Vật lý đại cương các nguyên lí và ứng dụng

Có thể hiểu điều này là hệ quả của việc Ị các sóng phẳng có các tần số khác nhau là các thành phần của xung vào lan' truyền đến điểm cuối của môi trườiig với các độ trễ khác nhau.. Song

CAO VÂN LONG -

(Điện, từ, D.động và sóng)

NXB GIÁO DỤC - 2009

C h ư ơ n g 11

NHẬP MÔN QUANG HỌC PHI TUYÉN

SÔLITÔN HỌC

Cùng với sự xuất hiện của laser, một nguồn sáng có nhiều đặc tính như

cường độ cao, độ đơn sắc và kết hợp lớn , một ngành vật lý mới được phát triển như vũ bão trong vòng vài chục năm gần đây, đem lại nhiều ứng dụng công nghệ lớn Đó là môn quang học phi tuyến Có thể nói quang học phi tuyến nghiên cứu mọi sự thay đổi của vật chất dưới ảnh hưởng của ánh sáng nói riêng và sóng điện từ nói chung Thường các hiệu ứng phi tuyến xuất hiện khi

ta có các chùm sáng có cường độ lớn, điều không có được đối với các nguồn sáng thông thường Điều này cũng giải thích tại sao hiệu ứng phi tuyến đầu tiên đưọc quan sát: hoà ba bội hai bời nhóm nghiên cứu của Franken được tiến hành thành công sau khi phát hiện ra laser Đen nay, nhiều hệ quả cùa lĩnh vục này dã được ứng dụng, đặc biệt là sôlitôn, một lời giải đặc biệt của các phương trinh vi phân phi luyến đạo hàm riêng xuất hiện trong các vấn đề phi tuyến Các sôlitôn đã được ứng dụng rộng rãi trong truyền thông cáp quang ngày nay Những khái niệm quan trọng cùa sôlitôn học sẽ được trình bày trong chương này.

Do sự lương tự hình thức, các phương pháp nghiên cứu thuộc lĩnh vực này được chuyển một cách tự nhiên sang nghiên cứu trạng thái thứ năm cùa vật chất là các hệ đậm đặc Bose-Einstein (xem chương 15), tạo nền móng cho một ngành mới cùa vật lý phát triền với nhiều hứa hẹn ứng dụng lớn lao trong Urơng lai gần: quang học nguyên tử vấn đề này sẽ được đề cập đến trong chương 15 Ta bắt đầu lừ việc điểm lại những đặc tính tuyến tính cùa môi truờng đã được bàn đến trong các chương trước.

11.1 Đặc trưng tuyến tính của các môi tr.ưòng tán sắc quang học

11.1.1 Các k h á i n iệm m ở đầu

Ta trở lại hệ phương trình Maxwell được dẫn ra trong chương 8 :

1 Định luật Gauss cho cảm ứng điện;

2 Định luật Gauss cho cảm ứng từ:

3 Định luật Faraday cho cảm ứng điện từ:

độ các trường liên quan đến các trường cảm ứng qua các quan hệ vật chẫ (xem chương 9) có dạng:

B = M o ỉ ỉ

trong đó //() là hằng số từ, còn £ q là hằng số điện, e là hằng sô' điện môi V

đối của môi trường Trong chương này ta giới hạn sự nghiên cứu đến trườiìj hợp các môi trường đẳng hướng, tức là giả

thiết rằng //, e là các đại lượng vô hướng.

Ta có dược một cách mô tả tương đương khi

đưa ra khái niệm phân cực của môi trưòng,

là sự biểu hiện của môi trường trước sự

nhiễu loạn gây ra bòi sự có măt của trường.

Như đã mô tả trong chương 9, có thể coi

một môi trường điện môi bất kỳ là tập các

diện tử và các iôn dương (hình 11.1) Khi

không có trường ngoài, "trọng tâm" điện

tích âm (đám mây điện tử) trùng với vị trí

của iôn mang điện lích dương (hạt nhân).

Khi có mặt trường ngoài, các iôn dương

các điện tích âm theo hướng ngược lại Trong các chất dẫn điện có một số hạt tải điện tự do Dưới sự tác động của trường ngoài, chuyển động của các điện tích này tạo ra một dòng Còn trong các chất điện môi các điện tích liên

hệ với nhau, song tâm đám mây điện tử bị dịch chuyển khỏi hạt nhân Khi

đó xuất hiện một lưỡng cực cảm ứng.

Chính tổng các lưỡng cực này cho ta độ phân cực của môi trường Lúc đó

ta có thể viết phương trình ( 11.6a) ở dạng (xem (9.7));

D = £ , E + Ĩ = e , { \ + X ) E ( 1 1 6 b )

trong đó p là vectơ phân cực của môi trường, còn X là độ cảm điện của chất

điện môi cho trước Trong trường hợp chung X có thể là tenxơ Cách mô tả cuối cùng này đặc biệt thuận tiện vì cho phép ta khái quát hóa sang trường hợp các môi trường phi luyến Lúc đó phân cực bao gồm hai thành phần: phân cực tuyến tính và phân cực phi tuyêìi:

ở đây M ị phụ thuộc tuyến tính và M,v/ phụ thuộc không tuyến tính vào H

Khi có thể bỏ qua P^: ị và (tức là khi cường độ các trường nhỏ), ta có điện

động học (quang học) tuyến tính Ta đã đề cập đến gần đúng ờ mục 9.4.3 Khi các cường độ trường không ihể bỏ qua được Pfji/va M m , lúc đó ta có điện

động học (quang học) phi tuyến Như vậy có thể thấy rằng, tính phi tuyến không chỉ phụ thuộc vào môi trường mà còn phụ thuộc vào cường độ của các trường tham gia Thường người ta coi ngày quan sát được sự sinh ra hoạ ba bội hai bởi Franken và cộng sự là ngày sinh của quang học phi tuyến Không phải ngẫu nhiên mà điểm khởi đầu của quang học phi tuyến xảy ra sau sự xuất hiện của laser đầu tiên, bởi lẽ laser là một nguồn bức xạ có cường độ lớn.

ỉ 1.1.2 Hiện tưỢìiíỉ tán sắc

Trong quang học ta hiểu sự tán sắc của môi trưòng là hiện tượng lan truyền các sóng phẳng có các tần số khác nhau trong môi trường với các vận tốc khác nhau Hệ quả của hiện tượng này là xung ánh sáng vào môi trường có

độ rộng thời gian khác với xung ra Có thể hiểu điều này là hệ quả của việc Ị các sóng phẳng có các tần số khác nhau là các thành phần của xung vào lan' truyền đến điểm cuối của môi trườiig với các độ trễ khác nhau Ta có thể biểu' diễn hiện tượng này trên hình 1! 2.

phương trình ( 11.6b) ta có gần đúng D = € q X E Đây là một phép gần đúng

mà ngay sau đây ta sẽ thấy có nhiều điểm yếu Ta coi E là sự nhiễu loạn bên ngoài gây ra phân cực p trong môi trường Trong bất cứ một môi trường vật

lý thực nào, phải trải qua một thời gian nhất định nào đó thì một phân cực vĩ

mô mới xuất hiện, hay nói khác đi môi trường mới kịp phản ứng Đồng thời phân cực này có thể tồn tại trong môi trường thêm một khoảng thời gian nữa

sau khi sự nhiễu loạn bên ngoài không còn Như vậy phân cực p xuất hiện à thời điểm t là kết quả sự tác động của điện trường trong một khoảng thời gian

hữu hạn trước / Việc cấu thành một phân cực vĩ mô được tiến hành trong khoảng thời gian r, đây là một đại lượng dặc trưng cho môi trường cho trước Phương trình (11.6b) phải được sửa đổi để thể hiện được thời gian phản ứng hữu hạn của môi trường này Như vậy ta phải có:

phân cực của môi trường là kết quả của sự xuất hiện điện trường E trong thời gian trước thời điểm t, đồng thời nó không phụ thuộc vào các thời điểm sau t,

do vậy cận dưới của tích phân bắt đầu từ không Điều đơn giản và tự nhiên này đem lại những hệ quả quan trọng Trước khi nói đến chúng, ta hãy quan tâm đến hai lưu ý đơn giản Lưu ý thứ nhất, nếu điện trường thay đổi chậm trong khoảng thời gian bậc r thì có thể đưa veclơ cường độ ra ngoài dấu tích phân

và sẽ thu được phương trình:

các biến không gian Trong các môi trường thực, phân cực b điểm ĩ không

chi phụ thuộc vào cường độ điện trường tại điểm này Ta nói rằng sự phụ thuộc này là không định xứ, nghĩa là điện trường ở một điểm cho trước ảnh hưởng đến trạng thái của các nguyên lử - lưỡng cực láng giềng qua việc

tương tác với nguyên tử nằm ở điểm ĩ V í dụ, nếu môi trường có cấu trúc

tinh Ihê, các nguyên tử riêng biệt sẽ tương tác với các láng giềng của mình qua các liên kết hóa học Như vậy, sự phản ứng của môi trường dưới tác diing của điện trường ngoài không chỉ liên quan đến thời gian phản ứng hữu hạn mà còn có một tầm phản ứng không gian hữu hạn Trong phần lớn các ví clụ nói đốn trong sách này, tầm này nhỏ hơn nhiều tỷ xích đặc trưng sự thay đổi khồng gian của các điện trường, được tính bằng bước sóng ánh sáng bậc

vài ngàn Ầ Điều này liên quan đến việc trong không gian Fourier có thể bỏ

qua sự phụ thuộc của độ điện thẩm và hằng số điện môi vào vectơ sóng Nếu

có môi trường quang học đồng tính, ta có thể biểu hiện sự chậm trễ nói trên

và tính không định xứ của sự phản ứng của môi trường đối với tác động của điện trường bằng phương trình:

