Trang chủ Giáo dục Thứ Ba, 03102023 23:20Tăng giảm cỡ chữ: Theo dõi Luật Minh Khuê trên Google News Số chính phương là gì? Cách nhận biết số chính phương và ví dụ Xem thông tin tác giả Bùi Tuấn An Tác giả:: Bùi Tuấn AnXem thông tin tác giả Luật sư Lê Minh Trường Tham vấn bởi:: Luật sư Lê Minh Trường Số chính phương về bản chất là bình phương của một số tự nhiên nào đó. Để tìm hiểu và nhận biết số chính phương dễ dàng, mời Quý bạn đọc theo dõi bài viết sau đây của Luật Minh Khuê. Mục lục bài viết 1. Số chính phương là gì? 1.1. Tính chất chia hết của số chính phương 1.2. Số chính phương nhỏ nhất 1.3. Số chính phương lớn nhất 1.4. Hằng đẳng thức để tính hiệu của hai số chính phương 2. Cách nhận biết số chính phương? 3. Một số bài tập vận dụng về số chính phương recommended by TÌM KIẾM QUẢNG CÁO Sài Gòn: Máy tính xách tay chưa bán được đang được bán với giá rẻ TÌM HIỂU THÊM 1. Số chính phương là gì? Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên. Với số nguyên bao gồm các số nguyên dương (1, 2, 3,…), các số nguyên âm (1, 2, 3,…) và số 0. Tập các số nguyên được ký hiệu là Z. Tuy nhiên, căn bậc hai của một số chính phương lại chỉ có giá trị là một số tự nhiên, tức là các số nguyên dương. Ví dụ: Số 10 không phải là số chính phương bởi vì căn bậc 2 của 10 bằng 3.16227766017, là một số vô tỷ (thuộc tập I), không phải là số tự nhiên. Số chính phương còn được gọi là số hình vuông vì số chính phương là bình phương của một số tự nhiên mà diện tích hình vuông là hai cạnh nhân nhau (bình phương của 1 cạnh). Số chính phương được chia ra làm 2 loại: Số chính phương chẵn: một số chính phương được gọi là số chính phương chẵn nếu như nó là bình phương của một số chẵn. Ví dụ: 4, 16, 36... là số chính phương chẵn. Số chính phương lẻ: một số chính phương được gọi là số chính phương lẻ nếu như nó là bình phương của một số lẻ. Ví dụ: 9, 49, 81... là số chính phương lẻ.
Trang 1BÀI TẬP CHỦ ĐỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1 CMR tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương
Lời giải
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là x ; x +1 ; x+2 ; x +3
Ta có: A=x ( x +1)( x +2) ( x+3 )+ 1= ( x2+3 x ) ( x2+ 3 x+2 ) + 1
Đặt t=x2+ 3 x +1, khi đó ta có:
A=(t−1)(t +1)+1=t2
⇒ A= ( x2
+ 3 x +1 )2
Vì x∈ N ⇒ x2+3 x +1 ∈ N ⇒ A là số chính phương
Vậy tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương
Bài 2 Tìm các số nguyên n sao cho n4
+ n3 + n2 là số chính phương
Lời giải
Đặt A=n4
+ n3
+ n2
⇒ A=n2
( n2
+ n+1)
+) Nếu n=0⇒ A=0 là số chính phương⇒n=0 thoả mãn.
+) Nếu n ≠ 0, vì n2 là SCP nên Alà số chính phương ⇔ n2
+ n+1 là SCP
Đặt n2
+ n+1=k2
) ⇒ 4 n2 + 4 n+4=4 k2
⇒(2 n+1)2
− (2 k )2=−3
⇒(2 n+1−2k )(2 n+1+2 k )=−3
Vì 2 n+1+2 k >2 n+1−2 k nên ta có các trường hợp sau:
Th1:{ 2 n+ 1−2 k=−3
