Đề ôn tập thi vào lớp 10

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi m. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước. Chứng minh: Tứ giác MODC nội tiếp.. Đối chiếu với điều kiệ[r]

1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

ĐỀ SỐ

Câu 1) Cho biểu thức :

2 2 10

x x

A

x x x x x x

   

   

    

  x0,x4

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị A x 3 2

3) Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên Câu 2) Cho phương trình  

1

x  m m   m , với m tham số

a) Chứng minh phương trình cho có hai nghiệm trái dấu với m b) Gọi hai nghiệm phương trình cho x x1, 2 Tìm m để biểu thức

3

1

2

x x

A

x x

   

   

    đạt giá trị lớn

Câu 3) Một ca nơ xi dịng 78km ngược dịng 44 km với vận tốc dự định ca nơ xi 13 km ngược dịng 11 km với vận tốc dự định mất Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dòng nước

Câu 4) Từ điểm K nằm ngồi đường trịn  O ta kẻ tiếp tuyến KA K B, cát tuyến KCD đến  O cho tia KC nằm hai tia KA KO, Gọi H trung điểm CD

a) Chứng minh: điểm A K B O H, , , , nằm đường tròn b) Gọi M trung điểm AB Chứng minh: Tứ giác MODC nội tiếp

c) Đường thẳng qua H song song với BD cắt AB I Chứng minh CI OB Câu 5) Cho số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện: 2

2

x y z  Chứng minh rằng: x  y z xyz2

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ Câu 1)

2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

2 3

:

2 2 10

x A

x x x x x x

                         

2 2 3

:

2

x x x x

x x x x

     



  

    

5

2

2

2

x x x x x x x x        

Vậy với x0,x4

2 x A x  

2) Khi x 3 2 1 2 x  1 thay vào ta có:

 

        

5 5 2

7

2

2 1

A

    

   

  

3) Ta có x   0, x 0,x4 nên 0, 0,

2

x

A x x

x

    

 

5 5

, 0,

2

2 2

x

A x x

x x         A

   , kết hợp với A nhận giá trị số nguyên A 1,

1

1

3

A  x  x  x   x thỏa mãn điều kiện

2 2

A  x  x  x   x không thỏa mãn điều kiện Vậy với

9

x A nhận giá trị nguyên

Câu 2) a) Xét

2

2

0,

2

a c m    m m     m

 

Vậy phương trình ln có hai nghiệm trái dấu với m b) Gọi hai nghiệm phương trình cho x x1, 2 Theo câu a) x x1 0, A xác định với x x1, Do x x1, 2 trái dấu nên

3 x t x      

  với t0, suy

3 x x     

3 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

O I

M

H D

C

B A

K

Đặt

2 x

t x

 

 

 

  , với t0, suy

3

1

1 x

x t

 

 

 

  Khi

1

A t

t

   mang giá trị âm A đạt giá trị lớn A có giá trị nhỏ Ta có A t

t

    , suy A 2 Đẳng thức xảy

1

t t t

t

     Với t 1, ta có

 

3

1

1 2

2

1 1

x x

x x x x m m

x x

 

                

 

  Vậy với m1

biểu thức A đạt giá trị lớn 2

Câu 3) Gọi vận tốc riêng ca nô x (km/h, x0) Và vận tốc dòng nước y (km/h, y0

Ca nơ xi dịng với vận tốc xy (km/h) Đi đoạn đường 78 km nên thời gian

là 78

xy (giờ)

Ca nơ ngược dịng với vận tốc xy (km/h) Đi đoạn đường 44 km nên thời gian 44

xy (giờ)

Tổng thời gian xi dịng 78 km ngược dòng 44 km nên ta có phương trình: 78 44

xy xy  (1)

Ca nô xi dịng 13 km ngược dịng 11 km nên ta có phương trình:

13 11

1

xy xy  (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:

78 44

5

26 24

13 11 22

1

x y x

x y x y

x y y

x y x y

  

       

  

     

 

  

  



Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn

Vậy vận tốc riêng ca nô 24 km/h vận tốc dòng nước km/h Câu 4)

a) Vì K A KB, tiếp tuyến

 O nên

90

KAOKBO Do H trung điểm dây CD nên

0

90

4 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

, , , ,

K A H O B nằm đường trịn đường kính KO

b) Vì M trung điểm AB nên AM KO Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng K AO

Ta có:

KM KOK A

Xét tam giác K AC tam giác K DA có K ACKDA(Tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung) Góc AKD chung

Nên K AC KDA g g( ) Suy K A KD

K A KC KD

KC  K A   Suy

KC KDKH KO KMC#KDO g g( )CMKCDOCMOD nội tiếp

c) Ta có HI/ /BDCHI CDB Mặt khác CABCDB chắn cung CB nên suy CHI CAB hay AHIC tứ giác nội tiếp Do IAH ICH BAH ICH Mặt khác ta có A K B O H, , , , nằm đường trịn đường kính OK nên

BAH BKH Từ suy ICH BKH CI / /KB Mà KBOBCIOB

Câu 5) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

    2   2 2

1 1

x  y z xyzx yz  yz  x  yz    yz  

Tới ta cần chứng minh

  2 3 2 2 

2 2 yz 2 yzy z  4 y z y z  0 y z yz 1 0 Mặt khác theo giả thiết ta có: ta có 2 2

2x y z  y z 2yzyz1.Nên bất đẳng thức Dấu xảy có số số

ĐỀ SỐ Câu 1) Cho biểu thức:  

3

3

2 2

2 2

2

a b a a b

P a

a ab b b ab

a b

     

 

    

       

 

5 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

b) Biết

a 

2

b  Tính giá trị P Câu 2) Cho phương trình 2

2x 2mxm  2 0, với m tham số Gọi x x1, 2 hai nghiệm phương trình

a) Tìm hệ thức liên hệ x x1, 2 khơng phụ thuộc vào m b) Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức

 

1

2

1 2

2

2

x x A

x x x x

 

  

Câu 3) Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” đơi tàu dự định chở 280 hàng đảo Nhưng chuẩn bị khởi hành số hàng hóa tăng thêm so với dự định đội tàu phải bổ sung thêm tàu tàu chở dự định hàng Hỏi dự định đội tàu có tàu, biết tàu chở số tấn hàng

Câu 4) Cho hệ phương trình:

3

x my m

mx y m

   

   

 Tìm m để hệ có nghiệm

nhất cho x y đạt giá trị nhỏ

Câu 5) Cho nửa đường trịn O R;  đường kính BC A điểm di động nửa đường trịn Vẽ AH vng góc với BC H Đường trịn đường kính AH cắt

,

AB AC nửa đường tròn  O D E M, , AM cắt BC N a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật AME ACN b) Tính

3

DE

BD CE theo R chứng minh D E N, , thẳng hàng

c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác ABH lớn Câu 6) Cho x y, 0 3

x y x y Chứng minh rằng: 3

2

x y  ĐÁP ÁN ĐỀ

Câu 1) Điều kiện: a0,b0,a2b

a) Ta có: 3     3  

2 2 2

6 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

b) Suy      

  

3

2

2

2 2 2

2

a b a a b

a b a

a ab b a b a ab b

a b            

 2 22 

a ab b

a b

a b a ab b

            

3 2 2 2

2

2 2

a b a ab b

a b

a a

b ab b b a

  

   

 

 2

2

2 2 2

2 2

a b

a ab b a ab b

a

b b b



   

   

Vậy  

2

1

2 2

a b a b

P

a b b b

 

 



c) Ta có: 1

2 2

a b        

    Suy ra:

1 b a 

Do 2

1 1

2

a b a

P a a

b b



         Câu 2)

Ta có    2

4

m m m

       , với m

Do phương trình ln có nghiệm với giá trị m Theo hệ thức Viet, ta có: x1x2 m x x1 2  m

a) Thay m x1 x2 vào x x1  m 1, ta x x1   x1 x1

Vậy hệ thức liên hệ x x1, 2 không phụ thuộc vào m x x1   x1 x1 b) Ta có: 2  2  

1 2 2 2

x x  x x  x x m  m m  m Suy

 

