Giải gần đúng phương trình toán tử và ứng dụng

ĐẠI H Ọ C Q U Ố C GIA HÀ NỘI T R Ư Ờ N G ĐẠI H Ọ C K H O A HOC T ự N H IÊ N 5f: sf: 5f: Tén để íài: GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ VÀ ỨNG DỤNG m M ã số: QT 00.03 Chủ trì để t i : TS Đăng Đình Châu Tên cán phối họp: KS Củ Xuân Đỏỉiq PGS.TS Chu Đức TS Nguyễn Thi Hổng Minh CN Phạm Thị Tô Nga G i T T ià n o Ĩ ị Ị IT j * j Aĩỉ r u ũ i ù ĩ t v 'ĩiiự ' Ị r r '1 • 07/mỉ \ Hà Nói - 2003 BẢO C Á O T Ó M TẮ T a Tén để tài: Giải gần p h ươn g trình tốn tủ ứng dụng M ã số: Q T 00 03 b Chủ để tài: TS Đặng Đình Cháu c Cán phối họp: KS Cù Xuân Đ ó n c PGS.TS Chu Đức TS N su v ễn Thị Hổng Minh CN Pham Thị T ố Nga d Mục tiéu nội dung Iighiẻn cứu Trong năm 2ần đâv nhờ phát triển nhảy vọt cua công nshệ tin học, việc nshiên cún phươna trình tốn tử nhữns ứng d ụ n s cua vào toán thực tế ngày c n s phát triển đạt nhiều kết q u ả sâu sắc Đặc biệt Lý thuyết xấp xỉ phương trình tốn tử lĩnh vực đans nhiều ncười quan tâm nshiên cứu theo nhiều phương hướng khác nhau.Tuy nhiên, để đáp ứng nhiều hon yêu cầu đặt trons trình giải qu vết toán thực tế bén cạnh toán định lượng việc nghiên cứu tốn định tính mang tính chất bổ trợ c ũ n đóng m ột vai trò quan trọng Vì báo cáo chúng tồi trình bày m ộ t số nội dung nghiên cứu theo ba phẩn sau đây: Phần thứ nhất: Giới thiệu tổng quát lược đổ xấp xỉ phương trình tốn tủ' trone khơng gian Banach ứns dung p h n s trình VI phân Phần thứ hai: Nghiên cứu tính ổn định p h n s trình sai phán tính tươns đương tiệm cận phương trình vi phán N h ữ n s vấn đề n sh iê n cứu đâv chủ yếu m ang tính chất định tính song c ũ n s có ý nghĩa trons lĩnh vực ứns dụng Mội số kết trons phán ứno d ụ n s tron2 việc khao sát số mơ hình thực tij irona phán nếp theo ] Phần thứ ba: Khảo sát sỏ m ổ hình thưc tế như: tốn khai thác tiếm m ạng thần kinh m n s điện tử toán hoạt đ ỏ n s hệ thòns quan cảm giáC/inơ hình ngoai thươns quốc 2Ía tưọng "m n s nhện" ĩrong sán xuất n ỏ n s nshiệp toán dẫn nhiẻt qua kết cấu bao che đa lớp Các kết nshiên cứu phần nhầm m ục đích nhữns ứns dụns cụ thể nhữns vấn đề xét trons phần hai Tuy nhiên, m ổ hình thưc tế ỏ' đáy xét ó' mức đơn ciản m ang tính chất minh hoa e Những kết đạt đưọc: Những kết đạt bao 2ổm: N hững ứns dung kết nchién cứu đề tài mồ hình thực tế như: toán khai thác tiềm m n s thần kinh mạng điện tư íốn hoạt độ n ° hệ th ỏ n s quan cảm giác, m hình nsoạị thươne siữa quốc sia tượng "mạng nhện" sản xuất nơng nghiệp, tốn dẫn nhiệt qua kết cấu bao che đa lớp Bên cạnh kết này, c h ú n s tối nhận số kết trons việc nghiên cứu tính tươna đương tiệm cận phương trình vi phân Trong trình thực để tài chúng tỏi hướne dẫn thành c ôns luận vãn tốt n sh iệ p cử nhân ngành toán, viết xuất quvển sách tác siả khác, đọc báo cáo Hội nghị Toán học toàn quốc Huế tháng 9/2002 đăng báo tạp chí K hoa học Đại học Quốc gia Hà Nói T.XVIII Số 2002 f Tình hình kinh phí đề tài: Đ a nhânđủ mười lăm triệu trổne chi phí theo hiệp Xác nhân B C N K h oa Xác nhận Co q uan quan lý Chủ trì đề tài B R IE F R E P O R T a Subjecí: Approximate solution o f Operator Equalions and Application b In charge o f the subject: ■ Doctor Dang Dinh Chau c Participants Enginer Cu Xuan Dong A ss.Proí.D octor