ị ị d ^ ĩ d t ' s a { r - ĩ \ t - t ' ) E X r \ t ' ) ( 11.8)

Trong chương này các ảnh Fourier sẽ hay được dùng để biểu diễn các đại lượng dược mô tả như điện trường hay mômen lưỡng cực trong không gian các tần số và các vectơ sóng Ví dụ, có thể viết ảnh Fourier của cường độ điện

( 2;r)^

này nhu là sự phân tích điện trường ra các sóng phẳng đơn sắc, mỗi một sóng

phẳng này có tần sô' 0 ) nhất định và vectơ sóng k xác định Như ta sẽ thấy,

nhiều tham sô' vật lý mô tả môi trưòng quang học được xác định dễ hơn nhiều khi xem xét sự ảnh hưởng của môi trường trong trường hợp nhiễu loạn bên ngoài là một sóng phẳng Trong trường hợp phi tuyến, điều nay trở thành đăc biệt căn bản Song ngay cả trong trường hợp tuyến tính được thảo luận trong chương này, do các hiệu ứng không định xứ và sự trễ, các hệ thức giữa các điện trường với phân cực trong không gian Fourier sẽ đơn giản hơn trong không gian cấu hình;

p,(k,cú) = s^x(k,cú)E,(k,co) = £^{s(k,ũ})-\)EXk,0))

Điều này là hệ quả của một định lý toán học nói rằng, ảnh Fourier của tích chập hai hàm là tích các ảnh Fourier của hai hàm này Từ quan hệ trên, ta thấy hằng số điện môi và từ đó chiết suất trong môi trường quang học nói chung phụ thuộc vào vectơ sóng và tần số Như đã nói ở trên, trong phần lớn các ứng dụng, ta sẽ bỏ qua sự phụ thuộc của các tham số này vào vectơ sóng, song phải chú ý rằng, ở đầu chương này ta đã giả thiết sự đẳng hướng của môi trường (chỉ trong mục này, trong các mục tiếp theo sẽ bỏ giới hạn này) và bỏ

qua đặc tính tcnxơ của E Trong các môi trường mà không làm được sự gần

đúng này (các tinh thể một trục hoặc hai Irục), các tham số này sẽ phụ thuộc vào hướng lan truyền sóng Ta sẽ giành mục sau để mô tả các môi trường như thế Sự phụ thuộc của tenxơ điện môi vào tần số của sóng điện từ kích thích môi trường có một ý nghĩa căn bản Môi trường quang học được tạo bởi các nguyên tử và các phân tử, chúng luôn có các tần số cộng hưởng của minh Đối với mỏi irường khí, trong khuôn khổ lý thuyết lượng tử (xem chương 14) các nguyên tử có các tẩn số cộng hưởng (y„„,, liên quan đến các giá trị năng lượng

E - E

của các trang thái riêng lương tử ũ) = - —, trong đó E và £■„, ký hiêu

các năng lượng của các trạng thái riêng của các nguyên tử khí, chúng thường nằm trong phổ nhìn thấy hay cực tím Trong trưòng hợp các phân tử còn có thêm các tần sô' liên quan đến các chuyển động quay và dao động Trong trường hợp các môi trường trong trạng thái đâm đặc như các chất lỏng hoặc các vật rắn, các dải năng lượng (tần số) nằm trong cùng một phần của phổ Trong lình huống đó phải quan tâm đến tính tán sấc của môi trường mà như ta thấy, nó có một ý nghĩa then chốt đối với những nghiên cứu tiếp.

11.1.3 S ự tán sắ c và hấp thụ trong các m ô i trường quang học

Trong mục đầu của chương này, la đã xác định được quan hệ giữa vectơ :ường độ diện trường và vectơ phân cực cảm ứng của môi trường ( 11.8), điều

mà khi ta dùng ( 11.6 ) dã đưa đến hệ thức giữa vectơ cường độ điện trường E

những điều đã phân tích về tính "nhân quả" trước đó, ta có € { t ) = 0 đối với

r > 0 Vì các trường D và Ể là các đại lượng thực, e { ĩ ) cũng phải là thực Song điều này không nhất thiết xảy ra đối với s{co) , trong trường hợp chung

nó là một đại lượng phức với phần thực và phần ảo có các ý nghĩa vật lý đơn

giản Đổ chỉ ra điều này, ta viết e(co) ở dạng £(cở) = £j{co) +ie^x^o), đây

đồng thời là định nghĩa hai hàm sô' thực là phần thực và phần ảo của tenxơ điện môi Giả thiết rằng một sóng phẳng đơn sắc tới môi trường với vectơ

cường độ điện trường E{ r, t ) = E{r)e~“"' + E {r)e “"‘ Lúc đó theo định nghĩa vectơ cảm ứng điện D { r j ) = e{(ở)E{r)e~'"‘' +£•’((«)£' {r)e'"‘' Những trường

phức mới được đưa ra để mô tả một cách thích hợp tình huống khi có sự hấp thụ của môi trường Ta đã dùng liìnli ihức luận này trong chương 9 Những trường vật lý có irong thực tế là những phần Ihực của các trường phức này Hai định nghĩa này giúp ta tính được phần năng lượng (trên một đơn vị thể tích) chuyển từ sóng điện từ vào môi trường mà nó lan truyền Năng lượng ơ, trên một đơn vị thể tích được tàng irữ trong điện trường của sóng lan truyền được

xác định bởi phương trình ^ — £ Nếu trong công thức cuối cùng

õt An dí

ta thế các biểu thức cho Ẽ y'à D tìm ra trên đây và sau đó lấy trung bình toàn

bộ theo thời gian, lúc đó ta sẽ thu được biểu thức cuối cùng

= — s {cữ) Ị £’1' Bằng cách này ta thu đươc phương trình vân tốc thất

õt 2 n

thoát năng lượng có trong điện trường mà đã bị môi trường hấp thụ Như vậy, phần ảo của độ cảm điện tỷ lệ vói hệ số hấp thụ.

Các hệ thức K ram crs-K ronig

Theo một định lý cơ bản của lý thuyết hàm số biến sô' phức, phần thực và

phần ảo của hàm số phírc f ( z ) , một khi nó không có các cực ở phần nửa mạt

phẳng trên (dưới), có quan hệ với nhau qua biến đổi Hilbert, úhg dụng cho trường hợp dộ cam điện phức (íy) = (co) + iỵ , (co) ta có các hệ thức:

II 1.4 M ộ t m ô hình (íơn giản cho chỉếí su ất (hệ số khúc xạ)

Bây giờ ta đưa ra một mô hình môi trường, Ihường được gọi là mô hình Lorenlz, lên nhà vật lý đã nghĩ ra nó Cho đến giờ ta coi môi trường quang học là mộl inôi trường liên lục và mồ lả nó qua việc đưa ra các hệ số hiện

lượng luận £ , ỵ Nếu muốn nghiên cứu tỷ mỷ hơn các tính chất của môi

trường vật chất, ta phải đi sâu vào cấu trúc vi mô của nó Trong khuòn khổ

mô hình Lorenlz, các nguyên tử của môi trường được Ihay bằng các dao động lử diều hòa Trong chương 9 mô hình này đã được xét và gọi là phân cực dàn hồi Ta có thể lý giải việc lựa chọn này như sau; Như đã mô tả ở trong mục 11 1, có thể xem nguyên tử gồm hạt nhân cùng với các điện tử liên kết gần và các điện tử hóa trị Điện từ trường ngoài sẽ hầu như chí ảnh hưởng lên chuyển động của các điện tử hóa trị, vì chúng có quán tính nhỏ hơn rất nhiều hạt nhân nguyên tử Hệ (hạt nhân - các điện tử hóa trị) tạo ra một cách gần đúng một lưỡng cực tử điện dao động quanh vị trí cân băng Bị kích thích bởi sóng điện từ, nó dao động với tần số của sóng kích ihích, các dao động của nó sẽ lệch pha với dao động của trường kích thích Lưõng cực

tử cơ bản của môi trường hấp thụ một phần năng lượng của sóng điện từ, sẽ hoàn trả nó với một sự trễ pha nhất dịnh, bởi lẽ lưỡng cực tử dao động sẽ phát ra sóng điện từ Khi kích thước của các lưỡng cực tử cơ bản nhỏ so với bước sóng kích thích, sự nhiễu loạn bao gồm nhiễu loạn ban đầu và sự "phản ứng" của các lưỡng cực tử của môi trường sẽ lan truyền tiếp theo hưóĩig ban đầu, còn sự lệch pha các dao động của các lưỡng cực tử môi trường sẽ gây ra

sự chậm lại lioiẶc nhanh hơn quá trình lan truyền của nhiễu loạn này Như vậy vận lốc pha tổng hợp của sóng điện từ khác với vận tốc của sóng trong chân không Trong trường hợp hấp thụ một phần năng lượng của sóng điện

từ có thể bị chuyển giao không hoàn lại cho môi trường vật chất, ví dụ để kích độníỉ nhũng dao động cơ học của mạng tinh thể Sự đẹp đẽ của mô hình nói đến ỏ' dây được thấy rõ khi ta khái quát nó sang trường hợp phi tuyến, cho phép ta cảm nhận một cách trực giác bản chất tự nhiên của các quá trình phi tuyến Ta hãy xél tỷ mỉ hơn quá trinh cộng hưởng trong phân cực đàn hồi dã dược irình bày trong mục 9.2.

