Phân tích dao động và chẩn đoán kết cấu dầm bằng vật liệu cơ tính biến thiên có nhiều vết nứt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Ngơ Trọng Đức PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG VÀ CHẨN ĐỐN KẾT CẤU DẦM BẰNG VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CÓ NHIỀU VẾT NỨT Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 9520101 LUẬN ÁN TIẾN SỸ HÀ NỘI - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Ngơ Trọng Đức PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG VÀ CHẨN ĐỐN KẾT CẤU DẦM BẰNG VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CÓ NHIỀU VẾT NỨT Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 9520101 LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VĂN LIÊN HÀ NỘI - 2019 i LỜI CẢM ƠN Luận án ―Phân tích dao động chẩn đoán kết cấu dầm vật liệu tính biến thiên có nhiều vết nứt‖ kết nghiên cứu thời gian vừa qua Tác giả hướng dẫn GS.TS Trần Văn Liên (Trường Đại học Xây dựng) Luận án nhằm giải số vấn đề đặt phân tích chẩn đoán hư hỏng kết cấu dầm làm vật liệu tính biến thiên Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Trường Đại học Xây dựng, Khoa Đào tạo Sau Đại học, Khoa Xây dựng Dân dụng Công nghiệp, Bộ môn Sức bền vật liệu, nhà khoa học, đặc biệt GS.TS Trần Văn Liên hướng dẫn nghiên cứu tạo điều kiện giúp tơi hồn thành Luận án ii LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn GS.TS Trần Văn Liên, hiểu biết tin tưởng Các số liệu, kết đưa luận án trung thực chưa tác giả khác công bố tài liệu Hà nội, ngày … tháng … năm 2019 Tác giả luận án Ngô Trọng Đức iii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i LỜI CAM ĐOAN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT vii Các ký hiệu vii Các chữ viết tắt ix DANH MỤC CÁC BẢNG, SƠ ĐỒ x Danh mục bảng x Danh mục sơ đồ x DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ xi MỞ ĐẦU 1 Lý lựa chọn đề tài Mục đích, mục tiêu nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Nội dung nghiên cứu Cơ sở khoa học Ý nghĩa khoa học thực tiễn Những kết đạt đƣợc Cấu trúc luận án CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan đánh giá trạng thái kỹ thuật cơng trình 1.1.1 Sự cần thiết phải tiến hành SHM 1.1.2 Các cấp độ SHM 1.1.3 Những thành phần hệ thống SHM 1.1.4 SHM dựa vào đặc trưng động lực học 10 1.2 Vật liệu tính biến thiên 11 1.2.1 Khái niệm vật liệu FGM 11 1.2.2 Phân loại vật liệu FGM 12 1.3 Mơ hình hóa hƣ hỏng 13 1.3.1 Mô hình kết cấu liên tục (hệ vơ hạn bậc tự do) 13 1.3.2 Mơ hình kết cấu rời rạc (hệ hữu hạn bậc tự do) 14 iv 1.3.3 Mơ hình tham số kết cấu không nguyên vẹn [12] 16 1.4 Mơ hình vết nứt phân tích động lực kết cấu dầm 17 1.4.1 Các dạng vết nứt [16] 17 1.4.2 Mơ hình suy giảm độ cứng theo hệ số tập trung ứng suất 18 1.4.3 Mơ hình suy giảm độ cứng liên tục 20 1.4.4 Mơ hình lò xo đàn hồi 22 1.5 Các nghiên cứu phân tích kết cấu dầm FGM có nhiều vết nứt 25 1.6 Phƣơng pháp độ cứng động lực phân tích kết cấu dầm 27 1.6.1 Khái niệm phương pháp độ cứng động lực 27 1.6.2 Các nghiên cứu phương pháp độ cứng động lực 28 1.7 Các phƣơng pháp chẩn đoán hƣ hỏng dựa đặc trƣng động lực 30 1.7.1 Phương pháp dựa tần số dao động 31 1.7.2 Phương pháp dựa thay đổi dạng dao động riêng 32 1.7.3 Phương pháp đo đạc ma trận độ mềm 35 1.7.4 Phương pháp sử dụng phân tích wavelet 37 1.7.5 Phương pháp mạng trí tuệ nhân tạo 38 1.8 Định hƣớng nghiên cứu 41 1.9 Kết luận chƣơng 41 CHƢƠNG 2: MƠ HÌNH DAO ĐỘNG CỦA DẦM TIMOSHENKO FGM CÓ NHIỀU VẾT NỨT 43 2.1 Dao động dầm Timoshenko nguyên vẹn 44 2.1.1 Các hệ thức 44 2.1.2 Phương trình vi phân dao động miền thời gian miền tần số 45 2.1.3 Nghiệm phương trình vi phân dao động tự 48 2.1.4 Nghiệm phương trình vi phân dao động cưỡng 50 2.2 Điều kiện liên tục vị trí vết nứt Mơ hình hai lò xo tƣơng đƣơng 51 2.3 Dao động dầm Timoshenko có nhiều vết nứt 53 2.3.1 Xác định ma trận hàm vết nứt G(x) biểu thức chuyển vị Z c (x) 53 2.3.2 Tần số dạng dao động riêng dầm Timoshenko có nhiều vết nứt 55 2.3.3 Dao động cưỡng dầm Timoshenko có nhiều vết nứt 57 2.4 Ma trận độ cứng động lực véc tơ tải trọng quy nút phần tử dầm Timoshenko có nhiều vết nứt 57 v 2.4.1 Ma trận độ cứng véc tơ tải trọng quy nút 58 2.4.2 Ghép nối điều kiện biên 60 2.4.3 Phân tích kết cấu phương pháp độ cứng động lực 61 2.5 Sơ đồ thuật tốn chƣơng trình 63 2.5.1 Sơ đồ phân tích kết cấu phương pháp độ cứng động lực 63 2.5.2 Sơ đồ khối chương trình lập 64 2.6 Kết luận chƣơng 66 CHƢƠNG 3: PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA KẾT CẤU DẦM BẰNG VẬT LIỆU FGM CÓ NHIỀU VẾT NỨT 67 3.1 Kiểm tra độ tin cậy chƣơng trình đƣợc lập 67 3.1.1 So sánh kết tính tần số dao động riêng 67 3.1.2 So sánh kết tính dạng dao động riêng 69 3.2 Phân tích dao động dầm FGM Timoshenko nguyên vẹn 71 3.2.1 Ảnh hưởng vị trí trục trung hòa đến tần số dao động riêng 71 3.2.2 Ảnh hưởng điều kiện biên đến tần số dao động riêng 71 3.2.3 Ảnh hưởng tham số vật liệu FGM đến tần số dao động riêng 73 3.3 Phân tích dao động dầm FGM Timoshenko có nhiều vết nứt 74 3.3.1 Tần số dao động riêng dầm Timoshenko FGM có nhiều vết nứt 74 3.3.2 Dạng dao động riêng dầm Timoshenko FGM có nhiều vết nứt 77 3.3.3 Dao động cưỡng dầm Timoshenko FGM có nhiều vết nứt 81 3.4 Phân tích dao động dầm liên tục FGM có nhiều vết nứt 83 3.4.1 Tần số dao động riêng dầm liên tục FGM có nhiều vết nứt 83 