đề cương ôn tập K2

ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC : 2010 - 2011 ĐỀ 1 ( Thời gian làm bài 90 phút ) Câu I ( 1,0 điểm ) Cho cấp số nhân ( n u ) có 4 6 3 5 u u 120 u u 60 + = −   + =  .Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân . Câu II ( 3,0 điểm ) a. Chứng minh rằng dãy số ( n u ) với 2 n 2 n 1 u 2n + = là một dãy số giảm và bị chặn . b. Tìm giới hạn sau : 2 x 2 x 5 3 lim x 2 → + − − c. Cho hàm số 2 ax 2 f (x) n 2  ≤ =  − >  nÕu x 2x 1 Õu x .Tìm giá trị của a để hàm số f(x) liên tục trên ¡ . Câu III ( 3,0 điểm ) a. Tìm đạo hàm của hàm số 3 y tan x= . b. Tính gần đúng giá trị sin 29 o . c. Chứng minh rằng phương trình 2 cos x x− = 0 có ít nhất một nghiệm . Câu IV ( 3,0 điểm ) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác đều cạnh a , AA’ vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AA’ = a 2 2 . Gọi O và O’ lần lượt là trung điểm của AB và A’B’ . a. Chứng minh rằng : AB ⊥ mp(COO’) . b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB’ . . . . . . . . .Hết . . . . . . . HƯỚNG DẪN Câu I ( 1,0 điểm ) Gọi 1 u là số hạng đầu , q là công bội của cấp số nhân . Áp dụng công thức : n 1 n 1 u u .q − = , ta có : 3 5 3 2 1 1 1 4 6 2 4 2 2 3 5 1 1 1 u .q u .q 120 u .q (1 q ) 120 (1) u u 120 u u 60 u .q u .q 60 u .q (1 q ) 60 (2)   + = − + = − + = −    ⇔ ⇔    + =    + = + =   Lấy (1) chia (2) , ta được : q 2= − . Thay q 2= − vào (2) : 2 1 1 u .q (1 4) 60 u 3+ = ⇔ = Vậy cấp số nhân này có 1 u 3, q 2= = − . Câu II ( 3,0 điểm ) a. ( 1đ ) Ta có : n 2 1 1 u 2 2n = + . Suy ra : + n 1 n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 u u ( ) ( ) 0, n 1 2 2 2(n 1) 2n 2(n 1) 2n + − = + − + = − < ∀ ≥ + + . Suy ra ( n u ) là dãy số giảm . + Vì n 1 u 1 2 < ≤ ∀ ≥ , n 1 nên ( n u ) là một dãy số bị chặn . b. (1đ ) 2 2 2 2 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 3 x 5 9 x 4 x 2 2 lim lim lim lim x 2 3 (x 2)( x 5 3) (x 2)( x 5 3) x 5 3 → → → → + − + − − + = = = = − − + + − + + + + Giáo Viên - 1 - ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC : 2010 - 2011 c. (1đ) Tập xác định D = ¡ + Nếu x 2< thì 2 f (x) ax= là hàm số liên tục trên ( ;2)−∞ với a ∈ ¡ + Nếu x 2> thì f (x) 2x 1= − là hàm đa thức nên liên tục trên (2; )+∞ Do đó : hàm số f(x) liên tục trên ¡ ⇔ hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 3 lim f (x) lim f (x) f (2) lim (2x 1) lim ax 3 4a a 4 + − + − → → → → ⇔ = = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = Vậy với 3 a 4 = hàm số đã cho liên tục ¡ Câu III ( 3,0 điểm ) a. (1đ) Ta có : 3 3 2 2 2 2 3 3 3. tan x 1 1 1 1 1 y tan x y' .