Ta giả ihiết không gian chứa các dao động tử tắt dần với tần số cộng hưởng Cứ,) \ ’à hệ số tắt dần Ỵ Ta ký hiệu mật độ của chúng bằng N (trong một đơn vị thế tích của môi irường có N nguyên lử - dao động tử) Hiện tại ta bỏ qua những phần phi điều hòa trong thế dao động Các dao động tử có khối

lượng /7), điện tích q và chuyển động dưới tác động của điện trường dao động E Phương trình chuyển động của mỗi một dao động tử có dạng;

—^ + y — ^ - ( o i x = -— exp(/íy/) ( 11-11)

Thời gian r phản ứng hữu hạn cùa môi trường mà ta nói đến ở mục trước

ở đây được bicu diễn theo hệ sô' Ỵ

Giả thiết nghiệm có dạng X = Xoexp(/<y/) và thế nó vào phương trình (11.11) Lúc dó ta ihu được;

Trong một đơn vị Ihể lích có N dao động tử như vậy, nên ta sẽ thấy xuất

hiện một vectơ phân cực vĩ mô p = Nqx Cũng có thể biểu diễn vectơ phân

cực này dưới dạng:

P = £ ^ { s - \ ) Ẽ = SqXẼ ( 11.14)

(trong đó X là độ cảm điện của môi trường Vì ở đây chỉ nghiên cứu sóng điện

từ có tần số gần lần sô quang học (co > 10'^ Hz), nên có thể coi độ từ thẩm của môi trường gần bằng 1 (|J = 1) Như đã biết trong chương 8, từ dạng của

phươn? trình sóng, ta suy ra vận tốc của sóng điện từ là — = —J = = = r , trong

đó II là chiết suất của môi trường Do vậy n = ' / ẽ Từ các phương trình

(11.13) và (11.14) ta thu được:

n' = ^ = 1 + nqx = 1 +

vcclơ sóng khác: Ả-,, - nk Khi thế chiết suất phức vào ta thu được:

Ẽ = £„ exp ìịcot - k,^z) = ẼQ exp[/(ứ)/ - kn'z + ikKz)]

truyền qua môi trường không hấp thụ thì /ỉ = n ' Sự phụ thuộc của hệ số hấp

thụ và chiết suất vào lần cộng hưởng được biểu diễn trên hình 11.3.a và 11.3b cho một dài tần số rộng (trong mục 9.2 ta chỉ xét một tần số cộng hưởng cùa môi irườiig).

b) Hình 1.3

Đai lương đươc goi là đô tán sắc của môi trường Như ta thấy trên

dù)

hình 11.3a, ở ngoài cộng hưởng nó là hàm dương, ta gọi nó là tán sắc bình thường Song đối với các tần sô' gần tần sô' cộng hưởng, độ tán sắc là âm và trong vùng này ta gọi nó là tán sắc dị thường.

Cường độ ánh sáng tỷ lệ thuận với bình phương biên độ điện từ trường Vậy khi lấy bình phương hàm số mô tả hàm mũ tắt dần của trường, ta thu được định luật Lambert-Iỉeer mô tả sự hấp thụ tuyến tính sóng khi nó đi qua môi trường:

I { z ) = exp(-orz), Irong đó hệ số mũ tắt dần của cường độ (được gọi là độ

hấp thụ) bằng a = 2 k I( q , trong đó kt, là sô' sóng trong chân khồng.

Thông thường trong môi trường cho trước, ta có vài hiện tượng cộng hưởng với các giá trị tần số ¿y,), khác nhau Từ hình 1 l.3a ta thấy, đối với các tần số thấp phần Ihực của độ điện thẩm là đại lượng tổng hợp của tất cả các hiện tượng Khi lần số điện trường tăng dần qua các cộng hưởng tiếp theo, mức đóng góp của các hiện tượng riẽng biệt vào độ diện thẩm mất dần Ta có thể theo dõi ctiéii này đối với nước, khi giá trị hằng số điện môi 8 = 81 ở các tần số thấp hầu như không thay dổi đến tận tần số 10 GHz Khi tần số trường nhảy qua cộng hưởng tương ứng các dao động của các hạt nhân và các dao

động của dám mây diện tử, độ điện thẩm giảm xuống giá trị e » 1,76, cho ta

chiết suất quen biết trong vùng tẩn số quang học II « 1,33.

11.1.5 P h ư ơ n g irình só n g VÀ s ự lan truyền tuyến tính

Trono phđn này ta giả Ihiết A/ = 0 , vì đối với phần lớn các môi trường quang học, có thể giả thiết với một độ gần đúng khá tốt là mật độ các dòng chảy và dộ lừ hóa bằng không.

Trong chương 8, từ hệ phương trình Maxwell ta thu được:

Có thổ biến đổi vế trái của phương trình này để thu được phương trình sóng khi dùng công thức:

Các phương trình ( 11.17) và ( 11.18) giúp ta trong việc dẫn ra hệ thức tán sắc

Ta sẽ chỉ ra rằng nghiệm của phương trình (11.17) là các sóng phẳng có dạng:

E = E o Q x p Ụ Ĩ k - X - ( 0 1 ) ] ) ( 1 1 1 9 )

khi một hệ thức giữa vectơ sóng k và tần số (ù được thỏa mãn Thật vậy, khi

th ế (l 1.19) vào (11.17) la thu được;

Ck ■ K Ẻ - lCk ■ Ẽ) - co-€,MoẻE = 0 (11.20)

Hệ thức cuối cùng về căn bản là một hệ phương irình tuyến tính đồng nhất đối với vectơ cường độ điện trường Nó có nghiệm khác không chỉ trong trườiig hợp địnli thức của phương trình này triệt tiêu Chính điều kiện triệt tiêu

dịnh thức này cho la hệ thức tán sắc Hệ thức này chứa Ihông tin về môi irường quang học qua tcnxơ điện môi ê Ta sẽ phân tích kỹ dạng của nó trong

chương sau ở đây chỉ xét các môi trường đẳng hướng, trong trường hợp này các phương trình Ihu được đơn giản hơn nhiều Đặc biệt là tenxơ điện môi trong môi trường đẳng hướng tỷ lệ thuận với tenxơ đơn vị, còn những lời giải

ở dạng sóng phẳng có tính chất là vectơ cường độ điện trường vuông góc với

hướng truyền sóng, tức là vuông góc với vectơ k Điều đó có nghĩa là

k.E = 0 , còn phương irình (11.17) sẽ đơn giản thành:

'rừ phương trình ( 11.21 ), hai hệ quả rất quan trọng được rút ra đối với các

môi trường tán sắc đẳng hướng Trước hết ta đã định nghĩa chiết sitcíí của mỏi

iritòiìg qua pliương trình: n{( 0 ) = ■^¡s{ũ)) Vận tốc pha lan truyền sóng trong

mói trường như vậy bằng: c I n{cú), như vậy nó phụ thuộc một cách tường

minh vào tần số sóng I [ệ quả thứ hai là khi thế nghiệm ở dạng sóng phẳng với

11.1.6 Vi dụ lan truyền các x u n g ánh sá n g m ột chiều tron g m ô i tnrờng quang học tán sắc

'lìong mục này, la sẽ tìm phương trình lan truyền sóng cho hàm bao biếr thiên chậm của các xung ánh sáng lan truyền trong môi trường có tán sắc Đê cho đơn gián ta xem xét trường hợp một chiều, tức là giả thiết rằng chùm sótiỄ

là đồiĩg nhất trong hai hướng vuông góc với hướng lan truyền (ta ký hiệu các

hướní’ này là A' và V), còn hàm bao của nó chỉ biến thiên như hàm số của ihời

gian và biên Phương trình này cũng được sứ dụng để mô tá sự lan truyền các chùm soni; tronụ các ốno dần quang, khi các Irường không pliải đồng nhất theo các hướno ,v và y, nhưng sự phụ thuộc cùa hàm bao vào tất cả các biến có Ihè diiợc viết ớ dạng lích CLia hàm theo hướng ,v và >’ và một hàiĩi bao là hàm

số của z và / Cách làm được trình bày ở đây iương tự với phép gần đúng hàm

bao chậm (viết lắt bằng tiếng Anh SVEA; Slow-Varying Envelope

Appioxinialioii) song nó (tẹp đỗ hơn về mặl toán học và cho phép khái quát

hóa ụần dúng SVHA với các bậc cao hơn của phép nliiỗu ioạn, đặc biệc đối vói các xunụ cực ngắn và khi tán sắc của vận tốc nhóm đối vứi tần số irung tâm ciia xung bằna kliòng l'a dùna ví dụ dưới dây nhằm mục đích dể’ định nahĩa các ihuật ngữ vậl lý cơ bản và mô tả sự lan Iruyổn sóng: vận lốc nhóm, tán sắc

vận tốc nhóm và lán sắc bộc ba Các tán sắc không gian như nhieu xạ sẽ đirợc

đưa ra trong chương sau.

ri Liức hết la giá thiêt rằno vecto' cường dộ diện trường E { z j ) có thể viết

dirới dạiiạ lích của hệ số sóng thay dổi nhanh chứa tần số trung lâm và vectơ sóiiii iriiim tâm với một hàiĩi bao biến thiên chậm hưn nhiều;

E{ z, () = A { z j ) exp(m(rư„ - / f - i( 0 j )

Trong phương trình này hệ thức tán sắc cho tần số trung tâm và vectơ sổng iruiiíì liim đã được sử dụiiíỉ DCing niộl cách iưong tự hệ thức tán sắc cho các lần số và vectơ sóng khác, có thổ viêì một chùm sóng bất kỳ là nghiệm của phirơní’ Irình N4axvvell dưới dạng lổn«; các sóníi plìẳng Nói khác đi, có thê viêì ctược \’cctơ cường dộ trong chùm sóng này ở dạng ảnh Fourier:

I i { z j ) - d(úE{(o) c\ ^{i n{(o) m I c - i(ứí)

