Chuyên đề bản word ôn thi học sinh giỏi toán 8 về số chính phương. Được biên soạn công phu, có chọn lọc. Thuận tiện cho giáo viên và học sinh. Chuyên đề có đầy đủ các dạng toán về số chính phương, lời giải chi tiết, rõ ràng. Các dạng bài tập vận dụng từ dễ đến khó.
CHUN ĐỀ:SỐ CHÍNH PHƯƠNG I- ĐỊNH NGHĨA: Số phương số bình phương số tự nhiên.VD: 0; 1; 4; 9; 16; 25; II- TÍNH CHẤT: 1- Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9; có chữ tận 2, 3, 7, 2- Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, VD: 3600 = 602 = 24.32.52 - Nếu SCP N chia hết cho p2k+1 N chia hết cho p2k+1 ( p nguyên tố, k �N ) VD: SCP N chia hết cho N chia hết cho 22 = 3- Số phương chia cho dư dư SCP chia cho dư dư SCP chia cho dư dư dư SCP lẻ chia cho cho dư 4- Số phương tận 1, chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ 5- Giữa hai số phương liên tiếp khơng có SCP 6- Tích hai số nguyên liên tiếp SCP hai số có số 7- Nếu N = axbycz số ước N là: ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) III- MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Dạng 1: NHẬN BIẾT SỐ CHÍNH PHƯƠNG Phương pháp: Để chứng minh N SCP ta có thể: - Biến đổi N thành bình phương số nguyên - Dùng T/c: Nếu hai số nguyên tố a b có tích số phương a b SCP Bài CMR ( n + 2) ( n + 3) - ( 3n + 5) (n �Z ) SCP Bài Cho N tổng hai số phương CMR: a 2N tổng hai SCP b N2 tổng hai SCP { - 88 { Bài Cho A = 11 CMR A SCP 2n n LG:Ta có A = 11 = 11 100 { - 88 { { + 11 { - 8.11 { + = 11 1.100 { { +1 { { - 8.11 2n n n n n n n = 99 { = a � 100 { + = 9a + Từ suy ra: { Đặt 11 n n n A = a.(9a + 1) + a - 8a + = 9a2 - 6a + = ( 3a - 1) n n Vậy A SCP Bài tương tự: Chứng minh số sau SCP { + 44 { +1 A = 11 2n n { + 11 { + 66 { +8 B = 11 2n n+1 n Bài CMR: a Tổng ba số phương liên tiếp khơng phải SCP b Tổng S = 12 + 22 + 32 + + 302 SCP Bài Cho A, B, C, D SCP CMR: ( A + B ) ( C + D ) tổng hai SCP Bài Chứng minh : Nếu m, n số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n 4m + 4n + số phương m - n Lời giải : Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n � 4m2 - 4n2 + m - n = m2 � ( m - n) ( 4m + 4n + 1) = m2 ( *) d � 8m + 1M d ( 1) Gọi d = ( m - n;4m + 4n) � 4m + 4n + 1+ 4(m - n)M d2 � mM d ( 2) Mặt khác, từ ( *) ta có : m M Từ ( 1) ( 2) � d = hay m - n 4m + 4n + hai số nguyên tố Kết hợp với ( *) ta có m - n 4m + 4n + số phương Bài Chứng minh số nguyên x, y thì: A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y số phương Giải : Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y = ( x xy y )( x xy y ) y Đặt x xy y t (t �Z ) A = ( t y )(t y ) y t y y t ( x xy y ) Vì x, y, z � Z nên x �Z , xy �Z , y �Z � x xy y �Z Vậy A số phương Bài Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương Giải : Gọi số tự nhiên, liên tiếp n, n+1, n+2, n+3 (n � Z) Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + = ( n2 3n)(n 3n 2) (*) Đặt n 3n t (t �N ) (*) = t(t + 2) + = t2 + 2t + = (t + 1)2 = (n2 + 3n + 1)2 Vì n � N nên n2 + 3n + � N Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + số phương Bài 9: Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp số phương Gọi số tự nhiên liên tiếp n - 2, n - 1, n +1, n + ( n � N, n >2) Ta có (n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = (n2 + 2) Vì n2 khơng thể tận n2 + khơng thể chia hết cho => (n2 + 2) khơng số phương hay A khơng số phương Bài 10: Chứng minh số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 n � N n >1 khơng phải số phương n6 - n + 2n3 + 2n2 = n2 (n4 - n2 + 2n +2) = n2 [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)] = n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) [(n3 + 1) - (n2 - 1)] = n2(n + 1)2 (n2 - 2n + 2) Với n �N, n > n2 - 2n + = ( n -1)2 + > ( n - 1)2 Và n2 - 2n + = n2 - 2(n - 1) < n2 Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + < n2 => n2 - 2n + khơng phải số phương Bài 11 Chứng minh tổng bình phương số lẻ khơng phải số phương a b lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + (Với k, m � N) => a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + = (k2 + k + m2 + m) + => a2 + b2 khơng thể số phương { { ; b = 100 05 Bài 12 Cho a = 11 2010 2009 ab số tự nhiên Chứng minh Giải: b = 100 05 = 100 { + = 9a + Từ ta có: { { - 1+ = 99 2009 2010 2010 ab a 9a 9a 6a 3a 1 3a �N Bài 12 Cho a,b,c ba số nguyên thỏa mãn: ab + bc + ca = CMR: (a )( )( ) + b2 + c2 + SCP HD: Thay = ab + bc + ca Bài 13 CMR: M = 20062 + 20062.20072 + 20072 số phương HD: Ta có: M = 20062 + 20062.20072 + 20072 = 20072(20062 + 1) + 20062 = 20072[(2006 + 1)2 – 2.2006] + 20062 = 20074 – 2.2006 20072 + 20062 = (20072 -2006)2 Vậy M số phương B DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phương a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3) c) 13n + d) n2 + n + 1589 Giải: a) Vì n2 + 2n + 12 số phương, đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k � N) (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n + 1)2 = 11 (k + n + 1)(k –n - 1) = 11 Nhận xét thấy k + n + > k - n - chúng số nguyên dương, nên ta có: ( k + n + 1) ( k - � k + n + = 11 � k=6 n - 1) = 11.1 � � �� � � � � k - n - 1= n=4 � � Vậy n=4 số cần tìm b) đặt n(n + 3) = a2 (n � N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2 (4n2 + 12n + 9) – = 4a2 (2n + 3)2 – 4a2 = (2n + + 2a)(2n + – 2a) = Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a chúng số nguyên dương, nên ta � 2n + + 2a = � n =1 � n + + a n + a = 9.1 � �� ( )( ) � � � 2n + 3- 2a = � a =2 � � Vậy n=1 số cần tìm c) Đặt 13n + = y2 (y � N) 13(n - 1) = y2 – 16 13(n - 1) = (y + 4)(y – 4) (y + 4)(y – 4) 13 mà 13 số nguyên tố nên y + 13 y – 13 y = 13k (với k � N) 13(n - 1) = (13k 4)2 – 16 = 13k.(13k 8) n=13k2 8k + Vậy n = 13k2 8k + (với k � N) 13n + số phương (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2 d) Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m � N) (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355 Nhận xét thấy 2m + 2n + > 2m – 2n – > chúng số lẻ, nên ta viết (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy n có giá trị sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28 Bài 2: Có hay khơng số tự nhiên n để 2010 + n2 số phương Giả sử 2010 + n2 số phương 2010 + n2 = m2 (m N ) Từ suy m2 - n2 = 2010 (m + n) (m – n) = 2010 Như số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m số m + n m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2) m + n m – n số chẵn (m + n) (m – n) 2010 không chia hết cho Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2010 + n2 số phương Bài 3: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n + 3n + số phương Ta có 10 n 99 nên 21 2n + 199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 2n + 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n + 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 số phương Vậy n = 40 Bài 4: Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n số phương Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) 2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48) � a + 48 = 2p � � 2p - 2q = 96 = (a + 48) (a – 48) với p, q N ; p + q = n p > q � � q � a - 48 = � � � � 2q = 23 q=5 q p- q � � n = p + q = 12 � 2 - = � �p- q �� � � � p = = � � � Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802 Bài tập tương tự: Tìm a để số sau SCP a) a2 + a + 43 b) a2 + 81 c) a2 + 31a + 1984 Kết quả: a) 2; 42; 13 b) 0; 12; 40 c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728 p q ( ) Tìm tất số tự nhiên n để n2 + 1234 SCP Tìm số tự nhiên x cho x2 + 2x + 200 SCP Tìm số nguyên x cho A = x ( x - 1) ( x - 7) ( x - 8) SCP ... Tìm số phương lẻ khoảng ta 2n + 25; 49; 81 ; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n + 37; 73; 121; 181 ; 253 Chỉ có 121 số phương Vậy n = 40 Bài 4: Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 +... -2006)2 Vậy M số phương B DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phương a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3) c) 13n + d) n2 + n + 1 589 Giải: a)... 211 + 2n số phương Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) 2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48) � a + 48 = 2p � � 2p - 2q = 96 = (a + 48) (a – 48) với p, q N ; p + q = n p > q � � q � a - 48 = � � �