Chu Duc Doctor N guyen Thi Hone Minh Bachelor Pham Thi To N s a d Objeclives and content: In recent vears, thanks to the development o f information technology, the study o f operator and the application in practice is improved and gets much achievement A m ong those studies, the theory of operator equations has bcen researched by many scientists Besides Ihe qualitative studies, some quanỉitative studies as the supplementary aỉso pỉays an important role in meetinơ the dem and of solving the practical mathematic issues Therefore, in this aríicle, some main contents is beino reĩerred through following three main parts: Part 1: Introducing generally approximate operator cquation d ia sra m s in Banach space and Ihe application o f Ihosc diaerams in differential equation Part 2: Studying Ihc stabỉlỉly o f dilTcrcncc cqualion and Ihc asvmpiotical equivalence o f dilTerential equation Allhoueh those issues studicd in this suhject is mainly qualitative, this also has many meanings in pracíice Some results in ihis part wil] be applied in considerine some praclical models in the ĩollovving parts Part 3: Researchins some practical models, such as: exploitins of the potential o f the neutral net-work and electronic network, the operation of fceling organs, írade models among nations, Cyber netvvork in aericultural prođuclion, the transfer o f heat through multi-layer structure The objective of íhis p a n is to find out how the results in part and part is applied in practice However, the practical models in this part is only considered simply as illustraíion e Some main results: Some main results oblained from the subjects are: The applicaíion o f the theory o f operator equations lo some parlicular mathcmatical studies such as the study of exploitiim the potential o f neuiral net-work and electronic network, the study o f operation o f íeeling oraan, the study o f trade amono, couníies, Cyber network in asricultural production and the study of transíeưing heat through multi-Iayer structure Besides, we cet some new rcsults when doing some research on the asymptotical equivalence of diffcrential equations In the period o f researching this subject, we instructed successful!y gradualion thesis m ade by students, wrote and published a book w ũh other authors, wrote an article pu blished in T.xvm , No2 - 2002 JoumaI o f Science, Mathematics - Physics M Ụ C LỤ C M đầu Chưong I: Các lược đò xáp xỉ phương trình tốn tử khỏng gian Banach ứng dụng đơi với phưong trình vi phán I M ột số khái niệm lv thuyết xấp xỉ phương trình tốn tử 1.1 Xấp xỉ k h ô n s gian Banach mộí dãy k h n s gian Banach 1.2 Lược đồ xấp xỉ tốn tử tuyến tính 1.3 Lược đổ xấp xỉ phương trình tốn tử 10 II Sự hội tụ lươc đồ xấp xỉ 13 2.1 Điều kiện xấp xỉ điều kiện ổn định 13 2.2 Định lv hội tụ lược đồ xấp xỉ 18 III Ví dụ lược đổ xấp xỉ hội tụ chúng -0 3.1 Sự hội tụ lược đổ sai phân toán biên phương trình vi phân 20 3.2 Sự hội tụ lược đổ sai phân phương trình truvển nhiệt 23 Chương II: Một số tính chất nghiệm phưong trình sai phân 31 phương trình vi phân I N ghiệm phương trình sai phân phi tuyến 31 II Sư ổn định phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu 35 IU Dùng hàm Liapunov đế nghiên