2n '\'ừ (iổ cũna viêì dược hàm bao của xung ở dạng;

/í(r, /) - - d(oE{co) cxp{i\n{ú))ú) - n{(ởị^ )íí)(, ]z / c - i\ũ) - ]/) ( 11.22)

I tt ^

Đ c lliLi d ư ợ c p h ư ơ n g trình c h u y ể n đ ộ n g c ú a c h ù m s ó n g n h ư v ậ y , c h í c ầ n

tính dạo hàm hàm bao theo hướng lan truyền sóng (lưu ý rằng chùm sóng này

là nghiệm ciia các phương trình Maxwell trong môi trường tán sắc, vì nó là lổ hợp của các sóng phảng là các nghiệm của các phương trình Maxwell trong môi irường Iiày):

õ A { z j ) / õ z = — — dcơĩỉ{ú))[n{a))ũ) - nựƠỊ^)ú)Ị,]cxp{i[n{ũ))co -

2nc

- /7(í-ư„)(y„ j r / c - i[cở - ú\,]l)

Có Ihể biến đổi vế phải của phương trình này nếu để ý ràng hàm số E{co)

có cực dại hẹp quanh tần số trung tâm Do vậy, có thể khai triển đại lượng

[n(ío)co ~ nifo^yo^] dưới dấu tính phân ra dãy Taylor quanh giá trị này:

H<y)íy - n(íy„M, 1 = P^{co^,){ũ) - 0}^) + /Ỡ3(íyo)(ứ> - ứ>o)' + Pi{co^){co - (Ú^Ỷ +

irong đó các dai lươiig p dã đươc đinh nghĩa qua quan hê p , = ^

dco õcơ

đối với / > 0 và qua điều kiện P q - {(ùn)ỉ c

Sự khai triển trên không có số hạng không Sau khi thực hiện khai triểii

này và thấy rằng các lũy thừa của(<y - ( O q ) dưới ảnh Fourier có thể thu được

qua việc lấy đạo hàm nhiều lần ảnh này theo thời gian (có Ihể viết dưới dạng

công thức {co-co^^Ỵ = ) ta thu được một phương trình đạo hàm liênị

õí"

cho hàm bao cúa xung;

3.4(2,,) /S r = ( - A I - - ^ A + 7 A + )-4 (z ,0 (11.24:

ƠI l ƠI 0 ơt

Các hệ sô' trong phương trình này có ý nghĩa vật lý đơn giản Để hiểi được ý nghĩa vật lý của /ơ| ta giới hạn khai triển ra dãy Taylor đến số hạnị bậc nhất Lúc đó phương trình lan truyền có dạng đơn giản:

õ A{ z , í ) l õ z + /ỉ — A{ z, t ) = 0 (11.25

d í

Dễ dàng chứng minh rằng phương irình này mô tả một chuyển động đềi của hàm bao của xung, xung không thay đổi hình dạng chuyển động với vậr lốc b ằ n g l//7 |, ta gọi vận tốc này là vận tốc nhóm Còn khi lấy thêm sô' hạnị ihứ hai của khai iriển Taylor, ta thu được phương trình:

ÕA{ z J ) l õ z = { - p , ị - y , Ệ j ) A { z , ( ) (11.26

ot l ơt

Phương trình này có nghiệm giải tích trong trường hợp khi hàm bao củi xung ở dicm dầu lan truyền (z = 0) có dạng Gauss Song trước khi chứni minh điều này qua tính toán trực tiếp, ta có thể bỏ qua trong phương trìnl này dạo hàm bậc nhâì khi chuyển sang hệ toạ độ chuyển động dối với h< phòng thí nghiệm với một vận tốc bằng vận tốc nhóm V iêc chuyển sang h(

toạ độ mới tương ứng với việc đổi biến z' = z; t' = t ~ P ị Z Dễ dàng thấ;

rằng trong các biến mới, ta đã loại được số hạng với đạo hàm bậc nhất, CÒI

các hệ số còn lại không thay đổi Trong hệ toạ độ mới, tâm của xung không chuyển động và ta có thể quan sát được tốt hơn việc thay đổi hình dạng hàm bao gây ra bởi sự tán sắc Nếu bây giờ thế ảnh Fourier của hàm bao xung vào phương trình bậc hai ta thu được phương trình vi phân thường đối với

biến z, dA {z,co)l dz = — Ị3júỷ A{z,a>) Phưcmg trình này có nghiệm đcm giản:

ị Trong đẳng thức cuối cùng ta có đại lượng Ẩ(0,(o) là ảnh Fourier của

Ịhàm bao ban đầu Đối với xung Gauss hàm bao ban đầu có dạng

' A( 0, í ) = Ag e x p ( - ~ t ' I t ị ) và A {ồ,cù)= / 2 ) Khi thay hệ

■thức này vào phương trình (11.27) và sau đó tính ảnh Fourier ngược, cuối

í cùng ta sẽ ihu được biểu thức giải tích cho dạng của hàm bao tại một điểm bất

>;kỳ của môi trường:

Ẩ ( z , 0 = Ẩo L r exp- - U t - P , z ) - > (11.28)

i Bây giờ ta hãy xem hệ thức (11.28) cho những hệ quả gì Trước hết ta thấy rằng thời gian kéo dài xung lớn theo z và bằng A /(z) = /o-ự(l + /? ,z //ổ .

jDo vậy khi qua đoạn đường bằng ¿ 1 ) = /p / 1 1 thời gian kéo dài xung tăng

"lên V2 Tham số ¿ 1 , được gọi là quãng đưcĩng tán sắc Bằng cách này ta đã

định nghĩa một phần các thuật ngữ cơ bản trong từ điển lý thuyết lan truyền các xung ánh sáng Một số thuật ngữ tiếp liên quan đến nhiễu xạ sẽ được đưa 'ra trong chương liếp theo Cuối cùng ta thấy thêm rằng vectơ cường độ điện trường là hàm số của các biến z và t. Ta đã phát biểu một vấn đề vật lý lan truyền xung để có thể tìm được toàn bộ tiến triển thời gian của xung ở điểm z

cho trước khi biết được tiến triển này ở một điểm sớm hơn " z - tsz" Vì vậy tự

‘nhiên nhất là định nghĩa các điều kiện ban đầu trên biên của môi trường quang ,học Khi đó ta cần lưu ý đến sự khúc xạ và phản xạ trên biên này Để cho dễ idàng, ở trên ta đã dùng các điều kiện ban đầu bên trong các môi trường quang

;học Sự xem xét việc chuyển của xung qua biên của môi trường tuyến tính :không phải ỉà một vấn đề phức tạp, song khi ta để ý đến các khía cạnh phi ituyến của sự lan truyền vấn đề sẽ trở nên không đơn giản Ta sẽ trở lại vấn đề này trong các phần tiếp của sách.

11.2 Sự lan truyền tuyến tính trong môì trường bất đẳng hướng Mục đích của phần này là bàn luận về đặc tính ba chiéu của sự lan truyềi các xung ánh sáng trong các môi trường bất đẳng hướng.

11.2.1 H ệ th ứ c tán sẳc trong m ô i trường bất đẳng hướng

Ta hãy xem xét một sóng phảng đơn sắc trong môi trường đẳng hướnị Các veclơ cường độ điện iruờng và cảm ứng từ lúc đó được cho bởi các côn,

như vậy vào các phương trình Maxwell ta thu được các quan hệ sat

l í xBũ và I c - -E x q - co B q , như vậy hướng của các vectơ k, ÊQ, Ế

c

trong môi trường đẳng hướng là trực giao với nhau Song điều này không cộ đúng đối với các môi trường bất đẳng hướng Như đã biết, các tần số tự nhiê của môi trường (và đo đó chiết suất) chịu sự ảnh hưởng của tương tác giữa cá nguyên tử (phân tử) của môi trường Trong các vật liệu rắn khác nhau, do tín đối xứng của cấu trúc tinh thể nên sự tương lác này giữa các nguyên tử 1 không đồng nhất đối với tất cả các hướng của không gian Lúc đó các mí trường là bất đẳng hướng Trong chương này ta chỉ xem xét các tinh thể c cấu trúc đối xứng rõ rệt Trong các tinh thể này, hằng số điện môi không cò

là một vô hướng mà là một đại lượng tenxơ.

Trong mục trước từ hệ phương trình Maxwell ta đã dẫn ra phương trìn sóng đối với vectơ cườiig độ điện trường Phương trình này với dạng chun

của tenxơ điện môi ê được giữ nguyên ỉà:

c õt

Sau dó ta đã khảo sát trường hợp đẳng hướng, khi tenxơ diện môi đưọ

viết thành £ = £Ỉ , ở đây / là tenxơ đơn vị Bây giờ ta hãy loại bỏ giới hạn nà

và xem có thể rút ra được điều gì từ phương trình sóng ở dạng chung nhâ

Một tính chất sau sẽ được dùng: Trong một môi trường đồng chất luôn tồn t;

một hệ toạ độ, trong đó tenxơ £ được ehéo hóa, vì trong môi trường như vâ

nó là một tenxơ đối xứng Khi tần số của trường nhiễu tiến đến khôr (íy —> 0 ), trong khuôn khổ nhiệt động lực học, dựa trên giả thiết rằng hệ toề phần bao gồm trường điện từ và môi trưcmg ở trạng thái cân bằng nhiệt độn;

ta có thể chỉ ra rằng tenxơ điện môi ở giới hạn này phải là tenxơ đối xứng Đ(

với các điện trường thay đổi theo thời gian, có thể chứng minh được tính đi xứng của tenxơ điện môi khi xem xét tốc độ thay đổi mật độ năng lượng điỂ

trường Điều này đă được chứng minh trong các sách kinh điển, ví dụ của Landau và Lifshitl chẳng hạn.

