Tài liệu trình bày về biểu thức lực Casimir - Polder giữa hai bản mặt dẫn điện lý tưởng; nói thêm về regulator; về hàm zeta Riemann; vài gợi mở về ứng dụng của hiệu ứng Casimir.
Về hiệu ứng Casimir Quangnx_ltd@yahoo.com Hiệu ứng Casimir hay lực Casimir - Polder loại lực vật lý dự đoán từ lý thuyết trường lượng tử tái chuẩn hóa Hiệu ứng xuất ta đặt hai mặt kim loại trung hòa điện chân khơng, cách vài μm khơng có trường điện từ Trong lý thuyết trường lượng tử, mặt gây ảnh hưởng đến photon ảo, làm nảy sinh hợp lực lực hút lực đẩy phụ thuộc vào cách bố trí đặc biệt hai mặt kim loại Đây ví dụ điển hình hiệu ứng túy đến từ lượng tử hóa lần hai Tuy nhiên, cách xử lý điều kiện biên tính tốn chưa đạt trí hồn tồn Casimir Dirk Polder nhà vật lý dự đoán tồn lực người tiến hành thí nghiệm để nhận diện vào 1948 Philips Research Labs Do cường độ lực giảm nhanh theo khoảng cách nên đo khoảng cách đối tượng nhỏ Trong phạm vi μm, lực trở nên đủ mạnh trở thành lực trội hết hai mặt dẫn điện trung hòa điện Với khoảng cách 10 nm - khoảng 100 lần kích thước nguyên tử - Hiệu ứng Casimir sinh áp lực khoảng 1atm Dù hiệu ứng Casimir biểu thị dạng hạt ảo tương tác với đối tượng, cách mô tả tốt dễ dàng hết tính tốn dạng lượng điểm trường lượng tử hóa khơng gian.giữa đối tượng Hiệu ứng Casimir nhận biết ý tưởng có mặt kim loại dẫn điện chất điện môi làm thay đổi giá trị lượng vacuum từ trường điện từ lượng tử hóa lần hai Mối quan tâm Casimir trường điện từ lượng tử hóa lần hai với có mặt khối kim loại hay chất điện môi lớn phải tuân theo điều kiện biên trường điện từ cổ điển Biểu thức lực Casimir - Polder hai mặt dẫn điện lý tưởng Sau ta xét cách tính giá trị lượng chân khơng từ trường điện từ bên hốc kim loại, chẳng hạn hốc rađa hay ống dẫn sóng vi ba Trong trường hợp này, lượng điểm trường phép lấy tổng lượng sóng đứng hốc Gọi lượng sóng đứng thứ n En, giá trị lượng chân không trường điện từ hốc 〈 E〉= ∑ En Trong số ½ tương ứng với lượng hiệu dụng điểm khả dĩ, tương tự hệ thức E = ℏ𝜔/2 Dưới dạng này, tổng lượng vacuum phân kỳ, nhiên, sử dụng để đạt biểu thức hữu hạn Bây ta xét phụ thuộc lượng điểm vào hình dạng s hốc Mỗi mức lượng En phụ thuộc vào hình dạng, ta viết lại En(s) cho mức lượng, < En(s) > cho giá trị lượng vacuum Ta để ý lực điểm p biên hốc với thay đổi lượng vacuum hình dạng s biên bị nhiễu loạn lượng δs điểm p Tức ( ) F(p) = - ( ) |p Theo cách tính tốn Casimir, ta xét phần không gian nằm cặp mặt kim loại đặt song song cách khoảng cách nhỏ a Khi đó, sóng đứng tính từ thành phần ngang điện trường, thành phần từ trường bị triệt tiêu bề mặt chất dẫn điện Giả sử mặt song song nằm mặt phẳng (x,y) sóng đứng là: 𝜓 (x,y,z,t) = 𝑒 𝑒 sin(𝑘 z) Trong 𝜓 thành phần điện trường trường điện từ, để đơn giản ta bỏ qua phân cực thành phần từ trường, 