de-on-tap-thi-vao-lop-10

ĐỀ SỐ  x 7  x 3    : x  2 x  x  x    x  10 x Câu 1) Cho biểu thức A    x  0, x  4 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị A x   2 3) Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên Câu 2) Cho phương trình x2   m 1  m2  m   , với m tham số a) Chứng minh phương trình cho có hai nghiệm trái dấu với m b) Gọi hai nghiệm phương trình cho x1 , x2 Tìm m để biểu thức 3 x  x  A       đạt giá trị lớn  x2   x1  Câu 3) Một ca nơ xi dịng 78km ngược dòng 44 km với vận tốc dự định ca nô xuôi 13 km ngược dòng 11 km với vận tốc dự định Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước Câu 4) Từ điểm K nằm ngồi đường trịn  O  ta kẻ tiếp tuyến KA, KB cát tuyến KCD đến  O  cho tia KC nằm hai tia KA, KO Gọi H trung điểm CD a) Chứng minh: điểm A, K , B, O, H nằm đường tròn b) Gọi M trung điểm AB Chứng minh: Tứ giác MODC nội tiếp c) Đường thẳng qua H song song với BD cắt AB I Chứng minh CI  OB Câu 5) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  Chứng minh rằng: x  y  z  xyz  ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ Câu 1) 1) Với x  0, x  biểu thức có nghĩa ta có: Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!  x 7  3 A      : x  2 x  x  x    x  10 x    : x 3 x  x  2  x  2 x  1 x  x  2 x 3 x   x  x  x  2 x         2 x 1  x 2  x 7 Vậy với x  0, x  A  x x 1 2) Khi x   2    1  x   thay vào ta có: A    1 1 3) Ta có A  1     5 1 2 1    3   1 2  x  0, x  0, x  nên A  x  0, x  0, x  x 1 5 x 5    , x  0, x    A  , kết hợp với A nhận giá trị 2 x 1 2 x 1   số nguyên A1, 2 A   x  x 1  x  1  x  thỏa mãn điều kiện A   x  x   x   x  không thỏa mãn điều kiện Vậy với x  A nhận giá trị nguyên Câu 2) a) Xét a.c  m  m     m     0, m  2  Vậy phương trình ln có hai nghiệm trái dấu với m b) Gọi hai nghiệm phương trình cho x1 , x2 Theo câu a) x1 x2  , A xác định với x1 , x2 3 x  x  Do x1 , x2 trái dấu nên    t với t  , suy    , suy A   x2   x1  Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! 3 x  x  1 Đặt    t , với t  , suy     Khi A  t  mang giá trị âm A t t  x2   x1  đạt giá trị lớn  A có giá trị nhỏ Ta có  A  t   , suy A  2 t Đẳng thức xảy t   t   t  Với t  1, ta có t  x1  x1  1  x1   x2  x1  x2     m  1   m  Vậy với m     1  x2  x2  biểu thức A đạt giá trị lớn 2 Câu 3) Gọi vận tốc riêng ca nô x (km/h, x  ) Và vận tốc dòng nước y (km/h, y  Ca nơ xi dịng với vận tốc x  y (km/h) Đi đoạn đường 78 km nên thời gian 78 (giờ) x y Ca nơ ngược dịng với vận tốc x  y (km/h) Đi đoạn đường 44 km nên thời gian 44 (giờ) x y Tổng thời gian xi dịng 78 km ngược dòng 44 km nên ta có phương trình: 78 44   (1) x y x y Ca nô xuôi dòng 13 km ngược dòng 11 km nên ta có phương trình: 13 11   (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: x y x y  78 x y     13   x y 44 5 x y  x  y  26  x  24   11 x  y  22 y2   1 x y Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn Vậy vận tốc riêng ca nô 24 km/h vận tốc dòng nước km/h A Câu 4) a) Vì K A, KB tiếp tuyến