Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 37 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
37
Dung lượng
1,69 MB
Nội dung
Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN Gieo xúc xắc mặt Ký hiệu A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 biến cố “mặt chấm xuất hiện”, “mặt chấm xuất hiện”, …, “mặt chấm xuất hiện” Nếu X đại lượng biểu diễn số chấm xuất gieo xúc xắc X nhận giá trị 1, 2, 3, 4, 5, cách ngẫu nhiên X nhận giá trị k biến cố Ak , nghĩa X k Ak , với k 1, 2, ,6 Ta gọi X biến ngẫu nhiên có miền giá trị RX 1, 2, , 6 Một cách tổng quát ta có khái niệm biến ngẫu nhiên sau 2.1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên Định nghĩa 2.1: Biến ngẫu nhiên X đại lượng nhận giá trị phụ thuộc vào yếu tố ngẫu nhiên, nghĩa với giá trị thực x “ X nhận giá trị nhỏ x ”, ký hiệu X x , biến cố ngẫu nhiên Đối với biến ngẫu nhiên người ta quan tâm xem nhận giá trị nhận giá trị khoảng với xác suất Tập hợp tất giá trị X gọi miền giá trị X , ký hiệu RX Ví dụ 2.1: Gieo đồng thời hai xúc xắc Ký hiệu Ak , k 2,3, ,12 biến cố tổng số chấm xuất hai xúc xắc k Nếu gọi X tổng số chấm xuất gieo hai xúc xắc X biến ngẫu nhiên có miền giá trị RX 2,3, ,12 X k Ak với k 2,3, ,12 Ví dụ 2.2: Các đại lượng sau biến ngẫu nhiên Tuổi thọ thiết bị hoạt động Số khách hàng vào điểm phục vụ khoảng thời gian Số gọi đến tổng đài khoảng thời gian Sai số đo lường đại lượng vật lý … Định nghĩa 2.2: Hai biến ngẫu nhiên X , Y độc lập X nhận giá trị khơng phụ thuộc Y ngược lại Nói cách khác với số thực x, y hai biến cố sau độc lập X x , Y y Trong chương ta đưa tiêu chuẩn để nhận biết tính chất độc lập hai biến ngẫu nhiên 43 Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng 2.1.2 Hàm phân bố xác suất Các biến ngẫu nhiên xét phép thử khác (tương ứng với không gian xác suất khác nhau) phân bố xác suất chúng Chẳng hạn xác suất bắn trúng bia xạ thủ 0,8 Xạ thủ bắn 10 viên, gọi X số viên bắn trúng bia xác suất để xạ thủ bắn trúng k viên k P X k C10 (0,6)k (0, 4)10k , k 10 (xem dãy phép thử Bernoulli mục 1.4 chương phân bố nhị thức, mục 2.2.2.2) Tương tự, giả sử tỷ lệ phẩm lô hàng 0,8 Chọn 10 sản phẩm kiểm tra, gọi Y số phẩm phát xác suất chọn k phẩm k P Y k C10 (0,6)k (0, 4)10k , k 10 Vậy P X k P Y k , k 10 Nói cách khác phân bố xác suất X Y nhau, mặc d X Y hai biến ngẫu nhiên xét hai phép thử khác Phân bố xác suất nghiên cứu thông qua hàm phân bố xác suất định nghĩa sau Định nghĩa 2.3: Hàm phân bố xác suất (cumulative distribution function, viết tắt CDF) biến ngẫu nhiên X hàm số FX ( x) xác định với x công thức: FX ( x) P X x ; x (2.1) X x ký hiệu biến cố “biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hay x ” Hàm phân bố có tính chất sau: a) FX ( x) với x , (2.2) b) FX ( x) hàm không giảm, liên tục bên phải Nghĩa là: Với a, b : a b FX (a) FX (b) Với a , ta có FX (a ) FX (a) với FX (a ) lim FX ( x) x a , xa (2.3) Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục FX ( x) hàm liên tục c) FX () lim FX ( x) 0; FX () lim FX ( x) , (2.4) d) P a X b FX (b) FX (a) (2.5) x x e) P X a FX (a) ; P X a FX (a ) với FX (a ) lim FX ( x) xa , xa (2.6) Nhận xét 2.1: Một số tài liệu coi GX ( x) P X x ; x hàm phân bố biến ngẫu nhiên X Có số khác biệt hai định nghĩa Chẳng hạn tính chất liên tục phải FX ( x) thay liên tục trái G X ( x) , công thức (2.5) 44 Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng P a X b G X (b) G X (a ) Mỗi cách định nghĩa có thuận lợi riêng, nhiên giáo trình ta sử dụng hàm phân bố FX ( x) theo cơng thức (2.1) Ví dụ 2.3: Một nguồn thông tin sinh ký hiệu ngẫu nhiên từ bốn ký tự a, b, c, d với xác suất P(a) 1/ , P(b) 1/ P(c) P(d ) 1/ Mã hóa ký hiệu theo mã nhị phân sau a b 10 c 110 d 111 Đặt X biến ngẫu nhiên ký hiệu độ dài mã, số bit a) Tìm miền giá trị X b) Giả sử ký hiệu sinh độc lập Tính xác suất P X 1 , P X 2 P X 3 c) Tìm hàm phân