3 đề thi online hàm số liên tục có lời giải chi tiết

ĐỀ THI ONLINE – CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT Mục tiêu đề thi: - Hiểu được khái niệm hàm số liên tục và một số định lí cơ bản.. - Thành thạo trong các dạng toán

ĐỀ THI ONLINE – CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Mục tiêu đề thi:

- Hiểu được khái niệm hàm số liên tục và một số định lí cơ bản

- Thành thạo trong các dạng toán về hàm số liên tục:

+ Chứng minh hàm số liên tục tại một điểm

+ Chứng minh hàm số liên tục trên một đoạn

+ Chứng minh phương trình có nghiệm trên một khoảng

Câu 1 (NB): Hàm số y f x có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?

Câu 2 (NB): Cho hàm số

2

2

f x

x 5x 6 Hàm số f x liên tục trên khoảng nào sau đây?

Câu 3 (NB): Hàm số

4

2

khi x 0, x 1

A. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm thuộc đoạn 1; 0 B. Liên tục tại mọi điểm trừ x = 0

C. Liên tục tại mọi điểm x R D. Liên tục tại mọi điểm trừ x 1

Câu 4 (NB) : Hàm số

2

3

x cos x khi x 0 x

1 x

A. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0 B. Liên tục tại mọi điểm trừ x = 1

C. Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm x = 0 và x = 1 D. Liên tục tại mọi điểm x R

Câu 5 (NB) : Cho hàm số

3 x

khi x 3

Hàm số đã cho liên tục tại x = 3 khi m bằng :

Câu 6 (NB): Cho hàm số 3

Để hàm số liên tục tại x = 8, giá trị của a là:

Câu 7 (TH): Cho hàm số

sin 5x

Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0

Câu 8 (TH): Cho hàm số

x cos khi x 1 2

f x

x 1 khi x 1

Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. Hàm số liên tục tại x = 1 và x 1

B. Hàm số liên tục tại x = 1, không liên tục tại điểm x 1

C. Hàm số không liên tục tại x = 1 và x 1

D. Tất cả đều sai

Câu 9 (TH): Chọn giá trị của f 0 đề hàm số

32x 8 2

f x

3x 4 2 liên tục tại điểm x = 0

1

9

Câu 10 (TH): Cho hàm số

khi 0 x 9 x

3

khi x 9 x

Tìm m để f x liên tục trên 0;

A. 1

1

1

Câu 11 (TH): Cho hàm số

tan x

Hàm số y f x liên tục trên các khoảng nào sau đây?

A. 0;

Câu 12 (TH): Cho phương trình 4 2

2x 5x x 1 0 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong 2;1

B. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng 0; 2

C. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng 2; 0

D. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng 1;1

Câu 13 (VD) : Cho hàm số

2

x 3

khi x 3

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm

số liên tục tại x = 3

Câu 14 (VD) : Cho a và b là các số thực khác 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để hàm số

2

ax 1 1

khi x 0

4x 5b khi x 0

liên tục tại x = 0

Câu 15 (VD): Cho hàm số

2

khi x 2

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số liên tục trên R

Câu 16 (VD): Cho hàm số f x xác định trên [a; b] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Nếu hàm số f x lien tục trên đoạn [a; b] và f a f b 0 thì phương trình f x 0 không có nghiệm trong khoảng a; b

B. Nếu f a f b 0 thì phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng a; b

C. Nếu phương trình f x 0 có nghiệm trong khoảng a; b thì hàm số y f x liên tục trên khoảng a; b

D. Nếu hàm số y f x liên tục tăng trên đoạn a; b và f a f b 0 thì phương trình f x 0 không thể có nghiệm trong a; b

Câu 17 (VD): Cho hàm số

sin x khi x

2

f x

ax b khi x

2 liên tục trên R Khi đó giá trị của a và b là:

A.

2

a

b 1

2 a

b 2

1 a

b 0

2 a

b 0

Câu 18 (VD): Cho hàm số

2

x sin khi x 0

a cos x 5 khi x 0

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm

số liên tục trên R

C. a 11

2 D. Không có giá trị nào của a thỏa mãn

Câu 19 (VDC): Cho hàm số

3

x 6 a

khi x 3

x 2b 1 x khi x 3

trong đó a, b là các tham số thực Biết hàm

số liên tục tại x = 3 Số nhỏ hơn trong hai số a và b là:

Câu 20 (VDC): Cho a, b là các số thực khác 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để hàm số sau liên tục tại

x 0 :

3

ax 1 bx 1 1

khi x 0

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM

Câu 1

Phương pháp:

Hàm số y f x liên tục tại điểm x x0 khi và chỉ khi

0

0

xlim f xx f x

Cách giải:

Quan sát đồ thị ta thấy

lim f x 3; lim f x 0 lim f x lim f x nên không tồn tại

x 1 lim f x Do

đó hàm số gián đoạn tại điểm x = 1

Chọn B

Câu 2

Phương pháp:

Hàm phân thức hữu tỷ liên tục trên tập xác định của chúng

Cách giải:

TXĐ: D R \ 3; 2 ; 3 3; 2 2; nên theo định lí 1, hàm số liên tục trên các khoảng ; 3 ; 3; 2 ; 2; Vì 2;3 2; Hàm số liên tục trên 2;3

Chọn B

Câu 3

Phương pháp:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0 và x 1

Hàm số y f x liên tục tại điểm x x0 khi và chỉ khi

xlim f xx f x

Cách giải:

TXĐ: D R \ 0; 1 , hàm phân thức liên tục trên TXĐ nên hàm số y f x liên tục trên D

Ta có:

2 2

4 3

2

x x x 1 Hàm số liên tục tại x = 0

Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm x R

Chọn C

Câu 4

Phương pháp :

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0 và x = 1

Hàm số y f x liên tục tại điểm x x0 khi và chỉ khi

0

0

xlim f xx f x

Cách giải :

2

x

1 x lim f x lim x cos x 0 lim f x lim f x f 0

0

1 0

Hàm số liên tục tại x = 0

3

2

lim f x lim x 1

lim f x lim f x

lim f x lim

Không tồn tại

x 1

tục tại x = 1

Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm trừ x = 1

Chọn B

Câu 5

Phương pháp :

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 3:

x 3 lim f x f 3

Cách giải:

Ta có:

3 x

x 1 4

Đề hàm số liên tục tại x = 3 thì

x 3 lim f x f 3 m 4

Chọn A

Câu 6

Phương pháp:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 8:

x 8 lim f x f 8

Cách giải:

3

x 8

x 2 lim f x lim ax 4 8a 4

f 8 8a 4

Đề hàm số liên tục tại x = 8 12 8a 4 a 1

Chọn A

Câu 7

Phương pháp:

Sử dụng giới hạn

x 0

sin x

x , xét tính liên tục của hàm số tại x = 0

Cách giải:

Ta có

x 0

sin 5x

5x

Vậy để hàm số liên tục tại x = 0 thì a 2 1 a 1

Chọn B

Câu 8

Phương pháp:

Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm x = 1 và x 1

Hàm số y f x liên tục tại điểm x x0 khi và chỉ khi

0

0

xlim f xx f x

Cách giải:

x cos khi 1 x 1 x

2

x 1

Ta có:

x 1 x 1

lim f x lim x 1 0

x lim f x lim cos cos 0 lim f x lim f x f 1 0

2

Hàm số liên tục tại x = 1

x

lim f x lim x 1 2

Hàm số không liên tục tại x 1

Chọn B

Câu 9

Phương pháp:

Hàm số y f x liên tục tại điểm x 0 khi và chỉ khi

x 0 lim f x f 0

Cách giải:

3

2

2x 8 2

lim

9

3 2 2.2 4

Để hàm số liên tục tại điểm x 0 khi và chỉ khi

x 0

2 lim f x f 0 f 0

9

Chọn C

Chú ý và sai lầm: Học sinh có thể sử dụng MTCT để tính

x 0 lim f x bằng cách nhập hàm số 3

f x

3x 4 2 vào MTCT, sử dụng phím [CALC], chọn x = 0,00001, ta được

2

9

Câu 10

Phương pháp:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0 và x = 9

Hàm số y f x liên tục tại điểm x x0 khi và chỉ khi

xlim f xx f x

Cách giải:

Hàm số liên tục trên 0;9 9; , ta cần xét tính liên tục của hàm số tại x = 0 và x = 9

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì

x 0

1

3 1 lim f x lim

3 1

f 9

9 3

Hàm số liên tục tại x = 9

Vậy với m 1

6 thì hàm số liên tục trên 0;

Chọn C

Câu 11

Phương pháp:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0, sử dụng giới hạn

x 0

sin x

Hàm số y f x liên tục tại điểm x x0 khi và chỉ khi

xlim f xx f x

Cách giải:

x 0

f 0 0

Hàm số gián đoạn tại điểm x = 0, do đó loại các đáp án B, C, D

Chọn A

Câu 12

Phương pháp:

Hàm số y f x liên tục trên a; b và f a f b 0 thì tồn tại ít nhất một số x0 a; b sao cho x0 là nghiệm của phương trình f x 0

Cách giải:

TXĐ: D = R Hàm số 4 2

f x 2x 5x x 1 liên tục trên R

Ta có: f 1 3, f 0 1 f 1 f 0 0 Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong 1; 0 2;1

Ta có f 0 1; f 1 1 f 0 f 1 0 Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc 0;1 2;1 Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong 2;1 Đáp án A sai

Ta có: f 1 3, f 0 1 f 1 f 0 0 Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong 1; 0 2; 0 Đáp án C sai

Ta có f 0 1; f 1 1 f 0 f 1 0 Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc 0;1 1;1 Đáp án D sai

Chọn B

Câu 13

Phương pháp:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 3

Để hàm số liên tục tại x = 3 thì

x 3 lim f x f 3

Cách giải :

Hàm số đã cho xác định trên R

Ta có

2

2

Vậy

lim f x lim f x Không tồn tại

x 3 lim f x Vậy với mọi m hàm số không liên tục tại x = 3

Chọn A

Chú ý và sai lầm : Các em học sinh thường sai lầm khi không tính giới hạn trái và giới hạn phải trong bài toán trên Nhiều học sinh có lời giải sai như sau :

2

x 3 x 3 Hàm số liên tục tại x = 3 lim f xx 3 f 3 m 1 Chọn đáp

án C

Câu 14

Phương pháp:

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì

x 0 lim f x f 0

Cách giải:

f 0 5b

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì

x 0

a

2

Chọn B

Câu 15

Phương pháp:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 2:

lim f x lim f x f 2

Cách giải:

Hàm số liên tục trên R, liên tục trên 2;

Ta có

x 12x 20 x 2 x 10 Không tồn tại lim f xx 2 Hàm số gián đoạn tại x = 2

lim f x lim

Đề hàm số liên tục tại x = 2 thì

3

Thử lại khi m = 5 thì khi x < 2, f x 2 x 1

x 10x 17 liên tục trên ; 2 Vậy với m = 5 thì hàm số liên tục trên R

Chọn C

Câu 16

Phương pháp:

Nhận xét từng đáp án, sử dụng định lí: Nếu hàm số y f x liên tục trên a; b và f a f b 0 thì tồn tại

ít nhất một số x0 a; b sao cho f x0 0

Cách giải:

Đáp án A sai Chẳng hạn xét hàm số 2

f x x 5 Hàm số này xác định trên 3;3 và liên tục trên đoạn

đó, đồng thời f 3 f 3 16 0 nhưng phương trình f x x2 5 0 có nghiệm x 5 3;3 Đáp án B sai vì thiếu điều kiện f x liên tục trên a; b

Đáp án C sai Ví dụ xét hàm số f x x 1 khi x 0

x 2 khi x 0 Hàm số này xác định trên 3;3 , có nghiệm

x 1 thuộc khoảng 3;3 nhưng gián đoạn tại điểm x 0 3;3 nên không liên tục trên khoảng 3;3

Đáp án D đúng Thật vậy:

+ Vì hàm số y f x liên tục tăng trên đoạn a; b nên f a f x f b x a; b

TH1:

f a 0

f a f x f b

TH2:

f a 0

f a f x f b

Vậy không có giá trị nào của x để f x 0, hay phương trình f x 0 không thể có nghiệm trong a; b

Chọn D

Chú ý và sai lầm: Rất nhiều học sinh quên điều kiện liên tục của hàm số và chọn đáp án B

Câu 17

Phương pháp:

+) Hàm đa thức, phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên các tập xác định của chúng

+) Xét tính liên tục của hàm số tại x

2

+) Để hàm số liên tục tại x

lim f x f ; lim f x f

Cách giải:

sin x khi x

sin x khi x

2

2

ax b khi

ax b khi x

2

x 2

Ta có hàm số liên tục trên các khoảng ; ; ;

Để hàm số liên tục trên R thì hàm số phải liên tục tại các điểm x 2

x 2

lim f x f

2 x

2 lim f x f

2

Ta có

2

lim f x lim sin x sin 1 lim f x lim f x f

2

2

2

x 2

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

2

a 2

b 0

2

Chọn D

Câu 18

Phương pháp:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0 Để hàm số liên tục tại điểm x = 0 thì

lim f x lim f x f 0

Cách giải:

Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng ; 0 và 0; Để hàm số liên tục trên R ta cần chứng minh hàm số liên tục tại x = 0

lim f x lim a cos x 5 a 5 f 0

Ta có

Để hàm số liên tục tại điểm x = 0 thì

lim f x lim f x f 0 a 5 0 a 5

Chọn A

Câu 19

Phương pháp:

Xét các trường hợp của a và tính

x 3

lim f x , để hàm số liên tục tại x = 3 thì

x 3 lim f x f 3

Cách giải:

f 3 27 3 2b 1

Đặt g x x 6 a Ta có g 3 3 a

Nếu a 3 thì

Để hàm số liên tục tại x = 3

x 3

Nếu

x 3

g x

x 1 2 Hàm số không thể liên tục tại x = 3

Vậy a 3, b 35

9

Chọn B

Câu 20

Phương pháp:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì

x 0 lim f x f 0

Cách giải:

Ta có:

3 3 3

x 0

2 2

ax 1 bx 1 1

lim

x

lim

0

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì

x 0

Chọn C