O  nên H KAO  KBO  90 Do H trung điểm dây CD nên C M K O I KHO  900 Từ suy điểm B Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! D K , A, H , O, B nằm đường tròn đường kính KO b) Vì M trung điểm AB nên AM  KO Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng K AO Ta có: KM KO  K A2 Xét tam giác K AC tam giác K DA có KAC  KDA (Tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung) Góc AKD chung Nên K AC KDA( g.g ) Suy K A KD   K A2 KC.KD Suy KC K A KC.KD  KH KO  KMC# KDO( g.g )  CMK  CDO CMOD nội tiếp c) Ta có HI / / BD  CHI  CDB Mặt khác CAB  CDB chắn cung CB nên suy CHI  CAB hay AHIC tứ giác nội tiếp Do IAH  ICH  BAH  ICH Mặt khác ta có A, K , B, O, H nằm đường trịn đường kính OK nên BAH  BKH Từ suy ICH  BKH  CI / / KB Mà KB  OB  CI  OB Câu 5) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có: 2 x  y  z  xyz  x 1  yz    y  z    x   y  z   1  yz   1    Tới ta cần chứng minh   yz    yz  y z    y z  y z   y z  yz  1  Mặt khác theo giả thiết ta có: ta có  x2  y  z  y  z  yz  yz  1.Nên bất đẳng thức Dấu xảy có số số ĐỀ SỐ  Câu 1) Cho biểu thức: P   a  b  a  2b3     a  2b3  a    a   a  2ab  2b   2b  2ab   a) Tìm điều kiện a b để biểu thức P xác định Rút gọn biểu thức P Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! b) Biết a   3 b   Tính giá trị P 2 Câu 2) Cho phương trình x  2mx  m2   , với m tham số Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình a) Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 khơng phụ thuộc vào m b) Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức A  x1 x2  x  x22   x1 x2  1 Câu 3) Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” đôi tàu dự định chở 280 hàng đảo Nhưng chuẩn bị khởi hành số hàng hóa tăng thêm so với dự định đội tàu phải bổ sung thêm tàu tàu chở dự định hàng Hỏi dự định đội tàu có tàu, biết tàu chở số hàng  x  my  m  Tìm m để hệ có nghiệm mx  y  3m  Câu 4) Cho hệ phương trình:  cho x y đạt giá trị nhỏ Câu 5) Cho nửa đường tròn  O; R  đường kính BC A điểm di động nửa đường trịn Vẽ AH vng góc với BC H Đường trịn đường kính AH cắt AB, AC nửa đường tròn  O  D, E , M AM cắt BC N a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật AME  ACN b) Tính DE theo R chứng minh D, E , N thẳng hàng BD.CE c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác ABH lớn Câu 6) Cho x, y  x2  y3  x3  y Chứng minh rằng: x3  y3  ĐÁP ÁN ĐỀ Câu 1) Điều kiện: a  0, b  0, a  2b a) Ta có: a3  2b3   a    2b    a  2b  a  2ab  2b  Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! b) Suy    a  b a  2b3 a  2ab  2b  a  2b a  2ab  2b       a  b   a a  2b a  a  2ab  2b a  2b a  2ab  2b    a  2b     a  2b a  2ab  2b a  2b3  a  a 2b  2ab 2b 2b  a  2ab  2b   a  2ab  2b a2   a 2b 2b a  2b Vậy P  1 2  c) Ta có: a.b  1  Do P  a  2b 2b  a  2b  2b  a  2b 2b 3  3  1    Suy ra: 2b  4a   a  2b a    4a   a    2b 2b Câu 2) Ta có   m2   m  1   m    , với m Do phương trình ln có nghiệm với giá trị m Theo hệ thức Viet, ta có: x1  x2  m x1 