chuyen de: dung hinh

Dựng hình A. Lý thuyết I. Khái niệm bài toán dựng hình: Khi ta nói: dựng một hình H thì điều đó có nghĩa là: dùng một số dụng cụ nào đó để vã ra đợc hình H. Các dụng cụ có thể là: bút, thớc thẳng (để vẽ đờng thẳng), compa (để vẽ đờng tròn), thớc chữ T (để vẽ đờng thẳng vuông góc), thớc đo độ (để vẽ các góc có số đo cho trớc) v.v II. Tiên dề dựng hình 1. c ác tiên đề chung I. hình đã cho xem là dựng đợc. II. Nếu hai hay nhiều hình dựng đợc thì hợp của các hình đó là dựng đợc. III.Nếu hiệu của hai hình dựng đợc khác thì hiệu đó dựng đợc IV.Nếu giao của hai hình dựng đợc khác thì giao đó dựng đợc. V.Điểm thuộc hình đã dựng xem là dựng đợc. 2. c ác tiên đề về dụng cụ dựng hình a) tiền đề của thớc: - dựng đoạn thẳng nối hai điểm đã dựng - dựng đờng thẳng đi qua hai điểm đã dựng - dựng tia có điểm đầu đã dựng và đi qua một điểm khác đã dựng b) tiền đề compa: - dựng đờng tròn có tâm là điểm đã dựng và bán kính bằng đoạn thẳng đã dựng (hai đầu mút của đoạn thẳng đó) - dựng đợc bất kỳ cung nào trong hai cung bù nhau của đờng tròn nếu tâm là điểm đã dựng và các điểm mút của cung đó đã dựng III. các phép dựng hình cơ bản (trong mặt phẳng) 1. dựng đoạn thẳng nối hai điểm đã dựng 2. Dựng đờng thẳng nối hai điểm đã dựng 3. dựng tia xuất phát từ một điểm đã dựng và đi qua một điểm khác đã dựng. 4. dựng đờng tròn nếu tâm là điểm đã dựng và đoạn thẳng bằng bán kính, có hai đầu mút đã dựng. 5. dựng cung bất kì trong hai cung bù nhau của một đờng tròn, nếu tâm đờng tròn và các điểm mút của cung đó đã dựng. 6. dựng hợp của một số hữu hạn hình đã dựng. 7. dựng hiệu của hai hình đã dựng (nếu hiệu khác ). 8. Dựng giao của hai hình đã dựng ( nếu giao khác ). 9. Dựng điểm thuộc một hình đã dựng. 10. Dựng điểm không thuộc hình đã dựng. IV. Các bài toán dựng hình cơ bản 1. Qua điểm O cho trớc trên đờng thẳng xy dựng đờng vuông góc với đờng thẳng đó tại O. 2. Từ một điểm C ngoài đờng thẳng xy dựng đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng đó. 3. Chia đôi đoạn thẳng AB cho trớc. 4. Chia đôi góc ã AOB cho trớc. 5. Dựng một góc bằng một góc ã AOB cho trớc với đỉnh là điểm I cho trớc và một cạnh là nửa đờng thẳng IM cho trớc. 6. Dựng một tam giác biết ba cạnh a, b, c của nó. 7. Dựng tam giác biết hai cạnh b, c của nó và góc A xen giữa hai cạnh đó. 8. Dựng tam giác ABC, biết cạnh a và hai góc B, C. 9. Dựng tam giác ABC, biết hai cạnh b, c và góc B 10. Qua một điểm cho trớc dựng một đờng thẳng song song với một đờng thẳng cho trớc. 11. Chia đoạn thẳng thành n phần bằng nhau. 12. Từ một điểm cho trớc dựng tiếp tuyến với một đờng tròn cho tr- ớc. 13. Dựng tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (O, R) và ( O , R) cho trớc. 14. Dựng đờng tròn đi qua các đỉnh của tam giác ABC cho trớc. 15. Dựng đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác cho trớc. 16. Dựng đờng tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và hai cạnh kia kéo dài. V. Các bớc dựng hình: (gồm 4 bớc) Bớc 1: Phân tích Không phải đng trớc một bài toán dựng hình nào chúng ta cũng thấy ngay cách dựng. Quá trình vận động của t duy, tìm tòi cách dựng gọi là b- ớc phân tích. Khi phân tích chúng ta quan tân các vấn đề sau: a. chúng ta giả định hình cần dựng là dựng đợc và phác vẽ hình đó, cố gắng làm nổi bật các yếu tố đã cho và các yếu cần dựng trên hình vẽ, để lập liên hệ giữa chúng; nếu bài toán liên quan đến vị trí giữa các yếu tố đã cho thì