bố FX ( x) vẽ đồ thị FX ( x) Giải: a) Miền giá trị RX 1, 2,3 b) P X 1 P(a) 1/ , P X 2 P(b) 1/ , P X 3 P c, d P(c) P(d ) 1/ c) x 1 0 1/ x FX ( x) 3/ x 1 x3 Đồ thị FX ( x) có dạng bậc thang Hình 2.1 45 Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng Ví dụ 2.4: Xét phép thử ném phi tiêu vào đĩa tròn có bán kính (xem ví dụ 1.18) Ký hiệu X biến ngẫu nhiên đo khoảng cách từ điểm mũi phi tiêu cắm vào đĩa đến tâm đĩa Giả sử mũi phi tiêu cắm vào đĩa đồng khả điểm đĩa a) Tìm miền giá trị X b) Tìm hàm phân bố FX ( x) vẽ đồ thị FX ( x) Giải: a) Miền giá trị X RX x 3 x 1 b) P X x .x .1 x x Hình 2.2 x0 0 FX ( x) x x 1 x 1 Vậy hàm phân bố Ví dụ 2.5: Xét hàm số 0 F ( x) x 1/ 1 x0 x 1/ x 1/ a) Vẽ đồ thị F ( x) chứng minh F ( x) thỏa mãn tính chất (2.2)-(2.4) b) Nếu X biến ngẫu nhiên có hàm phân bố F ( x) Tính P X 1/ 4 , P 0 X 1/ 4 , P X 0 P 0 X 1/ 4 Giải: a) Từ đồ thị F ( x) (hình 2.3) suy tính chất (2.2)-(2.4) hàm phân bố b) 1 1 1 P X F ; 4 4 4 1 1 1 P 0 X F F (0) 4 4 4 Áp dụng công thức (2.6) ta P X 0 P X 0 P X 0 F (0) F (0 ) 46 1 0 2 Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng P 0 X 1/ 4 P X 0 P 0 X 1/ 4 3 4 2.1.3 Phân loại Hình 2.3 Hàm phân bố biến ngẫu nhiên hàm số khơng giảm bị chặn hàm phân bố gián đoạn số khơng đếm điểm Dựa vào dạng hàm phân bố biến ngẫu nhiên ta chia biến ngẫu nhiên thành ba loại: Biến ngẫu nhiên rời rạc, biến ngẫu nhiên liên tục loại hỗn hợp Biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên X rời rạc miền giá trị gồm số hữu hạn vô hạn đếm giá trị, nghĩa liệt kê giá trị miền giá trị RX thành dãy x1 , x2 , Do hàm phân bố có đồ thị dạng hình thang (Hình 2.1, ví dụ 2.3) Biến ngẫu nhiên liên tục X biến ngẫu nhiên liên tục miền giá trị lấp đầy khoảng hữu hạn vô hạn xác suất biến ngẫu nhiên nhận giá trị điểm (nghĩa PX a với a) Do hàm phân bố hàm số liên tục (Hình 2.2, ví dụ 2.4) Biến ngẫu nhiên có hàm phân bố ví dụ 2.5 thuộc loại hỗn hợp, khơng rời rạc miền giá trị chứa khoảng [0;1/2] khơng liên tục P X 0 1/ Tuy nhiên thường gặp hai loại biến ngẫu nhiên rời rạc liên tục Tập giảng xét hai loại Ví dụ 2.6: Gọi X số chấm xuất gieo xúc xắc X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị 1, 2,3, 4,5,6 Gọi Y tuổi thọ thiết bị hoạt động Y biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị khoảng Gọi Z số khách hàng vào điểm phục vụ đơn vị thời gian, Z biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị 0,1, 2, 47 Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng Số gọi đến tổng đài biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị 0,1, 2, Sai số Y đo lường đại lượng vật lý biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị khoảng 2.2 BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC 2.2.1 Hàm khối lượng xác suất bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên rời rạc có miền giá trị tập hữu hạn vô hạn đếm Các xác suất tập trung giá trị Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có đồ thị FX ( x) hàm bậc thang có bước nhảy x1 , x2 , FX ( xk ) FX ( xk ) P X xk P X xk P X xk (2.7) p X ( x) P X x (2.8) Đặt Hàm p X ( x) gọi hàm khối lượng xác suất (probability mass function) biến ngẫu nhiên rời rạc X Tính chất hàm khối lượng xác suất p X ( x) : p X ( xk ) , với xk RX xk RX (2.9) p X ( xk ) (2.10) p X ( x) với x RX (2.11) Hàm phân bố X FX ( x) P X x xk x ; xk RX p X ( xk ) (2.12) Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận vô hạn giá trị x1 , x2 , hàm phân bố xác suất có dạng: FX ( x) p X ( x1 ) nÕu p X ( xk 1 ) nÕu x x1 xk 1 x xk , k (2.13) Nếu X nhận số hữu hạn giá trị x1, x2 , , xn biến cố X x1 , X x2 , , X xn lập thành hệ đầy đủ biến cố Hàm phân bố xác suất có dạng: 48 (2.14) Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng FX ( x) p X ( x1 ) nÕu p X ( xk 1 ) nÕu nÕu x x1 xk 1 x xk (2.15) x xn Chúng ta biểu diễn phân bố biến ngẫu nhiên rời rạc thông qua