Nếu thế nghiệm ở dạng sóng phẳng E = Eoexp(/[ife -r - Cứt]) vào phưomg trình (11.29), ta sẽ lại thu được hệ thức giữa tần số ũ) và vectơ sóng k Như

ta biết hệ thức này gọi là hệ thức tán sắc, nó cho phép xác định giá trị của chiết suất môi trường trên cơ sở những thông tin đã có về tenxơ điện môi Giả

thiết rằng k ¿( đây ỵ vectơ đơn vị theo hướng lan truyền, khi

c

đó ta thu được đẳng thức sau:

c Nếu chọn hệ toạ độ sao cho tenxơ điện môi được chéo hóa, ta có thể viết đẳng Ihức này như sau:

trị riêng khác nhau Một trong những trục

của tinh thể phải được lựa chọn theo trục

đối xứng (lương đương với giá trị riêng

s^), hai giá trị riêng còn lại có thể chọn

một cách bất kỳ (hai giá trị riêng ¿:,J) Trục

đối xứng được gọi là trục quang học của

tinh thể Những tinh thể nằm trong nhóm

này được gọi là các tinh thể đơn trục.

Nhóm thứ ba bao gồm các tinh thể còn lại

được gọi là các tinh thể lưỡng trục Nằm

trong nhóm này là các tinh thể hình thoi

đơn nghiêng và tam nghiêng Trong trường

hợp này tất cả ba giá trị riêng của tenxơ

điện môi là khác nhau Trong phần tiếp theo của chương này ta sẽ khảo sál đến các môi trường đơn trục bất đẳng hướng.

Trên hình (11.4) la biểu diễn hệ toạ độ cho tinh thể đơn trục, trong đó tenxc điện môi được chéo hoá Trong hệ toạ độ này các thành phần của vectơ đơn vị là

■S\ = vsinớcosor, V = í sin ớ sin o", = s c o s 6 Sau khi thế chúng vào phươiiỄ trình (11.32), phưcmg trình cho chiết suất n sẽ có dạng (bài tập 11.5);

Cần lưu ý rằng, phương trình trên là dành cho các tia dị thường (chiếi

suấl phụ ihuộc vào hướng lan truyền) Trong trường hợp tinh thể đơn trục tí

còn có nghiệm thứ hai cho n (không phụ thuộc vào 0 ) được gọi là tia thường Nghiệm này đã bị chúng ta loại bỏ trong giả thiết s - E ở trên Đố

bìnl-với tia binh thường tích này là bằng khống vì phân cực của tia này vuông góc với mặl phẳng chứa trục quang học và hướng lan truyền Vì vậy khi chií phương trình (11.32) như trên ta làm mất nghiệm này Trong trường hợp các tinh Ihể lưỡng trục, phương trình (11.32) trở thành phương trình trùng phươnị

và có nghiệm iương ứng với hai lia dị thường,

11.2.2 Pliirơng trình lan truyền tuyến tính trong m ô i ín r ờ n g đơn trục

Trong mục này, ta dẫn ra phương trình lan truyển cho hàm bao của xunị quang học trong một môi trường bất đẳng hướng là tinh thể đơn trục Cácí

mà ta dẫn ra phương irình này ở đây chỉ là khái quát hóa của phương pháj được dùng trong phần 11.1, khi ta có trường hợp một chiều Ta làm việc nà>

lo hai nguyên nhân: Trước hết, nó là cơ sở dể đưa ra các thuật ngữ được lùng trong lý thuyết lan truyền các xung quang học và từ đó ta cũng giải hích phép gần đúng hàm bao biến đổi chậm và phép gần đúng cận trục Mục ỉích của la là mô tả sự lan truyền sóng ánh sáng mà vectơ sóng trung tâm

;ủa nó có hướng trùng với trục (như sẽ thấy nó không luôn luôn trùng với /ectơ Poynting mô tả hướng lan truyền năng lượng của xung) Trước hết ta lãy nhớ lại khái niệm dường bao biến đổi chậm được định nghĩa bằng quan

lệ: E(f,t) = trong đó CƠQ là tần số irung tâm của xung, còn

à vectơ sóng trung tâm Khi ta biểu diễn xung này thành tổ hợp các sóng Miẳng ta sẽ có rất nhiều sóng thành phần Song chúng được tập trung xung

^uanh sóng trung lâm này Ta có thể nói rằng ảnh Fourier của cường độ điện riròtig s ẽ có cực đại xung quanh các giá trị trung tâm Vectơ hàm bao điện rường biến thiên trong thời gian và không gian chậm hcm nhiều hệ số pha

Và lúc đó có thể biểu diễn nó dưới dạng tổng các sóng phẳng:

A ( r j ) = ị d ^ k d c o E ả , Ó ( k ^ - n ^ o ) ì)(o -/c ' ) ( 11.34)

Trong biểu thức cuối cùng có hàm đenta Dirac thể hiện việc ta chỉ lấy tổ íiợp các sóng là nghiệm của phương trình Maxwell, do vậy các vectơ sóng liên quan dến tần số qua hệ thức tán sắc Trong trường hợp chung, chiết suất sẽ phụ thuộc vào hướng của vectơ pha cùng cường độ, do vậy hai tham số này đã xuâì hiện như là các biến số của chiết suất « ( 5 là vectơ đơn vị có hướng của

vcctơ sóns, k ) Cũng như trong phần trước, bây giờ ta tính đạo hàm hàm bao

của xuiiíỉ llieoz , lức là theo hướng truyền sóng:

õyõt-trong đó r = ( x , y , z ) Các trường hợp riêng sẽ được xét đến õyõt-trong các bài tập

cho các bạn đọc ưa tìm tòi (các bài tập 11.7, 11.8 và 11.9).

11.3 Các môi trường phi tuyến Tenxơ điện cảm bậc cao

Trong các mục trước, ta chỉ xét trường hợp khi vectơ tỷ lệ thuận với cường độ điện trường Môi trường có tính chất như vậy gọi là môi trường tuyến tính Như ta đã lưu ý ở mục 11.1.1, khi cường độ của điện trường ngoài lớn, ta gặp những môi trường với vectơ phân cực phụ thuộc phi tuyến vào cường độ trường (công thức ( 11.7)) Trong trường hợp chung ta có thể viết vecta phân cực ở dạng sau:

Lúc đó ta có các môi tnrờng phỉ tuyến Các số hạng trong (11.37) là các

lích phân không - thời gian nhiều chiều, bởi lẽ theo những xem xél nhân quả như la dã làm cho irường hợp tuyến tính trong phần 11.1 (xem các công thức (11.7), ( 11.8 )), ta có Ihểviết:

V í dụ, trong trường hợp khi môi trường phi tuyến có đối xứiig tâm hay đẳng

hướng, tất cả các ihành phần của lenxơ ỵ ’ là triệt tiêu Trong trường hợp này

khai triển (11.40) có dạng:

P{ Ẽ( r , í ) ) = p' i r , t ) + p \ r , í ) + (11.40]

Các tích phân dều có dạng tích phân chập, điều đó khẳng định vai trò của biến đổi Fourier do tính chất đặc biệt của nó: ảnh của tích chập bằng tích của các hàm ánh Vì vậy các tính toán tích phân được chuyển sang Ihành các tính toán đại số trong không gian các hàm ảnh Một ưu điểm khác nữa của biến đổi r-ourier là thay cho thời gian ta làm việc trực tiếp với tần số, một đại lưọTig đặc Irưng cơ bản của bức xạ điện từ Nhờ vậy việc phân loại các quá trình phi tuyến càng trò nên rõ ràng hơn Công thức hình thức (11.37) cũng đã giúp ta làm được việc này V í dụ về quá trình bậc hai Nếu giả thiết điện trường của chùm laser vào môi trường có dạng;

khi đó theo phương trình (11.40) trong tinh thể một phân cực sẽ xuất hiện:

P ^ - \ t ) = 2 x ^ -^ Ẽ ,Ẽ ; +C.C) (11.42) Như vậy phân cực bậc hai bao gồm hai thành phần, thành phần với tần

số bằng không và thành phần với tần sô' 2co Thành phần thứ hai sẽ dẫn đến việc sinh ra một bức xạ với tần số bội hai Phần đầu của (11.42) không sinh

ra bất cứ một bức xạ điện từ nào bởi lẽ đạo hàm bậc hai theo thời gian sẽ triệt tiêu Nó chỉ dẫn đến một quá trình được gọi là nắn quang học (OR - viết tắt từ tiếng Anh Optical Rectification), trong đó một trường tĩnh điện được tạo ra trong môi trường tinh thể phi tuyến Nếu cường độ điện trường có hai lần số khác nhau:

Ẽ{t) = Ẽ,e-"'"' + +C.C (11.43) phân cực phi tuyến của môi trường sẽ có dạng:

Trong biến đổi Fourier có thể viết:

(11-45)

n

ở đây ta chỉ iấy tổng theo các tần số có trong ( 11.44) Như vậy có cả các tần

số' dương và âm Các biên độ phức của các thành phần với các tần số khác nhau là:

Bạn đọc có thể thấy các công thức trong (11.46) vẫn mang tính hình thức, bởi lẽ phải hiểu các tích bên vê' phải theo nghĩa tenxơ:

Trong các mục tới ta sẽ xcm xét lần lượt các quá trình phi tuyến với cá( bậc khác nhau, khi thay vào vế phải của phương trình sóng các số hạng ph tuyến tương ứng;

phần X 'có 81 Ihành phần v.v Trong thực tế, các môi trường có cấu trúc tinh thể với nhũìig tính chất đối xứng nhất định Nhờ vậy số lượng các thành phầii tenxơ độc lâp và khác không nhỏ hơn rất nhiều.

