Tài liệu luyện thi môn Toán THPT Quốc gia

Tài liệu luyện thi môn Toán THPT Quốc gia giúp các em kiểm tra lại đánh giá kiến thức của mình và có thêm thời gian chuẩn bị ôn tập cho kì thi chu đáo. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết kiến thức.

“Trên đường Thành Cơng khơng có Dấu chân KẺ LƯỜI BIẾNG” – Đồng hành em–Toán Thầy Tân LUYỆN ĐỀ PRO – THẦY TÂN Buổi 1: SỐ PHỨC  Nơi dung Tên tài liệu Số Phức – Buổi 1:   4 phép tốn   Module số phức   Số phức liên hợp   Biểu diễn hình học của số phức   Casio và số phức: Mod 2 – COMP (Casio 570)   Trắc nghiệm số phức trong các Đề 2018  Dạng 1: 4 phép tốn số phức  Dạng 2: Tìm x, y (a, b) để các 2 số phức bằng nhau  Dạng 3: Module số phức  Dạng 4: Biểu diễn hình học số phức  [ToanThayTanLD01] b1.pdf  Dạng 1: Phép toán số phức liên hợp Câu ( Thầy Nghiêm Xuân Tân )Cho hai số phức  z1   3i, z2  2  5i  Phần ảo của số  phức  z1  z2  bằng    A.  1   C.  2   B. 8.  D. 3.  Đáp án C Có  z1  z2  1  2i  có phần ảo bằng  2     Câu ( Thầy Nghiêm Xuân Tân )Số phức nào dưới đây là một số thuần ảo ?    A.  z   2i   B.  z  2   C.  z  2i   D.  z  1  2i   Đáp án C Số phức là số thuần ảo nếu phần thực bằng 0.    Câu ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ):  Cho  số phức  z  a  bi  ( a, b   ) .  Xét các  mệnh  đề  sau:     (1) z là số thực khi và chỉ khi  a  0, b       (2) z là số thuần ảo khi và chỉ khi  a  0, b       (3) z vừa là số thực vừa là số thuần ảo khi và chỉ khi  a  0, b    Số mệnh đề đúng là ?    A. 2.  B. 0.  C. 3.  Đáp án D Với  z  a  bi  thì   1    D. 1.  “Trên đường Thành Cơng khơng có Dấu chân KẺ LƯỜI BIẾNG” – Đồng hành em–Toán Thầy Tân z là số thực khi và chỉ khi  b   nên    (1) sai  z là số thuần ảo khi và chỉ khi  a   nên    (2) sai  z vừa là số thực vừa là số thuần ảo khi và chỉ khi  a  0, b   nên    (3) đúng  Vậy chỉ có một mệnh đề đúng.    ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ):  Nghiệm  phức  có  phần  ảo  âm  của  phương  trình  Câu z  z    là    A.  z  1  2i   B.  z   2i   C.  z   2i   D.  z  2  i   Đáp án B Ta có  ( z  1)  4  (2i)  z   2i  z   2i   Nghiệm phức có phần ảo âm là  z   2i       Câu ( Thầy Nghiêm Xuân Tân )Cho  phương  trình  z  bz  c   b, c      có  một  nghiệm phức  z   2i  Nghiệm phức còn lại của phương trình là     A.   2i   B.  3  2i   C.  3  2i   D.   3i   Đáp án A 3b  c   b  6 Ta có   (3  2i )  b(3  2i )  c   3b  c   (2b  12)i       (2b  12)  c  13 Vậy  z  z  13   z   2i, z   2i   *Chú ý  mẹo  làm  nhanh,  phương  trình  bậc  hai  có  nghiệm  phức  z   2i   thì  sẽ  có  nghiệm  phức  z   2i   Câu ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ) Cho số phức  z   4i  Số phức liên hợp của z có điểm  biểu diễn là:    A.   5;    B.   5; 4    C.   5;    D.   5; 4    Đáp án C Ta có:  z   4i  Điểm biểu diễn là   5;    Câu ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ) Cho số phức  z   3i  Điểm biểu diễn của số phức  w  iz   i   z  là:    A.  M  2;6    B.  M  2; 6    C.  M  3; 4    Đáp án B 2    D.  