3.4.2 Dạng dao động riêng dầm liên tục FGM có nhiều vết nứt 86 3.4.3 Dao động cưỡng dầm liên tục FGM có nhiều vết nứt 92 3.5 Kết luận chƣơng 94 CHƢƠNG 4: CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRÊN KẾT CẤU DẦM FGM BẰNG PHÂN TÍCH WAVELET VÀ MẠNG ANN 97 4.1 Chẩn đốn vị trí vết nứt phân tích wavelet dừng 97 4.1.1 Cơ sở toán học biến đổi wavelet 97 4.1.2 Một số họ wavelet thông dụng 100 4.1.3 Nhiễu đo đạc khử nhiễu 101 4.1.4 Bộ công cụ phân tích wavelet MatLab 103 vi 4.1.5 Sơ đồ phương pháp chẩn đốn vết nứt phân tích wavelet dừng dạng dao động hay chuyển vị động 104 4.1.6 Kết số chẩn đốn vị trí vết nứt phân tích wavelet dừng 104 4.2 Chẩn đốn vết nứt mạng trí tuệ nhân tạo 113 4.2.1 Nơ ron nhân tạo 113 4.2.2 Mạng trí tuệ nhân tạo 115 4.2.3 Phương pháp học huấn luyện mạng 117 4.2.4 Bộ công cụ ANN MatLab 118 4.2.5 Sơ đồ phương pháp chẩn đoán vết nứt ANN 119 4.2.6 Kết số chẩn đoán vết nứt ANN 120 4.3 Chẩn đốn vết nứt kết hợp phân tích SWT ANN 124 4.3.1 Chẩn đốn vết nứt dầm cơng xơn FGM ANN sử dụng phân tích SWT dạng dao động riêng 125 4.3.2 Chẩn đoán vết nứt dầm cơng xơn FGM ANN sử dụng phân tích SWT chuyển vị cưỡng 126 4.4 Kết luận chƣơng 127 KẾT LUẬN CHUNG 129 A Những kết chủ yếu đạt đƣợc luận án 129 B Kiến nghị hƣớng phát triển luận án 130 CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN ĐÃ CÔNG BỐ 131 TÀI LIỆU THAM KHẢO 133 vii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Các ký hiệu A11 Độ cứng dọc trục A12 Độ cứng tƣơng hỗ kéo-uốn A22 Độ cứng chống uốn A33 Độ cứng chống trƣợt aj Độ sâu vết nứt thứ j (tỷ số chiều sâu vết nứt chiều cao tiết diện, tính %) b Chiều rộng dầm (m) cAj Hệ số xấp xỉ biến đổi wavelet cDj Hệ số chi tiết biến đổi wavelet cDj Hệ số chi tiết mức j cAj Hệ số xấp xỉ mức j Et Mô đun đàn hồi Young vật liệu mặt dầm FGM (N/m2) Eb Mô đun đàn hồi Young vật liệu mặt dƣới dầm FGM (N/m2) ej Vị trí vết nứt thứ j fi Hàm truyền nơ ron thứ i Gt Mô đun trƣợt hữu hiệu vật liệu lớp dầm FGM (N/m2) Gb Mô đun trƣợt hữu hiệu vật liệu lớp dƣới dầm FGM (N/m2) h Chiều cao dầm (m) h0 Khoảng cách từ trục trung hòa đến trục dầm I11 Mơ men khối lƣợng dọc trục I12 Mô men khối lƣợng tƣơng hỗ trục - xoay I22 Mô men khối lƣợng xoay (của mặt cắt ngang) L Chiều dài dầm (m) viii U, W, Θ Biên độ chuyển vị dọc trục, chuyển vị uốn góc xoay u0, w0 Các chuyển dọc trục, uốn trục trung hoà wki Trọng số thứ k nơ ron thứ i xk Đầu vào thứ k nơ ron yk Đầu thứ k nơ ron zc ( x, ) Nghiệm đầy đủ phƣơng trình vi phân khơng zc ( x, ) Nghiệm tổng quát phƣơng trình vi phân zq ( x,  ) Nghiệm riêng phƣơng trình không  Tham số động lực t Khối lƣợng riêng vật liệu mặt dầm FGM (Kg/m3) b Khối lƣợng riêng vật liệu mặt dƣới dầm FGM (Kg/m3) (x) Hàm tỷ lệ (x) Hàm wavelet i Độ lệch nơ ron thứ i t Hệ số poisson vật liệu mặt dầm FGM b Hệ số poisson vật liệu mặt dƣới dầm FGM  Tần số dao động (rad/s)  j , j Tần số riêng (rad/s) dạng dao động riêng thứ j kết cấu  *j Tần số riêng đo đƣợc thứ j kết cấu [B0], [BL] Toán tử điều kiện biên bên trái, bên phải dầm [Gc(x)] Ma trận hàm vết nứt [H(x, )] Ma trận hàm truyền    Kˆ e ( )  , Fˆe   Ma trận độ cứng động lực, véc tơ tải trọng quy nút phần tử dầm FGM hệ tọa độ địa phƣơng 131 CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN ĐÃ CƠNG BỐ Trần Văn Liên, Ngô Trọng Đức, Nguyễn Tiến Khiêm (2016) Phân tích dao động tự dầm Timoshenko làm vật liệu biến đổi chức có nhiều vết nứt Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc Vật liệu Kết cấu Composite Cơ học, công nghệ ứng dụng, Trƣờng Đại học Nha Trang, 391-399, 2829/7/2016 Tran Van Lien, Nguyen Tien Khiem, Ngo Trong Duc (2016) Free vibration analysis of functionally graded Timoshenko beam using dynamic stiffness method Journal of Science and Technology in Civil Engineering, National University of Civil Engineering, 31 (10/2016), 19-28 Tran Van Lien, Ngo Trong Duc, Nguyen Tien Khiem (2016) Mode shape analysis of multiple cracked functionally graded Timoshenko beam Proceeding of the International Conference on Sustainable Developement in Civil Engineering, Hanoi, 15-16/11/2016, 213-223 Tran Van Lien, Ngo Trong Duc, Nguyen Tien Khiem (2017) Mode shape analysis of functionally graded Timoshenko beams Latin American Journal of Solids and Structures, 14 (7), 1327-1344 (Tạp chí ISI) Trần Văn Liên, Nguyễn Tiến Khiêm, Ngơ Trọng Đức (2017) Phân tích dao động cưỡng dầm Timoshenko vật liệu FGM có nhiều vết nứt Tạp chí khoa học cơng nghệ xây dựng, Trƣờng Đại học Xây dựng, 11(3), 10-19 Trần Văn Liên, Ngô Trọng Đức, Nguyễn Tiến Khiêm (2017) Xây dựng ma trận độ cứng động lực véc tơ tải trọng quy nút phần tử dầm FGM Timoshenko có nhiều vết nứt ứng dụng vào phân tích dao động tự dầm liên tục nhiều nhịp Tạp chí khoa học cơng nghệ xây dựng, Trƣờng Đại học Xây dựng, 11(3), 20-29 Tran Van Lien, Ngo Trong Duc, Nguyen Tien Khiem (2017) Free vibration analysis of functionally graded Timoshenko beams Latin American Journal of 132 Solids and Structures, 14 (9), 1752-1766 (Tạp chí ISI) Tran Van Lien, Ngo Trong Duc, Nguyen Tien Khiem (2017) Mode shape analysis of multiple cracked functionally graded beam-like structures by using dynamic stiffness method Vietnam Journal of Mechanics, 39(3), 215-228 Trần Văn Liên, Ngô Trọng Đức, Dƣơng Thế Hùng (2017) Xác định vết nứt dầm FGM phân tích wavelet với dạng dao động riêng Tuyển