Tất cả các tinh thể được phân loại ra 32 nhóm khác nhau, chúng được mô

tả bằng các nhóm đối xứng điểm, bao gồm các tập hợp các phép biến đổi đối xứng (các phép quay quanh các trục nhất định, các phép phản chiếu qua các mặt phẳng v.v ) Ta giả thiết rằng các phép biến đổi này được mô tả qua ma

Nếii môi trườníỊ là cíôĩ xửiiíỊ đối với một phép biến đổi, tất cá các tính chất vật lý phải U'i như ììhaii trong hai hệ quy clìiếii liên hệ với Ii/iaii qua phép biến dổi nciỵ.

Điều kiện "như nhau” ciia các thành phần tenxơ độ cảm bậc đối với biến đổi đối xứng mô tả bằng ma trận được thể hiện qua đẳng thức:

sẽ không có các tính chất phi tuyến lương ứng với bậc này.

Biến đổi dối xứng qua tâm được mô tả bằng ma trận

11.4 Phi tuyến kiểu Kerr

11.4.1 Chiết su ấ t tuyển tính và chiết su ất p h i tuyến

Trong phần này ta mô tả các hiện tượng liên quan đến phân cực phi tuyến

tỷ lệ đến bậc ba của trường sóng điện từ {P~- E ' E ) Lúc đó ta có sự phụ thuộc của chiết suất n vào cường độ sóng điện từ:

trong đó /7„ là chiết suất tuyến tính cùa ánh sáng đối với môi trường, còn «2 là chiết suất plii luyến Có thể dần ra được quan hệ giữa chiết suất phi tuyến và tenxơ dộ cảm diện môi sau (bài tập 11 10):

• Siêu phân cực điện tử

Một sóng điện từ mạnh vào môi trường gây ra sự biến dạng và dịch chuycn đám mây diện tử, lừ đó ta có sự thay đổi các mô men lưỡng cực của

các phân lử môi Irường Do vậy mômcn lirỡng cực của các phân tử phụ thuộc vào luỹ thừa bậc ba của sóng điện trường Thời gian đặc trưng của quá trình này có bậc vào cỡ 10' '■‘'í.

có chiết suất thay đổi giá irị Vì các chuyển động nhiệt chống lại việc định hướng lại của các phân tử, mức độ sắp xếp thứ tự (và từ đó độ lớn của độ cảm phi tuyến) phải phụ thuộc vào cường độ của ánh sáng tới Với sự định hướng này ta có Ihời "ian dặc trưng cỡ 10 s ly độ dao động của các phân tử trong

các thời gian dặc trưng nằm trong khoảng 10"‘V đến Những ly độ chính là nhữiiíĩ dộ lệch nhỏ của các phân tử khỏi vị trí cản bằng dưới sự tác dụng của irường sóng diện lừ và trường gây ra bởi các phần tử còn lại.

• Các hiệu ứng nhiệt

Sự hấp thụ sóng diện từ gây ra sự lăng nhiệt độ môi trường Điều này dẫn den sự thay dổi mật dồ của nó, kéo theo sự thay đổi chiết suất tỷ.lệ với sự Ihay dổi nhiệt dộ Vì phần năng lượng sóng điện từ được môi trường hấp thụ tỷ lộ với cirờng dộ của nó, dộ tãng nhiệt độ xuất hiện từ đó phải là luyến lính đối với cường dộ.

Những hiệu ứng được mô tả ở trên là bậc ba mà trong đó phân cực của môi trường được tạo ra bởi tương tác với sóng điện từ có tần số bằng tần số của sóng 'I’a cũng biết được các quá trình phi tuyến khác cùng bậc này lĩià không có tính châì đó, ví dụ sự sinh ra họa ba và sự pha trộn cửa bốn sóng mà

ta không xét ở đây.

Sự phụ thuộc của chiết suâì vào cường độ của sóng điện từ trong những môi trường kiểu này (dược gọi là mói trường kiểu Kerr) trong khi lan truyền của xung ánh sáng đirợc thể hiện qua các hiện tượng phi tuyến như: tự biến diệu pha (SPM) lự dựniỉ đứng xung, tự dịch chuyển tần số, tự hội tụ Vì các

hiện tượng tự biến điệu pha, tự dựng đứng xung và lự dịch chuyển tần số liên quan đến những Ihay đổi về mặt thời gian của xung và cả thay đổi phổ của nó, chúng xuấl hiện ngay cả khi trong trường hợp không có các hiệu ứng đan nhau Đê’ bạn dọc có thể có những trực giác đầu tiên, ta nghiên cứu mô hình ian truyền sóng điện từ một chiều Irong môi trường kiểu Kerr Cũng như trong mục 11.1 ta sẽ dùng khái niệm đường bao biến đổi chậm:

£ ( z j ) = ^ ( z , / ) e ' “'‘ "'''> + c.c (11.58)

Trong đó: A(z,t) - đường bao biến đổi chậm (SVE - viết tắt từ tiếng Anh)

- tần số trung tâm Ả'„ - vecto sóng tương ứng với tần sổ' Í0(,-

Sự lan truyền xung ánh sáng, nói chính xác hơn là sự lan truyền đường bao của xung trong môi trường Kerr, được mô tả bằng phương trình Schroedinger phi tuyến (thu dược bằng cách thế phần phi tuyến vào phương trình (11.53) rồi tiến hành các bước như trong 11.1 cho trường hợp tuyến tính):

Để đơn giản, irong phương trình (11.59) ta đã bỏ qua các tán sắc bậc cao

ờ đây ta cỉiĂ viết ra phương trình này một cách hình thức bằng cách thêm vào phương trình được dẫn ra irong mục 11.1 một số hạng phi luyến, v ề mặl toán học điều này không dẹp dê lắm, bởi lẽ để đảm bảo độ chính xác ta phải đưa phân cực phi tuyến vào qua phương trình sóng Tồn tại một phương pháp nhiễu loạn chính xác về mặt toán học để thu được phưong trình (11.59) lừ phương trình sóng với phâii cực phi tuyến Do nó dài dòng nên không được Irình bày ờ dày.

Bây giờ la ihực hiện inộl phép gần đúng, bỏ qua các hiệu ứng liên quan đến tán sắc của vận lốc nhóm (p2 = 0 ) và chuyển đến hệ toạ độ chuyển động cùng với hì\m bao của xung (lúc đó ta có thể bỏ qua dạo hàm bậc nhất theo

thòi gian của hàm bao) Phương Irình cho Aịz, t) sỗ có dạng đơn giản sau:

trong đó:

A(0,f) - đường bao ở điểm vào của xung;

sự thay đổi của pha gây ra bởi lan truyền, ( z ,/) = ỵ |/ẩ (0,/)|' z Như vậy trong khuôn khổ gần đúng này, pha của xung bị biến dạng khi sóng lan truyền qua song hàm bao của nó không thay đổi Sự thay đổi pha không phải là đồng nhất đối với cả xung Sở dĩ như vậy vì sự phụ thuộc của

<t> vào cường độ thay đổi trong thời gian tồn tại xung và tần số tức thời liên

hệ với pha qua:

trong quá trình lan truyền được gọi là sôìitôn Có thể suy ra điều kiện để có sự triệt tiôu lẫn nhau của SPM và tán sắc từ phương trình (11.59) Số hạng \Àị A

liên hệ chặl chẽ với tự biến diệu pha sẽ có ảnh hưởng lớn nhất lên biến đổi của xung ỏ’ gần đỉnh của nó Đạo hàm bậc hai của biên độ theo thời gian là âm ở vùng dinh của xung, từ đó các dấu của P2 và Y phải ngược nhau để cho tán sắc vận tốc sóng có thể iriệt liêu các hệ quả của lự biến điệu pha Bạn đọc có thể

tự khẳng dịnh diều này qua các bài tập 11.11 và 11 12.

11.4.2 P h ư ơ n g trình Schroedinger p h i tuyến và các sôiitôn q u a n g học

Trong mục trước chúng ta đã chỉ ra rằng, ít nhất ở bôn cạnh đỉnh của xung (/ = 0), những thay đổi của tần số xung tức thời gây ra bởi tán sắc và tự biến điệu pha có thể triệt tiêu nhau Sự Iriệl tiêu này chỉ có Ihể xảy ra khi /?T < 0 Trên hình 11.5 ta biểu diễn các giá trị của chiết suất nghịch đảo với vận tốc sóng và là các hàm số của bước sóng đối với thuỷ tinh Điểu kiện

P j < Q được thoả mãn đối với các bước sóng Ẳ > Ta sẽ chỉ ra một

cách tường minh rằng trong vùng này có thể tồn lại các nghiệm của phương trình (11.59) lan truyền mà không thay đổi hình dạng, ở đây phải nhớ rằng, phương trình (11.59) chỉ là gán đúng của phương trình lan truyền dạng đầy I

đủ Do v ậ y , chùm sóng mà ta thu được dưới đây sẽ nhòa đi (tăng độ rộng và ; giảm biôii dộ) do lán sắc các bậc cao hơn.

Chiết suâì

Hình 11.5 Nếu viết phương trình lan truyền ở hệ toạ độ chuyển động với vận tốc nhóm cùng với xung ta sẽ Ihu được phương trình:

Ta định nghĩa hàm bao xung chuẩn hoá ư: A = Agư( z, / ) , sao cho

ơ (0 ,0 ) = I và định nghĩa- biến thời gian mới r = — (thời gian đo trong các

h

dơn vị của độ rộng thời gian xung ban đầu), sau đó dùng định nghĩa của các

quãng đường đặc trưng phi tuyến và tán sắc ở trên.