M  3;    “Trên đường Thành Cơng khơng có Dấu chân KẺ LƯỜI BIẾNG” – Đồng hành em–Toán Thầy Tân Có  w   6i  Điểm biểu diễn của số phức w là   2; 6      Câu Trong   , phương trình    A.  z   i     i  có nghiệm là.  z 1 B.  z   2i    1  i  z  i   1  i  z    i  z  C.  z   3i   D.  z   2i    i   i 1  i     2i   1 i Chọn đáp án D    Câu ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ) Cho  z   2i  Mệnh đề nào dưới đây đúng ?    A.  z  3  2i   B.  z   2i   C.  z   2i   D.  z  3  2i   Đáp án C Với  z   2i  z   2i     Đáp án A Phương pháp Điểm  M  a; b   là điểm biểu diễn cho số phức  z  a  bi,  có phần thực là a và phần ảo là b.  Cách giải A(3; 2)  là điểm biểu diễn cho số phức  z   2i,  có phần thực là 3, phần ảo là 2.    Câu 10 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân )Cho  z  a  bi  Mệnh đề nào sau đây đúng?    A. Phần thực là a, phần ảo là bi.  B. Điểm biểu diễn z là  M  a; b      C.  z  a  b  2abi     D.  z  a  b   A sai vì phần ảo là b, C sai vì  z  a  b2  2abi,  D sai vì  z  a  b2 ,  B đúng   Dạng 2: số phức Câu 11 (Thầy Nghiêm Xuân Tân) Cho  số  phức  z  a  bi  a, b      thỏa  mãn  a 3z  5z   2i  Tính giá trị của  P    b   A.  P    B.  P    C.  P  3    25   16 D.  P  16   25 “Trên đường Thành Công khơng có Dấu chân KẺ LƯỜI BIẾNG” – Đồng hành em–Toán Thầy Tân Đáp án A Sử dụng CASIO ta được  z  a i     b   Câu 12: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Có  bao  nhiêu  số  phức  thỏa  mãn  z  z i   i       A. 1  B. 3  C. 2  D. 0   Đáp án A Đăt  z  a  bi  a, b     Thay vào biểu thức của bài tốn ta có:    a  1   a  b  b   3 1     i   a  1; b  b    a  1, b  4 Vậy chỉ có đúng một số phức thỏa mãn bài tốn      Câu 13 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ): Số phức z thoả mãn  z  z   3i  Phần thực của z bằng    A.  1     B. 2.      C.  3          D. 1  Đáp án A  a  1 Có  z  a  b  a  bi  2(a  bi)    a  3bi  1     b 1   Câu 14 Số phức  z  a  bi  thỏa mãn  2z  z   i   Tính  3a  2b ?    A. 3.  B.  7   C. 6.  Chọn A.  2z  z   i      a  bi    a  bi    i      3a  5   b  1 i     3a   a      b   b  1 Vậy  3a  2b    4    D.  3   “Trên đường Thành Cơng khơng có Dấu chân KẺ LƯỜI BIẾNG” – Đồng hành em–Toán Thầy Tân Dạng 3: Module số Phức: Câu 15: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho số phức  z   2i  Tính  z      A.  z     C.  z     B.  z  13.   D.  z  13    Đáp án B Phương pháp giải: Số phức  z  a  bi  có mơđun là  z  a  b   32  22  Lời giải: Ta có:  z   i  z        Câu 16: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)  Cho  số  phức  z  thỏa  mãn  z   i   13i    Tính  mơđun của số phức z    A.  z  34    B.  z  34 34   C.  z    D.  z  34   3 Đáp án D Phương pháp giải: Tìm số phức z bằng phép chia số phức, sau đó tính mơđun hoặc bấm máy tính   13i   5i  z  34   Lời giải: Ta có  z   i    13i  z  2i   Câu 17: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Số phức  z  a  bi  a, b     thỏa mãn  z   z  và   z  1  z  i   là số thực. Giá trị của biểu thức  S  a  2b  bằng bao nhiêu?    A.  S  1    B.  S     C.  