tập Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ X Tập 3: Cơ học vật rắn Quyển 1, 702-709 10 Trần Văn Liên, Nguyễn Tiến Khiêm, Ngô Trọng Đức (2017) Phân tích dao động cưỡng dầm FGM liên tục nhiều nhịp phương pháp độ cứng động lực ứng dụng Tuyển tập Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ X Tập 3: Cơ học vật rắn Quyển 1, 710-717 11 Ngô Trọng Đức, Trần Văn Liên, Nguyễn Thị Hƣờng (2018) Xác định vết nứt dầm FGM mạng trí tuệ nhân tạo kết hợp với phương pháp độ cứng động lực Tuyển tập Hội nghị Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ XIV Thành phố Hồ Chí Minh 19-20/7/2018 12 Tran Van Lien, Ngo Trong Duc, Nguyen Tien Khiem (2018) A new form of frequency equation of functionally graded Timoshenko beams with arbitrary number of open transverse crarks Iranian Journal of Science and Technology: Transactions of Mechanical Engineering, 42(1), 1-18 (Tạp chí ISI) 13 Tran Van Lien, Ngo Trong Duc (2018) Crack identification in multiple cracked beams made of functionally graded material by using stationary wavelet transform of mode shapes Vietnam Journal of Mechanics (đã chấp nhận đăng) 14 Tran Van Lien, Ngo Trong Duc, Nguyen Tien Khiem (2019) Free and forced vibration analysis of multiple cracked FGM multi span continuous beams using dynamic stiffness method Latin American Journal of Solids and Structures, 16(2), e157 (Tạp chí ISI) 133 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Hoàng Hải, Nguyễn Việt Anh, Phạm Minh Tồn, Hà Trần Đức (2005) Cơng cụ phân tích wavelet ứng dụng Matlab Nhà XB KHKT Nguyễn Ngọc Huyên (2017) Phân tích dao động chẩn đoán vết nứt dầm FGM Luận án Tiến sỹ kỹ thuật, Học viện khoa học công nghệ Nguyễn Sỹ Dũng (2010) Nhận dạng dự báo khuyết tật dầm mạng neuron logic mờ Luận án Tiến sỹ kỹ thuật, Trƣờng Đại học Bách Khoa TP HCM Nguyễn Sỹ Dũng, Lê Minh Cảnh, Ngô Kiều Nhi (2008) Nhận dạng khuyết tật cầu mơ hình phương pháp lượng mạng Neuro-fuzzy Tạp chí phát triển KH&CN, Tập 11, Số Nguyễn Tiến Khiêm (2004) Cơ sở động lực học công trình NXB Đại học Quốc gia Hà nội Nguyễn Việt Khoa, Nguyễn Văn Quang, Trần Thanh Hải, Cao Văn Mai, Đào Nhƣ Mai (2012) Giám sát vết nứt thở dầm phân tích wavelet: nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm Tuyển tập cơng trình khoa học Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ IX, Hà nội, 8-9/12/2012 Nguyễn Xuân Hùng (1999) Động lực học công trình biển NXB Khoa học kỹ thuật Nguyễn Xuân Hùng (2002) Tính tốn xác kết cấu máy vi tính Chương trình ADS 2001 NXB Khoa học kỹ thuật Trần Ích Thịnh (1994) Vật liệu Composite NXB Giáo dục 10 Trần Thanh Hải (2011) Chẩn đoán vết nứt dầm phương pháp đo rung động Luận án Tiến sỹ kỹ thuật, Viện Cơ học 11 Trần Văn Liên (2003) Bài toán ngược học số ứng dụng Luận án Tiến sỹ kỹ thuật, Trƣờng Đại học Xây dựng 12 Trần Văn Liên, Nguyễn Tiến Khiêm (2017) Phương pháp Độ cứng động lực phân tích chẩn đốn kết cấu Nhà xuất xây dựng 13 Trần Văn Liên, Trần Tuấn Khôi (2010) Xác định vết nứt kết cấu hệ phân tích wavelet chuyển vị tĩnh Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc CHVRBD lần thứ X, Thái nguyên, 12-13/11/2010 14 Trần Văn Liên, Trịnh Anh Hào (2014) Xác định vết nứt kết cấu hệ phân tích wavelet dừng chuyển vị động Tạp chí khoa học cơng nghệ xây dựng, 21 15 Trịnh Anh Hào (2015) Chẩn đoán vết nứt kết cấu hệ phương pháp biến đổi wavelet dạng dao động riêng Luận án Tiến sỹ kỹ thuật, Trƣờng 134 Đại học Xây dựng Hà nội 16 Vũ Thị An Ninh (2018) Dao động chẩn đoán vết nứt dầm bậc Luận án Tiến sỹ kỹ thuật, Học viện khoa học công nghệ 17 Abdulkareem M, Bakhary N, Vafaei M, and Noor NM (2016) Wavelet-based Damage Detection Technique via Operational Deflection Shape Decomposition Indian Journal of Science and Technology, 9(48) 18 Adams RD, Cawley P, Pye CJ, and Stone BJ (1978) A vibration technique for non-destructively assessing the integrity of structures Journal of Mechanical Engineering Science, 20(2): pp 93-100 19 Akbaş Şeref Doğuşcan (2013) Free vibration characteristics of edge cracked functionally graded beams by using finite element method International Journal of Engineering Trends and Technology, 4(10): pp 4590-4597 20 Aktan AE, Lee KL, Chuntavan C, and Aksel T (1994) Modal testing for structural identification and condition assessment of constructed facilities in Proceedings-spie the International Society for Optical Engineering SPIE INTERNATIONAL SOCIETY FOR OPTICAL, pp 462-462 21 Allemang Randall J (2003) The modal assurance criterion–twenty years of use and abuse Sound and vibration, 37(8): pp 14-23 22 Alvandi A and Cremona C (2006) Assessment of vibration-based damage identification techniques Journal of sound and vibration, 292(1-2): pp 179202 23 Aydin Kamil (2013) Free vibration of functionally graded beams with arbitrary number of surface cracks European Journal of Mechanics-A/Solids, 42: pp 112-124 24 Aydin Kamil and Kisi Ozgur (2015) Damage diagnosis in beam-like structures by artificial neural networks Journal of civil engineering and Management, 21(5): pp 591-604 25 Banerjee Amit, Panigrahi Brajesh, and Pohit G (2016) Crack modelling and detection in Timoshenko FGM beam under transverse vibration using frequency contour and response surface model with GA Nondestructive Testing and Evaluation, 31(2): pp 142-164 26 Burke WR (1990) Space applications