Lúc đó ta có thể viết phương trình lan truyển ở dạng:

^ _ ỉ S n A Ẽ ! ị L , ± ị ự c ; < u 6 4 )

ÕT-trong đó

Trong phương trinh cuối cùng, / q là cường độ cực đại của xung Ta giả thiết tiếp rằng bước sóng trung tâm của xung nằm trong vùng tán sắc dị thường (P2 < 0 , dối với Ihuỷ tinh A, = 1,3 |.im, lúc đó > 0 ) và đưa ra biến

không gian mới Ihco hướng lan truyền sóng ị = — với giả thiết thêm

Gần đây người ta đã tạo ra được các xung có độ rộng thời gian ngắn (trong vùng fern tô giây) Những xung này có phổ rộng Để mô tả sự lan

truyền những xung này, ta phải lirii ý thêm các sô' hạng trong các phương Irình Schroedinger phi tuyến.

ÕÀ ^ÕA 1 Õ-A 1 _ õ^A I ,|2 ^

Hiệu ứng thứ hai quan sát được trong quá trình lan truyền các xung ngắn

trong các môi trường kiểu Kerr là tự dịch chuyển tấn iYÍ(self-frequency shift),

mô tả bằng số hạng cuối cùng của phương liình (11.69) Xung như vậy khi lan iruyổn irong môi trường có dải khuếch đại Raman rộng, qua hiệu ứng Raman chuyển một phần náng lượng tương ứng với những thành phần có tần số cao của mình sang những thành phần có tần số thấp Do vậy, phổ của xung bị chuyển

về hướng có bước sóng dài hơn.

Ngoài những hiệu ứng thời gian phi tuyến ở trên, ta còn có các hiệu ứng không gian là tự hội tụ (self-focusing) và tự chụm tia (self-trapping) Lúc đó

ta không Ihể mỏ tả chúng trong khuồn khổ mô hình một chiều đơn giản Đặc

biệt ở đây phải lưu ý đến phân bố biên độ điện trường của sóng điện từ trong

mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng Phương trình Schroedinger phi tuyến (NLSE - viêì tắt từ tiếng Anh Nonlinear Schroedinger Equation) cũng phải bị biến dạng, phải bổ sung thêm để mô tả các hiện tượng nhiễu xạ.

Các hiệu ímg plii tuyến khác như hoạ ba các bội, cộng hường tham số, trộn bốn sóng cũng có thể được nghiên cứu bằng những phương trình lan truyền kiểu (I 1.69) Do sự hạn chế của khuôn khổ bộ sách, ta sẽ không mô

tả kỹ những hiệu ứng phì tuyến quan trọng này ờ đây Bạn đọc có thể đọc về chúng trong bất cứ một cuốn sách nào thuộc lĩnh vực quang học phi tuyến Một hình thức luận hoàn chinh dẫn ra các phương trình lan truyền từ phirơng trình sóng khái quát ( 1 1.50) đã đirợc xây dựng Các phirơng trình vi phân dạo hàm riêng phi tuyến có trong quang học, cùng với những nghiệm đặc biệt là sôlitôn quang học ià đối tượng nghiên cứu của một lĩnh vực toán học rộng hon là lý thuyết các phương trinh vi phân đạo hàm riêng phi tuyến, được phát triển mạnh bắt đầu từ những năm 60 cùa thế kỷ trước, có nhiều ứng dụng cơ bản trong tất cả các ngành khoa học Có nhiều phương pháp giải tích

dể xét lính khả tích cùa những phương trình này Ngoài ra còn nhiều phuơng pháp số !’iá lặp các lời giải sôlitôn, có nhiều ứng dụng lớn trong công nghệ như công nghệ viễn thông cáp quang.

Việc nghiên cứu các phương pháp trong quang học phi tuyến các sóng ánh Síínu còn có nhũng ứng dụng tiềm tàng trong quang học nguyên tử, một iĩnh vực Vcật lý mới hình thành trong vòng 8 - 9 năm gần đây, với nhiều ứng dụng có thể gây ra những cuộc cách mạng công nghệ mới trong tương lai không xa Đổ lĩnh hội được sâu hơn điều này, bạn đọc sẽ làm quen với hai irụ cột của vật lý học hiện đại trong các chương tiếp theo: chương 12 dành cho thuyết tương đối và các chương 13, 14 giành cho thuyết lượng tử Nhờ hai trụ cột này mà mơ ước của loài người từ ngàn đời về một lý thuyết hợp nliất vì dại mô tả mọi tương tác chưa bao giờ gần hiện thực như ngày hôm nay.

chứng minh rằng lời giải chung có dạng:

0 = ^ [ / ( X + vO + f { x - vr)] + ^ [ f

Chì dãn: Đặt các biến mới:

ệ - X + vt,rj = x - v t

11.2 Tính toán chi tiết để thu được công thức (11.28).

11.3 Thực hiện các tính toán tương tự như trong bài tập 11.2 với xung vào ở

11.6 (Dcinh cho các bạn đọc ham tìm tòi) Chuyển hệ thức tán sắc trong hệ

toạ độ tinh thể đơn trục (trong đó tenxơ điện môi được chéo hoá) sang hệ toạ độ xác định bởi vectơ sóng trung tâm, từ phương trình ( 11.35) dẫn ra phương trình (11.36).

l ĩ 7 Trong phương trình (11.36) ta chỉ giữ lại các số hạng bậc một của hàm bao:

Hãy tìm nghiệm cùa phương trình này.

11.8 {Díinh cho các bạn đọc ham tỉm tòi) Trong phương trình (11.36) ta giũ'

lại các số hạng bậc hai cùa đạo hàm;

ị d ' A{ r , l ) i õ^Ả(F,ỉ)

Tim và phân tích các nghiệm cùa phương trình này.

11.9 {Dành cho các bạn đọc ham tìm tòi) Ta giữ đến các sổ hạng bậc ba của

đạo hàm trong phương trình (11.36):

Ai r ắ) = D , A ( r J ) + 1 /7, | 1 /|( F ,0 +

(ìiái phương trình này bằng phương pháp số mà bạn đọc biết Vẽ đồ thị

c h o h á m b a o b ă n ụ c h u ' o n e trin h đ ồ h o ạ m à b ạ n c ó

11.10 Dùng quan hệ giũầ cường độ sóng điện từ với môđun biên độ cường độ

truô'nu Irong liệ SI / = 2fẦnẦc' E{co) ’ , hăy dẫn ra công thức ( 11.57).

11.11 l3o qua số hạnắỉ tán sắc trong phương trình (11.59), với giả thiết xung ban dầu có dạnỵ Gauss, hãy tỉm công thức cho sự thay đổi tần số tức thời

có thê triệt tiêu sự thay đổi liên quan đến hiệu ứng phi tuyến được tìm ra iroim bài tập Irước.

11.13 {Dcinh cho CCễC hạn đọc ham lìm tòi) Tìm nghiệm của phương trình (11.65)

ữ d ạ n a L'đị, r ) cD(r)e'* ' v ớ i đ i ề u k i ệ n t i ệ m c ậ n

0 ( 0 -> 0 , Ể ĩ ắ ắ l 0/ Ồ > Ửco õt / >Ửcc

Chứiiii minh rằng nó có dạng sôlitôn (1 1.66).

C h ư ơ n g 12

C ơ HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH

Trong cơ học phi tương đôi tính (chương 2), các vận tôc được xét nhỏ

hơn vận tốc ánh sáng c rất nhiều Phần lớn các vận tốc trong cuộc sống hàng

ngày đều thoả màn điều kiện đó Như ta thấy dưới đày, cơ học phi tương đối tính (thường còn được gọi là cơ học Newton) là một trường hợp gần đúng cùa

cơ học khái quát và chuẩn hơn với tên gọi là cơ học nrơniỊ đoi tính Người la còn thường gọi nó là lý thuyết tương đổi hẹp Có nhiều nguyên do để nghiên

cứu cơ học này Dưới đày ta đưa ra một số nguyên do quan trọng nhất:

1 Trong chương 10 ta thấy ánh sáng là một trong những đối tượng

n g h i ê n c ứ u q u a n t r ọ n g n h ấ t c ù a v ậ t lý , m à n ó lại c ó v ậ n t ố c V = c.

2 Lý thuyết ánh sáng xuất phát từ khoa học về điện Các hiệu ứng điện quan trọng như từ truòìig, cảm ứng điện từ phụ thuộc vào vận tốc ánh sáng Thật đủng khi nói rằng lý Ihuyết điện là lý thuyết tương đối, ví dụ như dầu tiên ta phải hiểu được lý thuyết tương đổi thì sau đó mới hiểu thấu đáo được

tượng như các sao nơtrôn, các xung tinh {jmlsar), các lỗ đen liên quan nhiều

dến hiệu ứng urưng đối .

5 Để hiểu dược cơ học lượng tử ta phải bàn luận các vấn dề nhir hiện tirợng quang diện, hiệu ứng Conipton, trong đó phải nấm được quan hệ tương

đ ố i t ín h g i ữ a n ă n g l ư ợ n g , k h ố i lir ợ n g v à đ ộ n g l ư ợ n g

6 Trong thời đại công nghệ cao, nhiều kết quả nghiên cứu khoa học như

công thức E = Ì 1 ÌC' , các hạt hay các tín hiệu không thể chuyển động nhanh

hơn ánh sáng, nghịch lý anh em sinh đôi, rút ngắn Lorcntz, sự chậm lại cùa thời gian đã trở thành một phần cùa văn hoá nhân loại.

Những nguyên do này thật quá đủ để chúng ta thấy tầm quan trọng phải biết được lý thuyét tương đổi.

