Sở GD & ĐT thanh hóa Đềthi học sinh giỏi lớp 10 Trờng THPT Đông Sơn I Năm học 2007 - 2008 --------***-------- Môn thi : Toán Ngày thi: 04 / 05/ 2008 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề -------------------------***----------------------------- Câu 1: (2 điểm) Cho 3)1(2)( 22 ++= mxmxxf . Tìm m để f(x) có hai nghiệm phân biệt 21 , xx thỏa mãn 2 2 12 3 21 2 21 3 1 44 xxxxxxxx +=+ . Câu 2: (2 điểm) Giải hệ phơng trình =++ =+ 42 3)2( 2 yxx xxy Câu 3: (2điểm) Cho 3cottan =+ aa , Tính giá trị của biểu thức a a aa a a A 2 3 2 3 cos cot cos.sin 1 sin tan += Câu 4: (2điểm) Giải bất phơng trình sau: xxxx 25442 22 +++ Câu 5: (2điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC lần lợt ứng với các góc A, B, C. Chứng minh rằng nếu = = + + Cba a acb acb cos2 2 333 thì tam giác ABC đều. Câu 6: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề các vuông góc Oxy, cho elip 225259:)( 22 =+ yxE , gọi F 1 , F 2 là hai tiêu điểm của (E). Tìm toạ độ điểm M thuộc (E) sao cho MFMF 21 . Câu 7: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề các vuông góc Oxy cho hai đờng tròn 01686:)( và 054:)( 22 2 22 1 =++=+ yxyxCyyxC . Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờng tròn. Câu 8: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề các vuông góc Oxy cho hai điểm A(1 ; 1) và B(4 ; -3). Tìm điểm C thuộc đờng thẳng x 2y 1= 0 sao cho khoảng cách từ C đến đờng thẳng AB bằng 6. Câu 9: (2điểm) Cho n + 2 số dơng 221 , .,, + n aaa thoả mãn 2211 , ++ == nn aaaa , na n k k = 1 . Chứng minh rằng: = ++ + n k kk k n aa a 1 21 2 2 . Câu 10: (2 điểm) Tìm m để hệ bất phơng trình sau có nghiệm +++ =+ myx yx 35 3 ----------------Hết---------------- Họ và tên thí sinh :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh :. . . . . . . Trờng THPT Đông Sơn 1 kì thi chọn học sinh giỏi lớp 10 Năm học 2007 - 2008 Hớng dẫn chấm môn toán Câu Nội dung Điểm 1 Điều kiện để f(x) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 20)3()1(' 22 >>+= mmm 2 2 12 3 21 2 21 3 1 44 xxxxxxxx +=+ 0,5 Biến đổi 2 2 12 3 21 2 21 3 1 44 xxxxxxxx +=+ 0]42))[(( 21 2 2121 =+ xxxxxx 0,75 Do 21 xx = = =+=+ (loại) 3 1 04)3(2)]1(2[042)( 22 21 2 21 m m mmxxxx 0,5 Đáp số m = - 1 0,25 2 =++ =+ =++ =+ 42 3)2( 42 3)2( 2 2 2 yxx yxx yxx xxy 0,5 Suy ra yxx ,2 2 + là nghiệm của phơng trình = = =+ 3 1 034 2 X X XX 0,5 Suy ra = =+ 3 12 2 y xx hoặc = =+ 1 32 2 y xx 0,5 Hệ phơng trình có 4 nghiệm = = 3 21 y x ; = = 1 3 y x ; = = 1 1 y x 0,5 3 Do 3cottan =+ aa >2 nên a tồn tại Biến đổi )tan1(cot cossin cossin )cot1(tan 23 22 22 aa aa aa aaA ++ + += 1,0 aaaaaa cotcot)cot(tantantan 33 ++++= 0,5 183.33)cot(tancottan3)cot(tan 33 ==++= aaaaaa 0,5 4 Điều kiện Rxxx ++ 0442 2 0,25 Đặt 0,442 2 ++= txxt ta có bất phơng trình 05 2 4 2 + t t 0,5 + + 151 (loại) 151 0142 2 t t tt 0,5 2 + Với + ++++ 1571 1571 151442151 2 x x xxt 0,5 Vậy