(tan x)' .3tan x. .3tan x. 2 tan x cos x cos x 2cos x 2 tan x 2 tan x = ⇒ = = = = b. (1,0đ) Áp dụng công thức : o o o f '(x x) f (x ) f '(x ). x+ ∆ ≈ + ∆ Phân tích : 29 30 1 ( ) 6 180 π −π = − = + o o o . Chọn : o x , x = 6 180 π −π = ∆ Đặt f(x) = sinx , ta có : 1 3 f '(x) cosx , f( ) sin , f '( ) cos 6 6 2 6 6 2 π π π π = = = = = Suy ra : 1 3 sin 29 sin[ ( )] f[ ( )] f ( ) f '( ).( ) . 0,9954 6 180 6 180 6 6 180 2 2 180 π −π π −π π π −π −π = + = + ≈ + ≈ + ≈ o Vậy : sin 29 0,9954≈ o c) (1,0đ) Xét hàm số : f(x) = 2 cos x x− liên tục khi x 0 ≥ . Ta có : f(0) = 1 , f( 2 π ) = 2 π − < 0 nên đã cho có ít nhất một nghiệm . Câu IV ( 3,0 điểm ) a. (1đ) Ta có : ∆ ABC đều nân AB ⊥ CO . Mặt khác : AB OO'⊥ . Vì OO’ // AA’ và AA’ ⊥ (ABC) Suy ra : AB (COO ')⊥ b. (2đ) + Xác định : Ta có (CB’O’) chứa CB’ và song song với AB . Do đó : Khoảng cách giữa AB và CB’ bằng khoảng cách giữa AB và (CB’C’) . Vậy : d[AB;CB’] = d[AB,(CB’O’)] = d [O, (CB’C’)] Ta có : AB (COO') ( câu 1) O'B' (COO') (CO'B') (COO') O'B' (COO') ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  Do đó khi kẻ OH ⊥ O’C thì OH ⊥ (CO’B’) , H (COO')∈ + Tính khoảng cách : Tam giác COO’ vuông tại O . có đường cao là OH nên 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 2 10 OH OC OO' 3a a 3a a 30 3a OH OH 10 10 = + = + = ⇒ = ⇒ = Vậy : d(AB,CB’) = OH = a 30 10 Giáo Viên - 2 - ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC : 2010 - 2011 ĐỀ 1 ( Thời gian làm bài 90 phút ) Câu I ( 1,0 điểm ) Một cấp số cộng có số hạng đầu là 16 , công sai là − 4 và tổng là − 72 . Hỏi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng . Câu II ( 3,0 điểm ) c. Tìm giới hạn của dãy số ( n u ) với n u n 7 3n 2= + − + d. Tìm giới hạn sau : 2 2 x 1 x 3x 2 lim 2x 2x →− + + + e. Xét tính liên tục của hàm số 2 o 2x x 1 f (x) 1 n 1  − + − − = = −  ≤ −  nÕu x > 1 t¹i x 2x + 3 Õu x . Câu III ( 3,0 điểm ) c. Tìm đạo hàm của hàm số sin x y x 1 = − . d. Cho hàm số 3 2 f (x) x 3x 9x 2009= − − + + . Hãy giải bất phương trình f '(x) 0≤ . c. Cho hàm số 2 y 1 x= + . Chứng minh rằng : 2 y.y '' (y') 1+ = Câu IV ( 3,0 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . b. Chứng minh rằng : mp(SAB) ⊥ mp(SBC) . c. Chứng minh rằng : BD ⊥ mp(SAC) . c. Biết SA= a 6 3 . Tính góc giữa SC và mp(ABCD) . . . . . . . . .Hết . . . . . . . HƯỚNG DẪN Câu I ( 1,0 điểm ) Gọi n là số lượng số hạng , 1 u là số hạng đầu tiên , d là công sai của cấp số cộng . Áp dụng công thức : n 1 n S [2u (n 1)d] 2 = + − , ta có : 2 n 3 n 72 [2.16 (n 1)( 4)] 2n 18n 72 0 n 12 2 = −  − = + − − ⇔ − − = ⇔  =  ( lo¹i ) ( nhËn ) Vậy cấp