HSG TOAN CHUYEN 2009

SỎ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THỪA THIÊN HUẾ KHỐI 12 CHUYÊN - NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: Toán Thời gian làm bài : 180 phút Bài 1 : (4 điểm) Cho hàm số : y = 36cosx + 9cos2x + 4cos3x . a/ Chứng minh rằng : y + 31 ≥ 0 đúng với mọi số thực x . b/ Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho : y ≤ k đúng với mọi số thực x . Bài 2 : (4 điểm) Cho hình vuông ABCD . Với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng chứa hình vuông ABCD, xét điểm M 1 đối xứng của M qua đường thẳng AB, điểm M 2 đối xứng của M 1 qua đường thẳng BD, điểm M 3 đối xứng của M 2 qua đường thẳng AC và điểm M’ đối xứng của M 3 qua đường thẳng CD. Tìm tập hợp các điểm M sao cho độ dài đoạn MM’ bằng độ dài cạnh hình vuông . Bài 3 : (4 điểm) Cho dãy số thực (u n ) xác định bởi : 1 u =1 , n u n 1 u = 2 + với n ≥ 1. Chứng minh rằng dãy số (u n ) có giới hạn . Tìm giá trị giới hạn này . Bài 4 : (4 điểm) Cho hình hộp IJKL.I’J’K’L’ có tất cả các cạnh bằng nhau và · I I' J' = · I I' L' = · J' I' L' = 0 60 . Chọn tùy ý điểm P trên đoạn IJ và gọi Q là điểm trên đoạn IL sao cho LQ = IP. a/ Chứng minh rằng : · I I' P + · I I' Q + · P I' Q = 0 60 . b/ Chứng minh rằng khoảng cách từ tâm O của hình hộp IJKL.I’J’K’L’ đến mặt phẳng (I’PQ) không phụ thuộc vào việc chọn điểm P. Bài 5 : (4 điểm) Xét hàm số f xác định trên tập số thực ¡ thỏa mãn phương trình : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 1f x f y f x y f x f y f x y− × − × − + = − × − × + − (*) với mọi số thực x, y . a/ Chứng minh tồn tại ít nhất ba hàm số f liên tục trên tập số thực ¡ thỏa mãn (*). b/ Tìm tất cả các hàm số f liên tục trên tập số thực ¡ thỏa mãn (*). Hết SỎ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THỪA THIÊN HUẾ KHỐI 12 CHUYÊN - NĂM HỌC 2009-2010 Moân : TOAÙN ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Bài NỘI DUNG Điểm Bài 1 Câu 1a (2 đ) Đặt t = cosx, ta có : y=36t +9(2t 2 -1)+4(4t 3 -3t) =16t 3 +18t 2 +24t-9 . 0,5 Xét φ(t) = 16t 3 +18t 2 +24t-9 với -1≤ t ≤ 1 . φ’(t) = 48t 2 +36t+24 >0 [ 1;1]t∀ ∈ − . φ(-1) = -31, φ(1) = 49 .Ta có : -31≤ φ(t) ≤ 49 [ 1;1]t∀ ∈ − . 1 Từ đó : y +31 ≥ 0 đúng với mọi số thực x. Dấu bằng xảy ra trong trường hợp cosx = -1 0.5 Chú ý: 1/ Do tính tuần hoàn và chẵn của y nên chỉ cần tìm Miny trên đoạn [0;π] 2/ y +31 ≥ 0 ⇔ 2(cosx+1)(8cos 2 x+cosx+11) ≥ 0 Câu 1b (2 đ) Giả sử k là số thỏa : y ≤ k đúng với mọi số thực x . Khi đó với x = 0 thì 49 ≤ k . 0.5 Ta chứng minh y ≤ 49 đúng với mọi số thực x . Do Maxy = 49 nên y ≤ 49 đúng với mọi số thực x . 1 Số k nhỏ nhất thỏa bài toán là 49 . 0,5 Bài 2 (4đ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông ABCD, trục Ox vuông góc với AB. Có thể đặt : A(-a;-a), B(-a;a), C(a;a), D(a;-a). Phương trình của AC: y = x, phương trình của BD: y = -x 1 Xét M(x;y). Tọa độ của M 1 : x 1 = -x-2a , y 1 = y . Tọa độ của M 2 : x 2 = -y 1 = -y, y 2 = -x 1 = x+2a Tọa độ của M 3 : x 3 = y 2 = x +2a , y 3 = x 2 = -y . Tọa độ của M’ : x’ = 2a –x 3 = -x, y’ = y 3 = -y . 1,5 MM’ = AB ⇔ ( x’-x) 2 +(y’-y) 2 = (2a) 2 ⇔ 4x 2 + 4y 2 = 4a 2 ⇔ OM = a. 1 Tập hợp những điểm M thỏa bài toán là đường tròn nội tiếp của hình vuông ABCD . 