nên vẽ hình trong trờng hợp tổng quát nhất. b. Chúng ta thờng chuyển việc dựng một hình về các hình bộ phận của nó hoặc các bộ phận phụ. Vì vậy, nhiều khi cần thiết phải vẽ thêm các yếu tố mới (điểm, đờng thẳng, đoạn thẳng, đờng tròn ) để tìm cách dựng. đinh hớng việc lựa chọn các yếu tố mới tuỳ thuộc vào hớng đa về các bài toán cơ sở, các bài toán quen thuộc. c. Khi phân tích đối với các bai ftoán cần sắp xếp vị trí các yếu tố đã cho chúng ta thờng bắt đầu từ một trờng hợp riêng nào đó. Vì vậy nên lựa chọn cách phân tích tổng quát nhất để có cách dựng tổng quát bao trùm đợc càng nhiều trờng hợp riêng càng tốt. Bớc 2: Dựng hình Bớc dựng đòi hỏi phải chỉ ra thứ tự các phép dựng cơ bản hoặc các bài toán dựng hình cơ bản thích ứng với bộ dụng cụ đã chọn để có hình cần dựng Bớc 3: Chứng minh Đó là bớc chỉ rõ hình vừa đợc dựng có thoả mãn các yêu cầu của bài toán. Bớc chứng minh đạt kết quả: Nếu hình cần dựng có thể dựng đ- ợc thì dựng nh vậy là đúng. Bớc 4: Biện luận Nội dung biện luận là tìm mối liên hệ giữa các yếu tôd đã cho xác định điều kiện dựng hình dợc và chỉ rõ dựng đợc bao nhiêu nghiệm hình. Để biện luận chúng ta thờng căn cứ vào thứ tự từng bớc dựng nhằm xác định điều kiện dựng đợc trong từng bớc, cuối cùng tổng hợp các bớc để kết luận điều kiện dựng đợc của bài toán. B. Bài tập I. Dựng hình bằng phơng pháp tơng giao Mọi hình hình học đơn giản đều đợc xác định bởi một số hữu hạn điểm nên ta có thể đa bài toán dựng hình về việc dựng một số điểm nhất định mà mỗi điểm là giao của hai đờng. 1. Dựng đoạn thẳng 2. Dựng tam giác 3. Dựng tứ giác 4. Dựng đờng tròn 1. Dựng đoạn thẳng VD: P là điểm cố định cho trớc trong góc xoy.Tìm điểm Q thuộc Ox ,R thuộc Oy Sao cho PQ=QR=RO. Phân tích Giả sử dựng đợc đờng gấp khúc ỏ QP thoả mãn điều kiện đầu bài Nếu bỏ qua điều kiện đờng gập khúc có đầu mút P mà chỉ giữ lại điều kiện 1 1 1 1 1 1 1 1 , , OR R Q Q P R Oy Q Ox P OP = = thì có vô số hình thoả mãn Để thấy rằng có vô số đờng gấp khúc 1 1 1 ,OR Q P ORQP là ảnh của nhau qua phép vị tự tâm O, Từ đó ta có cách dựng Dựng hình Lấy 1 R bất kì trên oy Đờng tròn tâm 1 R bán kính 1 OQ căt Ox tại 1 Q Đờng tròn tâm 1 Q bán kính 1 OR căt OP tại 1 P Lấy Q Ox sao cho 1 1 PQ PQP Lấy Q Oy sao cho 1 1 QR Q RP Q và R là hai điểm phải dựng j Q1 R R1 PP1 Q O Chứng minh 1 1 1 1 1 OR R Q Q R QR OR RQ =P Ta lại có 1 1 1 OR R Q OR RQ= = 1 1 1 1 1 1 1 Q R OQ Q P Q P QP QR OQ QP = =P Ta lại có 1 1 1 1 R Q Q P QP QR= = Vậy OQ RQ QP= = Biện luận 0 60xoy < : 2 nghiệm hình 0 0 60 90xoy < :1 nghiệm hình 0 90xoy :0 nghiệm hình Bài tập tơng tự Bài1( sách nâng cao toán 9, tr 41) Cho tam giác ABC .Tì điểm M trên cạnh AC và điểm N trên cạnh AC Sao cho MN song song BC và MN=BM+NC Bài2 (sách nâng cao toán 9, tr41) Cho 2 điểm A,B ở cùng phía của đởng thẳng d .Tìm 1 điểm M sao cho Từ M nhìn AB dới 1 góc cho trớc & và các cạnh của góc AMB chắn trên d 1 đoạn Thẳng có độ dài bằng m cho trớc 2. dựng tam giác ví dụ 1: Dựng tam giác biết đờng cao, đờng trung tuyến, đờng phân giác xuất phát từ cùng 1 đỉnh. Lời giải Phân tích Giả sử ABC là tam giác phải dựng có đờng cao [AH], đờng phân giác [AD], đờng trung tuyến [AM] có độ dài lần lợt là h, l, m, điểm [ ] D HM Các tam giác vuông AHD, AHM dựng đợc vì biết 1 cạnh góc vuông và một cạnh huyền Tam giác ABC dựng đợc nếu dựng đợc các đỉnh B, C. Ta biết trung trực của [BC] đi qua tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Nếu xác định đợc tâm O của đờng tròn này, ta sẽ xác định đợc B và C. Dựng hình - Dựng tam giác vuông ADH biết à 0 AH=h, AD=l, H 90 = - Dựng tam giác vuông AHM biết à 0 AH=h, AM=m, H 90 = và [ ] D HM - Dựng trung trực của [BC] - Dựng giao điểm I của AD với trung trực - Dựng trung trực đoạn [AI] - Dựng O là giao của hai đờng trung trực trên - Dựng đờng tròn T tâm O, bán kính OA - Dựng B, C, các giao điểm của HM với đờng tròn T - Dựng ABC Chứng minh Từ cách dựng trên ta có MB=MC và [AD] là đờng phân giác của góc ã BAC . Dễ dàng chứng minh ABC thoả mãn các điều kiện đã cho của bài toán. Biện luận Nếu h < l < m các bớc dựng nêu ra ở trên đều thực hiện đợc và các hình dựng đợc là duy nhất. Nếu h = l = m bài toán đa về dựng tam giác cân ABC (AB=AC) biết đ- ờng cao AH=h (D, M trùng với h). Bài toán có vô số nghiệm hình. Các trờng hợp khác của h, l, m, bài toán vô nghiệm. Bài tập t ơng tự: Bài 1(thực hành giải toán-tr320): Dựng tam giác biết hai góc và một trung tuyến Bài 2(thực hành giải toán-tr320): Dựng tam giác biết 3 giao điểm của đ- ờng cao với đờng tròn ngoại tiếp tam giác Bài 3 (thực hành giải toán-tr320): Dựng tam giác biết ba đờng cao Bài 4 (thực hành giải toán-tr320): Dựng tam giác biêt 1 góc, 1 trung tuyến và 1 đờng cao. Bài 5 (thực hành giải toán-tr320): Dựng tam giác biết hai đờng cao , a b h h và trung tuyến a m . Bài 29 (SGK toán 8 tr83): Dựng tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh huyền BC=4 cm, góc nhọn à 0 65B = Bài 30 (SGK toán 8 - -tr83): Dựng tam giác ABC vuông tại B, biết cạnh huyền AC= cm, cạnh góc vuông BC=2 cm Bài 45 (SBT toán 8 - tr65): dựng tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh huyền BC=5 cm và à 0 35B = Bài 46 (SBT toán 8 tr65): Dựng tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh huyền BC=4,5 cm và cạnh góc vuông AC=2 cm. Bài 50 (SBT toán 8 tr65): Dựng tam giác ABC cân tại A, biết BC=3 cm, đờng cao BH=2,5. Bài 51 (SBT toán 8 tr65): Dựng tam giác ABC, biết à 0 40 , 4 , 3B BC cm AC cm= = = 3. Dựng tứ giác Ví dụ 1: Bài 55( SBT 8 tập 1- trong 65) Dựng hình thang ABCD biết hai đáy AB=2cm, CD=4cm à à 0 0 50 , D 70C = = Giải Phân tích Giả sử đã dựng đợc hình thang thoả mãn yêu cầu bài toán. Qua E kẻ đờng thẳng song song với BC, cắt CD ở E. Hình thang ABCD cóAE//BC nên AB=EC=2cm Do đó DE=2cm và ã ã 0 50AED BCE= = (2 góc đồng vị) Tam giác ADE dựng đợc vì biết một cạnh và 2 góc kề Từ đó dựng đợc các điểm C và D Cách dựng - Dựng tam giác ADE biết à à 0 0 2 , D 70 , E 50DE cm = = = - Trên tia DE lấy điểm C sao cho DC=4cm - Dựng các tia Ax//DC, Cy//AE, Ax Cy B = Chứng minh ABCD là hình thang vì AB//CD Ta có à à ã 0 0 70 , DC=4cm, C 50D AED = = = (2 góc đồng vị) Hình thang ABCD có hai cạnh bên AE, BC song song nên AB=EC=4-2=2cm Biện luận Tam giác ADE dựng đợc là duy nhất nên bài toán có1 nghiệm hình Ví dụ 2: Bài 23a (nâng cao và phát triển 8 tập 1- trong 82) Dựng tứ giác ADCB biết 3 góc và 2 cạnh kề Giải Phân tích Giả sử đã dựng đợc tứ giác ABCD thoả mãn yêu cầu bài toán Kẻ đờng chéo AC Tam giác ABC dựng đợc vì biêt độ dài 2 cạnh và số đo góc xen giữa Do biêt số đo của hóc à A và à C từ đó dựng đợc điểm D Cách dựng -Dựng ABC có à , , BAB c BC a = = = - Dựng ã ã Ax , BCyB = = Ax y=DC Chứng minh Tứ giác ABCD có AB=c, BC=a, à B = ã ã , BCDBAD = = . hình cần dựng có thể dựng đ- ợc thì dựng nh vậy là đúng. Bớc 4: Biện luận Nội dung biện luận là tìm mối liên hệ giữa các yếu tôd đã cho xác định điều kiện