bảng phân bố xác suất Đó bảng có hai hàng, hàng ghi giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận được, hàng giá trị hàm khối lượng xác suất tương ứng Bảng phân bố xác suất X có dạng sau: Ví dụ 2.7: Xét phép thử tung đồng thời đồng xu (Ví dụ 1.1) Không gian mẫu phép thử ( S , S ), ( S , N ), ( N , S ), ( N , N ) gồm kết đồng khả Gọi X số mặt sấp xuất hiện, X biến ngẫu nhiên rời rạc Bảng phân bố xác suất Hàm phân bố xác suất 0 1/ FX ( x) 3 / nÕu x nÕu x nÕu x nÕu x Đồ thị hàm khối lượng xác suất hàm phân bố Ví dụ 2.8: Chọn ngẫu nhiên bi từ mộtHình túi có 2.46 bi đen, bi trắng Gọi X số bi trắng bi vừa chọn X biến ngẫu nhiên rời rạc Tìm bảng phân bố xác suất hàm phân bố xác suất 49 Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng P X 0 Giải: C63 C10 P X 2 C62C14 15 , P X 1 , 30 30 C10 C61C42 C10 C3 , P X 3 30 C10 30 Hàm khối lượng xác suất p X (0) 15 , p X (1) , pX (2) , p X (3) ; p X ( x) với x khác 0,1, 2,3 30 30 30 30 Bảng phân bố xác suất Hàm phân bố xác suất nÕu x nÕu x nÕu x nÕu x nÕu x 0 5 / 30 FX ( x) 20 / 30 29 / 30 Đồ thị Ví dụ 2.9: Xác suất để xạ thủ bắn trúng bia p , p Xạ thủ phát viên đạn để Hình 2.5 bắn trúng bia Hãy xây dựng bảng phân bố xác suất số viên đạn phát Giải: Gọi X “số viên đạn phát” X biến ngẫu nhiên rời rạc với giá trị có 1, 2, , k , Gọi Ak biến cố “xạ thủ bắn trúng bia viên đạn thứ k ” Các biến cố Ak độc lập P Ak p P X 1 P A1 p 50 Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng P X k P A1 Ak 1 Ak P A1 P Ak 1 P Ak q k 1 p P X 2 P A1 A2 P A1 P A2 qp , q p Tổng quát Hàm khối lượng xác suất q k 1 p p X ( x) 0 xk ; k 1, 2, ; p xk (2.16) Bảng phân bố xác suất có dạng: Biến ngẫu nhiên với phân bố rời rạc có dạng gọi biến ngẫu nhiên cấp số nhân (geometric random variable), hàm khối lượng xác suất lập thành cấp số nhân có công bội q 2.2.2 Các phân bố rời rạc thường gặp 2.2.2.1 Phân bố Bernoulli Định nghĩa 2.4: Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận hai giá trị 0, với xác suất tương ứng pX (k ) P X k p k q1k ; k 0,1 (2.17) p 1, q p , gọi có phân bố Bernoulli tham số p Xét phép thử Bernoulli với thành công phép thử xuất biến cố A giả sử xác suất xuất A lần thử p Gọi X số lần thành cơng lần thử X biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố Bernoulli tham số p Biến ngẫu nhiên X gọi phân bố khơng – A( p ) Hình 2.5 minh họa phân bố Bernoulli tham số p Hình Đồ mẫu thị hàm khốitalượng xác sử suấtdụng hàm Bernoulli thambố số Bernoulli để Trong lý 2.6: thuyết người thường biếnphân ngẫubốnhiên có phân biểu diễn cho dấu hiệu định tính (xem chương 5) 51 Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng 2.2.2.2 Phân bố nhị thức B (n ; p) Định nghĩa 2.5: Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị 0, 1, , n với xác suất tương ứng pX (k ) P X k Cnk p k q nk ; k 0,1, , n (2.18) n số tự nhiên p , gọi có phân bố nhị thức tham số n, p , ký hiệu X ~ B (n ; p) Bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức B (n ; p) Trong q p Hàm phân bố nÕu x m FX ( x) Cnk p k q nk nÕu m x m 1, m n , k 0 nÕu x n (2.19) 0,9533 0,7667 0,3110 0,2765 0,1382 Nhận xét 2.2: 0,1792 0,0467 0,4557 0,1866 0,0369 0,041 ∙ Hình 2.7: phân bố nhị thức với Thực n phép thử Bernoulli với xác suất thành công biến cố A lần thử p Với i 1, 2, , n ; lần thử thứ i biến cố A xuất ta cho X i nhận giá trị 1, biến cố A không xuất ta cho X i nhận giá trị Như X i biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố Bernoulli tham số p : Gọi X số thành cơng n phép thử Bernoulli X X1 X 52 X n ~ B (n ; p ) (2.20) Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng Giá trị tới hạn mức phân bố Student n bậc tự ký hiệu t ( n) thỏa mãn: P T t (n) (2.57) Bảng tính giá trị tới hạn t (n) cho Phụ lục III Hàm mật độ xác suất (2.54) hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung Khi số bậc tự tăng lên, phân bố Student