Giáo trình toán học cao cấp (trọn bộ 2 tập) tập 1

Giớo trình TỐN HỌC CAO CAP VIEN CAC TRUONG CAO DANG) NHA XUAT BAN GIAO DUC eg, NGUYEN BINH TRI (Chủ biên) LÊ TRỌNG VINH - DƯƠNG THỦY VY Giáo trình TỐN HỌC CAO cấp TAPI (Sách dùng cho trường Cao đẳng) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC se me LỜI NÓI ĐẦU đẳng thường Sinh viên vào năm học thứ trường đại học, cao có nhiều gặp khó khăn phương pháp dạy, phương pháp học bậc học môn học điều khác biệt so với bậc Trung học Toán học cao cấp lại cao đẳng kĩ khó với thời lượng lớn năm thứ trường đại học, cụ toán học để sinh thuật, nhằm rèn luyện tư khoa học, cung cấp công lực để tiếp tục tự viên học môn khoa học kĩ thuật khác xây đựng tiềm học sau vào chương Bộ giáo trình "Tốn học cao cấp” biên soạn đẳng trình khung ban hành, thực tế giảng dạy hệ cao Toán số trường đại học Kĩ thuật vào chương trình mơn cao đẳng trường Trung học Phổ thông nhằm giúp cho sinh viên hệ học tốt mơn học tốn học cao Do u cầu đào tạo hệ cao đẳng, số phần thuộc tham số, tích cấp cấu trúc đại số, dạng tồn phương, tích phân phụ đưa vào giáo trình phân ba lớp, tích phân mặt, chuỗi Fourier, không pháp bản, Những khái niệm tốn học bản, phương Một số định lí kết chương đêu trình bày đầy đủ lí quan trọng khơng chứng minh, ý nghĩa định Nhiều ứng dụng lí giải thích rõ ràng, nhiều ví dụ minh hoạ đưa kiến thức thuyết vào tính gần trình bày Riêng với trình giải tích mà sinh viên học Trung học Phổ thông, giáo kiến thức nâng nhắc lại cách hệ thống điểm trình bày sinh viên học tập cao Phân câu hỏi ôn tập cuối chương nhằm giúp tập để cuối tự kiểm tra kết học tập cia minh Lam niệm toán học, rèn chương giúp người học hiểu sâu sắc khái Các tập luyện kĩ tính tốn khả vận dụng khái niệm giải tập kèm theo giáo trình thể ba nhà Bộ giáo trình viết thành tập cơng trình tập Thủy Vỹ Ơng giáo: Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Lê Trọng Vinh Dương Thủy Vỹ viết Lê Trọng Vinh viết chương I, H, IV, V Ông Dương chương VII, X, XL chương HI, VI, VHI, IX Ơng Nguyễn Đình Trí viết Khi xay dung dé cương cho giáo trình biên soạn giáo trình, chúng tơi tham khảo kinh nghiệm nhiều nhà giáo giảng day nhiều năm môn Toán học cao cấp cho hệ cao đẳng trường đại học kĩ thuật Chúng xin chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp đọc thảo cho nhiều ý kiến quý báu, Bộ giáo trình viết lần đầu, khôn g tránh hết khiếm khuyết Chúng chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp bạn đọc Thư góp ý xin gửi vẻ Công tỉ Cổ phần Sách Dai học - Dạy nghề, 25 Hàn Thuyên, Hà Nội Các tác giả Lời nói đầu MỤC LỤC Chương I Tập hợp ánh xạ Số thực số phức §1 Nhắc lại mệnh đề tốn học kí hiệu lơgic §2 Tap hợp §3 Ánh xạ §4 Số thực 12 16 §5 Số phức 18 Câu hỏi ơn tập 32 Bài tập 33 Đáp số 36 Chương II Hàm số biến số Giới hạn liên tục Đạo hàm vị phan $1 Các khái nệm hàm Số biến số §2 Phan loại hàm số $3 Giới hạn đãy số $4 Giới hạn hàm số §5 Vơ bé vơ lớn $6 Hàm số liên tục §7 Đạo hàm §8 Vị phân Câu hỏi ôn tập Bài tập Đáp số Chuong III Cac dinh li vé gid tri trung bình ứng dụng §1 Các định lí giá trị trung bình §2 Cơng thức Taylor §3 Quy tác L'Hospita] Š4 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số 39 39 44 50 59 69 77 84 86 88 95 99 99 102 107 lãi §5 Đường cong cho phương trình tham số $6 Đường cong hệ toa độ cực Câu hôi ôn tập 123 128 133 Bài tập 134 Đáp số 137 Chương IV, Định thức - Ma trận - Hệ phương trình tuyến tính §1 Khái niệm mở đầu ma trận 141 141 §2 Định thức 143 §3 Ma trận 147 §4 Hệ phương trình tuyến tính 155 Câu hỏi ơn tập 162 Bài tập 163 Đáp số 168 Chương V Khơng gian vectơ §1 Khái niệm khơng gian vec tơ §2 Khơng gian con, Hệ sinh §3 Hạng họ vectơ $4 Bài tốn đổi sở §5 Ánh xạ tuyến tính Câu hồi ôn tập Bài tập Đáp số Chương VI Phép tính tích phân hàm số biến