1

2 2

1 2

2

2

x x m

A

x x x x m

 

 

    Vì

 2

2 2

1

2 2

1 0,

2 2

m

m m m

A m

m m m

    

        

  

Suy A  1, m Dấu “=” xảy ta m1

Và  

    

2

2 2

2 2

1 1

0,

2 2 2 2

m m m

m

A m

m m m

   



       

   Suy

1 ,

7 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

K I

N

M

E

D A

H O C

B

Vậy GTLN A m1 GTNN A

2

 m 2 Câu 3) Gọi x (chiếc) số tàu dự định đội x *,x140

Số tàu tham gia vận chuyển x1 (chiếc) Số hàng theo dự định 280

x (tấn) Số hàng thực tế 286

1

x (tấn) Theo ta có phương trình: 280 286

1 x  x 

    10

280 286 140

14( )

x

x x x x x x

x l

            

 

 Vậy đội tàu lúc đầu có

10 tàu

Câu 4) Xét hệ phương trình:

3

x my m

mx y m

   

   



   

1

2 Từ phương trình (2) hệ ta suy y3m 1 mx thay vào phương trình (1) hệ ta thu được:

   2

3 1

xm m mx    m m x  m  m Hệ có nghiệm

khi phương trình  2

1m x 3m 2m1 có nghiệm suy điều kiện là:

 2

1m  0 m 1

Khi hệ có nghiệm  x y; ta lấy phương trình (2) trừ phương trình (1) thu được: m1 x m1y2m   1 x y Do đó:

   2

2 1 1

xyx x x  x   x    Dấu xảy khi:

2

1 1

1

x m m

m m

          

  Vậy với m0 x y đạt giá trị

nhỏ Câu 5)

a) ABC nội tiếp đường trịn đường kính BC ABC vuông AChứng minh tứ giác ADHE

là hình chữ nhật 0

90 , 90

ADH  AEH Vậy

90

DAE ADH AEH  nên tứ giác ADHE hình chữ nhật AM AE

AC AN

 

b) Ta có  2

8 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

AM AE

AC AN

   AME CAN (c.g.c)AMEACN Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có 2

;

BD BD AB CH CE CA

.2

AB ACAH BCAH R (Vì BC2R)

2 2

.2

AH BH CH AH BH CH BD AB CE CABD CE AH R

3

2

AH

R BD CE

  , mà AH DE nên

3

2

DE

R BD CE 

Giả sử DE cắt AH I , cắt OAtại K; IAEIEA (IAE cân I), OACOCA (

OAC

 cân O) Do

90

KAEKEAOCA IAE  OADE Ta có DIOA (1) Mặt khác    O , I cắt A M OI đường trung trực AM

OI AM

  Do I trực tâm ANONIOA (2) Từ (1) (2) cho ,

DI NI trùng Vậy D E N, , thẳng hàng

c) Đặt BH x0 x 2R CH, 2Rx nên AH x2R x 

   

1 3

2

2 2 2

ABH

x x

S  AH BH  x x Rx  x Rx    Rx

 

2 2

3 3 3 3

2

4 2 3

x x x x x R

x R  R    R  

      Dấu “=” xảy

chỉ 0.3

R

BH   A giao điểm nửa đường tròn  O với đường trung trực OC

Câu 6) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz kết hợp với giả thiết của toán, ta được:

     

3 3 3 2

x y  x x y y  x y x y  x y x y Theo bất đẳng thức AM- GM ta có:   

2 3

3 2

2

x y x y

x y x y     ,

3 3

1 ;

x   x x y y   x suy

 

3

3

2 3

3

2

5

3

2

x y

x y

x y x y

x y

    

       3

2

x y

9 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

ĐỀ SỐ Câu 1) Cho b a Xét biểu thức:

3

a b a b

P

a b a b b a



  

