Toán học cao cấp

NGUYỄN ĐÌNH TRÍ (Chủ biên) TỐN HỌC CAO CẤP ■ TẬP MỘT ĐẠI SỐ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH NH À XUẤT BẢN G IÁO DỤC VIỆT NAM C hư ng I TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1.0 MỞ ĐẦU 1.0.1 KMi niệm mệnh đề toán học Ta hiố mệnh đề toán học khẳng định tốn học đúnghoặc sai, khơng thể nhập nhằng, nghĩa vừa vừasai, vừa khơng vừa khơng sai Thí d ự 0.1 < mệnh đề toán học > mệnh đề toán học sai 1.0.2 Kliiệu =>■ Khi v< giả thiết mệnh đề A ta chúng minh đuọc mệnh để B tìù nói từ mệnh đề A suy mệnh đề B, hay mệnh đề A kéo theo mệnh ẩểÌ Để diễn đạt ý ta viêt gọn A ^B Đơi kềi ta viết Thí di 1-0.2 1.0.3 Kfiiiệu B^ A (a < h) => (a + c < h + c) ■ Khi B đồng thời B => A, ta nói mệnh đề A tương đương mệnh đềB Để diễn đạt ý ta viết gọn A ^B Thí-di 1.0.3 iaa) {\a\ B ta nói A điều kiện đủ để có B B điều kiện cần để có A Khi A ^ B ứ c A ^ B \ằ B => A ,ta n ó iA ìà điều kiện cần đủ để có B Lúc B điều kiện cần đủ để có A Thí dụ 1.0.4 Rõ ràng Ợal < h) ^ (h> 0), từ > không suy lal < h Vậy lal < điều kiện đủ để có h > 0, > điều kiện cần để có \a\ < h, lal < h điều kiện cần đủ để có ủ > 1.0.5 Kí hiệu := Kí hiệu dùng để đưa vào định nghĩa, thay cho cụm từ “định nghĩa bỏi” Thí in i dụ aụ I.U.D 1.0.5 uương Đường tron tròn := V Quỹ tích điểm mặt phẳng cách đểu điểm xác định 1.0.6 Kí hiệu Kí hiệu thay cho cụm từ “với mọi” hay “vói bất kì” Thí dụ 1.0.6 Vx thực ta c ó x ^ -A ^ + l > 1.0.7 Kí hiệu a Kí hiệu thay cho cụm từ “tồn tại” “có” Thí dụ 1.0.7 3jc để - 3x + = 0, Jt = JC= BÀI TẬP: 1.1 1.1 TẬP HỢP VÀ PHẦN TỬ 1.1.1 Khái niệm tập hợp phần tử Khái niệm tập hợp phần tử định nghĩa khái niệm Biết Ta coi tập hợp khái niệm nguyên sơ, khơng định nghĩa Tuy nhiên ta nói sau : Tất đối tượng xác định hợp lại tạo thành tập hợp, đối tượng cấu thành tập hợp phần /z?củalập hợp Thí dụ L I Tất người Việt Nam giới tạo thành tập hợp người Việt Nam Mỗi ngưòi Việt Nam phần tử tập hợp Thí dụ ỉ 1.2 Tất điểm không gian tạo thành tập hợp điểm không gian Mỗi điểm phần tử tập hợp Thí dụ 1.13 Tất đường thẳng không gian tạo thành tập hợp đường thẳng không gian Mỗi đường thẳng phần tử tập hợp 1.1.2 Khái niệm thuộc kỉ hiệu G Nếu a phần tử tập hợp E ta nói “ữ thuộc E ' viết a G£ Nếu a không phần tử E ta nói “ứ khơng thuộc viết a ị E hay a Ẽ E Thí dụ 1.1.4 £ tập hợp số chẩn, Ệ tập hợp SỐ chẵn 1.1.3 Cách mô tả tập hợp Muốn mô tả tập hợp ta phải làm đủ rõ để cho phần tử ta biết có thuộc tập hợp ta hay khơng Thường có hai cách ; 1) Liệt kê tất phần tử tập hợp Thí dụ 1.1.5 A {x, y, z, t) Tập hợp có phần tử X, y, Vậy Zy t xeA ,yeA,z£A,ĩ£A, u ị A, V ^ A 2) Nêu tính chất đặc trimg phần tử tạo thành tập hợp Thí íỉụ 1.1.6 p := [cấc s6 chẫn] Như ta có A £ p e p 1.1.4 Kí hiệu I Tập hợp số chẵn mơ tả sau : • p [m m = n, Mnguyên} Cách viết đọc : /* tập hợp phần tử mtrong đó(hay cho) m = 2n vói n số nguyên Rõ ràng chỉlà cách diễn đạt khác tập số chẵn Kí hiệu 1đặt trước phần giải thích tính chất đặc trưng phần tử m Chú ý 1.1.1 Sau gọn, ta dùng từ "tập" thay cho cụm từ "tập hợp" 1.1.5 Một số tập hợp số thường gặp Tập số tự nhiên N ;= {0, 1,2, } Tập số nguyên Z := { 0,+ l , - l , + , - , } Tập số hữu tỉ Q = 'p q ^ o , p € Z , q £ Z