BỘ ĐỀ ÔN THI LỚP 10 CHUYÊN NGHỆ AN HAY VÀ KHÓ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn thi chuyên: TOÁN vòng 1 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề.. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn thi chuyên: TOÁN vòng 2 Thời gian làm bài: 120 p

Trang 1

Tailieumontoan.com



Sưu tầm và tổng hợp

BỘ ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHYÊN TỈNH NGHỆ AN

Thanh Hóa, ngày 17 tháng 3 năm 2020

Trang 2

PHẦN 1: ĐỀ TOÁN VÀO 10 CHUYÊN

PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN

Câu 4 (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC AB AC nội tiếp đường tròn  O Gọi

E là điểm nằm chính giữa của cung nhỏ BC Trên cạnh AClấy điểm M sao cho

EM EC, đường thẳng BM cắt đường tròn  O tại N (N khác B) Các đường

thẳng EA và EN cắt cạnh BC lần lượt tại D và F

a) Chứng minh tam giác AEN đồng dạng với tam giác FED

b) Chứng minh M là trực tâm của tam giác AEN

c) Gọi I là trung điểm của AN, tia IM cắt đường tròn  O tại K Chứng minh

đường thẳng CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK

Câu 5 (2,0 điểm) Cho 12 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm nào cũng là đỉnh của một

tam giác mà mỗi tam giác đó luôn tồn tại ít nhất một cạnh có độ dài nhỏ hơn 673 Chứng minh rằng có ít nhất hai tam giác mà chu vi của mỗi tam giác nhỏ hơn 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH

Năm học 2019-2020

Đề số 1

Môn thi chuyên: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề chính thức

Trang 3

Câu 1

a) Giải phương trình : 2

x   x x  xb) Giải hệ phương trình:

b) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng BC tại P Chứng minh đường thẳng

BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP c) Tiếp tuyến của (O) tại C cắt DP tại M Đường tròn qua D tiếp xúc với CM tại M

và cắt OD tại Q (Q khác D) Chứng minh đường thẳng qua Q vuông góc với BM luôn đi qua điểm cố định khi BC cố định và A di động trên đường tròn (O)

Câu 5 Để phục vụ cho lễ khai mạc World Cung 2018, ban tổ chức giải đấu chuẩn bị 25000

quả bóng, các quả bóng được đánh số từ 1 đến 25000 Người ta dùng 7 màu: Đỏ, Da cam, Vàng, Lục, Lam, Chàm, Tím để sơn các quả bóng (mỗi quả được sơn 1 màu) Chứng minh rằng trong 25000 quả bóng nói trên tồn tại 3 quả bóng cùng màu được đánh số là a b c, , mà

a chia hết cho b, b chia hết cho c và abc17

-Hết -

Họ và tên Số báo danh

Trang 4

6x 4y 2 x 1 6y 4x 2 y 1

Cho hai đường tròn  O và  O ' cắt nhau tại A và B Trên tia đối của tia AB lấy điểm

M khác A Qua M kẻ các tiếp tuyến MC và MD với đường tròn  O ' (C, D là tiếp điểm và

Dnằm trong đường tròn tâm O)

a) Chứng minh rằng AD.BC  AC.DB

b) Các đường thẳng AC, AD cắt đường tròn  O lần lượt tại E và F (E, F khác A) Chứng minh đường thẳng CD đi qua trung điểm của EF

c) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm có định khi M thay đổi

Trang 5

Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn O Kẻ các tiếp tuyến AE, AF của O (E,

F là các tiếp điểm) Điểm D di động trên cung lớn EF sao cho DE DF, D không trùng với E và tiếp tuyến tại D của O cắt các tia AE, AF lần lượt tại B, C

a) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng OB,

OC Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp một đường tròn

b) Kẻ tia phân giác DK của góc EDFvà tia phân giác OI của góc BOCEF;I BC

K Chứng minh rằng OI song song với DK

c) Chứng minh đường thẳng IK luôn đi qua một điểm cố định

Câu 5 (2.0 điểm)

Mỗi điểm trong mặt phẳng được gắn với một trong hai màu đỏ hoặc xanh Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác đều có ba đỉnh cùng màu và có độ dài cạnh bằng 3hoặc 3

-Hết -

Trang 6

Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a2  b ab2

Tính giá trị của biểu thức

2 2

A 2ab

a) Chứng minh D là trực tâm của tam giác AEF

b) Gọi H là trực tâm của tam giác DEC; DH cắt BC tại N Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là M Chứng minh đường thẳng DM luôn