  

a) Rút gọn P

b) Biết a1b 1 ab 1, tính giá trị biểu thức P Câu 2) Cho Parabol

( ) :P yx đường thẳng ( ) :d ymx4

a) Chứng minh đường thẳng ( )d cắt đồ thị ( )P hai điểm phân biệt A B,

.Gọi x x1, hoành độ điểm A B, Tìm giá trị lớn  2

2

1

2 x x

Q

x x

  



b) Tìm m để diện tích tam giác OAB

Câu 3) Một ô tô xe máy khởi hành lúc từ hai tỉnh A B, cách 150km, ngược chiều gặp sau 1, 5h Hỏi sau gặp tơ đến B xe máy đến A biết vận tốc xe máy

3 vận tốc ô tô

Câu 4) Cho tam giác ABC vuông A ABAC Gọi H hình chiếu A BCvà M điểm đối xứng H qua AB Tia MC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH điểm P P M Tia HP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

APC điểm N N P

a) Chứng minh HNMC

b) Gọi E giao điểm thứ hai AB với đường tròn ngoại tiếp tam giác APC Chứng minh EN song song với BC

c) Gọi K giao điểm thứ hai BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác APC

Chứng minh H trung điểm BK

Câu 5) Cho số a b c, , không âm Chứng minh

3 3 2

10 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

ĐÁP ÁN ĐỀ Câu 1)

a) Ta có: P a a b b a a b b a b a b b a ab

a b a b a b

     

  

  

b) Ta có: a1b 1 ab  1 ab  a b ab  a b2

Vì ab nên ab  b a Vậy P 1

Câu 2)

a) Phương trình hồnh độ giao điểm  d  P là:

2

4

x mx x mx  Ta có

16 m

    , với m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt, suy đường thẳng  d cắt  P hai điểm phân biệt Theo định lý Viet ta có:

1

1

x x m

x x   

  

 ta có

2

8

m Q

m  

 (dùng phương pháp miền giá trị hàm số- Xem thêm

phần ứng dụng tốn GTLN, GTNN) ta dễ tìm giá trị lớn

Q GTNN Q

8

 đạt m1 m 8

b) Để ý đường thẳng  d qua điểm cố định I 0; nằm trục tung Ngoài gọi A x y 1; 1 ,B x y2; 2 x x1   4 nên hai giao điểm

,

A B nằm hai phía trục tung Giả sử x1  0 x2 ta có:

1

2

OAB OAI OBI

S S S  AH OI BK OI với H K, hình chiếu vng góc điểm A B, trục Oy Ta có OI 4,AH  x1  x BK1,  x2 x2 Suy

 1

2

OAB

S  x x SOAB2 4x1x22 4x1x224x x1 2 Theo định lý Viet ta có:

1 ,

x x m x x   Thay vào ta có:  

4 16 64

OAB

S  m    m

Câu 3) Gọi vận tốc xe máy xkm/h x0 Khi vận tốc tơ

x

km/h Theo ta có phương trình: 1, 1, 5.3 150 40

x

x   x Do đó, vận tốc

11 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

ô tô đến B là: 150 1,

60   (giờ) Sau gặp nhau, thời gian xe máy đến A là: 150

1, 2, 25

40   (giờ)

Câu 4)

a) Do đường trịn ABH có đường kính AB nên MABH Xét hai tam giác AHN AMC có AM AH ;

Và có AMCAMPAHPAHN; ACM ACP ANP ANHSuy AHN AMC

Vậy HNMC b) Do

90

CAE nên CE

đường kính đường trịn APC Suy ENNC Ta chứng minh CN BC Ta có: ACN APN 

AMH  ABH HAC Do CN/ /AH hay

CNBC

c) Xét đường trịn APC, ta có:

AKBAPM  sđACXét đường trịn ABH, ta có: APMAHM AMHABH Suy AKBABK hay tam giác ABK cân A Do HBHK

Câu 5)

Ta có 3   2  

a b  ab a ab b  ab ab Tương tự ta có b3  c3 b c bc

và 3  

c a  c a ca Do  3 3       2 a b c ab a b bc b c ca ca

     

2 2 2

2 2

a b c b c a c a b a bc b ca c ab

         Vậy

3 3 2