2 n+1+2 k=1 ⇒ { n=−1 k=1
Th2: { 2 n+ 1−2 k=−1
2 n+1+2 k=3 ⇒ { n=0 k =1 ( Loại)
Vậy n∈{0 ;−1 }
Bài 3 Cho 2 số nguyên a , b thoả mãn: a2
+ b2 + 1=2 (ab+ a+b) CMR: a và b là hai SCP liên tiếp
Lời giải
Ta có: a2
+ b2
+ 1=2 (ab+ a+b)
⇒ a2
+ b2
+ 1−2 ab+2a−2 b=4 a
⇒( a−b+1)2=4 a (*)
Vì (a−b+1 )2 và 4 là các SCP nên acũng là SCP, đặt a=x2
( x ∈ N ) thay vào (*) ta được:
Trang 2( x2
− b+1 )2=4 x2⇒ [ x2
− b+1=2 x
x2
− b +1=−2 x ⇒ [ b=( x−1)2
b=( x+1)2
Như vậy a va b là hai số chính phương liên tiếp (đpcm)
Bài 4 CMR không tồn tại số tự nhiên a sao cho a2
+ a=20102009
Lời giải
Ta có: a2+ a=20102009⇒ 4 a2
+ 4 a+1=4.20102009+ 1
⇒(2 a+1)2
= 4.20102009+1
Nhận xét rằng SCP khi chia cho 7 có thể dư 0 ;1 ;2; 4
⇒(2 a+1)2
chia cho 7 có thể dư 0 ;1 ;2; 4
Mặt khác 2010 ≡1 (mod 7) ⇒ 4.20102009
+ 1≡ 5(mod 7)
Từ đó suy ra không tồn tại số tự nhiên a nào thoả mãn a2
+ a=20102009
Bài 5 Tìm tất cả các số nguyên tố p , q sao cho p2
− q2−1 là SCP
Lời giải
Vì p , q là các số nguyên tố và p2
− q2−1 là SCP nên p>q
+) Nếu q=2 ⇒ p2
− q2−1= p2−5
Th1: p=3 ⇒ p2
−5=1 (thoả mãn)
Th2: p>3 ⇒ p không chia hết cho 3⇒ p2
≡1 (mod 3) ⇒ p2
−5 ≡2(mod 3) nên p2−5 không thể là SCP +) Nếu p>q ≥ 3 ⇒ p ;q đều là số lẻ ⇒ p2 và q2 là các SCP lẻ⇒ p2
≡q2≡ 1(mod 4) ⇒ p2
− q2−1 ≡−1 ≡3 (mod 4 )
⇒ p2
− q2−1 không thể là SCP
Vậy ( p ; q)=(3 ; 2) thoả mãn yêu cầu bài toán
Bài 6 Tìm số nguyên tố p sao cho 2 p4
− p2+16 là SCP
Lời giải
Vì p là số nguyên tố nên p ≥2
+) Nếu p=2⇒2 p4
− p2 + 16=44 không phải SCP +) Nếu p=3 ⇒ 2 p4
− p2+16=169=132 (thoả mãn) +) Nếu p>3 ⇒ p không chia hết cho 3⇒ p2≡1 (mod 3) ⇒ p4≡1 (mod 3) ⇒2 p4
− p2+16 ≡ 2(mod 3 )
⇒2 p4
− p2
+ 16 không thể là SCP
Vậy p=3 thoả mãn yêu cầu bài toán.
Bài 7 Cho số tự nhiên n thoả mãn n (n+1)+6 không chia hết cho 3 CMR: 2 n2
+ n+8 không phải là số chính phương.
Lời giải
Trang 3Vì n (n+1)+6 không chia hết cho 3 mà 6 ⋮ 3 ⇒ n(n+1) không chia hết cho 3
Mặt khác ta có: n (n+1) (n−1)⋮ 3 (tích 3 số nguyên liên tiếp)
⇒n−1⋮ 3 ⇒n ≡1 (mod 3 )
⇒2 n2
+ n+8 ≡ 2(mod 3) nên 2 n2
+ n+8 không phải là số chính phương.
Bài 8 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n4
−9 n3+33 n2−63 n+54 là số chính phương
Lời giải
A=n4−9 n3+ 33 n2− 63 n+54
¿ n4−3 n3−6 n3+18 n2+15 n2− 45 n−18 n+5 4
¿ ( n−3) ( n3−6 n2+15 n−18 )
¿ ( n−3)2( n2−3 n+6 )
+) n−3=0⇒ n=3 ⇒ A=0 (thoả mãn)
+) Nếu n−3 ≠0⇒ n≠ 3, khi đó A là SCP ⇔ n2
−3 n+6là SCP
Đặt n2−3 n+6=k2( k ∈ N )
⇒ k2
= n2−4 n+4+ n+2
⇒ k2
−(n−2)2= n+2>0 ( n∈ N¿
)
⇒ k2
> (n−2)2(1)
Mặt khác ta có: ( n+1)2− ( n2−3 n+6 ) =5 n−5=5 ( n−1) ≥0 ( n ∈ N¿
)
⇒(n+1)2
≥ n2−3 n+6hay (n+1)2≥ k2(2)
Từ (1) và (2) ta có: (n−2)2< k2≤(n+1 )2
Th1: k2=(n−1 )2⇒n2
−3 n+6=n2−2 n+1 ⇒n=5
Th2: k2
= n2⇒ n2−3 n+6=n2⇒n=2
Th1: k2
=(n+1)2⇒ n2−3 n+6=n2+2 n+1 ⇒n=1
Vậy n∈{1;2 ;3 ;5 } thoả mãn yêu cầu bài toán.
Trang 4Bài 9 Bài 10 Bài 11 Bài 12 Bài 13