số cộng này có 12 số hạng . Câu II ( 3,0 điểm ) a. ( 1đ ) Ta có : n 7 2 lim u lim n[ 1 3 ] n n = + − + Vì 7 2 lim n , lim[ 1 3 ] 1 3 0 n n = +∞ + − + = − < nên n lim u = −∞ Giáo Viên - 3 - ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC : 2010 - 2011 b. (1đ) 2 2 x 1 x 1 x 1 x 3x 2 (x 1)(x 2) x 2 1 2 1 lim lim lim 2x(x 1) 2x 2 2 2x 2x →− →− →− + + + + + − + = = = = − + − + c. (1đ) Tập xác định D = ¡ Ta có : f( − 1) = 3+2( − 1) = 1 2 2 x ( 1) x ( 1) lim f (x) lim ( 2x x 1) 2( 1) 1 1 4 + + → − → − = − + − = − − − − = − x ( 1) x ( 1) lim f (x) lim (2x 3) 3 2( 1) 1 − − → − → − = + = + − = Vì x ( 1) x ( 1) lim f (x) lim f (x) + − → − → − ≠ nên không tồn tại x 1 lim f (x) →− Vậy hàm số đã cho không liên tục tại o x 1= − Câu III ( 3,0 điểm ) a. (1đ) Ta có : 2 2 2 (sin x)'.(x 1) sin x.(x 1)' cos x.(x 1) sin x (x 1)cos x sin x y' (x 1) (x 1) (x 1) − − − − − − − = = = − − − b. (1đ) Ta có : 2 f '(x) 3x 6x 9= − − + Do đó : 2 2 f '(x) 0 3x 6x 9 0 x 2x 3 0 x 3 x 1≤ ⇔ − − + ≤ ⇔ − − + ≤ ⇔ ≤ − ∨ ≥ c) (1đ) Ta có : 2 2 2 y 1 x y 1 x 2y.y ' 2x y.y' x y'.y' y.y'' 1= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ + = Hay 2 2 (y') y.y'' 1 y.y'' (y') 1 pcm)+ = ⇔ + = (® Câu IV ( 3,0 điểm ) c. (1đ) Vì SA (ABCD) SA BC⊥ ⇒ ⊥ (1) , do BC (ABCD)⊂ . Mặt khác : BC AB ⊥ (2) , do ABCD là hình vuông . Từ (1) , (2) suy ra BC (SAB) (SBC) (SAB)⊥ ⇒ ⊥ , Vì BC (SBC)⊂ d. (1đ) Ta có : AC BD⊥ (3) , do ABCD là hình vuông Vì SA (ABCD) SA BD⊥ ⇒ ⊥ (4) , do BD (ABCD)⊂ . Từ (3),(4) suy ra : BD (SAC)⊥ e. (1đ) Do (ABCD) (ABCD) SA (ABCD) A hc S AC hc SC⊥ ⇒ = ⇒ = Suy ra góc giữa SC và mp(ABCD) là · SCA Tam giác SAC vuông tại A , ta có : · · a 6 SA 3 3 tanSCA SCA 30 AC 3 a 2 = = = ⇒ = o Giáo Viên - 4 - ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC : 2010 - 2011 ĐỀ 2 ( Thời gian làm bài 90 phút ) Câu I ( 1,0 điểm ) Một cấp số nhân có chín số hạng , biết số hạng đầu là 5 và số hạng cuối là 1280 . Tính công bội q và tổng 9 S các số hạng . Câu II ( 3,0 điểm ) f. Tìm giới hạn của dãy số ( n u ) với n 2 1 3 5 . (2n 1) u n 1 + + + + − = + g. Tìm giới hạn sau : x 1 3 6 lim ( ) 1 x 1 x → − − − h. Xét tính liên tục của hàm số o 3x 1 f (x) 1 x 2 n 1 −   ≠ = =  −  − =  nÕu x 1 t¹i x 2 Õu x . Câu III ( 3,0 điểm ) e. Tìm đạo hàm của hàm số y x 6 x= − . f. Cho hàm số 2 f (x) x sin x cos x= + + . Hãy tính : f ''(1) , π f ''( ) . g. Cho hàm số x 3 f (x) x 3 − = + . Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến có hệ số góc là 1 . Câu IV ( 3,0 điểm ) Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh bằng a và AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) . Gọi I và E lần lượt là trung điểm của BC và CD . . d. Chứng minh rằng : Mp(ABC) ⊥ mp(ADI) . e. Chứng minh rằng : CD ⊥ mp(ABE) . c. Tính khoảng cách từ D đến mp(ABC) . . . . . . . . .Hết . . . . . . . HƯỚNG DẪN Câu I ( 1,0 điểm ) Ta có n = 9 là số lượng số hạng , 1 u =5 là số hạng đầu tiên , 9 u =1280 là số hạng đầu tiên , q là công bội của cấp số nhân . Áp dụng công thức 8 8 8 8 8 9 1 u u .q 1280 5.q q 256 q 2 q 2= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± : , ta có : + q = 2 ⇒ 9 9 9 1 q 1 2 1 S u . 5. 2555 q 1 2 1 − − = = = − − + q = − 2 ⇒ 9 9 9 1 q 1 ( 2) 1 S u . 5. 855 q 1 ( 2) 1 − − − = = = − − − Câu II ( 3,0 điểm ) c. ( 1đ ) Ta có : ta có tổng n S 1 3 5 . (2n 1)= + + + + − là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng có 1 n u 1,u 2n 1= = − , do đó : 2 n n(n 2n 1) S 1 3 5 . (2n 1) n 2 + − = + + + + − = = Giáo Viên - 5 - ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC : 2010 - 2011 Suy ra : 2 n 2 2 2 1 3 5 . (2n 1) n 1 lim u lim lim lim 1 1 n 1 n 1 1 n + + + + − = = = = + + + d. (1đ) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3 6 3 3 x 6 3( x 1) 3( x 1) 3 3 lim ( ) lim ( ) lim lim lim 1 x 1 x 1 x 2 1 x (1 x)(1 x) 1 x → → → → → + − − − − − = = = = = − − − − − − + + c. (1đ) Ta có : f(1) = − 2 Vì x 1 x 1 3x 1 3.1 1 lim f (x) lim 2 f (1) x 2 1 2 → → − − = = = − = − − Vậy hàm số đã cho liên tục tại o x 1= Câu III ( 3,0 điểm ) a. (1đ) Ta có : x.( 1) 12 3x y' 6 x x.( 6 x)' 6 x 2 6 x 2 6 x − − = − + − = − + = − − b. (1đ) Ta có : f '(x) 2x sin x cosx= − + − − , f ''(x) = 2 cosx sinx Do đó : f ''(1) 2 sin1 cos1 0,983= − + ≈ π − π − π ; f ''( ) = 2 cos sin = 3 c) (1đ) Gọi o x là hoành độ tiếp điểm . Vì 2 6 f ' (x) (x 3) = + . Theo giả thiết , ta có : 2 o o o 2 o 6 f ' (x ) 1 1 (x 3) 3 x 3 6 (x 3) = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = − ± + Áp dụng công thức : o o o y y f ' (x )(x x )− = − o o x 3 6 y 1 6+ = − + ⇒ = − ⇒ tiếp tuyến 1 ( ): y x 4 2 6∆ = + − o o x 3 6 y 1 6+ = − − ⇒ = + ⇒ tiếp tuyến 2 ( ) : y x 4 2 6∆ = + + Câu IV ( 3,0 điểm ) f. (1đ) Vì AB (BCD) AB DI⊥ ⇒ ⊥ (1) , do DI (BCD)⊂ . Mặt khác : DI BC⊥ (2) , do DI là đường cao của tam giác BCD . Từ (1) , (2) suy ra DI (ABC) (ADI) (ABC)⊥ ⇒ ⊥ , vì DI (ADI)⊂ g. (1đ) Ta có : BE CD ⊥ (3) , do BE là đường cao của tam giác BCD . Vì (ABC) (ABC) AB (BCD),B (BCD) B hc A BE hc AE⊥ ∈ ⇒ = ⇒ = (4) Từ (3),(4) suy ra : CD AE⊥ (5) , do định lí 3 đường vuông góc . Từ (3),(5) suy ra : CD ⊥ (ABE) . h. (1đ) Do DI (ABC),I (ABC) d(D,(ABC)) DI⊥ ∈ ⇒ = = a 3 2 Giáo Viên - 6 - ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC : 2010 - 2011 ĐỀ 3 ( Thời gian làm bài 90 phút ) Câu I ( 1,0 điểm ) Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng . Biết 5 9 u 19 u 35 =   =  Câu II ( 3,0 điểm ) i. Tìm giới hạn của dãy số ( n u ) với n 2n sin n u n + = j. Tìm giới hạn sau : 2 x 2 x 2 x lim x 4x 4 → + + − + − k. Cho hàm số 3 2 x f (x) n 1  −  =  − ≥ −   nÕu x < 1 2x 3 Õu x . Chứng minh rằng hàm số f(x) liên tục trên ¡ . Câu III ( 3,0 điểm ) h. Tìm đạo hàm của hàm số y x cos3x= . i. Cho hàm số y sin 2x cos2x= − . Hãy giải bất phương trình y '' 0= . c. Cho hàm số y 2x 1= + có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d) : 1 y x 1 3 = + . Câu IV ( 3,0 điểm ) Cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B , ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a . Gọi I là trung điểm của BC . f. Chứng minh rằng : AI ⊥ mp(MBC) . g. Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC) . c. Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (MIA) . . . . . . . . .Hết . . . . . . . HƯỚNG DẪN Câu I ( 1,0 điểm ) Gọi 1 u là số hạng đầu tiên , d là công sai của cấp số cộng . Áp dụng công thức : n 1 u u (n 1)d= + − , ta có : 1 1 5 9 1 u 4d 19 u 3 u 19 u 35 u 8d 35 d 4 + = =   =  ⇔ ⇔    = + = =    Vậy cấp số cộng này có 1 u 3, d 4= = . Câu II ( 3,0 điểm ) e. ( 1đ ) Ta có : n n n sin n sin n sin n u 2 u 2 lim(u 2) lim n n n = + ⇒ − = ⇒ − = Vì sin n 1 1 sin n | | lim 0 n 0 n n n n ≤ = = , nª lim nên n limu 2= f. (1đ) 2 2 x 2 x 2 x 2 x x 2 x lim lim x 4x 4 (x 2) → → + + + + = = −∞ − + − − − Vì 2 2 x 2 x 2 lim ( x 2 x) 4 lim [ (x 2) ] 0 (x 2) 0 → → + + = − − = − − < , vµ c. (1đ) Tập xác định D = ¡ Giáo Viên - 7 - ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC : 2010 - 2011 + Nếu x 1< − thì 3 f (x) x= là hàm đa thức nên liên tục trên ( ; 1)−∞ − (1) + Nếu x 1> − thì 2 f (x) 2x 3= − là hàm đa thức nên liên tục trên ( 1; )− +∞ (2) + Tại x 1= − Ta có : f( − 1) = 2( 2 1)− − 3 = − 1 3 x ( 1) x ( 1) lim f (x) lim x 1 − − → − → − = = − 2 2 x ( 1) x ( 1) lim f (x) lim (2x 3) 2( 1) 3 1 + + → − → − = − = − − = − Vì x ( 1) x ( 1) lim f (x) lim f (x) 1 + − → − → − = = − nên x 1 lim f (x) 1 f ( 1) →− = − = − Vậy hàm số đã cho không liên tục tại o x 1= − (3) Từ (1),(2),(3) suy ra hàm số liên tục trên ¡ . Câu III ( 3,0 điểm ) a. (1đ) Ta có : (cos3x)' 3sin 3x 2cos3x 3x sin 3x y' cos3x x. cos3x x. 2 cos3x 2 cos3x 2 cos3x − − = + = + = b. (1đ) Ta có : y' 2cos 2x 2sin 2x y'' 4sin 2x 4cos 2x= + ⇒ = − + Do đó : y'' 0 4sin 2x 4cos 2x 0 sin(2x ) 0 2x k x k ;k 4 4 8 2 π π π π = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ − = π ⇔ = + ∈ ¢ c) (1đ) Gọi