de cuong toan 6 9148

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG TOÁN HK I A SỐ HỌC Dạng Thực phép tính: Bài 1: Thực phép tính hợp lý a 18.7 + 65: 13 b 785 − (323 + 148): + 2784 c 703 − 140: (42 + 28) − 176 179 : 1713 d 135.32 − 32 130 e (23 94 + 93 45): (92 10 − 92 ) f (20.24 + 12.24 − 48.22 ): 82 PP giải: với dạng thực phép toán cần ý thứ tự thực phép tính: + Trong ngoặc trước → ngồi ngoặc sau +thứ tự: ( ) → [ ] → { } + Lũy thừa → Nhân, chia → cộng, trừ Với dạng tốn tính ta nên hướng cách tính nhanh, tính nhanh gì? Là ta thực phép phân phối phép nhân phép cộng để ghép cặp số lại cho tròn chục, tram, ngìn,… việc tính tốn dễ dàng thuận lợi • Phép tốn cần lưu ý đặc biệt: 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑐 = 𝑎(𝑏 + 𝑐) 𝑣𝑑1: 37.42+42.63=42(37+63)=42.100=4200 Vd2: 23.144-44.23=23(144-44)=23.100=2300 *Lưu ý: Phép phân phối áp dụng với phép trừ ( phép trừ thực chất cộng cới số đối – khơng giải thích điều với bé chưa học qua số nguyên âm) a 18.7 + 65: 13 = 126 + = 131 (323 + 148) (785 + 2784) − 471: b 785 − : + 2784 = ⏟ ⏟ = 3569 − 157 = 3412 { ⏟ 𝑡ℎự𝑐 ℎ𝑖ệ𝑛 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑛𝑔𝑜ặ𝑐 𝑡𝑟ướ𝑐 𝑐ℎ𝑖𝑎 𝑡𝑟ướ𝑐 𝑘ế𝑡 ℎợ𝑝 𝑙ạ𝑖 Lưu ý: Việc thực phép kết hợp để lời giải nhanh, dấu = nên khơng có điểm đặc biệt nên bé không kết hợp khơng sao, khơng nên q ép buộc khiến trẻ tư sợ tốn điều vượt ngồi khả suy nghĩ khiến bé sợ bé làm xong nên gợi ý để bé làm theo cách để nâng cao tư (42 + 28) c 703 − 140: −⏟ 176 179 : 1713 = 703 − ⏟ 140: 70 − ⏟ 17 ⏟ 𝑛𝑔𝑜ặ𝑐 𝑡𝑟ướ𝑐 𝑝ℎé𝑝 𝑐ℎ𝑖𝑎 6+9 13 : 17 = 703 − − 𝑡ℎự𝑐 ℎ𝑖ệ𝑛 𝑡ừ𝑛𝑔 𝑏ướ𝑐 𝑡𝑟á𝑛ℎ 𝑏é 𝑟ố𝑖 703 − 289 = 414 d 135 ⏟2 − 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎 𝑡𝑟ướ𝑐 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎 𝑡𝑟ướ𝑐 ⏟2 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎 𝑡𝑟ướ𝑐 𝑐ℎ𝑖𝑎 𝑡𝑟ướ𝑐 𝑡𝑟ừ 15 13 17 : 17 ⏟ 𝑐ℎ𝑖𝑎 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎 𝑐ù𝑛𝑔 𝑐ơ 𝑠ố 17 ⏟2 = 701 − = 𝑡í𝑛ℎ 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎 𝑡𝑟ướ𝑐 (135 − 130) = 9.5 = 45 Lưu ý: 130 = ⏟ 135.9 − 9.130 = ⏟ 𝑝ℎé𝑝 𝑝ℎâ 𝑛𝑝ℎố𝑖 𝑛𝑔𝑜ặ𝑐 𝑡𝑟ướ𝑐 bé thực phép phân phối trước, đưa trước được, không khắt khe bước này, để trẻ tự tư bé làm xong nên gợi ý để bé làm theo cách để nâng cao tư Soạn: Nguyễn Thế Hiệp - HMU Page HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG TOÁN HK I e ⏟3 + 93 45 : (9 ⏟2 10 − 92 ) = ( 8.9 ⏟ 93 + 93 45) : [92 (10 − 1)] = 𝑡í𝑛ℎ 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎 𝑘ế𝑡 ℎợ𝑝 𝑙ạ𝑖 ⏟ ⏟ 𝑝ℎâ𝑛 𝑝ℎố𝑖 𝑡á𝑐ℎ 𝑟𝑎 để 𝑝ℎâ𝑛 𝑝ℎố𝑖 𝑛𝑔𝑜ặ𝑐 𝑡𝑟ướ𝑐 𝑐ℎ𝑖𝑎 ⏟ ( ) (72.93 - - f 94 𝑛𝑔𝑜ặ𝑐 𝑡𝑟ướ𝑐 𝑐ℎ𝑖𝑎 (92 + 45): 9) = [93 (72 + 45)]: 92+1 = 93 117: 93 = 93−3 117 = 90 117 = 117 Phân tích: +Đơi với tốn bé khơng làm theo cách mà bé làm theo cách tính tốn hết nhân chia thơng thường chứng tỏ bé chưa có tư duy, làm theo cách học vẹt, chưa có nhìn tổng qt tốn, cần phải phân tích kỹ hướn giải câu để bé học tập cách làm nâng cao tư Bài không nhân mà nghĩ tới tách để phân phối biểu thức ngoặc phía sau có lũy thừa 9, mà thực phép chia nên nghĩ tới rút gọn lũy thừa nên ta không nhân hay khai triển lũy thừa mà đem tách để triệt tiêu qua phép chia, bước lại tính tốn thơng thường, có điều cần lưu ý (20.2 + 12.24 ⏟ − 48.22 ): 82 = [(20.22 ) 22 + (12.22 ) 22 − 48.22 ]: 82 = ⏟ 𝑡á𝑐ℎ để 𝑝ℎâ𝑛 𝑝ℎố𝑖 𝑡á𝑐ℎ để 𝑝ℎâ𝑛 𝑝ℎố𝑖 (20.4.2 ⏟ + 12.4.22 − 48.22 ): 82 = [22 (80 + 48 − 48)]: 82 = 80.4: 64 = 𝑝ℎâ𝑛 𝑝ℎố𝑖 - Phân tích: Ở cần lưu ý việc tách để xuất nhân từ chung sau rút gọn, nhiều bạn nhìn thấy tách 12.24 − 48.22 = nên gộp số hạng lại Bài 2: Thực phép tính a 1024: 25 + 140: (38 + 25 ) − 723 : 721 b 35.55 − 185.11 + 121.5 c 98.42 − 50[(18 − 23 ): + 32 ] d 407 − [(190 − 170): + 9]: e (23.36 − 17.36): 36 f 3.52 − 27: 32 + 52 − 18.32 a ⏟ 1024 : 25 + 140: (38 + đổ𝑖 𝑣ề 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎 23−21 32) − 10−5 =2 PP làm: dạng thuộc xong đòi hỏi kỹ biến đổi cao hơn, thực linh hoạt Yêu cầu: - thành thạo phép phân phối (nhìn+ áp dụng) - Linh hoạt biến đổi chiều CT: 𝑎𝑛 = 𝑘 Vd: 25 = 32, 32 = 25 1024 = 210 , 210 = 1024 122 = 144, 144 = 122 - Linh hoạt việc tách số hạng để tìm thấy thừa số chung Vd: 36.55 − 185.11 + 121.5 = (36.5) 11 − 185.11 + 11 (11.5) = 11(180 − 185 + 55) = 11.50 = 550 ⏟5 ⏟23 : 721 )− 𝑡í𝑛ℎ 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎 = 210 : 25 + 140: (38 + 𝑐ℎ𝑖𝑎 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎 𝑐ù𝑛𝑔 𝑐ơ 𝑠ố +⏟ 140: 70 + ⏟ 𝑐ℎ𝑖𝑎 𝑡í𝑛ℎ 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎 = ⏟ + + 49 = 32 + 52 = 84 𝑡í𝑛ℎ 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎 b 36.55 ⏟ − 185.11 + 121.5 ⏟ = (36.5) 11 − 185.11 + 11 (11.5) = 11(180 − 185 + 55) = 𝑡á𝑐ℎ 𝑡á𝑐ℎ 11.50 = 550 Soạn: Nguyễn Thế Hiệp - HMU Page HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG TOÁN HK I ⏟3 c 98.42 ⏟ − 50 [(18 − 𝑡í𝑛ℎ 𝑡í𝑛ℎ 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎 ⏟2 ):2 + ] = 4116 − 50 [( 18 ⏟−8 ) : + 9] = 𝑡í𝑛ℎ 𝑛𝑔𝑜ặ𝑐 𝑡𝑟ướ𝑐 𝑡í𝑛ℎ 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎 4116 − 50 (10: ⏟2 + 9) = 4116 − 50 (5 + 9) = 4116 − 50.14 ⏟ = 4116 − 700 = 3416 𝑡í𝑛ℎ 𝑐ℎ𝑖𝑎 d 407 − (190 ⏟ − 170) : + : = 407 − [20: ⏟4 + 9] : = 407 − [5 + 9]: = 407 − 14: = ⏟ 𝑡í𝑛ℎ 𝑐ℎ𝑖𝑎 [𝑛𝑔𝑜ặ𝑐 𝑡𝑟ò𝑛 𝑡𝑟ướ𝑐 ] 407 − = 400 e (23.36 ⏟ − 17.36) : 36 = [36 (23 − 17)]: 36 = 𝑝ℎâ𝑛 𝑝ℎố𝑖 f [36.5]: 36 ⏟ = (36: 36) = 𝑔𝑖𝑎𝑜 ℎ𝑜á𝑛+𝑘ế𝑡 ℎợ𝑝 3.52 − 27: 32 + 52 − 18: 32 = (3.5 ⏟ ⏟ + 52 4) − (27: ⏟ 32 + 18: 32 ) = ⏟2 (3 + 4) − 𝑔𝑖𝑎𝑜 ℎ𝑜á𝑛+𝑘ế𝑡 ℎợ𝑝 𝑝ℎâ𝑛 𝑝ℎố𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑝ℎố𝑖 𝑡í𝑛ℎ (27 + 18): ⏟2 = 7.25 − 45: = 175 − = 170 𝑡í𝑛ℎ Chú ý: khơng có phép phân phối phép chia phép cộng ta hiểu phép chia nhân với nghịch đảo nên hồn tồn áp dụng phép phân phối cho phép chia Bài 3: Thực phép tính hợp lý: a [461 + (−78) + 40] + (−461) b [53 + (−76)] − [−76 − (−53)] c −564 + [(−724) + 564 + 224] d −87 + (−12) − (−487) + 512 e 942 − 2567 + 2563 − 1492 f 17 + (−20) + 23 + (−26) + ⋯ + 53 + (−56) g 1152 − (374 + 1152) + (−65 + 374) h −2005 + (−21 + 75 + 2005) PP giải: dạng tập tính tốn tập số ngun, việc tính nhanh giống với số tự nhiên Yêu cầu: - thành thạo phép toán tập số nguyên (cộng, trừ, nhân,chia) - Thành thục phép giao hoán kết hợp để đưa giá trị tròn chục, trăm, nghìn Vd: [461 + (−78) + 40] + (−461) = [461 + (−461)] + (−78 + 40) = + (−38) = −38 - Thành thạo quy tắc phá ngoặc: phía trước có dấu trừ đổi dấu số hạng ngoặc trước ngoặc có dấu cộng giữ nguyên dấu số hạng a [461 ⏟ + (−78) + 40] + (−461) = [461 ⏟ + (−461)] + (−78 + 40) = + (−38) = −38 𝑔𝑖𝑎𝑜 ℎ𝑜á𝑛+𝑘ế𝑡 ℎợ𝑝 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑠ố đố𝑖=0 [53 + (−76)] − b [53 + (−76)] − [−76 −(−53) ]= ⏟ ⏟ đổ𝑖 𝑑ấ𝑢 𝑝ℎá 𝑛𝑔𝑜ặ𝑐 𝑐ó 𝑑ấ𝑢+ [−76 + 53] ⏟ = 𝑝ℎá 𝑛𝑔𝑜ặ𝑐 𝑐ó 𝑑ấ𝑢− 53 + (−76) + 76 − 53 = (53 − 53) + (−76 + 76) = ⏟ 𝑔𝑖𝑎𝑜 ℎ𝑜á𝑛+𝑘ế𝑡 ℎợ𝑝 Soạn: Nguyễn Thế Hiệp - HMU Page HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG TOÁN HK I [(−724) + 564 + 224] = ⏟ c −564 + ⏟ −564 + (−724) + 564 + 224 = (−564 ⏟ + 564) + 𝑝ℎá 𝑛𝑔𝑜ặ𝑐 𝑐ó 𝑑ấ𝑢+ 𝑔𝑖𝑎𝑜 ℎ𝑜á𝑛+𝑘ế𝑡 ℎợ𝑝 𝑐ộ𝑛𝑔 𝑠ố 𝑑ố𝑖 (−724 + 224) = −500 d −87 + (−12) −(−487) + 512 = ⏟ −87 + (−12) + 487 + 512 = (−87 + 487) + (−12 + ⏟ đổ𝑖 𝑑ấ𝑢 𝑔𝑖𝑎𝑜 ℎ𝑜á𝑛+𝑘ế𝑡 ℎợ𝑝 512) = 400 + 500 = 900 e ⏟ 942 − 2567 + 2563 − 1942 = (942 − 1942) + (2563 − 2567) = −1000 − = −1004 𝑔𝑖𝑎𝑜 ℎ𝑜á𝑛+𝑘ế𝑡 ℎợ𝑝 f 17 + (−20) + 23 + (−26) + ⋯ + 53 + (−56) = [17 + (−20)] + [23 + (−26)] + ⋯ + [53 + (−56)] = ⏟ −3 + (−3) + ⋯ + (−3) = (−3) = −21 𝑠ố (374 + 1152) + ⏟ (−65 + 374) = ⏟ g 1152 − ⏟ 1152 − 374 − 1152 + (−65) + 374 = 𝑝ℎá 𝑛𝑔𝑜ặ𝑐 𝑝ℎá 𝑛𝑔𝑜ặ𝑐 𝑔𝑖𝑎𝑜 ℎ𝑜á𝑛+𝑘ế𝑡 ℎợ𝑝 (1152 − 1152) + (374 − 374) + (−65) = −65 (−21 + 75 + 2005) = ⏟ h −2005 + ⏟ −2005 + (−21) + 75 + 2005 = (−2005 + 2005) + 𝑝ℎá 𝑛𝑔𝑜ặ𝑐 𝑔𝑖𝑎𝑜 ℎ𝑜á𝑛+𝑘ế𝑡 ℎợ𝑝 (−21 + 75) = 54 Dạng 2: Tìm x Bài 4: Tìm 𝑥 ∈ 𝑁 cho: a (𝑥 + 1)2 = b 72𝑥−6 = 49 c (2𝑥 − 16)7 = 128 d 565 − 13𝑥 = 370 e 105 − (135 − 7𝑥): = 97 f 275 − (113 + 𝑥) + 63 = 158 g [ (𝑥 + 2): 7] = 120 h 𝑥(𝑥 − 1) = i (𝑥 + 2)(𝑥 − 4) = j (𝑥 − 140): = 33 − 23 k 𝑥 𝑥 = 28 : 23 l 3𝑥−3 − 32 = 2.32 PP giải: dạng tìm x dạng phong phú, cần ý số điếu sau: - 𝑥 = → 𝑥 = (𝑣ớ𝑖 𝑥 ∈ 𝑁) - 𝑥 = 73 → 𝑥 = 𝑎=0 - 𝑎 𝑏 = ↔ [ 𝑏=0 - Chú ý, ab=0, a>0  b=0 Các dạng khác làm thông thường a (𝑥 + 1)2 = ↔ 𝑥 + = ↔ 𝑥 = − ↔ 𝑥 = m 72𝑥−6 = 49 ↔ 72𝑥−6 = 72 ↔ 2𝑥 − = ↔ 2𝑥 = + ↔ 2𝑥 = ↔ 𝑥 = 8: ↔ 𝑥 = n (2𝑥 − 16)7 = 128 ↔ (2𝑥 − 16)7 = 27 ↔ 2𝑥 − 16 = ↔ 2𝑥 = 16 + ↔ 2𝑥 = 18 ↔ 𝑥 = 18: ↔ 𝑥 = o 565 − 13𝑥 = 370 ↔ 13𝑥 = 565 − 370 ↔ 13𝑥 = 195 ↔ 𝑥 = 195: 13 ↔ 𝑥 = 15 p 105 − (135 − 7𝑥): = 97 ↔ (135 − 7𝑥): = 105 − 97 ↔ (135 − 7𝑥): = ↔ 135 − 7𝑥 = 8.9 ↔ 135 − 7𝑥 = 72 ↔ 7𝑥 = 135 − 72 ↔ 7𝑥 = 63 ↔ 𝑥 = 63: ↔ 𝑥 = (113 + 𝑥) + 63 = 158 ↔ (275 + 63) − 113 − 𝑥 = 158 ↔ 338 − 113 − 𝑥 = 158 ↔ q 275 − ⏟ 𝑝ℎá 𝑛𝑔𝑜ặ𝑐 ⏟ 𝑔𝑖𝑎𝑜 ℎ𝑜á𝑛+𝑘ế𝑡 ℎợ𝑝 225 − 𝑥 = 158 ↔ 𝑥 = 225 − 158 ↔ 𝑥 = 67 Soạn: Nguyễn Thế Hiệp - HMU Page HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG TOÁN HK I r s t u v a [ (𝑥 + 2): 7] = 120 ↔ (𝑥 + 2): = 120: ↔ 3(𝑥 + 2): = 30 ↔ 3(𝑥 + 2) = 30.7 ↔ 3(𝑥 + 2) = 210 ↔ (𝑥 + 2) = 210: ↔ 𝑥 + = 70 ↔ 𝑥 = 70 − ↔ 𝑥 = 68 𝑥=0 𝑥(𝑥 − 1) = ↔ [ 𝑥−1=0↔𝑥 =1 (𝑥 + 2)(𝑥 − 4) = 0, 𝑑𝑜 𝑥 ∈ 𝑁, 𝑛ê𝑛 𝑥 + > → 𝑥 − = ↔ 𝑥 = (𝑥 − 140): = 33 − 23 ↔ (𝑥 − 140): = 3(32 − 23 ) ↔ (𝑥 − 140): = ↔ 𝑥 − 140 = 3.7 ↔ 𝑥 − 140 = 21 ↔ 𝑥 = 140 + 21 ↔ 𝑥 = 161 𝑥 𝑥 = 28 : 23 ↔ 𝑥 3+2 = 28−3 ↔ 𝑥 = 25 ↔ 𝑥 = 3𝑥−3 − 32 = 2.32 ↔ 3𝑥−3 = 32 + 32 ↔ 3𝑥−3 = 32 (1 + 2) ↔ 3𝑥−3 = 3.32 ↔ 3𝑥−3 = 33 ↔ 𝑥−3=3↔𝑥 =3+3↔𝑥 =6 Bài 5: Tìm 𝑥 ∈ 𝑁 cho a 𝑥 ⋮ 15; 𝑥 ⋮ 20 𝑣à 50 < 𝑥 < 70 b 30⋮ 𝑥; 45 ⋮ 𝑥 𝑣à 𝑥 > 10 c 9⋮ (𝑥 + 2) d (𝑥 + 17) ⋮ (𝑥 + 3) PP giải: dạng Ước Bội, cần nắm vững kiến thức chúng - Nắm vững tính chất chia hết 𝑥 ⋮ 15 a Do { → 𝑥 ∈ 𝐵𝐶(15,20) 𝑥 ⋮ 20 Ta có: 15 = 3.5 𝑣à 20 = 22 → 𝐵𝐶(15,20) = 22 3.5 = 60 Do đó: 𝑥 = 60𝑘, 𝑣ớ𝑖 𝑘 ∈ 𝑁 Do 50 < 𝑥 < 70 → 50 < 60𝑘 < 70 → 𝑘 = ℎ𝑎𝑦 𝑥 = 60 30 ⋮ 𝑥 b Do { → 𝑥 ∈ Ư(𝑈𝐶𝐿𝑁(30,45)) 45 ⋮ 𝑥 Ta có: 30 = 2.3.5 𝑣à 45 = 32 → 𝑈𝐶𝐿𝑁(30,45) = 3.5 = 15 Do đó: 𝑥 ∈ 𝑈(15) Mà 𝑥 > 10 → 𝑥 = 15 c Ta có: ⋮ (𝑥 + 2) → 𝑥 + ∈ 𝑈(9) = {1,3,9} 𝑥 ∈ 𝑁 𝑛ê𝑛 𝑥 + ≥ 𝑛ê𝑛 𝑥 + ∈ {3,9} Ta có bảng sau: x+2 x d Ta có: (𝑥 + 17) ⋮ (𝑥 + 3) 𝑛ê𝑛 (𝑥 + 17) − (𝑥 + 3) ⋮ (𝑥 + 3) → 14 ⋮ (𝑥 + 3) Do 𝑥 + ∈ 𝑈(14) = {1,2,7,14} Mà 𝑥 ∈ 𝑁 → 𝑥 + ≥ → 𝑥 ∈ {7; 14} x+3 x Bài 6: Tìm 𝑥 ∈ 𝑍 biết: a |𝑥| = 1005 b |𝑥| + 15 = 22; 𝑥 > c |𝑥| + 12 = 25; 𝑥 < d |3𝑥 − 15| = e |−𝑥 + 2| = Soạn: Nguyễn Thế Hiệp - HMU 14 11 Yêu cầu: nắm vững kiến thức sở trị tuyệt đối,quy tắc phá dấu trị tuyệt đối 𝑥, 𝑛ế𝑢 𝑥 ≥ |𝑥| = [ −𝑥, 𝑛ế𝑢 𝑥 < |𝑥| = ↔ [ 𝑥 = 𝑥 = −1 Page HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG TOÁN HK I f g h i |𝑥| = ↔ 𝑥 = |−𝑥 + |31 − (−89)|| = 14 |𝑥 + 1| + |𝑥 − 1| = |𝑥| < 5 < |𝑥| ≤ 𝑥 = 1005 a |𝑥| = 1005 ↔ [ 𝑥 = −1005 b |𝑥| + 15 = 22 ↔ |𝑥| = 22 − 15 ↔ |𝑥| = ↔ [ 𝑥=7 𝑥 = −7 Do 𝑥 > 𝑛ê𝑛 𝑥 = 𝑥 = 13 c |𝑥| + 12 = 25 ↔ |𝑥| = 25 − 12 ↔ |𝑥| = 13 ↔ [ 𝑥 = −13 Do 𝑥 < 𝑛ê𝑛 𝑥 = −13 d |3𝑥 − 15| = ↔ 3𝑥 − 15 = ↔ 3𝑥 = 15 ↔ 𝑥 = 15: ↔ 𝑥 = −𝑥 + = ↔ 𝑥 = − ↔ 𝑥 = −2 e |−𝑥 + 2| = ↔ [ −𝑥 + = −4 ↔ 𝑥 = + ↔ 𝑥 = f |−𝑥 + |31 ⏟ − (−89)|| = 14 ↔ |−𝑥 + |31 + 89|| = 14 ↔ |−𝑥 + 120| = 14 ↔ đổ𝑖 𝑑ấ𝑢 −𝑥 + 120 = 14 ↔ 𝑥 = 120 − 14 ↔ 𝑥 = 106 [ −𝑥 + 120 = −14 ↔ 𝑥 = 120 + 14 ↔ 𝑥 = 134 g |𝑥 + 1| + |𝑥 − 1| = |𝑥 + 1| = → 𝑥 ∈ {1, −3} →𝑥=1 { |𝑥 − 1| = → 𝑥 ∈ {1} |𝑥 + 1| = → 𝑥 = |𝑥 + 1| ≥ →𝑥=0 Mà { → { |𝑥 − 1| = → 𝑥 = |𝑥 − 1| ≥ |𝑥 + 1| = → 𝑥 ∈ {−1} → 𝑥 = −1 { [ |𝑥 − 1| = → 𝑥 ∈ {3; −1} Phân tích: Cần ý câu này, kiến thức lớp việc lập bảng xét dấu việc tương đối khó hiểu phức tạp với bé học nên cách dễ hiểu phù hợp với thời điểm tại, việc xét dấu nên thực bé học lực khá, giỏi rèn luyện nhiều HD cách lập bảng xét dấu: Lập bảng xét dấu: x -1 x-1 + x+1 + + |𝑥 − 1| = −(𝑥 − 1) = − 𝑥 𝑥−1 < • Nếu 𝑥 ≤ −1, ta có: { →{ |𝑥 + 1| = −(𝑥 + 1) = −𝑥 − 𝑥+1 ≤ Do (g)  − 𝑥 − 𝑥 − = ↔ −2𝑥 = ↔ 𝑥 = 2: (−2) = −1 (𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛 ≤ −1) • |𝑥 − 1| = −(𝑥 − 1) = − 𝑥 𝑥−1≤0 Nếu −1 < 𝑥 ≤ 1, ta có: { →{ |𝑥 + 1| = 𝑥 + 𝑥+1>0 Với 𝑥 ≤ −1, 𝑘ℎ𝑖 đó: { Do (g)  − 𝑥 + 𝑥 + = ↔ = 0( (𝑙𝑢ô𝑛 đú𝑛𝑔)) Mặt khác 𝑥 ∈ 𝑁, 𝑛ê𝑛 𝑥 = {0,1} Soạn: Nguyễn Thế Hiệp - HMU Page HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG TOÁN HK I • |𝑥 − 1| = 𝑥 − 𝑥−1>0 Nếu 𝑥 > 1, { →{ |𝑥 + 1| = 𝑥 + 𝑥+1>0 Do (g)  𝑥 + + 𝑥 − = ↔ 2𝑥 = ↔ 𝑥 = 2: ↔ 𝑥 = (𝑙𝑜ạ𝑖 𝑑𝑜 𝑘ℎô𝑛𝑔 > 1) h |𝑥| < → |𝑥| ∈ {0,1,2,3,4} → 𝑥 ∈ {0, ±1, ±2, ±3, ±4} i < |𝑥| ≤ → |𝑥| ∈ {6,7} → 𝑥 ∈ {±6; ±7} Bài 7: Tìm 𝑥 ∈ 𝑍 biết: a − (17 − 𝑥) = 289 − (36 + 289) b 25 + (𝑥 − 5) = −415 − (15 − 415) c (−𝑥) + (−62) + (46) = −14 d 484 + 𝑥 = −632 + (−584) e 17 − {𝑥 + [−𝑥 − (−𝑥)]} = −16 f 𝑥 − {[−𝑥 + (𝑥 + 3)]} − [(𝑥 + 3) − (𝑥 − 2)] = Yêu cầu: nắm vững phép toán tập số nguyên - Quy tắc phá dấu ngoặc - Quy tắc chuyển vế - Thứ tư thực phép tính - Cách tính nhanh ( nói phần trên) a − ( 17 ⏟ − 𝑥 ) = 289 − (36 ⏟ + 289) ↔ 3⏟− 17 + 𝑥 = ⏟ 289 − 36 − 289 ↔ (−14) + 𝑥 = 𝑝ℎá 𝑛𝑔𝑜ặ𝑐 𝑝ℎá 𝑛𝑔𝑜ặ𝑐 𝑡í𝑛ℎ 𝑔𝑖𝑎𝑜 ℎ𝑜á𝑛+𝑘ế𝑡 ℎợ𝑝 (289 − 289) − 36 ↔ −14 + 𝑥 = −36 ↔ 𝑥 = −36 + 14 ↔ 𝑥 = −22 b 25 + ( ⏟ 𝑥 − ) = −415 − (15 ⏟ − 415) ↔ 𝑝ℎá 𝑛𝑔𝑜ặ𝑐 𝑝ℎá 𝑛𝑔𝑜ặ𝑐 25 + 𝑥 − ⏟ =⏟ −415 − 15 + 415 ↔ 𝑔𝑖𝑎𝑜 ℎ𝑜á𝑛+𝑘ế𝑡 ℎợ𝑝 𝑔𝑖𝑎𝑜 ℎ𝑜á𝑛+𝑘ế𝑡 ℎợ𝑝 (25 − 5) + 𝑥 = (−415 + 415) − 15 ↔ 20 + 𝑥 = −15 ↔ 𝑥 = −15 − 20 ↔ 𝑥 = −35 (−62) + (46) = −14 ↔ −𝑥 + (−16) = −14 ↔ 𝑥 = −16 + 14 = −2 c (−𝑥) + ⏟ 𝑡í𝑛ℎ d 484 + 𝑥 = −632 + (−584) ↔ 484 + 𝑥 = −1216 ↔ 𝑥 = −1216 − 484 = 1700 ⏟ 𝑡í𝑛ℎ e 17 − {𝑥 + [−𝑥 −(−𝑥) −𝑥 + 𝑥 ]} = −16 ↔ 17 − {𝑥} = −16 ↔ 𝑥 = ]} = −16 ↔ 17 − {𝑥 + [ ⏟ ⏟ 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑠ố đố𝑖 𝑑ổ𝑖 𝑑ấ𝑢 17 + 16 ↔ 𝑥 = 33 f (𝑥 + 3) ] − [ ⏟ (𝑥 + 3) − ⏟ (𝑥 − 2) ] = ↔ 𝑥 − [ ⏟ 𝑥 − [−𝑥 + ⏟ −𝑥 + 𝑥 + 3] − [𝑥 + − 𝑥 + 𝑝ℎá 𝑛𝑔𝑜ặ𝑐 𝑝ℎá 𝑛𝑔𝑜ặ𝑐 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑠ố đố𝑖 𝑝ℎá 𝑛𝑔𝑜ặ𝑐 2] = ↔ 𝑥 − − = ↔ 𝑥 − = ↔ 𝑥 = Bài 8: Tìm x,y biết: |𝑥 − 2𝑦| + |𝑦 − 2005| = Yêu cầu: nắm vững kiến thức trị tuyệt đối Lưu ý: |𝑥| ≥ |𝑎| + |𝑏| = ↔ |𝑎| = |𝑏| = Do |𝑥 − 2𝑦| ≥ 𝑣à |𝑦 − 2005| ≥ 𝑛ê𝑛 Soạn: Nguyễn Thế Hiệp - HMU Page HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG TOÁN HK I |𝑥 − 2𝑦| = 𝑥 − 2𝑦 = 𝑥 = 2𝑦 = 2.2005 = 4010 (8)  { ↔{ ↔{ 𝑦 = 2005 𝑦 = 2005 |𝑦 − 2005| = Dạng 3: Toán thực tế PP chung: dạng tập Ước Chung Bội chung, cần để ý tới có phần thưởng chia cho học sinh số học sinh lớn nhất, số học sinh để số quà tức phải ước phần thưởng, chia cho hết tất học sinh Nó có nhiều biến thể phân tích cụ thể Bài 9: Người ta muốn chia 374 vở, 68 thước 340 nhãn thành số phần thưởng Hỏi chia nhiều phần thưởng, phân thưởng có vở, thước, nhãn Phân tích: muốn chia số vở, thước nhãn cho học sinh tức số phải chia hết cho số học sinh, số thước phải chia hết số thước phải chia hết cho  Có thể suy số học sinh ước số phần thưởng  Mặt khác số học sinh chia lớn nên số học sinh ước phải UCLN Gọi số học sinh phát quà 𝑥 (bạn, 𝑥 ∈ 𝑁) Vì số sách chia cho số học sinh nên: 374 ⋮ 𝑥 Số thước chia cho số học sinh nên: 68 ⋮ 𝑥 Số nhãn chia cho số học sinh nên: 340 ⋮ 𝑥  𝑥 ∈ 𝑈𝐶(374,68,340)  Vì số lượng học sinh nhận thưởng lớn nên 𝑥 = 𝑈𝐶𝐿𝑁((374,68,340) Ta có: 374 = 2.11.17 68 = 22 17 340 = 22 5.17  𝑥 = 𝑈𝐶𝐿𝑁(374,68,340) = 2.17 = 34 Vậy số học sinh nhiều nhận thưởng là: 34 bạn 𝑠ố 𝑣ở 𝑙à: 374: 34 = 11 (𝑞𝑢𝑦ể𝑛) Mỗi phần quà