𝑘 𝑘 vectơ sóng theo chiều song song với mặt kim loại, 𝑘 = Là vectơ sóng vng góc với mặt, kết có từ yêu cầu 𝜓 bị triệt tiêu mặt kim loại Năng lượng sóng 𝜔 =c 𝑘 +𝑘 + Trong c tốc độ ánh sáng, a khoảng cách mặt song song Năng lượng chân không tổng quét qua kiểu kích thích = ℏ với A diện tích bề mặt mặt kim loại, hệ số đại diện cho hai trạng thái phân cực sóng Biểu thức vơ hạn, để tính tốn người ta đưa khái niệm regulator, sử dụng để khữ phân kỳ, giúp cho biểu thức trở nên hữu hạn Và cuối loại bỏ khỏi biểu thức phép tính giới hạn Dưới phiên điều chỉnh hàm zeta ζ lượng đơn vị diện tích mặt: ( ) =ℏ Cuối cùng, ta lấy giới hạn với s → , s số phức (đừng nhầm lẫn với s hình dạng) Tích phân/ tổng hữu hạn s thực s > Tổng có cực s = 3, phân tích tiếp tục, s = ta có biểu thức hữu hạn Sử dụng tọa độ cực 𝑞 = 𝑘 + 𝑘 ta chuyển tích phân hai lớp thành lớp ( ) =ℏ Tính tích phân ta ( ) = ( ℏ )/ Tích phân thực theo tích phân góc 2π, tích phân hội tụ với R e(s) > ( ) Tổng = ℏ ℏ ( ) có dạng hàm zeta Riemann ζ, ta có ( ) = ( ) = → ℏ Vì hàm zeta ζ(−3) = 1/120 ta có ( ) = ℏ Lực Casimir đơn vị diện tích hảo: 𝐹 𝐴 hai mặt dẫn điện lý tưởng, hồn = ℏ = Trong a khoảng cách hai mặt kim loại Lực âm, nhỏ, điều quan trọng lực có nguồn gốc xuất xứ từ học lượng tử Hiệu ứng Casimir tính cách sử dụng phương pháp tích phân hàm lý thuyết trường lượng tử, tính tốn trừu tượng khó hiểu Ngồi ra, chúng giải đối tượng hình học đơn giản Tuy nhiên, hình thức luận lý thuyết trường lượng tử làm cho trở nên sáng sủa, tổng giá trị lượng chân khơng hiểu tổng gọi "các hạt ảo" Hơn nữa, cách hình thức, tổng lượng vacuum tính lượng sóng đứng xét tổng "trị riêng" Hamiltonian Điều cho phép hiệu ứng thể nguyên tử, phân tử lực van der waals, hiểu biến thể hiệu ứng Casimir Hamiltonian hệ xem hàm xếp vật thể khơng gian có cấu hình xác định Sự thay đổi lượng điểm hàm thay đổi cấu hình, nguyên nhân gây lực tác động đối tượng Nói thêm regulator Để thuận tiện tính tốn phép lấy tổng trường hợp tổng quát, người ta đưa khái niệm regulator Đây thủ thuật thường sử dụng để tính tổng hữu hạn nhằm đơn giản hóa thao tác, sau người ta lấy giới hạn để loại bỏ regulator khỏi biểu thức Ví dụ xét tổng điều chỉnh | = | Trong giới hạn t → lấy sau Sự phân kỳ tổng thường thể hốc ba chiều sau = + Finite Phần vô hạn tổng liên hệ với số C bulk, khơng phụ thuộc vào hình dạng hốc Phần có nghĩa tổng phần hữu hạn, phụ thuộc vào dạng hốc Ta biết regulator Gauss | = | Phù hợp tốt phép tính tốn số tính chất hội tụ cao nó, lại khó sử dụng tính tốn cụ thể lý thuyết Còn riêng regulator theo hàm zeta = Hồn tồn khơng thích hợp cho phép tính tốn số, lại hiệu tính tốn cụ thể lý thuyết Trong đó, phân kỳ biểu thị cực mặt phẳng phức s, với phân kỳ bulk s = Tổng phân tích tiếp tục qua cực để thu phần hữu hạn s = Lưu