S     D.  S  3    Đáp án D Phương pháp giải: Đặt  z  a  bi,  thực hiện u cầu bài tốn, chú ý số phức là số thực khi phần ảo bằng 0  Lời giải: Ta có  z   z  a  bi   a  bi   a    b  a  b  a       Khi  đó  z   bi  z   bi   z  1 z  i    bi  1   b  1 i   b2  b    b   i   là  số thực.   Khi và chỉ khi  b    b  2    Vậy  S  a  2b  3      Câu 18:  ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Cho  số  phức  z  thỏa  mãn  z 1  2i   zi  15  i   Tìm  mơđun của số phức z    A.  z     B.  z     C.  z     5    D.  z     “Trên đường Thành Cơng khơng có Dấu chân KẺ LƯỜI BIẾNG” – Đồng hành em–Toán Thầy Tân   Đáp án A Phương pháp Gọi  z  a  bi  z  a  bi  Sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau.  Cách giải z  a  bi  a, b        a  bi 1  2i    a  bi  i  15  i   2ai  bi  2b   b  15  i  2a  2b  b  15 a     z  a  bi  z  32  42   2a  b  a  b  Câu 19: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho số phức  z  a  bi  với  a, b  là các số  thực bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng?   A. Phần ảo của z là bi.    B. Môđun của  z  bằng  a  b     C.  z  z  khơng phải là số thưc.  D. Số z và  z  có mơdun khác nhau  Đáp án B Đáp án A. Phần ảo của số phức z là b nên A sai.  Đáp án B. Ta có  z  z   a  b2   a  b  nên B đúng.  Đáp án C. Ta có  z  a  bi  z  a  bi  z  z  2bi  là số thực khi  b   nên C sai.  Đáp án D. Ta có  z  a  bi  z  a  bi  z  z  a  b  nên D sai.  DẠNG 4: BIỂU DIỄN SỐ PHỨC: Câu 20 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ): Điểm A trong hình vẽ bên là  điểm biểu diễn của số phức z.  Tìm phần thực và phần ảo của số phức  z     A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2.    B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng  2     C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i.    D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng  2i   Đáp án B 6      “Trên đường Thành Công khơng có Dấu chân KẺ LƯỜI BIẾNG” – Đồng hành em–Tốn Thầy Tân Có  A(3; 2)  z   2i  z   2i   Câu 21: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức  z.    Mệnh đề nào sau đây đúng?    A. Phần thực là 3, phần ảo là 2    B. Phần thực là 3, phần ảo là 2i    C. Phần thực là -3, phần ảo là 2i  D. Phần thực là -3, phần ảo là 2    Câu 22: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Cho  w  là số phức thay đổi thỏa mãn  w   Trong  mặt phẳng phức, các điểm biểu diễn số phức  z  3w   2i  chạy trên đường nào?    A. Đường tròn tâm  I 1; 2  , bán kính  R    B. Đường tròn tâm  I  1;  , bán kính  R      C. Đường tròn tâm  I 1; 2  , bán kính  R    D. Đường tròn tâm  I  1;  , bán kính  R    Đáp án A Ta có:  w  2; z  x  yi    Xét:  z  3w   2i  z   2i  3w  z   2i  w     2   x  1   y    36  I 1; 2  ; R    Câu 23 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ): Gọi S là tập hợp các số phức z thoả mãn  z  i   và  z    Kí hiệu  z1 , z2  là hai số phức thuộc S và là những số phức có mơđun lần lượt nhỏ  nhất và lớn nhất. Tính  z2  z1     A.  z2  z1    B.  z2  z1  10   C.  z2  z1  10   Đáp án B 