hội tụ nhanh phân bố chuẩn tắc N(0,1) Do n đủ lớn ( n 30 ) d ng phân bố chuẩn tắc thay cho phân bố Student Tuy nhiên n nhỏ ( n 30 ) việc thay gặp sai số lớn 2.4 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 2.4.1 Kỳ vọng toán 2.4.1.1 Định nghĩa Với biến ngẫu nhiên X ta ký hiệu E X E X E X xác định sau: (i) Trường hợp biến ngẫu nhiên X rời rạc có miền giá trị RX với hàm khối lượng xác suất p X ( xi ) , ta ký hiệu EX xi RX xi pX ( xi ) (2.58) (ii) Trường hợp biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm mật độ xác suất f X ( x) , ta ký hiệu EX xf X ( x)dx (2.59) Nếu chuỗi (2.58) hội tụ tuyệt đối (trường hợp X rời rạc) tích phân (2.59) hội tụ tuyệt đối (trường hợp X liên tục) ta gọi E X kỳ vọng biến ngẫu nhiên X (expected value) Trường hợp ngược lại ta nói X khơng tồn kỳ vọng Kỳ vọng mang ý nghĩa giá trị trung bình (average, mean value) biến ngẫu nhiên X Ví dụ 2.18: Tính kỳ vọng biến ngẫu nhiên X cho ví dụ 2.8 Giải: E X 15 1 30 30 30 30 65 Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng Ví dụ 2.19: Theo thống kê việc người Mỹ 25 tuổi sống thêm năm có xác suất 0,992, xác suất để người chết vòng năm tới 0,008 (xem ví dụ 1.18) Một chương trình bảo hiểm đề nghị người bảo hiểm sinh mạng cho năm với số tiền chi trả 1000 la, tiền đóng 10 la Hỏi lợi nhuận công ty bảo hiểm nhận bao nhiêu? Giải: Rõ ràng lợi nhuận biến ngẫu nhiên X với giá trị 10 đô la (nếu người bảo hiểm không chết) 990 la (nếu người chết) Bảng phân bố xác suất tương ứng X 990 10 P 0,008 0,992 Do kỳ vọng E X (990) 0,008 10 0,992 Ta thấy lợi nhuận trung bình số dương cơng ty bảo hiểm làm ăn có lãi Ví dụ 2.20: Tuổi thọ loại côn tr ng biến ngẫu nhiên X (đơn vị tháng) với hàm mật độ xác suất sau: kx (4 x) nÕu x f X ( x) ngược lại 0 Tìm hàm phân bố xác suất tìm tuổi thọ trung bình lồi tr ng Giải: Vì x (4 x)dx 64 Vậy hàm phân bố xác suất k 64 x FX ( x) 3x x f X (t )dt 64 3 4 nÕu x0 nÕu x nÕu x4 3 x Tuổi thọ trung bình E X x ( x ) dx x 64 0 64 12 (tháng) 2.4.1.2 Ý nghĩa kỳ vọng Kỳ vọng mang ý nghĩa giá trị trung bình mà biến ngẫu nhiên nhận Giả sử biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x1 , x , , x m với tần số tương ứng r1 , r2 , , rm ri xi tổng giá trị X nhận với c ng giá trị xi Do r1 x1 r2 x2 rm xm tổng tất giá trị X nhận r1 x1 r2 x2 rm xm giá trị trung bình X , r1 r2 rm n n Đặt f i ri tần suất nhận giá trị xi X n r1x1 r2 x2 n 66 rm xm f1x1 f x2 f m xm Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng Trong trường hợp tổng quát tần suất f i thay xác suất p i Trường hợp biến ngẫu nhiên liên tục phép tính tổng giá trị trung bình thay phép tính tích phân xác định Khái niệm kỳ vọng áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Trong kinh doanh quản lý, kỳ vọng ứng dụng dạng lợi nhuận kỳ vọng hay doanh số kỳ vọng 2.4.1.3 Tính chất 1) E (C ) C với số C (2.60) 2) E (CX ) CE ( X ) với số C (2.61) 3) E X X n E X E X n (2.62) 4) Cho hàm số g ( x) , kỳ vọng biến ngẫu nhiên Y g ( X ) tính theo công thức g ( xi ) p X ( xi ) nÕu X rêi r¹c víi p X ( xi ) P X x i x R i X EY g ( x) f ( x)dx nÕu X liê n tục có hàm mật ộ f ( x) X X (2.63) Đặc biệt ta có cơng thức tính kỳ vọng X : xi2 p X ( xi ) nÕu X rêi r¹c xiRX EX2 x f ( x)dx nÕu X liªn tơc cã hµm mËt đé f ( x) X X 5) Nếu X , , X n độc lập E X X n E X E X n (2.34) (2.65) Các tính chất (2.62)-(2.65) chứng minh chương Ví dụ 2.21: Chọn ngẫu nhiên bi từ túi có bi đen, bi trắng Xét hai toán sau: a) Nếu chọn bi trắng thưởng 200$ Gọi Y số tiền nhận Tính kỳ vọng Y b) Nếu chọn bi trắng thưởng 200$ chọn bi đen thưởng 300$ Gọi Z số tiền nhận Tính kỳ vọng Z Giải: a) Gọi X số bi trắng bi vừa chọn (xem ví dụ 2.8) Y g ( X ) 200 X biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân bố sau: EY 0 15 200 400 600 240 30 30 30 30 Mặt khác, theo cơng thức (2.61) ví dụ 2.18 ta E Y 200E X 200 240 b) Z 200 X 300(3 X ) 900 100 X 67 Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng E Z E 900 100 X 900 100 EX 900 100 780$ Ví dụ 2.22: Tung xúc xắc n lần Tìm kỳ vọng tổng số chấm thu Giải: Gọi X i (i 1, , n) số chấm thu lần tung thứ i , gọi X tổng số chấm thu n n i 1 i 1 n lần tung Như X X i Theo cơng thức (2.62) ta có E X E X i Các biến ngẫu nhiên X i có bảng phân bố xác suất sau Do E X i 7 1 E X n 2 Ví dụ 2.23: (Bài tốn đố) Ví dụ mở rộng cách thích hợp mơ hình lựa chọn thứ tự tối ưu thỏa mãn điều kiện cho trước Xét trò chơi trả lời câu hỏi A B; người chơi có quyền chọn câu hỏi để trả lời Câu hỏi A trả lời với xác suất 0.8 người chơi thưởng $100, câu hỏi B trả lời với xác suất 0,6 người chơi thưởng $200 Nếu không trả lời lần thứ không trả lời tiếp Vậy người chơi nên chọn câu hỏi trả lời để tiền thưởng trung bình nhận cao Gọi X số tiền thưởng nhận người chơi chọn câu hỏi A trả lời $0 0,2 $100 $300 0,8.0,4 0,8.0,6 E X 0,8.0, 4.100 0,8.0,6.300 $176 Do Gọi Y số tiền thưởng nhận người chơi chọn câu hỏi B trả lời $0 0,4 Do $200 $300 0,6.0,2 0,6.0,8 E Y 0,6.0, 2.200 0,6.0,8.300 $168 Vậy nên chọn câu hỏi A để trả lời để có khả nhận thưởng cao 2.4.2 Phương sai 2.4.2.1 Định nghĩa Phương sai (variance) hay độ lệch (deviation) bình phương trung bình biến ngẫu nhiên X đại lượng đo phân tán bình phương trung bình X xung quanh giá trị trung bình E X Nói cách khác phương sai X kỳ vọng X E X Phương sai X ký hiệu DX Var X 68 Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng DX E X E X Vậy (2.66) X DX Độ lệch chuẩn X Khai triển vế phải công thức (2.66) áp dụng tính chất kỳ vọng ta tính phương sai theo cơng thức sau: DX E X E X (2.67) Sử dụng công thức (2.64), (2.67) ta suy công thức thường d ng để tính phương sai biến ngẫu nhiên rời rạc phương sai biến ngẫu nhiên liên tục: (i) Nếu X rời rạc nhận giá trị xi với hàm khối lượng xác suất p X ( xi ) D X E X E X 2 xi RX xi2 p X ( xi ) xi p X ( xi ) x R i X (2.68) (ii) Nếu X liên tục có hàm mật độ xác suất f X ( x) D X E X E X 2 x f X ( x)dx xf X ( x)dx 2 (2.69) Ví dụ 2.24: Tính phương sai biến ngẫu nhiên xét ví dụ 2.19 Giải: E X (990)2 0,008 102 0,992 7940 DX EX EX 7940 7936 X DX 7936 89, 08 Điều nói lên mặc d kinh doanh bảo hiểm có lãi rủi ro lớn Ví dụ 2.25: Tính phương sai độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên xét ví dụ 2.20 3 x x Giải: E X x ( x ) dx 64 0 64 DX EX EX 2 32 32 12 16 X 5 25 Phương sai biến ngẫu nhiên X độ lệch bình phương trung bình quanh giá trị trung bình E X Trong kỹ thuật phương sai đặc trưng cho mức độ phân tán chi tiết gia công hay sai số thiết bị Trong quản lý kinh doanh phương sai đặc trưng cho mức độ rủi ro định Ví dụ 2.19 cho thấy đầu tư bảo hiểm cho người 25 tuổi có lãi, ví dụ 2.24 cho thấy rủi ro bảo hiểm lớn 2.4.2.2 Tính chất 1) D(a) với số a (2.70) 2) D(aX b) a D( X ) với số a, b (2.71) 3) Nếu X , , X n độc lập có phương sai hữu hạn 69 Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng D a1 X1 an X n a12D X1 a 2n D X n (2.72) Nói riêng: Nếu X , Y độc lập DX , DY hữu hạn D X Y DX DY Ví dụ 2.26: Tung xúc xắc n lần độc lập Tìm phương sai tổng số chấm xuất n Giải: Xét X X i ví dụ 2.14 Vì X i (i 1, , n) độc lập nhau, theo cơng thức i 1 n (2.72) ta có DX DX i i 1 Mặt khác E Xi ; Do DX i 91 72 35 22 12 E X i2 2 2 2 91 2 3 4 5 6 6 Vậy DX 35 n 12 2.4.3 Phân vị, Trung vị 2.4.3.1 Phân vị Phân vị mức biến ngẫu nhiên X , ký hiệu v , giá trị phân chia miền giá trị X thỏa mãn P X v P X v FX (v ) FX (v ) Nghĩa (2.73) Trường hợp biến ngẫu nhiên X liên tục phân vị v điểm phân chia miền giá trị X thành miền với xác suất tương ứng 1 Vậy v nghiệm phương trình FX ( x) v FX1 () (2.74) Giá trị tới hạn mức phân vị mức 1 (2.75) Trường hợp biến ngẫu nhiên X rời rạc có phân bố: Ta có: FX ( xi ) p X ( x1 ) p X ( xi ) m, m xi , xi 1 v xi 1 70 nÕu FX ( xi ) FX ( xi 1 ) nÕu FX ( xi ) FX ( xi 1 ) (2.76) Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng 2.4.3.2 Trung vị Hình 2.18: Phân vị mức biến ngẫu nhiên rời rạc Phân vị mức 1/2 gọi median hay trung vị X , ký hiệu Med X Như trung vị điểm phân chia phân bố xác suất thành hai phần 2.4.4 Mốt Mốt (Mode) biến ngẫu nhiên X giá trị mà biến ngẫu nhiên X nhận với xác suất lớn Một biến ngẫu nhiên có nhiều Mốt Mốt biến ngẫu nhiên rời rạc X với bảng phân bố: xác định sau: xi0 Mod X pX ( xi0 ) max pX ( x1 ), pX ( x2 ), (2.77) Nếu X liên tục có hàm mật độ xác suất f X ( x) c Mod X f X (c) max f X ( x) , x (2.78) Ví dụ 2.27: Biến ngẫu nhiên X ví dụ 2.8 có Mốt trung vị Mod X Med X Ví dụ 2.28: Tìm trung vị Mốt biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân bố xác suất 71 Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng Giải: Dễ thấy Mod X 20 Hàm phân bố xác suất X 0 0,3 0,55 FX ( x) 0, 73 0,87 1 x 20 20 x 21 21 x 22 22 x 23 23 x 24 x 24 nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu Từ suy Med X 21 ; giá trị x 22; 23 phân vị mức 0,73 X Ví dụ 2.29: Tìm Med X Mod X biến ngẫu nhiên liên tục X xét ví dụ 2.6 Giải: Med X nghiệm phương trình FX ( x) x 0 Hàm mật độ xác suất f X ( x) 2 x 0 1 Med X 2 víi x víi x đạt cực đại x , Mod X víi x Ví dụ 2.30: Tìm Med X Mod X biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất xác định sau 3 x x víi x f X ( x) trái lại Giải: Hàm phân bố xác suất x3 3 FX ( x) x 4 Med X nghiệm phương trình FX ( x) Hàm mật độ xác suất f X ( x) có đạo hàm f X' víi x víi x víi x x3 x Từ Med X x 3 1 x ( x) với x trái lại đổi dấu từ dương sang âm qua x , đạt cực đại điểm Vậy Mod X Mốt phân bố nhị thức (xem công thức (1.20)) X B (n ; p) Mốt phân bố Poisson tham số 72 mod X (n 1) p (2.79) Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng P () mod X X (2.80) 2.4.5 Moment, hệ số bất đối xứng, hệ số nhọn (*) 1) Moment cấp k mk EX k ; k 1, 2, (2.81) 2) Moment quy tâm cấp k k E X E X ; k 1, 2, (2.82) 3) Hệ số bất đối xứng 3 4) Hệ số nhọn 4 k 3 3 4 4 với DX (2.83) (2.84) Nhận xét 2.5: m1 EX , 1 , DX đo mức độ bất đối xứng luật phân bố : Nếu phân bố xác suất đồ thị hàm mật độ xác suất lệch bên trái phân bố xác suất đồ thị hàm mật độ xác suất đối xứng phân bố xác suất đồ thị hàm mật độ xác suất lệch bên phải Hình 2.19b: Hệ số bất đối xứng Hình 2.19a: Hệ số bất đối xứng Hệ số nhọn đặc trưng cho độ nhọn đồ thị hàm mật độ xác suất so với đồ thị hàm mật độ xác suất phân bố chuẩn Với biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn đồ thị hàm mật độ xác suất nhọn so với đồ thị hàm mật độ xác suất chuẩn đồ thị hàm mật độ xác suất t so với đồ thị hàm mật độ xác suất chuẩn Khi phân bố X đối xứng gần đối xứng d ng kỳ vọng để định vị tốt nhất, song phân bố X lệch nên d ng Median Mode để định vị 2.4.6 Kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất thường gặp Phân bố xác suất X Bernoulli tham số p Hàm khối lượng p X ( xk ) mật độ f X ( x) Kỳ vọng EX Phương sai DX p X (k ) p k q1k ; k 0,1 p pq 73 Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng p X (k ) Cnk p k q nk ; k 0,1, , n Nhị thức B (n ; p) Poisson P ( ) np npq , a xb ba ( a b) / (b a)2 /12 ex , x 1/ 1/ 2 k / k p X (k ) e Đều U(a, b) Phân bố mũ tham số k ; 0; k 0,1, 2, k! f X ( x) e 2 Phân bố chuẩn N( ; ) 2 2 x / n / 21 (n / 2) ( x / 2) e , x0 (n 1) / x 1 n n / n Student n bậc tự do, n ; x (x) k 1 x e , x (k 1)! Phân bố Erlang tham số (k ; ) “Khi bình phương” n bậc tự ( x )2 (x)1 x e , x ( ) Gamma ( , ) n 2n n n2 2 ( n1) / , x 2 TÓM TẮT Biến ngẫu nhiên X nghiên cứu qua hàm phân bố xác suất FX ( x) P X x Nếu biến ngẫu nhiên X rời rạc với hàm khối lượng xác suất p X ( xk ), xk RX Hàm phân bố xác định theo công thức FX ( x) Ngược lại xk x; xk RX p X ( xk ) FX ( xk ) FX ( xk 1 ) , xk RX Nếu biến ngẫu nhiên X liên tục với hàm mật độ f X ( x) x FX ( x) f X ( x)dx f X ( x) Kỳ vọng EX xk RX d FX ( x) dx xk p X ( xk ) (trường hợp rời rạc) EX