DS c3 UNG DUNG TICH PHAN

CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN Diện tích hình phẳng a) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) liên tục đoạn b [ a; b] , trục hoành hai đường thẳng x =a , x =b xác định: S =ò f ( x) dx a y y = f (x) O a c1 c2 c3 b x  y = f (x)  y = (H )  x = a  x = b b S = ∫ f ( x ) dx a b) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , y =g ( x ) liên tục b đoạn [ a; b] hai đường thẳng x =a , x =b xác định: S =ò f ( x ) - g ( x) dx a y (C1): y = f1(x)  (C ): y = f2 (x) (H )  x = a x = b  (C1) (C2 ) b c2 b a c1 O S = ∫ f1 ( x ) − f ( x ) dx x a Chú ý: b b a a - Nếu đoạn [a; b] , hàm số f ( x) khơng đổi dấu thì: ò f ( x) dx =ò f ( x)dx - Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích hình phẳng giới hạn đường x =g ( y ) , x =h( y ) hai d đường thẳng y =c , y =d xác định: S =ò g ( y ) - h( y ) dy c Thể tích vật thể thể tích khối tròn xoay a) Thể tích vật thể: Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm a b; S ( x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x , (a £ x £ b) Giả sử S ( x) hàm số liên tục đoạn [a; b] (V ) O x a b b x V = ∫ S ( x )dx a S(x) Trang 1/34 b Khi đó, thể tích vật thể B xác định: V =òS ( x) dx a b) Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x =a , x =b quanh trục Ox: y y = f (x) O a (C ): y = f (x)  b (Ox): y = Vx = π ∫ [ f ( x )] dx  x x = a a  x = b b Chú ý: - Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x =g ( y ) , trục hoành hai đường thẳng y =c , y =d quanh trục Oy: y d c O (C ): x = g(y)  (Oy): x =  y = c  y = d x d V y = π ∫ [ g ( y )] dy c - Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f ( x) , y =g ( x ) hai đường thẳng x =a , x =b quanh trục Ox: b V =pò f ( x) - g ( x) dx a Trang 2/34 B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM I- Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: Những điểm cần lưu ý: Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình b phẳng giới hạn đường y = f ( x), y =g ( x ), x =a, x =b S =ò f ( x ) - g ( x) dx a Phương pháp giải tốn +) Giải phương trình f ( x) =g ( x) (1) b +) Nếu (1) vơ nghiệm S =ò( f ( x) - g ( x)) dx a +) Nếu (1) có nghiệm thuộc [ a; b] giả sử a a b a a S =ò( f ( x) - g ( x)) dx +ò( f ( x ) - g ( x)) dx Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f ( x ) - g ( x ) đoạn [ a; b] dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình b phẳng giới hạn đường y = f ( x), y =g ( x ) S =ò f ( x ) - g ( x) dx Trong a, b a nghiệm nhỏ lớn phương trình f ( x) =g ( x) ( a £ a 1 10 a y = x - x Khi a +2b b A 16 B 15 C 17 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Ta có 10 x - x =- x Þ x =0 10 x - x =x - Þ x =3 3 ỉ10 ỉ10 13 ç x - x +x ÷ ÷dx +òç ç x - x - x +2 ÷ ÷dx = Nên S =ũỗ ứ ứ 0ố3 1ố3 D 18 - x +4 x - Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số (C ) : y = , tiệm cận xiêm x-1 (C ) hai đường thẳng x =0, x =a (a g ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ] f ( x ) > g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a, b ] ≤ f ( x ) < g ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ] Số nhận định nhận định là: A B C D Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta suy xảy hai trường hợp: ( ) : f ( x ) > g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a, b ] ( 3) : ≤ f ( x ) < g ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ] Do