x2  m  a) Thay m  x1  x2 vào x1 x2  m  , ta x1 x2  x1  x1  Vậy hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m x1 x2  x1  x1  b) Ta có: x12  x22   x1  x2   x1 x2  m   m  1  m  2m  Suy A  x1 x2  2m  Vì  2 x  x2   x1 x2  1 m  2  m  1  0, m  2m  2m   m  A 1  1   2 m 2 m 2 m 2 Suy A  1, m  Dấu “=” xảy ta m  2 2m  1  m  1  m   m   Và A       0, m  m 2 2  m2    m2   2 Suy A   , m  Dấu “=” xảy m  2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Vậy GTLN A m  GTNN A  m  2 Câu 3) Gọi x (chiếc) số tàu dự định đội  x  *, x  140 Số tàu tham gia vận chuyển x  (chiếc) Số hàng theo dự định 280 (tấn) x 286 (tấn) x 1 280 286 Theo ta có phương trình:  2 x x 1 Số hàng thực tế  x  10  280  x  1  286 x  x  x  1  x  x  140    Vậy đội tàu lúc đầu có  x  14(l ) 10 tàu 1 Từ phương trình (2) hệ ta  2  x  my  m  mx  y  3m  Câu 4) Xét hệ phương trình:  suy y  3m   mx thay vào phương trình (1) hệ ta thu được: x  m  3m   mx   m   1  m  x  3m  2m  Hệ có nghiệm khi phương trình 1  m2  x  3m2  2m  có nghiệm suy điều kiện là: 1  m    m  1 Khi hệ có nghiệm  x; y  ta lấy phương trình (2) trừ phương trình (1) thu được:  m 1 x   m 1 y   m 1  x  y  Do đó: xy  x  x    x  x     x  1   1 Dấu xảy khi: x 1 3 2 1   m    m  Vậy với m  x y đạt giá trị m 1 m 1 nhỏ Câu 5) a) ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC  ABC vng A  Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật ADH  900 , AEH  900 Vậy DAE  ADH  AEH  900 nên tứ AM AE  AC AN giác ADHE hình chữ nhật  b) Ta có AM AN  AE AC   AH A E  M K I D N B H O C Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!  AM AE   AME AC AN CAN (c.g.c)  AME  ACN Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có BD2  BD AB; CH  CE.CA AB.AC  AH.BC  AH 2R (Vì BC  2R ) AH  BH CH  AH  BH CH  BD AB.CE.CA  BD.CE AH R  AH  DE AH  R , mà BD.CE DE  2R BD.CE nên Giả sử DE cắt AH I , cắt OA K ; IAE  IEA ( IAE cân I ), OAC  OCA ( OAC cân O ) Do KAE  KEA  OCA  IAE  900  OA  DE Ta có DI  OA (1) Mặt khác  O  ,  I  cắt A M  OI đường trung trực AM  OI  AM Do I trực tâm ANO  NI  OA (2) Từ (1) (2) cho trùng Vậy D, E , N thẳng hàng DI , NI c) Đặt BH  x   x  2R , CH  2R  x nên AH  x  2R  x  S ABH  1 x 1 x  AH BH  x x  R  x   x  2R  x     2R  x  2 23   2x  3 x  x 3 1 x x  3R Dấu “=” xảy x  2R    R   R     2 3 4 3 BH  3R  A giao điểm nửa đường tròn  O  với đường trung trực OC Câu 6) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz kết hợp với giả thiết toán, ta được: x3  y3  x3 x3  y y  AM- GM ta có: x  y  x3  y   x  y  x  y  Theo bất đẳng thức x  y  x3  y ,  x  y  x  y   2 x3  x3   3x ; y3  y3   3x suy x3  y    x  y3 x y x y    x3  y    x3  y  Đẳng thức xảy 2 2 3 x  y  Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! ĐỀ SỐ Câu 1) Cho b  a  Xét biểu thức: P  a  b3 a b   a b a b b a a) Rút gọn P b) Biết  a  1 b  1  ab  , tính giá trị biểu thức P Câu 2) Cho Parabol ( P) : y  x đường thẳng (d ) : y  mx  a) Chứng minh đường thẳng (d ) cắt đồ thị ( P ) hai điểm phân biệt