Tài liệu về hàm zeta riemann

Tài liệu về hàm zeta riemann Tài liệu về hàm zeta riemann Tài liệu về hàm zeta riemann Tài liệu về hàm zeta riemann Tài liệu về hàm zeta riemann Tài liệu về hàm zeta riemann Tài liệu về hàm zeta riemann Tài liệu về hàm zeta riemann

CHỨNG MINH GIẢ THUYẾT RIEMANN

(RIEMANN HYPOTHESIS’S PROFF)

-I

Hàm Zeta Riemann ( Riemann Zeta Funtion).

Hàm Zeta Rieman là một hàm được đặt theo tên nhà toán học nổi tiếng người Đức Georg Friedrich Benhard Riemann Nó được định nghĩa như sau:

Hàm được xác định với mọi số phức khác 1 Giá trị của hàm cũng là số phức Riemann đã chứng minh rằng ζ( )s có thể được mở rộng bởi sự liên tục

thành một hàm giải tích trên cả mặt phẳng phức ngoại trừ tại điểm s=1

II

Giả thuyết Riemann ( Riemann hypothesis).

Được nêu bởi Riemann vào năm 1856, giả thuyết Riemann phát biểu rằng :

“Mọi không điểm phi tầm thường (non-trivial zeros) của hàm zeta

Riemann đều có phần thực là

1

2.”

Nói cách khác, mọi không điểm phi tầm thường của hàm zeta Riemann

đều nằm trên đường giới hạn chứa số phức

1

2+ it với t là số thực, i là đơn vị ảo Ngoài ra, giả thuyết cũng hàm ý về một vấn đề rất quan trọng - sự phân bố số nguyên tố

Phần thực (màu đỏ) và phần ảo (màu xanh) của hàm Zeta Riemann dọc theo đường giới hạn Re(s)=

1

2

Các không điểm phi tầm thường đầu tiên tại lm(s) = ±14,135; ±21,022 và ±25,011

1

2 it

ζ +

với 0 < t < 50

Do độ khó đặc biệt và vị trí quan trọng trong ngành lý thuyết số, cùng với

6 bài toán khác, nó là một trong 7 bài toán thiên niên kỷ (7 millenium problem) Với mỗi bài toán giải được, tác giả của lời giải sẽ được 1 phần thưởng trị giá

$1.000.000 do Viện Toán học Clay trao tặng

Nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler đã chứng minh rằng khi Re(s) > 1, hàm zeta Riemann sẽ bằng với tích Euler :

1 1 1 1 1 1

1 s 1 2 1 3 1 5 1 7s s s s 1 s

p P

s

∈

Trong đó, tích vô hạn mở rộng trên mọi số nguyên tố p Chuỗi này lại hội

tụ khi Re(s) > 1 Chính sự hội tụ của tích Euler đã thể hiện rằng không có một không điểm phức nào khi Re(s) > 1

Nếu như 0 < Re(s) < 1, hàm zeta Riemann thỏa mãn một phương trình

hàm thú vị sau:

1

2

Có thể định nghĩa ζ(s) cho mọi số phức s khác 0 còn lại bằng cách giả sử rằng phương trình này thỏa mãn cả bên ngoài miền xác định, và đặt ζ(s) bằng vế phải của phương trình khi s có phần thực không dương Nếu s là một số nguyên

âm chẵn thì ζ(s) = 0 bởi vì nhân tử sin(πs/2) bằng 0; đây là các không điểm tầm

thường của hàm zeta (Lập luận này không đúng nếu s là một số nguyên dương

chẵn bởi vì giá trị 0 của sin bị triệt tiêu tại các cực của hàm gamma khi nó nhận

các tham số nguyên âm.) Giá trị tại

1 (0) 2

không được xác định bởi phương

trình hàm, nhưng nó là giới hạn của ζ(s) khi s tiến đến 0 Phương trình hàm

cũng hàm ý rằng hàm zeta không có các không điểm với phần thực âm ngoại trừ các không điểm tầm thường nêu ở trên; do đó mọi không điểm phi tầm thường

nằm trong miền giới hạn với s có phần thực nằm giữa 0 và 1.Nói cách khác,

mọi không điểm phi tầm thường s sẽ có 0 < Re(s) < 1.

III Chứng minh giả thuyết Riemann

Giả sử mọi không điểm phi tầm thường s của hàm zeta Riemann đều có

phần thực khác

1

2 Đặt Re(s) = a (a ≠

1

2, 0 < a < 1), ta có:

Giả sử a =1- a ⇒ 2a=1⇒ a=

1

2(vô lý).Vậy a ≠ 1- a

Ta có: a ≠ 1- a ⇒ s ≠ 1-s ⇒ζ( )s ≠ ζ (1 −s) Vậy nếu ( )ζ s = 0 thì ζ (1 −s)≠ 0

Ta thấy: 2s

và πs−1

đều là lũy thừa nên 2s

vàπs−1

sẽ khác không với mọi

s C∈ .

Ta lại có: 0 < Re(s) < 1nên s sẽ không chia hết cho 2 ⇒sin 2

s

π

Mà

n

n−

≠0

nên

(2 1)!!

2n

n− π

≠0 ⇒

1

2 n

Γ + ÷

 ≠0 ⇒Γ − (1 s )≠0 với mọi s C∈ . Chú ý rằng do 0 < Re(s) < 1nên từ phương trình hàm:

1

2

⇒

1

2

π

Ta nhận được sự vô lý: Một tích khác 0 lại có kết quả bằng 0

Vậy Re(s)=

1

2 khi ζ(s)=0 (s >0).(QED)