ý khơng phải cấu hình hốc tất yếu dẫn tới phần hữu hạn hay phần vô hạn độc lập dạng Trong trường hợp này, yếu tố bổ sung vật lý phải tính đến Ví dụ, tần số vơ lớn (trên tần số plasma), kim loại trở nên suốt photon (như tia X), chất điện mơi lại cho thấy ngưỡng chặn phụ thuộc tần số Những tác động phụ thuộc tần số có ý nghĩa regulator tự nhiên Tồn nhiều hiệu ứng từ bulk vật lý chất rắn, mặt toán học chúng tương đồng với hiệu ứng Casimir, nơi mà tần số ngưỡng có đóng góp rõ rệt để giữ cho biểu thức hữu hạn Về hàm zeta Riemann Hàm Zeta Riemann hàm biến phức, ban đầu định nghĩa chuổi : = ζ(s) = Chuổi hội tụ với số phức s ≠ liên tục, khả vi có cực phân kỳ s = Theo Euler ζ(1-s) = cos Viết lại hàm zeta theo Helmut Hasse ζ(s) = ∑ ∑ (−1) Phát biểu tổng quát gọi hàm zeta Hurwitz: ζ(s,q) = ∑ (𝑘 + 𝑞 ) Hàm zeta Riemann định nghĩa tích phân ζ(s) = Г( ) dx 𝑛 (𝑘 + 1) 𝑘 Trong hàm gamma Г(s) = Hoặc: Г(s) = Lưu ý : Г(n) = (n-1)! Vài gợi mở ứng dụng hiệu ứng Casimir Trong số trường hợp, hiệu ứng Casimir gây lực đẩy đối tượng trung hòa điện Evgeny Lifshitz chứng minh lý thuyết điều kiện định hiệu ứng Casimir sinh lực đẩy Điều gây quan tâm đặc biệt việc định hướng ứng dụng hiệu ứng Casimir nhằm phát triển thiết bị bay Tuy nhiên gây bàn cãi nguồn lực dường vi phạm ràng buộc nhân yêu cầu cân nhiệt động lực Hiện tại, chứng minh thực nghiệm hiệu ứng bay sở lực Casimir chưa làm được, nhiên người ta kiểm chứng tồn lực đẩy Casimir chất lỏng thực nghiệm Trong tương lai, lực Casimir có nhiều ứng dụng công nghệ nano, đặc biệt công nghệ mạch tích hợp silicon dựa hệ thống điện micro nano, gọi dao động Casimir Ngoài ra, lực đẩy Casimir xuất chất lỏng mặt làm gia tăng lực đẩy điện từ hữu ích học nano Tham khảo The Force of Empty Space (http://focus.aps.org/story/v2/st28) on Physical Review Focus A Lambrecht, The Casimir effect: a force from nothing, (http://physicsweb.org/articles/world/15/9/6), Physics World, September 2002 RL Jaffe Casimir effect and the quantum vacuum (http://cua.mit.edu/8.422/Jaffe2005_Casimir.pdf) Photo of ball attracted to a plate by Casimir effect (http://apod.nasa.gov/apod/ap061217.html) Nguyễn Xuân Quang (10/08/08) Quangnx_ltd@yahoo.com ... (n-1)! Vài gợi mở ứng dụng hiệu ứng Casimir Trong số trường hợp, hiệu ứng Casimir gây lực đẩy đối tượng trung hòa điện Evgeny Lifshitz chứng minh lý thuyết điều kiện định hiệu ứng Casimir sinh lực... hướng ứng dụng hiệu ứng Casimir nhằm phát triển thiết bị bay Tuy nhiên gây bàn cãi nguồn lực dường vi phạm ràng buộc nhân yêu cầu cân nhiệt động lực Hiện tại, chứng minh thực nghiệm hiệu ứng bay... tổng lượng vacuum tính lượng sóng ứng xét tổng "trị riêng" Hamiltonian Điều cho phép hiệu ứng thể nguyên tử, phân tử lực van der waals, hiểu biến thể hiệu ứng Casimir Hamiltonian hệ xem hàm xếp