of advanced structural materials in ESA Special Publication pp 27 Cao Maosen, Xu Wei, Ostachowicz Wieslaw, and Su Zhongqing (2014) Damage identification for beams in noisy conditions based on Teager energy operator-wavelet transform modal curvature Journal of Sound and Vibration, 333(6): pp 1543-1553 28 Chasalevris Athanasios C and Papadopoulos Chris A (2006) Identification of 135 multiple cracks in beams under bending Mechanical Systems and Signal Processing, 20(7): pp 1631-1673 29 Chinchalkar S (2001) Determination of crack location in beams using natural frequencies Journal of Sound and vibration, 247(3): pp 417-429 30 Cornwell Pillip, Doebling Scott W, and Farrar Charles R (1999) Application of the strain energy damage detection method to plate-like structures Journal of sound and vibration, 224(2): pp 359-374 31 Dackermann Ulrike, Li Jianchun, and Samali Bijan (2008) Damage index method for damage identification utilising artificial neural networks' in Proceedings of the 9th International Conference on Motion and Vibration Control (MOVIC 2008) pp 15-18 32 Das Harish Ch and Parhi Dayal R (2009) Application of neural network for fault diagnosis of cracked cantilever beam in Nature & Biologically Inspired Computing, 2009 NaBIC 2009 World Congress on IEEE, pp 1303-1308 33 Dirgantara T and Aliabadi MH (2002) Stress intensity factors for cracks in thin plates Engineering fracture mechanics, 69(13): pp 1465-1486 34 Doebling Scott W, Farrar Charles R, Prime Michael B, and Shevitz Daniel W (1996), Damage identification and health monitoring of structural and mechanical systems from changes in their vibration characteristics: a literature review, Los Alamos National Lab., NM (United States) 35 Eltaher MA, Alshorbagy AE, and Mahmoud FF (2013) Determination of neutral axis position and its effect on natural frequencies of functionally graded macro/nanobeams Composite Structures, 99: pp 193-201 36 Erdogan F and Wu BH (1997) The surface crack problem for a plate with functionally graded properties Journal of applied Mechanics, 64(3): pp 449456 37 Ferezqi Hamid Zabihi, Tahani Masoud, and Toussi Hamid Ekhteraei (2010) Analytical approach to free vibrations of cracked Timoshenko beams made of functionally graded materials Mechanics of Advanced Materials and Structures, 17(5): pp 353-365 38 Ghadimi Hamzehkolaei A, Zare Hosseinzadeh A, and Ghodrati Amiri G (2016) Structural damage prognosis by evaluating modal data orthogonality using chaotic imperialist competitive algorithm Iran University of Science & Technology, 6(4): pp 505-522 39 Gökdağ Hakan and Kopmaz Osman (2009) A new damage detection approach for beam-type structures based on the combination of continuous and discrete wavelet transforms Journal of Sound and Vibration, 324(3-5): pp 1158-1180 40 Hein H and Feklistova L (2011) Computationally efficient delamination 136 detection in composite beams using Haar wavelets Mechanical Systems and Signal Processing, 25(6): pp 2257-2270 41 Hu Chuanshuang and Afzal Muhammad T (2006) A wavelet analysis-based approach for damage localization in wood beams Journal of Wood Science, 52(5): pp 456-460 42 Huang Li Xin, Chen Yue, Yang Ming, Zhang Xiao Lei, and Yao Qi (2013) Damage Identification of Functionally Graded Bernoulli-Euler Beam Based on the Modal Strain Energy Method in Applied Mechanics and Materials Trans Tech Publ, pp 394-398 43 Hung Nguyen Xuan (1999) Dynamics of structures and its application in structural identification, Institute of Applied Mechanics National Center for Natural Science and Technology 44 Janeliukstis R, Rucevskis S, Wesolowski M, and Chate A (2017) Damage identification in beam structure based on thresholded variance of normalized wavelet scalogram in IOP Conference Series: Materials Science and Engineering IOP Publishing, pp 012089 45 Janeliukstis Rims, Rucevskis Sandris, Wesolowski Miroslav, and Chate Andris (2016) Damage Identification Dependence on Number of Vibration Modes Using Mode Shape Curvature Squares in Journal of Physics: Conference Series IOP Publishing, pp 012054 46 Janeliukstis Rims, Rucevskis Sandris, Wesolowski Miroslav, and Chate Andris (2017) Multiple damage identification in beam structure based on wavelet transform Procedia Engineering, 172: pp 426-432 47 Jin Z-H and Batra RC (1996) Some basic fracture mechanics concepts in functionally graded materials Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 44(8): pp 1221-1235 48 Kam TY and Lee TY (1992) Detection of cracks in structures using modal test data Engineering Fracture Mechanics, 42(2): pp 381-387 49 Katunin Andrzej (2015) Nondestructive damage assessment of composite structures based on wavelet analysis of modal curvatures: state-of-the-art review and description of wavelet-based damage assessment benchmark Shock and Vibration, 2015 50 Ke Liao-Liang, Yang Jie, Kitipornchai Sritawat, and Xiang Yang (2009) Flexural vibration and elastic buckling of a cracked Timoshenko beam made of functionally graded materials Mechanics of Advanced Materials and Structures, 16(6): pp 488-502 51 Khiem N.T., Kien N.D., Huyen N.N (2014) Vibration theory of FGM beam in the frequency domain Proceedings of National Conference on Engineering 137 Mechanics celebrating 35th Anniversary of the Institute of