số nhận định khơng Câu 59 Cho hình phẳng giới hạn đường y = x ln x , y = 0, x = e quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: Trang 29/34 4e3 + A π 4e3 − B π 2e3 + C π 2e3 − D π Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm đường x = e với y = x ln x điểm C (3;3) Tọa độ giao điểm đường y = x ln x với y = A(1;0) Vậy thể tích khối tròn xoay e cần tính là: V = ∫ π x2 ln xdx = π Câu 60 2e3 + Cho hình phẳng giới hạn đường y = x − x + x, y = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: A 729π 35 B 27π C 256608π 35 D 7776π Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm đường y = x − x + x với y = điểm C (e;e) A(3;0) Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là: ( ) 729 35 Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình V = ∫ π x3 − 6x2 + 9x dx = π Câu 61 tròn giới hạn đường tròn x + y = 16 (nằm mặt phẳng Oxy), cắt vật mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta thiết diện tam giác Thể tích vật thể là: Trang 30/34 A V = 256 B V = 256 C V = 32 D V = 32 Hướng dẫn giải Giao điểm thiết diện Ox H Đặt OH = x suy cạnh thiết diện 4(16 − x2) 16 − x2 Diện tích thiết diện H S(x) = Vậy thể tích vật thể V = ∫ 3(16 − x2)dx = −4 Câu 62 256 Cho hình phẳng giới hạn đường y = x , y = x quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: A V = 88π B V = 9π 70 C V = 4π D V = 6π Hướng dẫn giải Với x ∈ 0;2 y2 = 4x ⇔ y = 4x Tọa độ giao điểm đường y = x với y2 = 4x điểm O(0;0) A(1;2) 1 Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là: V = ∫ π 4xdx − ∫ π 4x4dx = π 0 BÀI TẬP TỔNG HỢP ( Chỉ có phần đáp số) Câu 63 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong ax = y ; ay = x (a > cho trước) là: Trang 31/34 A S = a3 B S = a3 C S = 2a 3 D 4a S= Câu 64 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị của: đường thẳng x = 0, x = là: A B 3 C y = x − x , trục Ox D Diện tích hình phẳng giới hạn Parabol y = − x đường thẳng y = -x - Câu 65 A 11 B C - 2 D Câu 66 Diện tích hình phẳng giới hạn ba đường: y = sinx, y = cosx x = A + B 2 + C D 2 − 1 Diện tích hình phẳng giới hạn hai parabol: y = x y =3 x - x là: A B C D Câu 67 Câu 68 Diện tích giới hạn đường cong: (C1 ) : y = f1 ( x) = x + 1;(C ) : y = f ( x) = x − x đường thẳng x = -1 x = 2 A Câu 69 B 11 C 13 Diện tích hình phẳng giới hạn parabol: parabol M(3 ; 5) trục tung A B D - 11 y = x − x + tiếp tuyến với điểm C D Câu 70 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x(x – 1)(x – 2), y = 1 A B C D Câu 71 Cho D miền kín giới hạn đường y = 1, y = – x x = Tính diện tích miền D 1 A B C D Câu 72 Diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = cosx , y = 0, x=0, p x= A Câu 73 B C D Tính thể tích vật thể giới hạn mặt sinh quay hình phẳng giới hạn bởi: y = x − x ; y = Trang 32/34 quay quanh Ox 14p 16p A B 15 15 Câu 74 C 17p 15 D 48p 15 Thể tích vật thể tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = x ;8 x = y quay quanh trục Oy là: A Câu 75 21p 15 B 23p 15 C 24p 15 D 48p Thể tích khối tròn xoay sinh quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn trục Ox Parabol (C ) y = ax − x (a > 0) là: A Câu 76 pa 30 pa B 20 pa C pa D 10 Thể tích khối tròn xoay tạo nên ta quay quanh trục Ox, hình phẳng S giới hạn đường: y = x.e x , x = 1, y = 0(0 ≤ x ≤ 1) là: A π (e + 1) B π (e − 1) C π (e + 1) D ( ) p e2 - 12 Trang 33/34