tiếp tuyến cần tìm là ( ∆ ) . Vì ( ∆ ) // (d) : 1 y x 1 3 = + nên ( ∆ ) có hệ số góc k = 1 3 . Gọi o o M(x ; y ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) Ta có : 1 y' 2x 1 = + nên o o o o o 1 1 k y'(x ) 2x 1 3 x 4 (y 3) 3 2x 1 = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = = + Suy ra phương trình tiếp tuyến : 1 1 5 y (x 4) 3 y x 3 3 3 = − + ⇔ = + Câu IV ( 3,0 điểm ) i. (1đ) Ta có : MB (ABC) MB AI⊥ ⇒ ⊥ (gØa thiÕt) do AI ⊂ (ABC) (1) . Mặt khác : AI BC⊥ (2) , do ABC là tam giác đều có đường cao AI . Từ (1) , (2) suy ra AI (MBC)⊥ b. (1đ) Ta có : (ABC) (ABC) MB (ABC),M (ABC) B hc M BI hc MI⊥ ∈ ⇒ = ⇒ = (3) Suy ra góc giữa IM và mp(ABC) là · M IB . Vì tam giác MBI vuông góc nên · · MB tan MIB 4 MIB arctan 4 IB = = ⇒ = g. (1đ) Do AI (MBC)⊥ , suy ra : (MIA) (MBC)⊥ . Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến MI . Từ B kẻ BH ⊥ MI suy ra BH (M IA),H (M IA) d(B;(MIA)) BH⊥ ∈ ⇒ = . Tam giác MBI vuông tại B có đường cao BH , ta có : a BI ,MB 2a 2 = = nên : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 17 BH BI MB a 4a 4a 2a 17 4a BH BH 17 17 = + = + = ⇒ = ⇒ = Giáo Viên - 8 - ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC : 2010 - 2011 ĐỀ 4 ( Thời gian làm bài 90 phút ) Câu I ( 1,0 điểm ) Cho cấp số nhân ( n u ) có 4 6 3 5 u u 120 u u 60 + = −   + =  .Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân . Câu II ( 3,0 điểm ) l. Chứng minh rằng dãy số ( n u ) với 2 n 2 n 1 u 2n + = là một dãy số giảm và bị chặn . m. Tìm giới hạn sau : 2 x 2 x 5 3 lim x 2 → + − − c. Cho hàm số 2 ax 2 f (x) n 2  ≤ =  − >  nÕu x 2x 1 Õu x .Tìm giá trị của a để hàm số f(x) liên tục trên ¡ . Câu III ( 3,0 điểm ) j. Tìm đạo hàm của hàm số 3 y tan x= . k. Tính gần đúng giá trị sin 29 o . c. Chứng minh rằng phương trình 2 cos x x− = 0 có ít nhất một nghiệm . Câu IV ( 3,0 điểm ) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác đều cạnh a , AA’ vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AA’ = a 2 2 . Gọi O và O’ lần lượt là trung điểm của AB và A’B’ . h. Chứng minh rằng : AB ⊥ mp(COO’) . b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB’ . . . . . . . . .Hết . . . . . . . HƯỚNG DẪN Câu I ( 1,0 điểm ) Gọi 1 u là số hạng đầu , q là công bội của cấp số nhân . Áp dụng công thức : n 1 n 1 u u .q − = , ta có : 3 5 3 2 1 1 1 4 6 2 4 2 2 3 5 1 1 1 u .q u .q 120 u .q (1 q ) 120 (1) u u 120 u u 60 u .q u .q 60 u .q (1 q ) 60 (2)   + = − + = − + = −    ⇔ ⇔    + =    + = + =   Lấy (1) chia (2) , ta được : q 2= − . Thay q 2= − vào (2) : 2 1 1 u .q (1 4) 60 u 3+ = ⇔ = Vậy cấp số nhân này có 1 u 3, q 