7    D.  z2  z1  10   “Trên đường Thành Cơng khơng có Dấu chân KẺ LƯỜI BIẾNG” – Đồng hành em–Toán Thầy Tân Theo giả thiết, gọi  M ( a; b)  là điểm biểu diễn số phức z ta có  OM  z  và M phải nằm ngồi  hình tròn  (C1 ) : x  ( y  1)   và nằm trong hình tròn  (C2 ) : ( x  1)  y  25     Quan sát hình vẽ, ta có  OA  OM  OB   z    Vậy  z   M  A  M (0; 2)  z1  2i  và   max z   M  B  M (6;0)  z2    Vậy  z1  z2  6  2i  10     DẠNG 5: CÁC CÂU VDC Câu ( Thầy Nghiêm Xuân Tân )Kí  hiệu  z1 , z2   là  hai  nghiệm  phức  của  phương  trình  z  z  22018   Tính  z1  z2     A.  2019   B.  21019   C.  21010   D.  2018   Đáp án C Có  z1  z2  z1 z2  22018  21009  z1  z2  2.21009  21010   Câu ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ): Cho số phức z thoả mãn  z   và  z    Tính  P  z  z  z  z     A.   3   C.     B.     Đáp án A Theo giả thiết ta có:     z.z  z    z.z      2 2  z   z   z   243  z   z    243   8    D.     “Trên đường Thành Công khơng có Dấu chân KẺ LƯỜI BIẾNG” – Đồng hành em–Toán Thầy Tân  z.z   z z      2 2  z.z    z  z   81  243  z  z     z  z 2  z  z  2z.z   2.9  27  z  z  3 Do đó    Vậy  P   3   2  z  z   z  z  2z.z   2.9  9  z  z  ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ) Cho  số  phức  z thoả  mãn  điều  kiện  Câu z  z  z  z  z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P  z   2i     A.  19  37   B.  37  19   C.     D.     Đáp án A Có  z  a  bi  2a  2b  2   a  3   b   Khi đó  P  a  b2   a  b2  a  b    Ta thấy rằng P sẽ đạt giá trị lớn nhất khi a, b cùng âm.  2 1  1  Khi đó điều kiện là  a  b   a  b   a     b     và   2  2  1  1  P  a  b2  6a  4b  13  7a  5b  13  7  a     b    19   2  2   2  1  1       a     b     19    2 7 1  52     19  19  37   2 a  b2  a  b  a  b   2   a; b     37  37 ;  37  37    Dấu bằng đạt tại     5 74 74    7 a  0, b      Câu ( Thầy Nghiêm Xuân Tân )Gọi  z1 , z2   là  hai  nghiệm  phức  của  phương  trình  z  z    Giá trị của biểu thức    A.    z1 z2   bằng  z2 z1 B.    C.     Đáp án D 9    D.     “Trên đường Thành Công khơng có Dấu chân KẺ LƯỜI BIẾNG” – Đồng hành em–Toán Thầy Tân 3 1 2   z  z   z1z2  z z z z     2.  Ta có     z2 z1 z1z2 z1 z2 2 2 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân )Có  bao  nhiêu  số  phức z thoả  mãn  z  3i    và  Câu z là số thuần ảo ?  z4   A. 0  B. vô số.  C. 2  D. 1  Đáp án C Ta có  z 4bi  bi  z  bi ( z  4)  z (bi  1)  4bi  z    z4 bi  Khi đó  z  3i  Câu 4bi (4b  3)i  3b  3i   bi  bi  (4b  3)  (3b)   b  1, b     b 1 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân )Cho  số  thực z1 và  số  phức z2 thoả  mãn  z2  2i   và  z2  z1  là số thực. Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất  1 i của  z1  z2  Tính  T  a  b   B.  T      A.  T    C.  T     D.  