A, B Gọi x1 , x2 hoành độ điểm A, B Tìm giá trị lớn Q  x1  x2   x12  x2 b) Tìm m để diện tích tam giác OAB Câu 3) Một ô tô xe máy khởi hành lúc từ hai tỉnh A, B cách 150km, ngược chiều gặp sau 1, h Hỏi sau gặp tơ vận tốc ô tô Câu 4) Cho tam giác ABC vuông A AB  AC Gọi H hình chiếu A BC M điểm đối xứng H qua AB Tia MC cắt đường tròn ngoại đến B xe máy đến A biết vận tốc xe máy tiếp tam giác ABH điểm P  P  M  Tia HP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác APC điểm N  N  P  a) Chứng minh HN  MC b) Gọi E giao điểm thứ hai AB với đường tròn ngoại tiếp tam giác APC Chứng minh EN song song với BC c) Gọi K giao điểm thứ hai BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác APC Chứng minh H trung điểm BK Câu 5) Cho số a, b, c không âm Chứng minh a3  b3  c3  a bc  b2 ca  c2 ab Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! ĐÁP ÁN ĐỀ Câu 1) a) Ta có: P  a a b b a    a  b b a b a b a b b a ab  a b a b b) Ta có:  a  1 b  1  ab   ab  a  b  ab   a  b  Vì a  b nên ab  b  a Vậy P  1 Câu 2) a) Phương trình hồnh độ giao điểm  d   P  là: x  mx   x  mx   Ta có   m  16  , với m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt, suy đường thẳng  d  cắt  P  hai điểm phân biệt Theo định lý Viet ta có:  x1  x2  m 2m  ta có Q  (dùng phương pháp miền giá trị hàm số- Xem thêm  m 8  x1.x2  4 phần ứng dụng tốn GTLN, GTNN) ta dễ tìm giá trị lớn Q GTNN Q  đạt m  m  8 b) Để ý đường thẳng  d  qua điểm cố định I  0;4 nằm trục tung Ngoài gọi A  x1; y1  , B  x2 ; y2  x1.x2  4  nên hai giao điểm A, B nằm hai phía trục tung Giả sử x1   x2 ta có: 1 SOAB  SOAI  SOBI  AH OI  BK OI với H , K hình chiếu vng góc 2 điểm A, B trục Oy Ta có OI  4, AH  x1   x1, BK  x2  x2 Suy 2   x1  x2    x1  x2   x1 x2  Theo định lý Viet ta có: SOAB   x2  x1   SOAB   x1  x2  m, x1 x2  4 Thay vào ta có: SOAB   m2  16   64  m  Câu 3) Gọi vận tốc xe máy x km/h  x  0 Khi vận tốc tơ km/h Theo ta có phương trình: 1,5 x  1,5 3x 3x  150  x  40 Do đó, vận tốc xe máy 40 km/h vận tốc ô tô 60 km/h Sau gặp nhau, thời gian 10 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! ô tô đến B là: 150  1,5  (giờ) Sau gặp nhau, thời gian xe máy đến A là: 60 150  1,5  2, 25 (giờ) 40 Câu 4) a) Do đường trịn  ABH  có đường kính AB nên M   ABH  Xét hai tam giác AHN AMC có AM  AH ; Và có AMC  AMP  AHP  AHN ; ACM  ACP  ANP  ANH Suy AHN  AMC Vậy HN  MC b) Do CAE  900 nên CE đường kính đường tròn  APC  Suy EN  NC Ta chứng minh CN  BC Ta có: ACN  APN  AMH  ABH  HAC Do CN / / AH hay CN  BC c) Xét đường tròn  APC  , ta có: AKB  APM  sđ AC Xét đường trịn  ABH  , ta có: APM  AHM  AMH  ABH Suy AKB  ABK hay tam giác ABK cân A Do HB  HK Câu 5) Ta có a3  b3   a  b   a  ab  b    a  b  ab Tương tự ta có b3  c3   b  c  bc c3  a3   c  a  ca Do  a3  b3  c3   ab  a  b   bc  b  c   ca  c  a   a  b  c   b2  c  a   c  a  b   2a bc  2b ca  2c ab Vậy a3  b3  c3  a bc  b ca  c ab (đpcm) Đẳng thức xảy a  b  c 11 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!