gồm có: { 𝑠ố 𝑡ℎướ𝑐 𝑙à: 68: 34 = (𝑐á𝑖) 𝑠ố 𝑛ℎã𝑛 𝑣ở 𝑙à: 340: 34 = 10 (𝑐á𝑖) Bài 10: Số học sinh khối trường xếp hàng 15,20,25 thiếu người Tính số học sinh khối trường biết số học sinh chưa đến 400 Soạn: Nguyễn Thế Hiệp - HMU Phân tích: chất giống có điều số HS xếp thành hàng 15,20,25 thiếu bạn tức bù thêm bạn vào số học sinh chia cho hàng đó,do số học sinh thêm bạn Bội Page HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG TOÁN HK I số hàng Ta tìm số nhỏ thỏa mãn BCNN Sau từ kiện số học sinh chưa đến 400 để ta tìm xác số học sinh ta biết Bội khơng biết gấp lần Gọi số học sinh trường 𝑥 (bạn, 𝑥 ∈ 𝑁) Vì số học sinh khối xếp hàng 15,20,25 thiếu bạn ta bù thêm bạn vào số học sinh xếp vào hàng, số học sinh 𝑥 + bạn Bội chung 15,20,25 Ta có: 15 = 3.5 20 = 22 25 = 52  𝐵𝐶𝑁𝑁(15,10,25) = 22 3.52 = 300  Do đó: 𝑥 + ∈ 𝐵(300) → 𝑥 + = 300 𝑘 (𝑘 ∈ 𝑁) Mà số lượng học sinh nhỏ 400 bạn nên: 𝑥 + < 400 + → 300 𝑘 < 401 → 𝑘 ≤ → 𝑘 = Vậy 𝑥 + = 300.1 = 300 𝑏ạ𝑛 Vậy thực tế số học sinh trường 299 bạn Bài 11: Một đơn vị đội xếp hàng 10,12 15 thừa người, biết số người đơn vị khoảng từ 320 đến 400 người Tính số người đơn vị Phân tích: Bài thực chất giống 10, có điều số đội xếp bị dư bớt số dư chia cho số hàng  Số Bội chung số hàng Còn kiện số lượng khoảng 320 đến 400 để xác định số đội cụ thể Gọi số đội 𝑥 (người, 𝑥 ∈ 𝑁) Vì xếp số đội thành hàng 10, 12, 15 dư người, bớt anh đội số lượng lại 𝑥 − người xếp vào hàng 10, 12, 15 người Như số đội Bội chung số hàng Ta có: 10 = 2.5 12 = 22 15 = 3.5  𝐵𝐶𝑁𝑁(10,12,15) = 22 3.5 = 60  Do đó: 𝑥 − ∈ 𝐵(60) → 𝑥 − = 60 𝑘 , (𝑘 ∈ 𝑁) Soạn: Nguyễn Thế Hiệp - HMU Page HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG TOÁN HK I Mà số lượng độ nằm khoảng 320 đến 400 người nên: 320 − < 𝑥 − < 400 − → 315 < 60𝑘 < 395 → < 𝑘 < → 𝑘 = Vậy 𝑥 − = 60.6 = 360 → 𝑥 = 365 Vậy số đội 365 người Bài 12: Một người đem cam chợ bán, đếm theo chục theo tá thiếu Hỏi số cam biết số cam lớn 350 nhỏ 400 Phân tích: hiểu 10, người đề có ý thay đổi câu văn số liệu hoàn toàn tương tự Chú ý: đếm theo chục đếm 10 1lần Còn đếm theo tá đếm 12 lần Gọi số cam người đem chợ bán 𝑥 ( quả, 𝑥 ∈ 𝑁) Vì người đếm theo chục theo tá thiếu nên bớt người đếm đủ, số cam 𝑥 − bội chung 10 12 Ta có: 10 = 2.5 12 = 22  𝐵𝐶𝑁𝑁(10,12) = 22 3.5 = 60  𝑥 − ∈ 𝐵(60) → 𝑥 − = 60𝑘, (𝑘 ∈ 𝑁) Mà số cam khoảng 350 tới 400 nên: 350 + < 𝑥 − < 400 + → 355 < 60𝑘 < 395 → < 𝑘 < → 𝑘 = Vậy 𝑥 − = 60.6 = 360 → 𝑥 = 365 𝑞𝑢ả Vậy số cam người mang chợ bán 365 Bài 13: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết số chia cho 20; 25; 30 dư 15 chia cho 41 khơng dư Phân tích: Bài thực tế giống với 11, việc chia có dư giống việc xếp hàng bị dư người Việc thêm kiện chia hết cho 41 giúp ta xác định số Gọi số phải tìm 𝑥 (100 ≤ 𝑥 ≤ 999) Vì số chia cho 20,25, 30 dư 15 nên bớt số 15 đơn vị ta số 𝑥 − 15 chia hết cho 20, 25 30 Như 𝑥 − 15 Bội chung 20, 25, 30 Ta có: 20 = 22 25 = 52 30 = 2.3.5 Soạn: Nguyễn Thế Hiệp - HMU Page 10 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG TOÁN HK I  𝐵𝐶𝑁𝑁(20,25,30) = 22 52 = 300  Vậy 𝑥 − 15 = 𝐵(300) → 𝑥 − 15 = 300𝑘, (𝑘 ∈ 𝑁) Mà x số có chữ số nên: 100 − 15 < 𝑥 − 15 < 999 − 15 → 85 < 300𝑘 < 984 → < 𝑘 <  Vậy 𝑘 ∈ {1,2,3} Nếu 𝑘 = → 𝑥 − 15 = 300.1 → 𝑥 = 315 Nếu 𝑘 = → 𝑥 − 15 = 300.2 → 𝑥 = 615 Nếu 𝑘 = → 𝑥 − 15 = 300.3 → 𝑥 = 915 Mặt khác số cần tìm chia hết cho 41, số có 615 thỏa mãn chia hết cho 41 số cần tìm 615 Bài 14: Tìm số tự nhiên n nhỏ biết chia cho 11, 17, 29 có số dư 6,12,24 Phân tích: Bài khác với số dư khác nhau, ta số lượng dư hay thiếu Tuy chất ta hiểu số dư khác cách làm thêm bớt xác, ta thêm vào lượng hay bớt số lượng ta số chia hết cho số dư Với ta dễ nhận thấy thêm vào số dư số chia nên chia hết thêm Vì