2= = − . Câu II ( 3,0 điểm ) b. ( 1đ ) Ta có : n 2 1 1 u 2 2n = + . Suy ra : + n 1 n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 u u ( ) ( ) 0, n 1 2 2 2(n 1) 2n 2(n 1) 2n + − = + − + = − < ∀ ≥ + + . Suy ra ( n u ) là dãy số giảm . + Vì n 1 u 1 2 < ≤ ∀ ≥ , n 1 nên ( n u ) là một dãy số bị chặn . b. (1đ ) 2 2 2 2 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 3 x 5 9 x 4 x 2 2 lim lim lim lim x 2 3 (x 2)( x 5 3) (x 2)( x 5 3) x 5 3 → → → → + − + − − + = = = = − − + + − + + + + Giáo Viên - 9 - ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC : 2010 - 2011 c. (1đ) Tập xác định D = ¡ + Nếu x 2< thì 2 f (x) ax= là hàm số liên tục trên ( ;2)−∞ với a ∈ ¡ + Nếu x 2> thì f (x) 2x 1= − là hàm đa thức nên liên tục trên (2; )+∞ Do đó : hàm số f(x) liên tục trên ¡ ⇔ hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 3 lim f (x) lim f (x) f (2) lim (2x 1) lim ax 3 4a a 4 + − + − → → → → ⇔ = = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = Vậy với 3 a 4 = hàm số đã cho liên tục ¡ Câu III ( 3,0 điểm ) a. (1đ) Ta có : 3 3 2 2 2 2 3 3 3. tan x 1 1 1 1 1 y tan x y' .(tan x)' .3tan x. .3tan x. 2 tan x cos x cos x 2cos x 2 tan x 2 tan x = ⇒ = = = = b. (1,0đ) Áp dụng công thức : o o o f '(x x) f (x ) f '(x ). x+ ∆ ≈ + ∆ Phân tích : 29 30 1 ( ) 6 180 π −π = − = + o o o . Chọn : o x , x = 6 180 π −π = ∆ Đặt f(x) = sinx , ta có : 1 3 f '(x) cosx , f( ) sin , f '( ) cos 6 6 2 6 6 2 π π π π = = = = = Suy ra : 1 3 sin 29 sin[ ( )] f[ ( )] f ( ) f '( ).( ) . 0,9954 6 180 6 180 6 6 180 2 2 180 π −π π −π π π −π −π = + = + ≈ + ≈ + ≈ o Vậy : sin 29 0,9954≈ o d) (1,0đ) Xét hàm số : f(x) = 2 cos x x− liên tục khi x 0 ≥ . Ta có : f(0) = 1 , f( 2 π ) = 2 π − < 0 nên đã cho có ít nhất một nghiệm . Câu IV ( 3,0 điểm ) j. (1đ) Ta có : ∆ ABC đều nân AB ⊥ CO . Mặt khác : AB OO'⊥ . Vì OO’ // AA’ và AA’ ⊥ (ABC) Suy ra : AB (COO ')⊥ k. (2đ) + Xác định : Ta có (CB’O’) chứa CB’ và song song với AB . Do đó : Khoảng cách giữa AB và CB’ bằng khoảng cách giữa AB và (CB’C’) . Vậy : d[AB;CB’] = d[AB,(CB’O’)] = d [O, (CB’C’)] Ta có : AB (COO') ( câu 1) O'B' (COO') (CO'B') (COO') O'B' (COO') ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  Do đó khi kẻ OH ⊥ O’C thì OH ⊥ (CO’B’) , H (COO')∈ + Tính khoảng cách : Tam giác COO’ vuông tại O . có đường cao là OH nên 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 2 10 OH OC OO' 3a a 3a a 30 3a OH OH 10 10 = + = + = ⇒ = ⇒ = Vậy : d(AB,CB’) = OH = a 30 10 Bài 1:Tìm các gi i h n sau:ớ ạ Giáo Viên - 10 - [...]