Tôn Nữ Bích Vân Với kiến thức lớp 6, ta chứng minh được một số tính chất sau: Thật vậy: Tính chất 2: Giả sử N = k 2 và k = a x b y c z .(a, b, c . là số nguyên tố) thì N = (a x b y c z .) 2 = a 2x b 2y c 2z . Suy ra: Sốchính phương a 2 ⇒ a 4 Sốchính phương a 3 ⇒ a 9 Sốchính phương a 5 ⇒ a 25 ; . Tính chất 3: N = a x b y c z . thì số ước số của nó bằng (x+1)(y+1)(z+1) . - Nếu N là sốchính phương thì x, y, z . chẵn nên x+1, y+1, z+1 . lẻ, do đó số ước số của N là số lẻ. - Nếu số ước số của N là số lẻ thì (x+1) (y+1) (z+1) . lẻ nên các thừa số x+1, y+1, z+1 . đều lẻ, suy ra x, y, z, . chẵn. Đặt x = 2m, y = 2n, z = 2p (m, n, p ∈ N) thì N = a 2m b 2n c 2p = (a m b n c p ) 2 nên N là sốchính phương. Bài tập 1: Cho 4 chữ số 0, 2, 3, 4. Tìm sốchính phương có 4 chữ số gồm cả 4 chữ số trên Giải: Gọi sốchính phương cần tìm là n 2 1 • Sốchính phương chỉ có thể tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9, không thể tận cùng bằng 2, 3, 7, 8 • Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, sốchính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa các thừa số nguyên tố với số mũ lẻ. • Số ước số của một số chính phương là số lẻ. Đảo lại, một số có số ước số lẻ thì số đó là số chính phương Sốchính phương là bình phương của một số nguyên Số chính phương không tận cùng bằng 2, bằng 3. Nếu sốchính phương tận cùng bằng 0 thì phải tận cùng bằng một số chẵn chữ số 0. Do đó : n 2 lập bởi 4 chữ số 0, 2, 3, 4 phải tận cùng bằng 4, suy ra: n 2 2 Sốchính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4, do đó n 2 tận cùng bằng 04 hoặc 24. Xét các số 2304; 3204; 3024 ta có : 2304 = 48 2 Vậy: Số phải tìm là 2304. Bài tập 2: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng khi nhân nó với 135 ta được một sốchính phương Giải: Gọi số phải tìm là A, ta có 135A = a 2 (a ∈ N) hay 3 3 .5.A = a 2 . Sốchính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên A = 3 . 5 . k 2 (k ∈ N) • Với k = 1 thì A = 15 • k = 2 thì A = 60 • k ≥ 3 thì A ≥ 135, có nhiều hơn 2 chữ số nên loại. Vậy: Số phải tìm là 15 hoặc 60 Bài tập 3: Các số sau có chính phương không ? a) A = 3 + 3 2 + 3 3 + . + 3 2008 b) M = 11 2001 + 11 2002 + 11 2003 + 11 2004 + 11 2005 + 11 2006 + 11 2007 Giải: a) Ta biết rằng sốchính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9. A chia hết cho 3 nhưng chia cho 9 dư 3 (vì A = 3 + 3 2 (1 + 3+ 3 2 + . + 3 2006 )) Do đó A không là sốchính phương. b) Ta coï n (X1) có tận cùng là 1 nên mỗi số hạng của tổng đều tận cùng bằng 1 Do đóï M = A1 + B1 + C1 + D1 + E1 + F1 + G1 có tận cùng bằng 7 nên không là sốchính phương. Bài tập 4: Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0) sao cho ab - ba là sốchính phương Giải: ab - ba = (10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9 (a - b) = 3 2 (a - b) Do ab - ba là sốchính phương nên a-b là sốchính phương. 2 Mặt khác 1 ≤ a - b ≤ 8 nên a - b ∈ {1; 4} - Với a - b = 1 thì ab ∈ {21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98} Loại các hợp số 21 3, 32 2; 54 2; 65 5; 76 2; 87 3; 98 2 còn 43 là số nguyên tố. - Với a - b = 4 thì ab ∈ {51; 62; 73; 84; 95} Loại các hợp số 51 3; 62 2; 84 2; 95 5, còn 73 là số nguyên tố. Vậy ab = 43 hoặc 73. Khi đó ab - ba = 43 - 34 = 9 = 3 2 hoặc ab - ba = 73 - 37 = 36 = 6 2 Bài tập 5: Tìm tất cả các số có 4 chữ số sao cho mỗi số vừa là sốchính phương vừa là một lập phương. Giải: Gọi sốchính phương phải tìm là abcd (a, b, c, d ∈ N, 0 ≤ b, c, d ≤ 9, 0 < a ≤ 9) Ta có: abcd = x 2 = y 3 (1) Với x, y ∈N và 31< x < 100; 10≤ y ≤ 21 (2) Từ (1) ta suy ra y cũng là một sốchính phương và từ (2) ta suy ra y = 16 Do đó : abcd = 16 3 = 4096 = 64 2 Vậy số phải tìm là 4096 Xin mời thử sức với các bài toán sau: 1. Tìm sốchính phương có 4 chữ số gồm cả 4 chữ số 2, 0, 3, 5 2. Các tổng sau có là sốchính phương không ? a) 10 10 + 8 c) 10 10 + 5 3. Chứng tỏ các số sau không là sốchính phương a) abab b) abcabc c) ababab 4. Tìm số nguyên tố ab sao cho ab + ba là sốchính phương. 5. Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 101 làm thành số A a) A có là hợp số không? b) A có là sốchính phương không? c) A có thể có 35 ước số không? 3 Còn nhiều bài tập về sốchính phương rất thú vị dành cho học sinh lớp 7; 8; 9. Hẹn gặp ở kỳ sau. Chúc các em học tốt! 4 . chính phương là số lẻ. Đảo lại, một số có số ước số lẻ thì số đó là số chính phương Số chính phương là bình phương của một số nguyên Số chính phương không. thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa các thừa số nguyên tố với số mũ lẻ. • Số ước số của một số chính