0,5 Chú ý : + M 2 là ảnh của M qua phép quay Q B có tâm B và góc quay bằng hai lần góc lượng giác (BA,BD), M’ là ảnh của M 2 qua phép quay Q C có tâm C và góc quay bằng hai lần góc lượng giác (CA,CD). + Hợp thành của Q B với Q C là phép đối xứng tâm O . Bài 3 (4đ) Ta có : u 2 = 2 > u 1 . Dùng qui nạp chứng minh được (u n ) là dãy tăng . 1 Dùng qui nạp chứng minh được : 1≤ u n < 2 với mọi n ≥ 1 . 1 Dãy (u n ) tăng và bị chặn trên nên có giới hạn . 0,5 Đặt x = limu n .Khi n→ +∞ thì u n+1 → x và x x 2= với 1≤ x ≤ 2 0,5 x x 2= ⇔ 2lnx = xln2 . Xét h(x) = xln2 -2lnx với 1≤x ≤ 2 . h(2) = 0 . h’(x) = ln2 - 2 x <0 với 1≤x ≤ 2 . h(x) giảm trên [1,2] . h(x) = 0 với 1≤x ≤ 2 chỉ xảy ra khi x = 2 . Vậy : limu n = 2 1 y x a -a a -a O B D A M 2 C M 3 M 1 M' M 120 o 120 o 120 o 60 o 60 o J K L I' J' K' L' P O Q I Bài 4 Câu 4a (1,5 đ) Hai tam giác QLK và PII’ bằng nhau vì : QL=PI, IK=II’ , · ¶ o QLK=120 = PII' Hai tam giác PJK và QII’ bằng nhau vì : PJ=QI, JK=II’ , · · o PJK=120 = QII' Hai tam giác PKQ và QI’P bằng nhau vì có các cạnh tương ứng bằng nhau . 1,5 Từ đó : ¶ · · · · · · o II'P+ II'Q+ PI'Q = QKL+ PKJ+ QKP = PKL = 60 0.5 Câu 4b (2 đ) Ta có : d(O,(I’PQ)) = O.I'PQ I'PQ 3V S . 0.5 Do O là trung điểm I’K nên V O.I’PQ = V I’.O’PQ = V K.OPQ = V O.KPQ . 0.5 Hai tam giác PKQ và QI’P bằng nhau nên S I’PQ =S KQP . 0.5 Suy ra : d(O,(I’PQ)) = O.KPQ KQP 3V S = d((O,(KQP)) = d((O,(IJKL)) = hằng số . 0,5 Bài 5 Câu 5a (2 đ) Giả sử hàm số hằng trên ¡ : f(x) =c , thỏa phương trình (*) . Ta có : (c-1)(c-1)(2-c) = (2-c)(2-c)(c-1) ⇔ c = 1, c = 2 , c = 3 2 . 1 Kiểm tra lại thấy rằng các hàm số hằng trên ¡ : f 1 (x) =1 , f 2 (x) = 2 , f 3 (x) = 3 2 , là ba hàm số liên tục trên ¡ thỏa phương trình hàm (*) . 1 Câu 5b Điểm (2 đ) Giả sử f là hàm số liên tục trên ¡ thỏa (*) . Trong (*) thay x, y bởi 2 t ta có : (u-1) 2 (2-f(t))=(2-u) 2 (f(t)-1) với u= f( 2 t ) . Do đó f(t) = 2 2 2 2 2(u-1) +(2-u) (2-u) +(u-1) = 2 2 3u -8u+6 2u -6u+5 . Suy ra : 1 ≤ f(t) ≤ 2 , t ∀ ∈ ¡ . f(t) = 1 ⇔ u=1 ⇔ f( 2 t ) =1 , f(t) =2 ⇔ u = 2 ⇔ f( 2 t ) = 2 . 0.5 Nếu tồn tại x o mà f(x o ) =1 thì 0 1 2 x f   =  ÷   . Suy ra 0 1 2 n x f   =  ÷   với mọi số nguyên dương n . Vì f liên tục nên cũng có f(0)=1 .Lúc này nếu trong (*) thay x và y bởi x o và t- x o thì : ( ) ( ) ( ) 0 0 2 ( ) 1f t x f t= − − − , t ∀ ∈ ¡ . Chú ý rằng, lúc này ( ) 0 2 0f t x− − ≠ t ∀ ∈ ¡ . Bởi vì, nếu tồn tại y o mà f(y o ) = 2 thì 0 1 2 y f   =  ÷   . Suy ra : 0 1 2 n y f   =  ÷   với mọi số nguyên dương n. Do f liên tục nên cũng có f(0) = 2 , vôlí . Vậy trường hợp này phải có f(t) = 1 , t∀ ∈ ¡ . Tương tự, nếu tồn tại y o mà f(y o ) = 2 thì f(t) = 2, t ∀ ∈ ¡ . 0.5 Ta xét trường hợp 1< f(t) < 2 t∀ ∈ ¡ . Đặt : g(t)= 2-f(t) f(t)-1 , (*) trở thành : g(x+y)=g(x).g(y) x,y∀ ∈ ¡ , với g liên tục trên ¡ . Tồn tại hằng số a>0 sao cho g(x) =a x . Lúc đó : f(x) = x x a +2 a +1 . Thử lại thấy đúng . 0.5 Tóm lại, các hàm số liên tục trên ¡ thỏa (*) là : f(x)=1, f(x)=2 , f(x) = 3 2 , và f(x) = x x a +2 a +1 với a dương tùy ý khác 1 . 0,5 . TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THỪA THIÊN HUẾ KHỐI 12 CHUYÊN - NĂM HỌC 2009- 2010 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: Toán Thời gian làm bài : 180 phút Bài 1 : (4. TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THỪA THIÊN HUẾ KHỐI 12 CHUYÊN - NĂM HỌC 2009- 2010 Moân : TOAÙN ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Bài NỘI DUNG Điểm Bài 1 Câu 1a (2