... SC d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SC và BD; SC và AD e) Dựng và tính diện tích thiết diện của hình chóp và mặt phẳng qua A, vuông góc với SC Bi 10 Hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a, nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau I là trung điểm của AB a) Chứng minh tam giác SAD vuông Tính góc giữa (SAD) và (SCD) b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và BC c) Gọi... ABCD là hình vuông cạnh a, các mặt bên là các tam giác đều a) Xác định và tính góc giữa:- mặt bên và đáy - SC và (SBD) - cạnh bên và đáy - (SAB) và (SCD) b) Tính khoảng cách giữa SO và CD; CS và DA c) Gọi O là hình chiếu của O lên (SBC) Giả sử ABCD cố định, chứng minh khi S di động nhng SO ( ABCD ) thì O luôn thuộc một đờng tròn cố định Bi 12 Cho hình chóp S.ABC có (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC),... S.ABC có (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông cân tại C AC = a; SA = x a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC) b) Chứng minh ( SAC) ( SBC) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC) (O là trung điểm của AB) d) Xác định đờng vuông góc chung của SB và AC Bi 13 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a M, N, E lần lợt... ễN TP KIM TRA HK2 LP 11NC NM HC : 2010 - 2011 b) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng 5 x y + 2008 = 0 c) Tiếp tuyến đi qua điểm M (2; 4) d) Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất Bi 8: Cho hm s : 1 1 y = x 3 vit phng trỡnh tip tuyn ca th ti giao im ca nú vi Oy 3 3 4 2 Bi 7: Cho hm s y = x 4x + 4 Lp phng trỡnh tip tuyn ca th hm s qua M(0;4) Bi 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA...ễN TP KIM TRA HK2 LP 11NC NM HC : 2010 - 2011 a) lim n +1 4 n +1 + n b)lim x 2 + 2x 15 Bi 2 a)lim x 3 x 3 x2 4 x 2 5x + 6 lim x 1 2 x 5 b)lim x 5 e) xlim1 c) ( n 2 + 5n n ) 3n + 2 3.5n +1 f) lim 4.5n + 5.3n... nh gúc gia SC v (AHK) Bi 15: Cho hỡnh chúp S.ABCD ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v D; CD = 2a; AB = AD = a; SD (ABCD) v SB to vi ỏy (ABCD) gúc a) Xỏc nh gúc Giỏo Viờn - 12 - Bi 16: ễN TP KIM TRA HK2 LP 11NC NM HC : 2010 - 2011 b) Tớnh tang ca gúc gia SA v ỏy theo a v Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a.SA (ABCD); SA = a 6 Tớnh gúc gia SC v (ABCD) Giỏo Viờn - 13 - . ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC : 2010 - 2011 ĐỀ 1 ( Thời gian làm bài 90 phút ) Câu I ( 1,0 điểm ) Một cấp số cộng có số hạng đầu là 16 , công. SAC vuông tại A , ta có : · · a 6 SA 3 3 tanSCA SCA 30 AC 3 a 2 = = = ⇒ = o Giáo Viên - 4 - ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC : 2010 - 2011 ĐỀ 2