n chia cho 11, 17, 29 số dư 6, 12, 24, nên dễ nhận thấy thêm đơn vị vào n ta số n+5 chia chia cho 11, 17, 29 có số dư 11, 17, 29 số chia nên n+5 chia hết cho 11, 17, 29 Do n+5 Bội chung 11, 17, 29 Mặt khác n nhỏ nên n+5 BCNN(11,17,29) Có: BCNN(11,17,29)=11.17.29=5423 Vậy n+5=5423 => n=5418 Vậy số cần tìm 5418 Bài 15: Tìm số tự nhiên nhỏ có chữ số tận 7, chia 13 dư 8, chia 19 dư 14 Soạn: Nguyễn Thế Hiệp - HMU Phân tích: Bài tương tự 14, chí có điều ta xác định cụ thể số nhờ chữ số tận Chú ý kỹ số cần tìm số nhỏ có tận khơng phải số nhỏ BCNN Bài ta thấy n+5 BC(13,19) ta tìm thơng qua BCNN Page 11 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG TỐN HK I Gọi số cần tìm n (n∈ N) Vì n chia cho 12 19 ta số dư 8,14, nên dễ nhận thấy thêm đơn vị vào n ta số n+5 chia chia cho 13, 19 có số dư 13, 19 số chia nên n+5 chia hết cho 13, 19 Do n+5 Bội chung 13, 19 Ta có: BCNN(13,19)=13.19=247 => n+5=247k,(k∈N) => n=247k-5 Do n số tự nhiên nhỏ tận 7, nên thử k=1,2,3,… ta thấy có k=6 ta n=1477 số nhỏ tận Vậy n=1477 số cần phải tìm Dạng 4: Một số dạng khác { DẠNG NÂNG CAO} Bài 16: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 2,3,5,9hay khơng? a 102001 + b 102001 − Yêu cầu: nắm vững hiệu chia hết cho 2,3,5,9 + CM chia hết cho ta nên đưa việc CM số chẵn,tận 0,2,4,6,8 + CM chia hết cho ta xem xét xem số có tận 0,5 hay khơng + CM chia hết cho 3,9 ta tìm xem tổng chữ số số bao nhiêu, có chia hết khơng a Ta có: 102001 = ⏟ 100 … 000 → 102001 + = ⏟ 100 … 000 2001 𝑐ℎữ 𝑠ố 2000 𝑐ℎữ 𝑠ố  Số tận => chia hết cho khơng chia hết cho  Có tổng chữ số nên chia hết cho không chia hết cho b 102001 = ⏟ 100 … 000 → 102001 − = ⏟ 99 … 999 2001 𝑐ℎữ 𝑠ố 2001 𝑐ℎữ 𝑠ố  Số tận nên khơng chia hết cho  Số có chữ số nên tổng chữ số số chia hết cho Bài 17: a Cho 𝐴 = + 42 + 43 + ⋯ + 423 + 424 Chứng minh 𝐴 ⋮ 20, 𝐴 ⋮ 21, 𝐴 ⋮ 420 b.Chứng tỏ p số nguyên tố lớn (𝑝 − 1)(𝑝 + 1) chia hết cho 24 Soạn: Nguyễn Thế Hiệp - HMU a Phân tích: Cần ý để CM tổng dãy số có quy luật chia hết cho số ta chắn điều số hạng dãy khơng chia hết cho số đó, ta nghĩ tới việc ghép cặp số lại với để số chia hết cho số Yêu cầu: nắm vững tính chất phép chia: Nếu 𝑎 ⋮ 𝑘 𝑣à 𝑏 ⋮ 𝑘 → 𝑎 ± 𝑏 ⋮ 𝑘 b, Để CM biểu thức chia hết cho số ta nên tách số chia thành số có dâu hiệu chia hết thành số dễ CM để CM  Lưu ý: Cần ý: Nếu A⋮X A⋮Y Mà UCLN(X,Y)=1 A⋮(X.Y) Page 12 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG TỐN HK I a Ta có: 𝐴 = + 42 + 43 + ⋯ + 423 + 424 = (4 + 42 ) + (43 + 44 ) + ⋯ + (423 + 424 ) = (4 + 42 ) + 4(4 + 42 ) + ⋯ + 422 (4 + 42 ) = (4 + 42 )(1 + + ⋯ + 422 ) = 20(1 + + ⋯ + 422 )  𝐴 ⋮ 20 Lại có: 𝐴 = + 42 + 43 + ⋯ + 423 + 424 = (4 + 42 + 43 ) + (44 + 45 + 46 ) + ⋯ + (422 + 423 + 424 ) = 4(1 + + 42 ) + 44 (1 + + 42 ) + ⋯ + 422 (1 + + 42 ) = (1 + + 42 )(4 + 44 + ⋯ + 421 ) = 21(4 + 44 + ⋯ + 421 )  𝐴 ⋮ 21 Mặt khác: UCLN(20,21)=1 => A chia hết cho 20.21=420 b Vì p số nguyên tố lơn nên p số lẻ p có dạng 2k+1 (k∈N)  B=(p-1)(p+1)=(2k+1-1)(2k+1+1)=2k.(2k+2)=2k.2(k+1)=4k(k+1) Ta thấy k k+1 số tự nhiên liên tiếp nên số có số số chẵn Do k(k+1) ⋮2 Do B chia hết cho 4.2=8 Lại có: p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k+1 3k+2 TH1: Nếu p=3k+1, (k∈N) => B=(p-1)(p+1)=(3k+1-1)(3k+1+1)=3k(3k+2) ⋮3 TH1: Nếu p=3k+2, (k∈N) => B=(p-1)(p+1)=(3k+2-1)(3k+2+1)=(3k+1)(3k+3)=(3k+1).3.