Mechanics, V.1: pp 5, 93 52 Khiem NT and Lien TV (2001) A simplified method for natural frequency analysis of a multiple cracked beam Journal of sound and vibration, 245(4): pp 737-751 53 Khiem NT and Lien TV (2002) The dynamic stiffness matrix method in forced vibration analysis of multiple-cracked beam Journal of Sound and Vibration, 254(3): pp 541-555 54 Khiem NT and Huyen NN (2017) A method for crack identification in functionally graded Timoshenko beam Nondestructive Testing and Evaluation, 32(3): pp 319-341 55 Kim J-H, Jeon H-S, and Lee C-W (1992) Applications of the modal assurance criteria for detecting and locating structural faults in Proceedings of the International Modal Analysis Conference SEM SOCIETY FOR EXPERIMENTAL MECHANICS INC, pp 536-536 56 Kim Jeong‐Ho and Paulino Glaucio H (2002) Finite element evaluation of mixed mode stress intensity factors in functionally graded materials International Journal for Numerical Methods in Engineering, 53(8): pp 19031935 57 Kitipornchai Sritawat, Ke LL, Yang Jie, and Xiang Yang (2009) Nonlinear vibration of edge cracked functionally graded Timoshenko beams Journal of Sound and Vibration, 324(3-5): pp 962-982 58 Kliewer Kaitlyn and Glisic Branko (2017) Normalized Curvature Ratio for Damage Detection in Beam-Like Structures Frontiers in Built Environment, 3: pp 50 59 Li Jing, Wu Baisheng, Zeng QC, and Lim Chee Wah (2010) A generalized flexibility matrix based approach for structural damage detection Journal of Sound and Vibration, 329(22): pp 4583-4587 60 Li Jing, Li Zhengguang, Zhong Huixiang, and Wu Baisheng (2012) Structural damage detection using generalized flexibility matrix and changes in natural frequencies AIAA journal, 50(5): pp 1072-1078 61 Liu Long and Meng Guang (2005) Crack detection in supported beams based on neural network and support vector machine in International Symposium on Neural Networks Springer, pp 597-602 62 Liu Shaw-Wen, Huang Jin H, Sung Jen-Chun, and Lee CC (2002) Detection of cracks using neural networks and computational mechanics Computer methods in applied mechanics and engineering, 191(25-26): pp 2831-2845 63 Liu Yu, Li Zheng, and Zhang Wei (2010) Crack detection of fibre reinforced 138 composite beams based on continuous wavelet transform Nondestructive Testing and Evaluation, 25(1): pp 25-44 64 Loutridis S, Douka E, and Trochidis A (2004) Crack identification in doublecracked beams using wavelet analysis Journal of sound and vibration, 277(45): pp 1025-1039 65 Lu XB, Liu JK, and Lu ZR (2013) A two-step approach for crack identification in beam Journal of Sound and Vibration, 332(2): pp 282-293 66 Madenci Erdogan and Guven Ibrahim (2015) The finite element method and applications in engineering using ANSYS® Springer 67 Marwala T and Hunt HEM (1999) Fault identification using finite element models and neural networks Mechanical systems and signal processing, 13(3): pp 475-490 68 Masoumi Mehdi, Jamshidi Ehsan, and Bamdad Mahdi (2015) Application of generalized flexibility matrix in damage identification using Imperialist Competitive Algorithm KSCE Journal of Civil Engineering, 19(4): pp 9941001 69 Nazari Foad and Abolbashari Mohammad Hossein (2013) Double cracks identification in functionally graded beams using artificial neural network 70 Nguyen Khoa Viet (2014) Mode shapes analysis of a cracked beam and its application for crack detection Journal of Sound and Vibration, 333(3): pp 848-872 71 Nguyen Viet Khoa, Olatunbosun Oluremi A, and Nguyen Tien Khiem (2008) Wavelet based Method for Remote Monitoring of Structural Health by Analysing the Nonlinearity in Dynamic Response of Damaged Structures Caused by the Crack-Breathing Phenomenon Technische mechanik, 28(3-4): pp 289-298 72 Nikolakopoulos PG, Katsareas DE, and Papadopoulos CA (1997) Crack identification in frame structures Computers & structures, 64(1-4): pp 389406 73 Osegueda Roberto A, DSouza Paul D, and Qiang Yijie (1992) Damage evaluation of offshore structures using resonant frequency shifts Serviceability of Petroleum, Process, and Power Equipment, ASME PVP, 239: pp 31-37 74 Ovanesova AV and Suarez LE (2004) Applications of wavelet transforms to damage detection in frame structures Engineering structures, 26(1): pp 39-49 75 Oyarzo-Vera Claudio and Chouw Nawawi (2017) Damage Identification of Unreinforced Masonry Panels Using Vibration-Based Techniques Shock and Vibration, 2017 76 Pandey AK and Biswas M (1994) Damage detection in structures using 139 changes in flexibility Journal of sound and vibration, 169(1): pp 3-17 77 Park KC, Reich Gregory W, and Alvin KF (1998) Structural damage detection using localized flexibilities Journal of intelligent material systems and structures, 9(11): pp 911-919 78 Parloo E, Guillaume P, and Van Overmeire M (2003) Damage assessment using mode shape sensitivities Mechanical systems and signal Processing, 17(3): pp 499-518 79 Quaranta Giuseppe, Carboni Biagio, and Lacarbonara Walter (2016) Damage detection by modal curvatures: numerical issues Journal of Vibration and Control, 22(7): pp 1913-1927 80 Raju Gollangi, Ramesh Lanka, Raju Gollangi, and Ramesh Lanka Crack Detection in Structural Beams by using Curvature Mode Shapes International Journal, 3: pp 282-289 81 Reshma T Sundararajan, Lakshmi (2017) Damage Identification of Beam using Structural Dynamic Parameters International Journal of Advance Engineering and Research Development, 4(5): pp 66-73 82 Rizos PF, Aspragathos N, and Dimarogonas AD (1990) Identification of crack location and magnitude in a cantilever beam from the vibration modes Journal of sound and vibration, 138(3): pp 381-388 83 Rucka M and Wilde K (2006) Crack identification using wavelets on experimental static deflection profiles Engineering structures, 28(2): pp 279288 84 Rucka Magdalena and Wilde Krzysztof (2010) Neuro-wavelet damage detection technique in beam, plate and shell structures with experimental validation Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 48: pp 579-604 85 Saeed RA and George LE (2011) The use of ANN for cracks predictions in curvilinear beams based on their natural frequencies and frequency response functions J Comput, 3(12): pp 113-125 86 Sahin M and Shenoi RA (2003) Quantification and localisation of damage in beam-like structures by using artificial neural networks with experimental validation Engineering Structures, 25(14): pp 1785-1802 87 Solís Mario, Algaba Mario, and Galvín Pedro (2013) Continuous wavelet analysis of mode shapes differences for damage detection Mechanical Systems and Signal Processing, 40(2): pp 645-666 88 Stubbs N (1987) A general theory of non-destructive damage detection in structures, in Structural control Springer p 694-713 89 Su H, Banerjee JR, and Cheung CW (2013) Dynamic stiffness formulation and free vibration analysis of functionally graded beams Composite Structures, 140 106: pp 854-862 90 Su H and Banerjee JR (2015) Development of dynamic stiffness method for free vibration of functionally graded Timoshenko beams Computers & Structures, 147: pp 107-116 91 Suresh S, Omkar SN, Ganguli Ranjan, and Mani V (2004) Identification of crack location and depth in a cantilever beam using a modular neural network approach Smart Materials and Structures, 13(4): pp 907 92 Swamidas ASJ, Yang X, and Seshadri R (2004) Identification of cracking in beam structures using Timoshenko and Euler formulations Journal of Engineering Mechanics, 130(11): pp 1297-1308 93 Thomson WT (1949) Vibration of slender bars with discontinuities in stiffness Journal of Applied Mechanics-Transactions of the Asme, 16(2): pp 203-208 94 Van Lien Tran, Khiem Nguyen Tien, and Hao Trinh Anh (2015) Crack identification in frame structures using the stationary wavelet transform of mode shapes Jokull Journal: pp 1-10 95 Wei Dong, Liu Yinghua, and Xiang Zhihai (2012) An analytical method for free vibration analysis of functionally graded beams with edge cracks Journal of Sound and Vibration, 331(7): pp 1686-1700 96 Wu X, Ghaboussi J, and Garrett Jr JH (1992) Use of neural networks in detection of structural damage Computers & structures, 42(4): pp 649-659 97 Yam LH, Yan YJ, and Jiang JS (2003) Vibration-based damage detection for composite structures using wavelet transform and neural network identification Composite Structures, 60(4): pp 403-412 98 Yang E Chuan, Zhao Xiang, and Li Ying Hui (2015) Free vibration analysis for cracked FGM beams by means of a continuous beam model Shock and Vibration: pp 1-13 99 Yang Jie, Chen Ying, Xiang Yang, and Jia XL (2008) Free and forced vibration of cracked inhomogeneous beams under an axial force and a moving load Journal of Sound and Vibration, 312(1-2): pp 166-181 100 Yang Jie and Chen Yin (2008) Free vibration and buckling analyses of functionally graded beams with edge cracks Composite Structures, 83(1): pp 48-60 101 Yang Mijia, Zhong Hai, Telste Mike, and Gajan Sivapalan (2016) Bridge damage localization through modified curvature method Journal of Civil Structural Health Monitoring, 6(1): pp 175-188 102 Yang Qiuwei, Liu JK, Sun BX, and Liang CF (2017) Damage localization for beam structure by moving load Advances in Mechanical Engineering, 9(3): pp 1687814017695956 141 103 Yu Zhigang and Chu Fulei (2009) Identification of crack in functionally graded material beams using the p-version of finite element method Journal of Sound and Vibration, 325(1-2): pp 69-84 104 Yun Chung-Bang and Bahng Eun Young (2000) Substructural identification using neural networks Computers & Structures, 77(1): pp 41-52 105 Zenkour AM (2005) A comprehensive analysis of functionally graded sandwich plates: Part 1—Deflection and stresses International Journal of Solids and Structures, 42(18-19): pp 5224-5242 106 Zhang Weiwei, Wang Zhihua, and Ma Hongwei (2009) Crack identification in stepped cantilever beam combining wavelet analysis with transform matrix Acta Mechanica Solida Sinica, 22(4): pp 360-368 107 Zheng DY and Kessissoglou NJ (2004) Free vibration analysis of a cracked beam by finite element method Journal of Sound and vibration, 273(3): pp 457475 108 Zhong Shuncong and Oyadiji S Olutunde (2007) Crack detection in simply supported beams without baseline modal parameters by stationary wavelet transform Mechanical Systems and Signal Processing, 21(4): pp 1853-1884 109 Zhou Jie, Li Zheng, and Chen Jianlin (2018) Damage identification method based on continuous wavelet transform and mode shapes for composite laminates with cutouts Composite Structures, 191: pp 12-23 110 Zhu XQ and Law SS (2006) Wavelet-based