xf X ( x)dx (trường hợp liên tục) Phương sai 74 pX ( xk ) D X E( X E X )2 E X (E X )2 , Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng EX2 xk2 p X ( xk ) (trường hợp rời rạc) xk RX EX2 x f X ( x)dx (trường hợp liên tục) Phân vị mức biến ngẫu nhiên X , ký hiệu v , giá trị thỏa mãn FX (v ) FX (v ) xi0 Mod X pX ( xi0 ) max pX ( x1 ), pX ( x2 ), (trường hợp rời rạc) c Mod X f X (c) max f X ( x) , x (trường hợp liên tục) CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP 2.1 Biến ngẫu nhiên luôn nhận giá trị dương Đúng Sai 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc nhận số hữu hạn giá trị Đúng Sai 2.3 Nếu biến ngẫu nhiên X rời rạc nhận giá trị x1 , , xn hệ biến cố X x1, …, X xn lập thành hệ đầy đủ Đúng Sai 2.4 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc giá trị lấy thường xuyên Đúng Sai 2.5 Kỳ vọng tổng hai biến ngẫu nhiên luôn tổng kỳ vọng Đúng Sai 2.6 Hai biến ngẫu nhiên có c ng kỳ vọng có c ng phương sai Đúng Sai 2.7 Phương sai tổng hai biến ngẫu nhiên rời rạc luôn tổng phương sai Đúng Sai 2.8 Biến ngẫu nhiên tồn phương sai tồn kỳ vọng Đúng Sai 2.9 Hàm mật độ xác suất f (x) biến ngẫu nhiên liên tục có tính chất f ( x) Đúng Sai 2.10 Tổng hai biến ngẫu nhiên phân bố theo phân bố nhị thức luôn biến ngẫu nhiên phân bố theo phân bố nhị thức Đúng Sai 2.11 Biến ngẫu nhiên phân bố theo phân bố Poisson biến ngẫu nhiên rời rạc nên nhận số hữu hạn giá trị Đúng Sai 2.12 Nếu X biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson tham số kỳ vọng, phương sai Mốt X 75 Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng Đúng Sai 2.13 Nếu biến ngẫu nhiên X phân bố theo phân bố chuẩn N(; 2 ) xác suất sai lệch X kỳ vọng thỏa mãn P X 2 Đúng Sai 2.14 Nếu biến ngẫu nhiên X phân bố theo phân bố chuẩn N(; 2 ) X có phân bố chuẩn tắc N(0;1) Đúng Sai 2.15 Biến ngẫu nhiên có phân bố Student nhận giá trị dương Đúng Sai 2.16 Xác định số a , b cho hàm số sau hàm phân bố biến ngẫu nhiên X 1 ae x / b nÕu x F ( x) nÕu x 0 2.17 Biến ngẫu nhiên X có bảng phân bố X 5 P 0, 0, 0,1 0, Tính kỳ vọng E X phương sai D X 2.18 Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận ba giá trị có x1, x2 , x3 Biết x1 0, 6, x2 với xác suất tương ứng p1 0,3 , p2 0,5 có kỳ vọng E X Tìm x3 p3 2.19 Cho X1 X hai biến ngẫu nhiên độc lập có bảng phân bố xác suất sau: X1 X2 P 0,3 0,5 0,2 P 0,2 0,8 a) Tính EX1 ; EX ; DX1 ; DX b) Tính E(X1 X ) D(X1 X ) 2.20 Cho X1 , X , X ba biến ngẫu nhiên độc lập có bảng phân bố xác suất sau: X1 X2 X3 P 0,6 0,4 P 0,4 0.6 P 0,8 0.2 Lập bảng phân bố xác suất X 76 X1 X X Tính E( X ) ; D( X ) Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng 2.21 Hai biến ngẫu nhiên X , Y độc lập Tính D(Z ) với: a) Z X 3Y b) Z 3 X Y Cho biết D(X ) 4, D(Y ) 2.22 Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị có x1 1; x2 ; x3 Tìm xác suất tương ứng p1 ; p ; p3 biết E( X ) 0,1 D( X ) 0,89 2.23 Xếp ngẫu nhiên hành khách lên toa tầu I, II, III Gọi X số khách lên toa I Y số khách lên toa II III a) Tính xác suất để toa có khách b) Lập bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên X biến ngẫu nhiên Y 2.24 Tính kỳ vọng biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất cos x nÕu x / 2; / f X ( x) 0 nÕu x / 2; / 2.25 Tuổi thọ lồi tr ng biến ngẫu nhiên X (đơn vị tháng) với hàm mật độ xác suất sau kx2 (2 x) nÕu x f X ( x) trái lại a) Tìm k ; Tính xác suất để tr ng chết trước tháng tuổi; b) Tìm EX , DX 2.26 Hai xạ thủ A B tập bắn Mỗi người bắn hai phát Xác suất bắn trúng đích A lần bắn 0,4; B 0,5 a) Gọi X số phát bắn trúng A trừ số phát bắn trúng B Tìm phân bố xác suất X , kỳ vọng EX phương sai D X b) Tìm phân bố xác suất Y X kỳ vọng EY 2.27 Một xí nghiệp có hai ơtơ vận tải hoạt động Xác suất ngày làm việc ôtô bị hỏng tương ứng 0,1 0,2 Gọi X số ôtô bị hỏng thời gian làm việc Lập bảng phân bố xác suất, tính kỳ vọng EX phương sai D X X 2.28 