cún tính ổn định phương trình sai phân 48 IV Sự tương đương tiệp cận phương trình vi phán 54 Chương III Các tốn ứng dụng 59 I ứng dụng lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân số 59 toán thực tế 1.1 Bài toán liên quan đến m ạng thần kinh 60 1.2 Bài toán vể hệ quan cảm giác 62 1.3 M hình nsoại thương hai quốc gia 63 1.4 Hiện tượna "mạng nhện" (cob\veb) kinh t ế n ô n e nghiêp 66 II M inh họa kết bằns chương trinh máy tính 71 III Bài tốn dẫn nhiệt qua kết cấu bao che đ"a lốp 8] MỞ ĐẤU Rất nhiều toán thường 2ặp sống h àn s neày khoa hoc kỹ thuật thường dẫn đến việc giải gần đ ú n s phương trình tốn tử nshién cứu tính chất định tính nghiệm chúng Thơng qua việc kháo sát số tốn ứns dụng, trình bày chi tiết ỏ' chương chúns tòi nhận thấy việc kết hợp song song nghiên cứu hai phươnơ pháp định tính đinh Iượns nghiệm phương trình tốn tử có số ý nghĩa quan trọng Tuy nhiên để thực điểu cách có hiệu thưc cần đòi hỏi có sư kết hợp nhiều ngành khoa học nhiều chuvên mồn khác Đổng thời trình thực nshiên cứu thiết cần phải trải qua số bước then chốt sau: Khái quát hố tốn thực tế thành mơ hình trừu tượns tổng qt dạng phương trình tốn tử Vận dụn° c ô n s cụ khoa hoc đại cụ phương pháp toán học lý thuyết xấp xỉ lý thuyết giải tích hàm phù hợp với đặc thù toán để giải toán đưọc đặt ú n g dụng công cu tin học để tiến hành tính tốn cụ thể kết nhận hoăc đánh giá mức đô> tin câv » J chúns cDựa sở nhữns nhận thức chúng tổi tiến hành nshiên cứu sơ tốn ứns dụng lĩnh vực phương trình vi phân phươns trình sai phân Nội dung đề tài nghiên cứu trình bàv ba chương: Chương 1: Các lược đồ xấp xỉ phươna trình tốn tử khơng sian Banach ứng dung phương trình vi phán Chương : Một số tính chất nghiệm phươnơ trình vi phân phương trình sai phân Chương : Cácbài tốn ứng dụng Chương C Á C L Ư Ợ C ĐỔ X Ấ P XỈ PH Ư Ơ N G T R ÌN H T O Á N T Ử T R O N G K H Ô N G BAN B A N A C H VÀ ỨNG D Ụ N G Đ ố i VỚI P H Ư Ơ N G T R Ì N H VI P H  N MỘT SỐ KHÁI NIỆM C BẢN VỂ LÝ THUYẾT XẤP x ỉ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ 1.1 Xấp xỉ khơng gian Banach bang dãy không gian Banach Giả sử X khơníi gian Banach cho Để xấp xỉ phần tử chúng o ta sử dung o cấu trúc sau đây: »■ Xét dãy không gian Banach { x n Ịị • rnà nhờ dỏ xấp xỉ không íỉian X Liên quan eiữa khônc gian XII khơng gian X clna ta sử (lụng dãy tốn từ tuyến tính {Tn }” , T n e ă ' ( X , X n ) (n = ], ), thời ch úng la giả thiết T nX = X n Thí dụ: Lấy X = C|,)J| tập hợp tất hàm liên tục đoạn [0.1] Giả sử n e N* số tự nhiên bất kỳ, ta chia đoạn [0,1] thành n phần với nút chia = tjj < tj < t2 < < t„ = Chọn X n = R n , xác định tốn lử tuyến tính Tn: X —» X n sau: Với x(t) X ta lấy: T„x(t) = (x(t|), x(t2), , x(tn)) Dễ dàng thấy rằns T n tốn tử tuyến tính TnX = X n Trong chương luôn chọn Xi)Và T„ cho dim X < + 00, Im (Tn) * đồng Ihời số chiều Xn dãy sổ lự nhiên lỉìns dần tới vó Khi dó clnína la eọi T n toán tử “ thu hẹp" N h chúnc ta dã biết mỏi khơn SI íiian n chiều R ta có thc xác định nhicu chuẩn khác nhau, nên dc thuận tiện với mỏi X € R la sc ký hiệu: II X IL = m a x I x k I : D isksn k Các lỉ II ỉí ll0 II X II = —I £ i x k Ị II k J ta sọi làchuẩn chung ta s ẽ ký hiêu II X ||ụ An hộp chuẩn cáu trường hợp • Giả sử khôns