12.1 Thí nghiệm của Michelson và Morley

Trước "nãm kỳ diệu" 1905, khi năm công trình vĩ đại cùa Einstein xuất hiện (trong dó ba công trình giành cho lý thuyết tương đổi hẹp), phần lớn các nhà vật lý nghĩ rằng, phải tồn tại một môi trường mà trong đó các sóng ánh sáng lan truyền, cũng như không khí là môi trường lan truyền cùa các sóng

âm Môi trường lan truyền cho sóng ánh sáng được gọi là ête Lúc đó hệ quy cliicu đứng yên so với ctc sẽ là một hệ quy chiếu đặc biệt, vì chi trong nó ta

có đẳng thức sáng = c Đối với quan sát viên có vận tốc V đối với ête, vận tốc ánh sáng khi quan sát viên chuyền động theo hướng cùa nguồn sáng sẽ bằng c + v Người ta coi etc là một môi trường "vật lý", nhưng lại không có khối luợníì Ngoài ra nó lại cực kỳ cứng do vận tốc lan truyền trong nó là rất lớn điều rất khó có thể chấp nhận được.

Trong những năm tám mươi cùa thế kỷ XIX, Michelson và Morley đã làm một thí nỉihiệm chỉ ra ràng ánh sáng truyền với một vận tốc bằng c không plụi thuộc vào vận tốc cùa nguồn và của quan sát viên, điều này hoàn toàn míÌLi thuần với già thiết tồn tại ête Vận tốc chuyển động của một hệ quy chiếu quán lính dối vói một hộ khác không làm thay đổi vận tốc ánh sáng được quan sát trong hai hộ, diều mà ta có thể hiểu được khi vận tốc ánh sáng là vô hạn Song vận tốc ánh sáng là hĩru hạn.

rhí nghiệm cìia Michelson và Morley dựa trên việc quan sát các vân giao thoa do sự chồníỉ chất của các chùm ánh sáng đi qua các quang lộ khác nhau troim một giao thoa kế Michelson Các đường này là vuông góc với nhau Vận tốc Trái Đất quanh Mặt Trời bằng quãng 30 km/s phải ảnh hường lên độ lệch pha của ánh sáng truyền theo hai con đường này Nếu ta thay đổi hướng cùa thiết bị ihí nghiệm đối với vận tốc Trái Đất (qua việc quay nó), ta phải quan sát dược sụ lliay đổi của các vân giao thoa Nhưng kết quả thí nghiệm khôni» cho ta bắt cứ inột SỊr tliay đổi nào khi ta quay thiết bị Trên cơ sở này

c ó th ề k h ẳ n g d ị n h d ư ợ c r à n g , v ậ n t ố c á n h s á n g là m ộ t đ ạ i l ư ợ n g k h ô n g đ ổ i , n ó

K h ô n g l li a y d ổ i i r o n g hộ q u y c h i ể u c h u y ể n đ ộ n g

Kct quả thí ngliiộm này khẳng định một tính chất đã được thấy trước đó của các phương trình Maxwell trong điện động lực học Như ta biết trong chương 10 đó là nhũng phương trình cũng mô tả lan truyền sóng điện từ (với ánh sáng là lìiột trường hợp dặc biệt) Vận tốc lan truyền sóng này được biểu diễn qua các hằng số có Irong các phương trình Maxwell Nếu chúng mô tả các định luật vật lý, dạng của chúng (trong đó cả các hằng số có irong chúng)

phải như nhau trong tất cà các hệ quy chiếu quán tính Do vậy vận tốc sóng

điện từ không phụ thuộc vào hệ quy chiếu quán tính Đây là nội dung của íiẽn

đề thứ nhât trong lý thuyết tương đối hẹp.

Song sự không đổi cùa vận tổc ánh

sáng mâu thuẫn với mộl phép biến đổi

tưởng như là tất nhiên trong vật lý cổ điển:

Phép biến đổi Galilei Theo phép biến đổi

này (xem chương 2), nếu ta quan sát

chuyển động của điểm p trong hai hệ quy

Sau khi lấy đạo hàm theo thời gian ta có:

V = V q + V

( 12.1)

( 12.2) tức là vận tốc quan sát được trong hai hệ quán tính khác nhau một đại lượng V(J (vận tốc của một hệ đối với hệ thứ hai).

Song theo kết quả thí nghiệm trên, phép biến đồi vận tốc (12.2) không còn được duy trì trong trường hợp ánh sáng, trừ khi vận tốc ánh sáng là vô hạn Ngoài vấn đề vận tốc ánh sáng, những kết luận cơ bản của lý thuyết Maxwell khác cũng không bất biến đối với phép biến đổi Galilei ở đây không chi là vấn đề liên quan các hiện tượng điện tĩnh, hay nói chung là điện, khi ờ hệ quán tính này ta có thể hiện một kiểu, còn ở inột hệ quán tính khác,

khi m ộ t p h ầ n c á c đ i ệ n t í c h c h u y ể n đ ộ n g , t ứ c là k h i ta c ó c á c d ò n g đ i ệ n , ta CC

các hiện tượng khác kiểu liên quan đến từ trường Lúc đó ta vẫn có thể lý giải được là chúng chl khẳng định được tính không tách rời được các hiện tượng điện và từ mà thôi Song điều khó chấp nhận hơn là các lực tác dụng trong một hệ lại tưởng như là biến mất (hay ngược lại, chúng xuất hiện khi trước đc không tồn tại) trong một hệ khác, khi ta dùng các biến đổi không gian và thờ gian cổ điển theo phép biến đổi Galilei Ta vẫn cho rằng thực tế mà trong đc

các thành phần là các lực tác dụng, không phụ Ihuộc vào cách mô tả nó, tức \i vào hệ quy chiếu Đó chính là nội dung của nguyên lý tương đoi của Galile

trong cơ học cổ điển mà ta đă có dịp nói đến Nguyên lý này được biểu diễr

dưới dạng toán học ở bien đỏi Galilei mà các phương trình cùa Newton là bấ

biến Để có thể thống nhất được các hiện tượng điện từ vào nguyên lý này hoặc là ta phải "xét lại" các phương trình Maxwell, hoặc là ta phải tìm mộ phép biến đổi không gian và thời gian mới để các phương trình Maxwell cũnị

là bất biến đối với chúng Vì khả năng đầu không thể có do các phương trình Maxwell có chỗ dựa vững chắc ở các kết quả thực nghiệm, ta chỉ còn khả

n ă n g t h ứ hai.

Ngoài ra, một lý thuyết mới (lý thuyết tương đổi) phải thuận với cơ học cổ điển khi thực hiện một phép lấy giới hạn với c -> 00 Theo một quy tắc được xây dựng từ lâu và đã được Bohr, người sáng lập ra trường phái Kopenhagen nồi tiếng phát biểu, một lý thuyết mới ở những giới hạn phải thu được các kết quà đã được một lý thuyết cũ hoàn hảo rút ra Quy tắc này được mang tên là

quy tctc tương ứng Làm thế nào để thiết kế một lý thuyết như vậy trong trường

hợp cơ học Nevvton? Theo Einstein, cần phải thay đổi cơ học cổ điển bằng một cách đơn giản nhất Cách này dẫn đến một phép biến đổi không gian và thời

gian mới, mang tên là phép biển đổi Lorentz Khi áp dụng cho các phương trình

Maxwell, nó không làm thay đổi các lực tác dụng Lorentz đã đi đến phép biến đổi này một cách hiện tượng luận, không dựa trên một cách minh hoạ mới về không gian và thời gian Phải đợi đến năm 1905, khi Einstein, nhà vật lý trẻ làm việc ỏ một phòng sáng chế phát minh bình thường, cách xa khỏi các phòng thí nghiệm và các trung tâm nghiên cứu lớn, đã có một cách nhìn cách mạng mới

về không gian và thời gian, phép biến đồi này mới được hiểu trên một nền tảng lôgic đẹp đẽ Do vậy mà Einstein chứ không phải ai khác được coi là nhà sáng

iập ra thuyết tương đổi Để phân biệt với thuyết tương đổi rộng cho tương tác hấp dẫn cũng được Einstein xây dựng-sau này, nó được gọi là thuyết tương đối

hẹp Như vậy thuyết này dựa trên hai tiên đề: tiên đề tương đổi, theo đó mỗi

một định luật vật lý có cùng một dạng trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính,

v à t i ê n đ ề v ề t i n h k h ô n g đ ổ i c ủ a v ậ n t ố c á n g s á n g : t r o n g c h â n k h ô n g n ó k h ô n g

phụ thuộc vào chuyển động của nguồn.

o'

X 'Ậ

12.2 Phép biến đối Lorentz

Nếu ta vẫn giữ nguyên khái niệm hệ

quy chiếu quán tính là hệ mà trong đó các

vật không chịu ảnh hưởng cùa các lực sẽ

chuyển động thẳng đều, phép biến đổi giữa

các hệ quy chiếu quán tính khác nhau sễ

phải là phép biến đổi tuyến tính (chì phép

biến đổi như vậy mới biến đứờng thẳng thành đường thẳng, xem hình 12.2).

o-Hình 12.2

Neu ta quan sát t r o n g hai hệ quán tính sự lan truyền ánh sáng, trong hệ đầu nó sẽ đi qua con đường:

(A s)' = ( A x )" +(A>')‘ + (A z )" - c ' ( A / ) ‘ (12.6)

thì từ đẳng thức trước ta có (A.y)" = 0 kéo theo (A¿')' = 0 Song do quan hệ

giữa X, y, z, t và X y \ z \ t ’ là t uy ến tính, ta luôn có:

(A v)^ = (A v')' nghĩa là trong chuyển động giữa các hệ quán tính đại lượng sau phải được bảo toàn: