa tạp giao hoán dẫn tới gợi ý cho khái qt tự nhiên hình học vi phân khơng giao hốn” “đa tạp khơng giao hốn” Thay cho đại số giao hoán A = C (M... Connes phát triển trình bày rõ ràng hình học vi phân theo thuật ngữ đại số giao hoán, từ tổng qt hóa thành khơng giao hốn Hai giới thiệu đáng quan tâm: Hình học hình học metric Connes, nghiên cứu đa... thuyết túy tốn học Đó cách tiếp cận tới hình học khơng giao hoán John Madore Giovanni Landi, người mà hai có viết sách hình học khơng giao hoán theo cách tổng quát đặc biệt cơng trình nghiên cứu