số §1 Tích phân bất định §2 Tích phân xác định §3 Một số ứng dụng hình học tích phân xác định §4, Tích phân Suy rộng Câu hỏi ơn tập Bài tập Đáp số Tài liệu tham khảo 171 171 174 183 184 188 198 199 205 207 207 226 237 250 257 260 266 271 CHƯƠNG I TAP HOP VA ANH XA - SỐ THỰC VÀ SỐ PHUC MUC DICH YEU CAU tập hợp ánh xạ, Chuong I dành để ôn tập bổ sung kiến thức trình bày kiến số thực học bậc Trung học Phổ thông, thức số phức, phép tính số phức số phức, làm tính thành Sinh viên cần hiểu Kĩ kiến thức đó, làm quen với số phức thạo số phức, biết sử dụng dạng lượng giác LƠGIC §1 NHẮC LẠI VỀ MỆNH ĐỂ TỐN HỌC VÀ KÍ HIỆU 1.1 Mệnh để tốn học học sai, Mệnh đề tốn học khẳng định tốn khơng sai khơng thể vừa vừa sai, vừa khơng vừa Ví dụ Ì: < mệnh đề toán học đúng; >7 mệnh để tốn học sai 1.2 Kí hiệu logic sau: Trong suy diễn toán học, người ta dùng kí hiệu Giả sử có hai mệnh dé A va B mệnh để B” e Kí hiệu A —= B đọc “từ mệnh để A suy đương với mệnh đề B” Điều e Kí hiệu A «> B đọc “mệnh để A tương có nghĩa A => B, đồng thời B = A để có B, cịn B điều kiện cần có e Nếu A = B ta nói A điều kiện đủ đủ B, đồng thời B từ A Nếu A œ B A điều kiện cần điều kiện cần đủ A bx +¢=0(a40) Ví dụ 2: Điêu kiện cần đủ để phương trình bậc hai: ax? + có hai nghiệm thực phân biệt A = bỶ — 4ac > 0, Ta viết: [phương trình: ax? + bx + ¢ = (a # 0) có hai nghiém thực phân biệt] « Kí hiệu : = đọc “được định nghĩa là” «e Kí hiệu Vx doc “với x” e Kí hiệu y đọc “tồn y” Ví dụ 3: Vx ta có X” + x + 1>0; 3y đểy°-5y+4=0 §2 TẬP HỢP 2.1 Tập hợp phân tử tập hợp định nghĩa đối Tap hợp khái niệm nguyên thuỷ, khơng nói tập hợp sinh viên với khái niệm điểm, đường, mặt Ta thường kính don vi, Nhu vậy, tap lớp, tập hợp điểm hình trịn có bán Mỗi hợp bao gồm đối tượng có chung tính chất tập hợp gọi phan ti tập hợp dé chi cdc tap Người ta thường dùng chữ hoa A,B,C, tập hợp chữ thường x, y, Z, t, để phân tử (đọc “x thudc Nếu x phần tử tập hợp A, ta kí hiệu xe A B (đọc “y không phần tử tập hợp B, ta kí hiệu y ¢ đối tượng hop A”) Nếu y thuộc Bì) hợp hữu hạn Người ta cho Tập hợp gồm số hữu hạn phần tử gọi tập tử Tập hợp gồm vô tập hợp hữu hạn cách liệt kê phần g có phần tử gọi rập số phần tử gọi ráp hợp vô hạn Tập hợp khơn rỗng (tập trống), kí hiệu Ø # ta viết: A = [x|x có Nếu A tập hợp gồm phần tử x có tính chat tính chất 7} Vi du 1: A= {x|x? — = 0} doc “A tập hợp 86 x cho x?— = 0” Đó tap hop hitu han (—1; 1} Các tập hợp thường gặp tốn học là: Đ = {0, 1,2, } tập hợp số tự nhiên N* = (1, 2, 3, } tập hợp số nguyên đương Z,= {0, +1, +2, } tập hợp số nguyên Q= lội q #0} tập hợp số hữu tỉ p.qe Z, R la tap hợp số thực tập hợp số thực khác không R = 1x e R| x0} 1R,= {x e RỊ x>0} tập hợp số thực không âm R_= {x € R| x $0} 1a tap hợp số thực không dương "Tập hợp vô hạn gọi đếm đánh số phần tử theo thứ tự tự nhiên Trong trường hợp trái lại, tập hợp gọi không đếm Các tập hợp Ñ, Ñ”, Z„ Q tập hợp đếm Chẳng hạn, ta đánh số phần tử Z, (tập hợp số nguyên) theo mũi tên sau? © ý Z -l + -2 Z Ý ” —3 Các tập hợp R, R”, ïR,, R_ tập hợp không đếm 2.2 Tập hợp Tập hợp Cho hai tập hợp A B Nếu phan tir cha A đêu phần tử B, ta nói A tập hợp B, hay A bao hàm B, hay tập hợp B chứa tập A C B hay B2 A hợp A, kí hiệu Như vậy, ta có A C A Với tập hợp liệt kê trên, ta cé ÑN'CNÑC ZC QC R Ta quy ước : Tập hợp rỗng tập hợp tập hợp Hai tập hợp A B gọi A C B BC A, kíhiệu : A = B 2.3 Các phép toán tập hợp Để dễ hình dung tập hợp phần tử nó, người ta thường dùng cách biểu diễn hình học, xem phần tử tập hợp điểm nằm hình phẳng giới hạn đường cong kín, gọi biểu dé Ven (hinh 1.1) Hinh 1.1 2.3.1 Phép hop Hợp hai tap hop A B tập hợp gồm phần tử thuộc tập hợp A, tập hợp B, kí hiệu A L) B AUB=(xlxe AhoặcA bo g) Néu f(x) va g(x) kha vi [a, b], f(x) > øg(x) với a < x < b : fŒ) > g'œ) với a