crack identification of bridge beam from operational deflection time history International Journal of Solids and Structures, 43(7-8): pp 2299-2317 111 Ziou Hassina, Guenfoud Hamza, and Guenfoud Mohamed (2016) Numerical modelling of a Timoshenko FGM beam using the finite element method International Journal of Structural Engineering, 7(3): pp 239-261 112 Azadi Mohammad (2011) Free and forced vibration analysis of FG beam considering temperature dependency of material properties Journal of Mechanical Science and Technology, 25(1): pp 69-80 113 Banerjee JR (2003) Free vibration of sandwich beams using the dynamic stiffness method Computers & structures, 81(18-19): pp 1915-1922 114 Bathe Klaus-Jürgen (2006) Finite element procedures 115 Beale Mark Hudson, Hagan Martin T, and Demuth Howard B (2012) Neural network toolbox™ user’s guide R2012a, The MathWorks, Inc., Apple Hill Drive Natick, MA 01760-2098,, www mathworks com Citeseer 116 Ben-Oumrane Sallai, Abedlouahed Tounsi, Ismail Mechab, Mohamed Bachir Bouiadjra, Mustapha Meradjah, and El Abbas Adda Bedia (2009) A theoretical analysis of flexional bending of Al/Al2O3 S-FGM thick beams Computational 142 Materials Science, 44(4): pp 1344-1350 117 Caddemi Salvatore and Morassi Antonino (2013) Multi-cracked Euler– Bernoulli beams: Mathematical modeling and exact solutions International Journal of Solids and Structures, 50(6): pp 944-956 118 Chen Da, Yang Jie, and Kitipornchai Sritawat (2016) Free and forced vibrations of shear deformable functionally graded porous beams International Journal of Mechanical Sciences, 108: pp 14-22 119 Chen Shuai (2007) Crack detection using a frequency response function in offshore platforms Journal of Marine Science and Application, 6(3): pp 1-5 120 Choi FC, Li Jianchun, Samali Bijan, and Crews K (2008) Application of the modified damage index method to timber beams Engineering structures, 30(4): pp 1124-1145 121 Chondros TG, Dimarogonas AD, and Yao J (1998) A continuous cracked beam vibration theory Journal of sound and vibration, 215(1): pp 17-34 122 Chondros TG, Dimarogonas AD, and Yao J (1998) Longitudinal vibration of a continuous cracked bar Engineering Fracture Mechanics, 61(5-6): pp 593606 123 Christides S and Barr ADS (1984) One-dimensional theory of cracked Bernoulli-Euler beams International Journal of Mechanical Sciences, 26(1112): pp 639-648 124 Demuth Howard B, Beale Mark H, De Jess Orlando, and Hagan Martin T (2014) Neural network design Martin Hagan 125 Gopalakrishnan Srinivasan, Chakraborty Abir, and Mahapatra Debiprosad Roy (2007) Spectral finite element method: wave propagation, diagnostics and control in anisotropic and inhomogeneous structures Springer Science & Business Media 126 Gopalakrishnan Srinivasan (2009) Modeling aspects in finite elements Encyclopedia of Structural Health Monitoring 127 Gopalakrishnan Srinivasan, Ruzzene Massimo, and Hanagud Sathyanaraya (2011) Computational techniques for structural health monitoring Springer Science & Business Media 128 Haisty BS and Springer WT (1988) A general beam element for use in damage assessment of complex structures Journal of vibration, acoustics, stress, and reliability in design, 110(3): pp 389-394 129 Hohenemser Kurt Heinrich and Prager Willi (1933) Dynamik der Stabwerke Springer 130 Hwang Jenq-Neng and Hu Yu Hen (2001) Handbook of neural network 143 signal processing CRC press 131 Irwin G.R Fracture (1958) Encyclopedia of Physics (Handbuch der Physic) Flăugge (Ed.), Springer Verlag, Berlin, Vol VI: pp 551-590 132 Khan Ateeb Ahmad, Naushad Alam M, and Wajid Mustafa (2016) Finite element modelling for static and free vibration response of functionally graded beam Latin American Journal of Solids and Structures, 13(4): pp 690-714 133 Khiem NT, Lien TV, and Ninh VTA Natural Frequencies of Multistep Functionally Graded Beam with Cracks Iranian Journal of Science and Technology, Transactions of Mechanical Engineering: pp 1-36 134 Khoei Amir R (2014) Extended finite element method: theory and applications John Wiley & Sons 135 Kim Jeong-Tae and Stubbs Norris (2002) Improved damage identification method based on modal information Journal of Sound and Vibration, 252(2): pp 223-238 136 Koloušek V (1941) Anwendung des Gesetzes der virtuellen Verschiebungen und des Reziprozitätssatzes in der Stabwerksdynamik Ingenieur-Archiv, 12(6): pp 363-370 137 Lee Usik (2009) Spectral element method in structural dynamics John Wiley & Sons 138 Leung Andrew YT (2012) Dynamic stiffness and substructures Springer Science & Business Media 139 Leung AYT (2001) Dynamic stiffness for structures with distributed deterministic or random loads Journal of Sound and Vibration, 242(3): pp 377-395 140 Li DH, Yang X, Qian RL, and Xu D (2018) Static and dynamic response analysis of functionally graded material plates with damage Mechanics of Advanced Materials and Structures: pp 1-14 141 Liu Gui-Rong (2009) Meshfree methods: moving beyond the finite element method CRC press 142 Manjunath A and Ravikumar HM (2010) Comparison of discrete wavelet transform (DWT), lifting wavelet transform (LWT) stationary wavelet transform (SWT) and S-transform in power quality analysis European Journal of Scientific Research, 39(4): pp 569-576 143 Misiti M, Misiti Y, Oppenheim G, and Poggy JM (2009) Wavelet toolbox (TM) Matlab User's Guide, Mathworks 144 Mohammadi Soheil (2008) Extended finite element method: for fracture analysis of structures John Wiley & Sons 144 145 Narayanan GV and Beskos DE (1978) Use of dynamic influence coefficients in forced vibration problems with the aid of fast Fourier transform Computers & Structures, 9(2): pp 145-150 146 Nguyen Dinh Kien (2013) Large displacement response of tapered cantilever beams made of axially functionally graded material Composites Part B: Engineering, 55: pp 298-305 147 Nguyen Dinh Kien and Gan Buntara Sthenly (2014) Large deflections of tapered functionally graded beams subjected to end forces Applied Mathematical Modelling, 38(11-12): pp 3054-3066 148 Nguyen Dinh Kien (2014) Large displacement behaviour of tapered cantilever Euler–Bernoulli beams made of functionally graded material Applied Mathematics and Computation, 237: pp 340-355 149 Nguyen Dinh Kien, Nguyen Quang Huan, Tran Thi Thom, and Bui Van Tuyen (2017) Vibration of bi-dimensional functionally graded Timoshenko beams excited by a moving load Acta Mechanica, 228(1): pp 141-155 150 Okamura H, Watanabe K, and Takano T (1973) Applications of the compliance concept in fracture mechanics, in Progress in flaw growth and fracture toughness testing ASTM International 151 Owolabi GM, Swamidas ASJ, and Seshadri R (2003) Crack detection in beams using changes in frequencies and amplitudes of frequency response functions Journal of sound and vibration, 265(1): pp 1-22 152 Randall Robert B (2004) State of the art in monitoring rotating machinerypart Sound and vibration, 38(3): pp 14-21 153 Randall Robert B (2004) State of the art in monitoring rotating machinerypart Sound and vibration, 38(5): pp 10-17 154 Rao Singiresu S and Yap Fook Fah (2011) Mechanical vibrations Vol Prentice Hall Upper Saddle River 155 Sherafatnia K, Farrahi G, and Faghidian S Ali (2013) Analytic approach to free vibration and buckling analysis of functionally graded beams with edge cracks using four engineering beam theories International Journal of Engineering-Transactions C: Aspects, 27(6): pp 979-990 156 Sinha Jyoti K, Friswell MI, and Edwards S (2002) Simplified models for the location of cracks in beam structures using measured vibration data Journal of Sound and vibration, 251(1): pp 13-38 157 SOHN Hoo (2004) A review of structural health monitoring literature: 1996-2001 Los Alamos National Laboratory Report 158 Srinivasan Muthukrishnan Gopalsamy and Kot CA (1992), Effect of damage on the modal parameters of a cylindrical shell, Argonne National Lab., IL 145 (United States) 159 Thinh Tran Ich, Nguyen Manh Cuong, and Ninh Dinh Gia (2014) Dynamic stiffness formulation for vibration analysis of thick composite plates resting on non-homogenous foundations Composite Structures, 108: pp 684-695 160 Trinh Thanh-Huong, Gan Buntara Sthenly, and Nguyen Dinh Kien (2015) Finite Element Analysis of Non-uniform Beam Made of Axially FGM Subjected to Multiple Loads Applied Mechanics & Materials 161 Van Lien Tran and Hao Trinh Anh (2013) Determination of mode shapes of a multiple cracked beam element and its application for free vibration analysis of a multi-span continuous beam Vietnam Journal of Mechanics, 35(4): pp 313-323 162 Vo Thuc P, Thai Huu-Tai, Nguyen Trung-Kien, and Inam Fawad (2014) Static and vibration analysis of functionally graded beams using refined shear deformation theory Meccanica, 49(1): pp 155-168 163 Wittrick W_H and Williams FW (1971) A general algorithm for computing natural frequencies of elastic structures The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 24(3): pp 263-284 164 Worden Keith and Dulieu-Barton Janice M (2004) An overview of intelligent fault detection in systems and structures Structural Health Monitoring, 3(1): pp 85-98 165 Xiang HJ and Yang J (2008) Free and forced vibration of a laminated FGM Timoshenko beam of variable thickness under heat conduction Composites Part B: Engineering, 39(2): pp 292-303 166 Xu Hongpo and Humar JagMohan (2006) Damage detection in a girder bridge by artificial neural network technique Computer‐Aided Civil and Infrastructure Engineering, 21(6): pp 450-464 167 Yan T, Yang J, and Kitipornchai S (2012) Nonlinear dynamic response of an edge-cracked functionally graded Timoshenko beam under parametric excitation Nonlinear Dynamics, 67(1): pp 527-540 168 Zhang Yuxiang, Xu Fuhou, Chen Jiazhao, Wu Cuiqin, and Wen Dongdong (2011) Electromechanical impedance response of a cracked Timoshenko beam Sensors, 11(7): pp 7285-7301 169 Zhong Zheng and Yu Tao (2007) Analytical solution of a cantilever functionally graded beam Composites Science and Technology, 67(3-4): pp 481-488 ... đến tần số dao động riêng 71 3.2.3 Ảnh hưởng tham số vật liệu FGM đến tần số dao động riêng 73 3.3 Phân tích dao động dầm FGM Timoshenko có nhiều vết nứt 74 3.3.1 Tần số dao động riêng... phương trình vi phân dao động tự 48 2.1.4 Nghiệm phương trình vi phân dao động cưỡng 50 2.2 Điều kiện liên tục vị trí vết nứt Mơ hình hai lò xo tƣơng đƣơng 51 2.3 Dao động dầm Timoshenko... 3.1.2 So sánh kết tính dạng dao động riêng 69 3.2 Phân tích dao động dầm FGM Timoshenko nguyên vẹn 71 3.2.1 Ảnh hưởng vị trí trục trung hòa đến tần số dao động riêng 71 3.2.2