THI OLYMPIC NM HC 2009-2010 Mụn: TON LP 7 Thi gian: 120 phỳt ( Khụng tớnh thi gian giao ) CHNH THC Câu 1 : Thực hiện phép tính : a. M= 5 2 :5,0.6,0 17 36 ) 4 9 9 5 5( 7 4 :) 25 2 08,1( 25 1 64,0 )25,1. 5 3 1(:2,1 + + b. P= 11126 9103 63.4 6.1203.16 + + Câu 2 : a. Cho x,y,z là các số khác 0 và x 2 =yz , y 2 =xz , z 2 =xy . Chứng minh rằng : x = y = z b. Tìm x biết : 2006 4 2007 3 2008 2 2009 1 + = + xxxx Câu 3 : Cho hàm số : f(x) = ax 2 +bx+c với a,b,c z Biết rằng giá trị của đa thức chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên của x. Chứng minh rằng a,b,c chia hết cho 3 . Câu 4 : Cho đa thức A(x) = x+x 2 +x 3 ++x 99 +x 100 a. Chứng minh rằng x=-1 là nghiệm của A(x) b. Tìm giá trị của đa thức A(x) tại x= 2 1 Câu 5 : Cho tam giác ABC cân tại C và C = 100 độ ; BD là phân giác góc B . Từ A kẻ tia Ax tạo với AB một góc 30 độ . Tia Ax cắt BD tại M , cắt BC tại E . BK là phân giác góc CBD , BK cắt Ax tại N. a. Tính số đo góc ACM b. So sánh MN và CE. Câu 6 : Cho tam giác cân tại A có góc A = 100 độ . Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD=BC . Tính góc ABD. HếT Đáp ánđề thi OlYMPIC năm học 08-09 Câu 1: Thực hiện các phép tính : a. Đáp số : 0 b. Đáp số : 7 4 Câu 2 : a. Ta có : x 2 =yz x.x=yz x z y x = (1) y 2 =xz y.y=yz z y y x = (2) z 2 =xy zz=xy x z z y = (3) Từ (1),(2)và (3) x z z y y x == áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có : x z z y y x == = 1 = ++ ++ xzy zyx yx y x == 1 (4) zy z y == 1 (5) Từ (4)và(5) x=y=z b, 2006 4 2007 3 2008 2 2009 1 + = + xxxx 2) 2006 4 2007 3 (2) 2008 2 2009 1 ( + = + xxxx 1 2006 4 1 2007 3 1 2008 2 1 2009 1 + = + xxxx 2006 0064 2007 20073 2008 20082 2009 20091 xxxxx + = + 2006 2010 2007 2010 2008 2010 2009 2010 + = + xxxx 0 2006 2010 2007 2010 2008 2010 2009 2010 = + xxxx 0) 2006 1 2007 1 2008 1 2009 1 )(2010( =+ x Vì 2006 1 2007 1 2008 1 2009 1 + 0 Nên x 2010 = 0 x=2010 Câu 3 : Vì f(x) 3 với giá trị nguyên của x Nên ax 2 +bx+c 3 c 3 Và ax 2 +bx 3 a+b 3 Và a-b 3 a+b+(a-b) 3 2a 3 Mà 2 không chia hết cho 3 Nên a 3 b 3 Vậy a,b,c đều chia hết cho 3 Câu 4 : a, Thay x=-1 vào đa thức A(x) ta có : A(x)=x+x 2 +x 3 ++ x 99 +x 100 A(-1)=(-1)+(-1) 2 +(-1) 3 ++(-1) 99 +(-1) 100 A(-1)=[(-1)+(-1) 2 ]+[(-1) 3 +(-1) 4 ]++[(-1) 99 +(-1) 100 ] A(-1)=0+0++0=0 Vậy x=-1 là nghiệm của đa thức A(x) b, Thay x= 2 1 vào đa thức A(x) ta có : A( 2 1 )= 100992 2 1 2 1 . 2 1 2 1 ++++ 2A( 2 1 )=1+ 992 2 1 . 2 1 2 1 +++ 2A( 2 1 )-A( 2 1 )=1- 100 2 1 A( 2 1 )=1- 100 2 1 Câu 5 : Ta có hình vẽ : a, Xét tam giác ANB có : NAB= NBA=30 0 NAB cân tại N NA=NB Xét 2 CNB và CAN có : CB = CA ( gt) NA=NB ( cmt) CN chung CNA = CNB ( c-c-c) ACN = BCN=50 0 Mà NMB là góc ngoài tại đỉnh M của MAB NMB = 50 0 MNB = CNB ( g-c-g) CB = MB BCM cân tại B có góc ở đỉnh bằng 20 0 nên BCM =80 0 Vậy ACM = 20 0 b, Xét MNB có MNB=180 0 -(50 0 +10 0 ) MNB=120 0 BNE=180 0 -120 0 BNE=60 0 NEB=110 0 CEN=70 0 CNE=60 0 CN>CE Mà CN=CE ( ở câu a ) MN>CE Vậy MN > CE Câu 6 : Vì ABC cân nên ABC = ACB =40 0 BCD = 180 0 - ACB BCD = 180 0 - 40 0 =140 0 Trên một nửa mặt phẳng bờ là AD ( có chứa điểm B ) vẽ đều AMD sao cho AD = AM = DM và MAD= AMD= ADM Ta có : BAM = BAC - MAD BAM=100 0 -60 0 =40 0 Xét 2 ABM và BAC có : AB chung BAM = ABC = 40 0 BC = AM (cùng bằng AD) ABM= BAC ( c-g-c) AC = BM ( 2cạnh tơng ứng ) Xét 2 ABD và MBD có : AB = BM ( cùng bằng AC ) BD chung MD = AD ( cách vẽ ) ABM = MBD (c-c-c) ADB = MDB ( 2 góc tơng ứng ) Mà ADB + MDB = ADM Hay 2 ADB = 60 0 ADB = 30 0 Xét BCD có CBD = 180 0 -(140 0 +30 0 )=10 0 ABD = ABC + CBD Hay ABD = 40 0 + 10 0 ABD = 50 0 Vậy ABD = 50 0 ( Thông cảm ngời xem tự vẽ hình ) . THI OLYMPIC NM HC 2009-2010 Mụn: TON LP 7 Thi gian: 120 phỳt ( Khụng tớnh thi gian giao ) CHNH THC Câu 1 : Thực hiện phép tính : a. M= 5 2 :5,0.6,0 17. xxxx 2006 0064 20 07 20 073 2008 20082 2009 20091 xxxxx + = + 2006 2010 20 07 2010 2008 2010 2009 2010 + = + xxxx 0 2006 2010 20 07 2010 2008 2010