(k+1) ⋮3 Vậy B⋮3 TH Mà UCLN(3,8)=1 => B chia hết cho 3.8=24 Bài 18: Chứng tỏ với số tự nhiên n, số sau hai số nguyên tố nhau: a 𝑛 + 𝑣à 𝑛 + b 2𝑛 + 𝑣à 3𝑛 + Yêu cầu: nẵm vững kiến thức tính chất phép chia - số nguyên tố số có UCLN =1 a Đặt 𝑈𝐶𝐿𝑁(𝑛 + 2, 𝑛 + 3) = 𝑑 𝑛 + ⋮ 𝑑 (𝑛  { → + 3) − (𝑛 + 2) ⋮ 𝑑 → ⋮ 𝑑 → 𝑑 = 𝑛+3⋮𝑑  𝑛 + 𝑣à 𝑛 + 𝑙à 𝑠ố 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑡ố 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡𝑖ế𝑝 b Đặt 𝑈𝐶𝐿𝑁(2𝑛 + 3,3𝑛 + 5) = 𝑑 2𝑛 + ⋮ 𝑑  { → 3(2𝑛 + 3) − 2(3𝑛 + 5) ⋮ 𝑑 → ⋮ 𝑑 → 𝑑 = 3𝑛 + ⋮ 𝑑  𝑛 + 𝑣à 𝑛 + 𝑙 𝑠ố 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑡ố 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡𝑖ế𝑝 Bài 19: Tìm số tự nhiên a,b (a { , 𝑈𝐶𝐿𝑁(𝑚, 𝑛) = 1, 𝑚 < 𝑛 𝑏 = 4𝑛  𝑎 + 𝑏 = 48 ↔ 4𝑚 + 4𝑛 = 48 ↔ 𝑚 + 𝑛 = 12 Do 𝑎 < 𝑏 → 𝑚 < 𝑛 → 𝑚 < Ta có bảng sau: m n 11 10 t/m Loại Loại 𝑚=1→𝑎=4 𝑚 = → 𝑎 = 20 Vậy { { 𝑛 = 11 → 𝑏 = 44 𝑛 = → 𝑏 = 28 𝑎 = 𝑑𝑚 b Đặt 𝑈𝐶𝐿𝑁(𝑎, 𝑏) = 𝑑 → { , 𝑈𝐶𝐿𝑁(𝑚, 𝑛) = 𝑏 = 𝑑𝑛  𝐵𝐶𝑁𝑁(𝑎, 𝑏) = 𝑑𝑚𝑛 Do dó: 𝐵𝐶𝑁𝑁(𝑎, 𝑏) + 𝑈𝐶𝐿𝑁(𝑎, 𝑏) = 19  𝑑𝑚𝑛 + 𝑑 = 19  𝑑(𝑚𝑛 + 1) = 19  𝑚𝑛 + ∈ 𝑈(19) Mà 𝑚𝑛 > → 𝑚𝑛 + > → 𝑚𝑛 = 19 Lại có 𝑎 < 𝑏 → 𝑚 < 𝑛 Ta có bảng sau: d mn+1 mn m 19 18 1 19 18 Loại n 18 a=dm t/m b=dn 18 Vậy (a,b)={ (2,9) ; (1;18) } 𝑎 = 𝑑𝑚 c Đặt 𝑈𝐶𝐿𝑁(𝑎, 𝑏) = 𝑑 → { , 𝑈𝐶𝐿𝑁(𝑚, 𝑛) = 𝑏 = 𝑑𝑛  𝐵𝐶𝑁𝑁(𝑎, 𝑏) = 𝑑𝑚𝑛 Do dó: 𝐵𝐶𝑁𝑁(𝑎, 𝑏) − 𝑈𝐶𝐿𝑁(𝑎, 𝑏) =  𝑑𝑚𝑛 − 𝑑 = Soạn: Nguyễn Thế Hiệp - HMU Page 14 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG TOÁN HK I  𝑑(𝑚𝑛 − 1) =  𝑚𝑛 − ∈ 𝑈(3) Lại có 𝑎 < 𝑏 → 𝑚 < 𝑛 Ta có bảng sau: d mn-1 3 mn m 1 n a=dm b=dn Vậy (a,b)={ (1,4) ; (3,6) } Bài 20: Tìm số tận số: a 799 b 141414 c 4567 Đây dạng chữ số tận cùng, tương đối dễ, khơng khó song kiens thức chữ số tận khơng dạy chương trình mà nằm kiến thức nâng cao nên em lưu ý trước làm cần có số yêu cầu Yêu Cầu: em phải biết kiến thức chữ số tận - Chữ số tận nâng lên lũy thừa đuôi số (vd: ̅̅̅̅̅ … 72 = ̅̅̅̅̅ … 9, ̅̅̅̅̅ … 6𝑛 = ̅̅̅̅̅ … 6, …) - Khi nâng lên lũy thừa chữ số tận khơng bị thay đổi (0,1,5,6) - Sự tuần hồn chữ số tận nâng lên lũy thừa với bậc tương ứng PP: với dạng tìm chữ số tận ta nghĩ tới việc tách lũy thừa thành lũy thừa có tận khơng đổi nhân chữ số tận lại với a Ta có: 799 = 724.4+3 = (74 )24 73 = 240124 343 = ̅̅̅̅̅ … 343 = ̅̅̅̅̅ …3 99 Vậy tận b Ta có: 141414 = 142.707 = (142 )707 = 196707 = ̅̅̅̅̅ …6 1414 Vậy 14 tận 567 ̅̅̅̅̅ c Ta có: = 4283.2+1 = (42 )283 = 16283 = ̅̅̅̅̅ … = … 567 Vậy tận B PHẦN HÌNH HỌC Phần hình học lớp chủ yếu làm quen bé với kiến thức hình học nên kiến thức nhẹ, khơng q khó Các tập xoay quanh vấn đề tính độ dài đoạn thẳng chứng minh trung điểm Soạn: Nguyễn Thế Hiệp - HMU Page 15 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG TỐN HK I Các bé ý trình bày theo khuôn mẫu xác định nhất, làm quen nên bé cố gắng trình bày theo hướng, suy luận từ từ logic yếu tố Ví dụ: để tính độ dài đoạn thẳng ta cần áp dụng CT: AM+MB=AB, muốn có cơng thức ta lại cần M nằm A B, muốn M nằm A B ta lại cần chứng minh điều: 𝑀 𝑣à 𝐵 𝑛ằ𝑚 𝑣ề 𝑐ù𝑛𝑔 𝑝ℎí𝑎 𝑠𝑜 𝑣ớ𝑖 𝐴 { độ 𝑑à𝑖 đ𝑜ạ𝑛 𝐴𝑀 < 𝐴𝐵 Các bé học cách suy luận từ từ, yếu tố theo hướng kéo theo: “ muốn có cần có gì” đưa tất điều giả thiết VD 2: để chứng minh M trung điểm AB ta cần có điều: { 𝑀 𝑛ằ𝑚 𝑔𝑖ữ𝑎 𝐴, 𝐵 độ 𝑑à𝑖 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵 Muốn chứng minh M nằm ta lại dùng cách mà ví dụ nêu Mn so sánh AM MB ta phải tính so sánh được, tính cách lại làm ví dụ Yêu cầu: Các bé nắm vững tính chất định nghĩa khái niệm hình học linh hoạt vận dụng chúng để làm tập Bài 21: Cho tia đối Ox, Ox’ Trên tia Ox lấy điểm A B cho OA=1cm, OB=4cm Trên tia Ox’ lấy điểm C cho OC=2cm a Trong điểm A,O,B điểm nằm điểm lại b Điểm A có phải trung điểm đoạn thẳng BC không? a 𝑇ℎ𝑒𝑜 𝑏à𝑖 𝑟𝑎: 𝐴, 𝐵 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 𝑡𝑖𝑎 𝑂𝑥 } → 𝐴 𝑛ằ𝑚 𝑔𝑖ữ𝑎 𝑂 𝑣à 𝐵 Mặt khác OA = cm < OB = cm b Theo câu a A nằm O B  OA+AB=OB Lại có: OA=1 cm, OB=4 cm , nên thay số ta được: 1+AB=4 Soạn: Nguyễn Thế Hiệp - HMU Page 16 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG TOÁN HK I  AB=4-1=3 cm 𝐶 ∈ 𝑂𝑥′ Có: } → 𝑂 𝑛ằ𝑚 𝑔𝑖ữ𝑎 𝐴 𝑣à 𝐶 𝐴 ∈ 𝑂𝑥 ′ 𝑂𝑥 𝑣à 𝑂𝑥 𝑙à 𝑡𝑖𝑎 đố𝑖 𝑛ℎ𝑎𝑢  OA+OC=AC Theo OA=1 cm, OC=2 cm, nên thay số ta được: AC=1+2=3 cm Vậy AB=AC=3 cm Lại có A nằm C B  A trung điểm BC Bài 22: Cho đoạn thẳng AB=8cm tia AB lấy điểm P Q cho AP=4cm, AQ=6cm a Tính độ dài đoạn thẳng PQ, QB b P có phải trung điểm đoạn thẳng AB không? Tại sao? Điểm Q có trung điểm đoạn thẳng PB hay khơng? Tại sao? 