eian X n la chọn phần tử x n chúng la xếp chúng thành dãy có số tăng dần {xn Định nghĩa: Chúng ta nói dãy {xn T - hội tu đến Xe X nếu: l i m J | x „ - T nx Ị Ị - J = n —>30 Khi dó ta ký hiệu: x n — -—>x,(n -> oc) T - lim Nn = X 11—>30 Báng cách kiểm nahiệm trực tiếp ta có thê chí láng khái niệm T - hội tụ có số lính chất giống khái niệm hội tụ dãy số thông thườnn, tuV nhicn T siới han m ột dãy có thổ khơng Đổ khác phuc cliổu dó bổ sung thcm cho chúng đicu kiện khỏng suy biên Đ ịn h nghĩa: Chúng ta nói chuán Irong Xn không suy biến lừ lim |Tnx i - = suv X = J 11—>00I 11 iXn Đ ịn h lý: Điều kiện cần đủ đổ T - giới hạn luôn chuẩn x „ không suy biến Chứnq minh: Điều kiện cẩn định lý dẻ dàng suy lừ định nghĩa 4.1.1.2 Để chứng minh điều kiện đủ, ta giả sử {xn }r dãy phần lử mà T - lim x n = x' T - lim x n = x " n—>co n— Khi ||Tnx ' - x n ỊỊ —» 0;(n —> co) j!Tnx " - x n ỊỊ-> 0;(n —>oo) Mặt khác: Ị | T „ ( x ' - x " | Xn < | t „ n ' - n” Do dó ị|Tn ( \ ' - x " ) Ị | - x„ - T „ x " —> 0.(I1 —> oc), nên x' - x' ’ = o => x ’ = x ” 1.2 Lược đồ xáp xỉ tốn tử tuyến tính Giả sử X Y không gian Banach A : X —> Y ỉà mộl tốn tư ủ II lính có miền xác định D(A) miền ciá trị R(A), D(A) c X R (A ) c Y Để xấp xỉ khốnc 2Ìan Đanach X Y ta sử dụng dãy không gian Banach Ị x n }ị° ỊYn Ỵi tương ứim \'ới chúng dãy loán tử thu hẹp (T r } | T ’nỊ thoá mãn điều kiện 1 Đế xấp xỉ toán tử A : X —> Y, la sử cỉụne dãy toán lử tuyên tính {A„}” A n : X „ —> Y n Chúne ta luôn giả thiết D ( A n ) c X n R ( A n ) c Yn Vn £ N* T n (D(A)) c D (A n) Đinh nghĩa: Chiìnc ta nói ràng X e D(A) điều kiện xấp xi dược llioả mãn' nếu: | | A „ T „ x - T ' „ Ax||Ọii ->() 11->=0 Khi đicu kiện (2) dược thoa mãn ta có: A nT „ x — ]~ > A \ ( n -> co) la c ũ n ụ c ó t h ể nói r ằ n g {à ,,}* x ấ p xỉ A X e X Sau đáy thí dụ lược đồ xấp xỉ lốn lử: TÌ 1Í du: Trone khơng sian X = C|,| II ta xct tốn tử đao hàm A : = — dt Dễ dàng thấv tốn tử tuyến tính từ X 11Ĩ: A : X -> X Chứng ta xấp xỉ không gian X dãy { x n } Xn = R n.Vn e N la dã xét thí dụ muc 1 Làv phán tử x(t) e C |0 I| bất k\' ihoá mãn đicu kiện x(0) = dó g iốne thí dụ mục 1.1 ta có the chọn Tn : X —> X n sau: 18 TẠP CHÍ KHOA HỌC DHOGHN Tốn - Lý T.XV III, Sổ - 2002 VẾ S ự T U Ơ N G Đ U ƠN G TIỆM CẬN C Ủ A C Á C P H U Ơ N G TRÌN H VI P H  N T U Y Ế N TÍN H T R O N G K H Ô N G G I A N H IL B E R T Đãng Đình Châu • Khoa Tốn C Tin học D i học K lioa học Tự nhiên - D H Q G Hù N ộ i Trong báo chúns tỏi nghiên cứu tương đương tiệm cận phương trình vi phân không gian Hilbert Đổng thời chúne tỏi mối liên hệ tính tương đương tiệm cận phương trình vi phán dạng tựa tam giác khơng gian ] Hilbert tính tương đươns tiệm cận phương trìn h vi phân cắt nsán lưưns ĐẠ! HỌC QUỐC GIA HÀ NỘ! TỌP CHÍ KHOA HỌC TỐN - VẶT LÝ T X V I I I S ố - 0 M ỤC LỤC Phùng Quốc Bảo, Đinh Vãn Hoàng Một cách tiếp cặn lv thuyết vé hoạt dộns đơn mode lưỡng ổn dịnh laser Fabry-Perot chứa chất hấp thụ bão hồ Đặng Đình Châu Về tương dươns tiệm càn phươns trình vi phàn tuvến tính trone kh ỏ n s sum Hilbert Đinh \ ân H o a n ” , Phạm V ãn Hạnh Anh hưỡntĩ cứa tham sỏ vùi liêu trons laze D F B lèn x u n s phát Niĩuyẻn Vãn Hùrtìi Lv rhưvết tóns qt vé XAFS Cumukmt phươns pháp vé xãc định cấu t r ú c Hoàn