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất X P k 2k 2k 3k k2 2k2 7k2 k a) Xác định k b) Tính xác suất P X 5 P X 3 c) Tính kỳ vọng EX 77 Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng d) Tính phương sai D X 2.29 Có sản phẩm có phẩm phế phẩm Người ta lấy sản phẩm (lấy khơng hồn lại) a) Gọi X "số phế phẩm gặp phải" Lập bảng phân bố xác suất X Tính kỳ vọng EX phương sai D X b) Gọi Y "số phẩm nhận được" Lập hệ thức cho biết mối quan hệ Y X Tính kỳ vọng EY phương sai DY 2.30 Một nhóm có 10 người có nam nữ Chọn ngẫu nhiên người Gọi X số nữ có nhóm chọn Lập bảng phân bố xác suất X Tính kỳ vọng EX 2.31 Hai kiện tướng bóng bàn ngang sức thi đấu với Hỏi thắng ván dễ hay thắng ván dễ 2.32 Trong lô hàng có 800 sản phẩm loại 200 sản phẩm loại Lấy ngẫu nhiên sản phẩm theo phương thức có hồn lại Gọi X số sản phẩm loại lấy a) X có phân bố gì? Viết biểu thức tổng quát phân bố b) Tìm kỳ vọng phương sai X c) Tìm mốt X tính khả để xảy điều 2.33 Xác suất để sản phẩm sản xuất bị hỏng 0,1 a) Tìm xác suất để sản phẩm sản xuất có khơng q sản phẩm hỏng b) Tìm số sản phẩm hỏng trung bình sản phẩm c) Tìm số sản phẩm hỏng có khả xảy nhiều 2.34 Một thi trắc nghiệm gồm có 10 câu hỏi, câu hỏi có phương án trả lời, có phương án Giả sử câu trả lời điểm câu trả lời sai bị trừ điểm Một học sinh làm cách chọn hú hoạ phương án cho câu hỏi Tính xác suất để: a) Anh ta điểm b) Anh ta bị điểm âm 2.35 Tín hiệu thơng tin phát lần độc lập Xác suất thu tin lần phát 0,7 Tính xác suất: a) Thu tín hiệu lần b) Thu tín hiệu nhiều lần c) Thu tin 2.36 Một cầu thủ tiếng đá phạt đền, xác suất đá vào gơn 4/5 Có người cho “sút” chắn có vào lưới Điều khẳng định có khơng? Tìm xác suất để lần sút có lần bóng vào lưới 2.37 Ỏ tổng đài bưu điện điện thoại gọi đến xuất cách ngẫu nhiên, độc lập với trung bình có gọi phút Tính xác suất để: a) Có gọi khoảng thời gian 10 giây b) Trong khoảng thời gian phút có nhiều ba gọi c) Trong khoảng thời gian phút liên tiếp phút có nhiều gọi 78 Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng 2.38 Giả sử X biến ngẫu nhiên rời rạc với phân bố cấp số nhân tham số p có hàm khối lượng xác suất p X ( x) thỏa mãn công thức (2.16) a) Nghiệm lại công thức pX (k ) Tìm hàm phân bố FX ( x) k 1 b) Tính kỳ vọng E X , phương sai D X 2.39 Biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố chuẩn với kỳ vọng 10 phương sai Tính xác suất để X nhận giá trị khoảng (8; 12) 2.40 Biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố chuẩn với kỳ vọng 10 Xác suất để X nhận giá trị khoảng (10; 20) 0,3 Tìm xác suất để X nhận giá trị khoảng (0; 10) 2.41 Trọng lượng sản phẩm X máy tự động sản xuất biến ngẫu nhiên tuân theo phân bố chuẩn với 100 gam độ lệch chuẩn gam Sản phẩm coi đạt tiêu chuẩn kỹ thuật trọng lượng đạt từ 98 đến 102gam a) Tìm tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật nhà máy b) Tìm tỷ lệ phế phẩm nhà máy c) Giải thích đồ thị kết tìm phần a) 2.42 Cho X i ( i 1, n ) biến ngẫu nhiên độc lập, c ng tuân theo phân bố chuẩn với E( X ) E( X ) E( X n ) ; D( X ) D( X ) D( X n ) Lập cơng thức tính P X biết X n X i tuân theo phân bố n i 1 chuẩn, tùy ý 2.43 Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi biến ngẫu nhiên Rayleigh tham số hàm mật độ có dạng x x2 /(22 ) e f X ( x) 2 0 x0 x0 a) Xác định hàm phân bố FX ( x) b) Tính kỳ vọng E X , phương sai D X 79 ... 73 0,87 1 x 20 20 x 21 21 x 22 22 x 23 23 x 24 x 24 nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu Từ suy Med X 21 ; giá trị x 22 ; 23 phân vị mức 0,73 X Ví dụ 2. 29: Tìm Med X Mod X... (2. 44), (2. 45), (2. 46) ta có: 24 00 21 00 a) P X 24 00 P X 24 00 (1,5) 0,93 32 20 0 22 00 21 00 1700 21 00 b) P 1700 X 22 00 20 0 20 0 ... X i ví dụ 2. 14 Vì X i (i 1, , n) độc lập nhau, theo cơng thức i 1 n (2. 72) ta có DX DX i i 1 Mặt khác E Xi ; Do DX i 91 72 35 22 12 E X i2 2 2 2 91 2 3 4 5 6