T     Đáp án B Với  z1  a    ta có  z2  z1  k    z2  a  k (1  i)  z2  a  k  ki   1 i Thay vào giả thiết ta có  a  k  (k  2)i   (a  k )2  (k  2)     a  ka  2k  4k           Δ a   k   2k  4k  3    k    Khi đó  z2  z1  k  i  k   2;3    Cách 2: Gọi M,N lần lượt là điểm biểu diễn của  z1 , z2   10    “Trên đường Thành Cơng khơng có Dấu chân KẺ LƯỜI BIẾNG” – Đồng hành em–Toán Thầy Tân   Theo giả thiết   M  Ox  và  N  (C ) : x  ( y  2)   có tâm  I (0; 2)  và bán kính  R      Và  z2  z1  k (1  i)(k  )  MN //u (1;1)   Gọi H là hình chiếu vng góc của N lên Ox, ta có    MN  NH NH NH   NH       sin NMH sin  i , u  Do đó   d ( I , Ox )  R  NH  d ( I , Ox)  R    NH    MN  z2  z1   2;3    Vậy  T      Câu ( Thầy Nghiêm Xn Tân )Gọi A,B,C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z,  iz và 2z. Biết diện tích tam giác ABC bằng 4. Mơđun của số phức z bằng    A.    B. 8.  C. 2.  D.  2   Đáp án D Chú ý M biểu diễn số phức z1 và N biểu diễn số phức z2 ta có  MN  z1  z2    AB  z  iz  z (1  i)  z  i  z AC  z  z  z Vậy theo giả thiết có    và   BC  iz  z  z (i  2)  z i   z               2 S ABC        z  z   z  2     2 2      Câu 8: ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ) Cho số phức  z  a  bi  ( a, b   )  thoả mãn  z  2i  là  z2 số thuần ảo. Khi số phức z có mơđun lớn nhất. Tính giá trị biểu thức  P  a  b     A.  P    B.  P    C.  P  2    Đáp án B Theo giả thiết ta có   11    D.  P     “Trên đường Thành Cơng khơng có Dấu chân KẺ LƯỜI BIẾNG” – Đồng hành em–Toán Thầy Tân z  2i (2  2k )i  ki, k    z  2i  ki ( z  2)  z (1  ki )  (2  2k )i  z    z2  ki 2 2  2k 1  ( 1) 1  k  (2  2k )i Khi đó  z     2    ki 1 k2 1 k Dấu bằng xảy ra   1 4i   k  1  và  z    2i  P      1 k 1 i   ( Thầy Nghiêm Xuân Tân )  Số  phức  z  a  bi  a, b      có  z  2   và  z có  Câu 9: phần ảo bằng 8, điểm biểu diễn số phức z nằm trong góc phần tư thứ ba của hệ trục toạ độ. Giá  trị của biểu thức  P  a  b  bằng    A.  P    B.  P    C.  P  4   D.  P    Đáp án C Ta có  z  2  a  b  2  a  b    Và  z  a  b  2abi  2ab    a  b2  82  (a; b)  (2; 2);(2; 2)   Vậy ta có hệ phương trình   ab  Đối chiếu điều kiện nhận  a  2, b  2       Câu 10 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ): Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m  để tồn tại duy nhất số phức z thoả mãn  z.z   và  z   4i  m  Tính tổng các phần tử thuộc  S.     A. 10.  B. 42.  C. 52.  D. 40.  Đáp án A 2  z  a  b  Đặt  z  a  bi  có      2 (a  3)  (b  4)  m  z   4i  m Phương trình  a  b   là một đường tròn tâm  O, R    Phương trình  (a  3)2  (b  4)  m  là một đường tròn tâm  I (3; 4), R  m   Để có duy nhất số phức thoả mãn thì hệ có nghiệm duy nhất tức hai đường tròn này tiếp xúc  m  với nhau   OI  m     (m  0)   m  12    ... z2  z1  10   “Trên đường Thành Cơng khơng có Dấu chân KẺ LƯỜI BIẾNG” – Đồng hành em Toán Thầy Tân Theo giả thi t, gọi  M ( a; b)  là điểm biểu diễn số phức z ta có  OM  z  và M phải nằm ngồi ... Theo giả thi t ta có:     z.z  z    z.z      2 2  z   z   z   243  z   z    243   8    D.     “Trên đường Thành Cơng khơng có Dấu chân KẺ LƯỜI BIẾNG” – Đồng hành em Toán. .. z2   10    “Trên đường Thành Công khơng có Dấu chân KẺ LƯỜI BIẾNG” – Đồng hành em Toán Thầy Tân   Theo giả thi t   M  Ox  và  N  (C ) : x  ( y  2)   có tâm  I (0; 2)  và bán kính  R 