𝑇ℎ𝑒𝑜 𝑏à𝑖 𝑟𝑎: 𝑃, 𝑄 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 𝐴𝐵 } → 𝑃 𝑛ằ𝑚 𝑔𝑖ữ𝑎 𝐴 𝑣à 𝑄 Mặt khác AP = cm < AQ = cm  AP+PQ=AQ Theo ra, AP=4 cm AQ=6 cm, nên thay số ta được: 4+PQ=6  PQ=6-4=2 cm a 𝑇ℎ𝑒𝑜 𝑏à𝑖 𝑟𝑎: 𝑄 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 𝐴𝐵 } → 𝑄 𝑛ằ𝑚 𝑔𝑖ữ𝑎 𝐴 𝑣à 𝐵 Mặt khác AQ = cm < AB = cm  AQ+QB=AB Theo ra, AQ=6 cm, AB=8 cm,nên thay số ta được: 6+QB=8  QB=8-6=2 cm 𝑇ℎ𝑒𝑜 𝑏à𝑖 𝑟𝑎: 𝑃, 𝑄 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 𝐴𝐵 b } → 𝑃 𝑔ầ𝑛 𝐴 ℎơ𝑛 𝑄 Mặt khác AP = cm < AQ = cm  Q nằm P B Lại có: PQ=QB=2 cm  Q trung điểm PB Ta có P nằm A B=> AP+PB=AB Theo ra, AP=4 cm, AB=8 cm, nên thay số ta được: 4+PB=8  PB=8-4=4 Soạn: Nguyễn Thế Hiệp - HMU Page 17 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG TOÁN HK I Vậy AP=PB=4 cm  P trung điểm AB Bài 23: Trên tia Ax vẽ điểm B,C cho AB=5cm, AC=7cm a Tính BC b Trên tia đối Ax lấy điểm D cho AD=2.5 cm, tính BD c Trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE=3cm B có phải trung điểm đoạn thẳng AE khơng?Tại sao? a  b  c  𝑇ℎ𝑒𝑜 𝑏à𝑖 𝑟𝑎: 𝐵, 𝐶 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 𝑡𝑖𝑎 𝐴𝑥 } → 𝐵 𝑛ằ𝑚 𝑔𝑖ữ𝑎 𝐴 𝑣à 𝐶 Mặt khác AB = cm < AC = cm AB+BC=AC Theo ra: AB=5 cm, AC=7 cm, nên thay số ta được: 5+BC=7  BC=7-5=2 cm Theo đề, B thuộc tia Ax D thuộc tia đối Ax => A nằm B D DA+AB=BD Mà DA=2.5 cm, AB=5 cm,nên thay số ta được: 2.5+5=BD  BD=7.5 cm Ta có, E thuộc tia đối tia CB nên C nằm B E BC+CE=BE Mà BC=2 cm, CE=3 cm, nên thay số ta được: 2+3=BE  BE=5 cm Ta thấy AB=BE= 5cm Mà B nằm A E => B trung điểm AE Bài 24: Cho đoạn thẳng AC dài 5cm Điểm B nằm A C cho BC=3cm a Tính AB b Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho BD=5cm so sánh AB CD Soạn: Nguyễn Thế Hiệp - HMU Page 18 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG TOÁN HK I a B nằm A C => AB+BC=AC Mà AC=5 cm, BC=3 cm , nên thay số ta được: AB+3=5  AB=5-3=2 cm 𝑇ℎ𝑒𝑜 𝑏à𝑖 𝑟𝑎, 𝐷 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 𝑡𝑖𝑎 đố𝑖 𝑡𝑖𝑎 𝐵𝐴 } → 𝐶 𝑛ằ𝑚 𝑔𝑖ữ𝑎 𝐵 𝑣à 𝐷 𝑚à 𝐵𝐶 = 𝑐𝑚 < 𝐵𝐷 = 𝑐𝑚  BC+CD=BD Mà BC=3 cm, BD=5 cm, nên thay số ta được: 3+CD=5  CD=5-3=2 cm Vậy AB=CD=2 cm b Bài 25: Cho đoạn thẳng AB=6cm Lấy điểm C,D thuộc đoạn thẳng AB cho AC=BD=2cm Gọi M trung điểm AB a Điểm M có trung điểm đoạn thẳng CD khơng? Vì sao? b Tìm hình vẽ điểm khác trung điểm đoạn thẳng giải thích? a M trung điểm AB nên AM=AB:2=3 cm Ta có: C thuộc AB mà AC=2 cm < AM=3 cm =>C nằm A M  AC+CM=AM Mà AC=2 cm, AM=3 cm, nên thay số ta được: 2+CM=3  CM=3-2=1 cm Ta có: AC=2 cm BD=2 cm => C gần A D => C nằm A D Lại có: D nằm AB nên AD+BD=AB Mà AB=6 cm, NB=2 cm, nên thay số ta được: AD+2=6  AD=4 cm Ta có: AC=2 cm < AM=3 cm < AD=4 cm => M nằm C D  AM+MD=AD Mà AM=3 cm, AD=4 cm, nên thay số ta được: 3+MD=4  MD=4-3=1 cm Vậy CM=MD=1 cm M nằm C,D  M trung điểm CD Soạn: Nguyễn Thế Hiệp - HMU Page 19 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG TOÁN HK I b M trung điểm CD => CD=2CM=2.1=2 cm 𝑇𝑎 𝑐ó: 𝐶 𝑛ằ𝑚 𝑔𝑖ữ𝑎 𝐴, 𝐷} → 𝐶 𝑙à 𝑡𝑟𝑢𝑛𝑔 đ𝑖ể𝑚 𝐴𝐷 𝐴𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝑐𝑚 𝑇𝑎 𝑐ó: 𝐷 𝑛ằ𝑚 𝑔𝑖ữ𝑎 𝐶, 𝐵 → 𝐷 𝑙à 𝑡𝑟𝑢𝑛𝑔 đ𝑖ể𝑚 𝐶𝐵 } 𝐵𝐷 = 𝐶𝐷 = 𝑐𝑚 *** HẾT*** Soạn: Nguyễn Thế Hiệp - HMU Page 20 ... a [ 461 + (−78) + 40] + (− 461 ) b [53 + (− 76) ] − [− 76 − (−53)] c − 564 + [(−724) + 564 + 224] d −87 + (−12) − (−487) + 512 e 942 − 2 567 + 2 563 − 1492 f 17 + (−20) + 23 + (− 26) + ⋯ + 53 + (− 56) g... − 14: = ⏟