bất phơng trình có tập nghiệm );1571[]1571;( ++= S 0,25 5 Ta có 2222332 333 )( acbcbcbacba acb acb =++=+= + + 0,5 0 222 60 2 1 cos 2 1 2 === + AA bc acb (1) 0,5 cbcb ab cba baCba == + == 0 2 2cos2 22 222 (2) 0,75 Từ (1) và (2) ta suy ra tam giác ABC đều 0,25 6 Ta có 1 925 :)( 22 =+ yx E suy ra 16925 222 === bac 0,25 Do tam giác 21 MFF vuông tại M nên ccFFOM === 2 2 1 2 1 21 0,5 Gọi );( 00 yxM . Ta có =+ =+ = 225259 16 )( 2 0 2 0 2 0 2 0 22 yx yx EM cOM 0,5 = = = = 4 9 4 75 16 81 16 175 0 0 2 0 2 0 y x y x 0,5 Vậy có 4 điểm cần tìm = 4 9 ; 4 75 M 0,25 7 (C 1 ) có tâm I 1 (0; 2), bán kính R 1 = 3; (C 2 ) có tâm I 2 (3; 4), bán kính R 2 = 3; 0,25 Ta có 21212121 13 RRIIRRII +<<= (C 1 ) và (C 2 ) là hai đờng tròn cắt nhau và có bán kính bằng nhau nên chúng có đúng hai tiếp tuyến chung, hai tiếp tuyến này song song với đờng thẳng đi qua I 1 và I 2 . 0,5 )2;3( 21 = II , tiếp tuyến cần tìm có phơng trình dạng: 032 =+ cyx 0,5 Ta có 1363 94 60 );( 11 == + + = c c RId 0,5 Vậy phơng trình tiếp tuyến chung (C 1 ) và (C 2 ) là 013632 =++ xx 0,25 3 8 Đờng thẳng AB có phơng trình 0734 13 1 14 1 =+ = yx yx 0,25 Do C thuộc đờng thẳng x 2y 1= 0 nên C = (2c + 1; c) 0,25 Ta có = = == + ++ = 11/27 3 303116 34 73)12(4 6);( 22 c c c cc ABCd 0,75 + Với )3;7(3 == Cc + Với == 11 27 ; 11 43 11/27 Cc 0,5 Vậy có hai điểm )3;7( = C ; = 11 27 ; 11 43 C 0,25 9 áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có k kk kk kkk kk k a aa aa aaa aa a = + + + + + ++ ++ ++ ++ 4 2 4 21 21 2 21 21 2 với k = 1 ;2 ; . ; n 0,5 Suy ra == ++ = ++ + + + n k k n k kk n k kk k a aa aa a 11 21 1 21 2 4 0,5 = ++ = ++ ++++ + + n k k nn n k kk k a aaaa aa a 1 2132 1 21 2 4 2 .2 0,5 22 1 11 21 2 n a aa a n k k n k kk k = + == ++ 0,25 Dấu = xảy ra khi 1 . 21 ==== n aaa 0,25 10 Đặt yvxu == , , điều kiện 0 u, v 3. Ta có hệ +++ =+ mvu vu 35 3 22 0,25 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta chọn hai vectơ )3;(),5;( vbua == 0,5 áp dụng bất đẳng thức baba ++ ta đợc 15217)35()(35 2222 +=++++++ vuvu 0,5 Đẳng thức xảy xa khi ba, cùng hớng, tức là + = + = = =+ 53 33 53 53 35 3 v u vu vu Khi đó + = + = 1528 9 1528 45 y x . 0,25 Hệ bất phơng trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m lớn hơn hoặc bằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức 35 22 +++ vu với điều kiện =+ 3,0 3 vu vu 0,25 4 Vậy các giá trị m cần tìm là 15217 + m 0,25 Chú ý : - Hớng dẫn chấm có 03 trang - Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5 - Thí sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa 5 . GD & ĐT thanh hóa Đề thi học sinh giỏi lớp 10 Trờng THPT Đông Sơn I Năm học 2007 - 2008 --------***-------- Môn thi : Toán Ngày thi: 04 / 05/ 2008 Thời. = = + + Cba a acb acb cos2 2 333 thì tam giác ABC đều. Câu 6: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề các vuông góc Oxy, cho elip 225259:)( 22 =+ yxE , gọi