đi qua một điểm cố định

Trang 7

a) OB vuông góc với EF và BH 2 EF

BO  AC

b) Đường thẳng MN đi qua trung điểm của đoạn thẳng HP

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có BAC  60 ,o BC  2 3cm Bên trong tam giác này cho

13 điểm bất kỳ Chứng minh rằng trong 13 điểm ấy luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1cm

-Hết -

Trang 8

Câu 1 (7,0 điểm)

a) Giải phương trình:  2x 3 2 x 6 x 1 5

b) Giải hệ phương trình:

3 3

b) QD vuông góc với QI

c) DM song song với OC

Câu 5 (2,0 điểm)

Trên mặt phẳng cho bảy điểm (không có 3 điểm nào thẳng hàng) Gọi h là đội dài lớn nhất của các đoạn thẳng nối hai trong bảy điểm đã cho Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác có các đỉnh là ba trong bảy điểm đã cho thỏa mãn diện tích của nó nhỏ hơn

Trang 9

a) Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn và ba điểm N, C, E thẳng hàng b) Cho AD = BC, chứng minh DN đi qua trung điểm của AC

Câu 5 (2,0 điểm)

Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau

-Hết -

Trang 10

Câu 3 (6,0 điểm) Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cố định ((O) và d không có điểm

chung) M là điểm di động trên d Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB phân biệt và cát tuyến MCD của (O) (A, B là tiếp điểm, C nằm giữa M và D, CD không đi qua O) Vẽ dây DN của (O) song song với AB Gọi I là giao điểm của CN và AB Chứng minh rằng:

a) IC BC

=

IA BD và IA = IB

b) Điểm I luôn thuộc một đường cố định khi M di động trên đường thẳng d

Câu 4 (2,0 điểm) Cho các số thực dương a b c , , Chứng minh rằng:

 2 2 2  2 2 2 3  3  3  3 

a b  b c  c a ab  bc  ca  abc  a  abc b  abc c  abc

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Trang 11

Câu 3 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC và AD là đường phân giác trong Trên đoạn AD lấy

hai điểm M, N (M, N khác A và D) sao cho ABN CBM Đường thẳng BM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM tại điểm thứ hai là E Đường thẳng CN cắt đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABN tại điểm thứ hai là F

Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R), M là một điểm bất kì

trên cung nhỏ BC (M khác B, C) Đường tròn (O’; R’) tiếp xúc trong với đường tròn (O; R) tại điểm M (với R’ < R) Các đoạn thẳng MA, MB, MC lần lượt cắt đường tròn (O’; R’) tại điểm thứ hai là D, E, F Từ A, B, C kẻ các tiếp tuyến AI, BJ, CK với đường tròn (O’; R’) trong đó I, J, K là các tiếp điểm

Chứng minh DE song song với AB và AI = BJ + CK

Câu 5 (4,0 điểm)

a) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a b c  3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a bb cc a abc

b) Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng

hàng và không có 4 điểm nào cùng nằm trên một đường tròn

Chứng minh rằng trong 2010 điểm đã cho, có thể dựng được một đường tròn đi qua 3 điểm, chứa 1000 điểm và không chứa 1007 điểm còn lại

-Hết -

Trang 12

x y

Bài 3: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc

AC) Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B) Đường thẳng AM cắt BC tại K Chứng minh: AE.AN = AM.AK

Bài 4: (1.5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài

cạnh BC Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành

Bài 5: (2.0 điểm)

a Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC

b Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a    b c 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 13

Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c ( a = 0) Biết rằng phương trình f(x) = x

vô nghiệm Chứng minh rằng phương trình : a *f(x) ]2 + bf(x) + c = x vô nghiệm

a) Chứng minh : ∆MOB đồng dạng ∆ONC

b) Xác định vị trí điểm H sao cho diện tích ∆AMN lớn nhất

Bài 6 : ( 1 điểm )

Cho 33 điểm nằm trong hình vuông có độ dài bằng 4 , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Người ta vẽ các đường tròn bán kính bằng 2 và tâm là các điểm đã cho Hỏi có hay không ba điểm trong cá điểm đã cho sao cho chúng đều thuộc phần chung cuả ba hình tròn có tâm cũng là ba điểm đó ? Vì sao ?

-Hết -

Trang 14

Câu 1 Cho phương trình 2  

b) Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm nguyên

Câu 2 a) Giải phương trình 2

n  chia hết cho p Chứng minh rằng n p là một số chính phương

Câu 4 Cho các số thực không âm a b, thỏa mãn:  2

a) CMR: ABK là tam giác vuông

b) Đường tròn tâm K bán kính KA cắt ( ; )O R và ( '; )O r theo thứ tự tại M và N (khác A)

Chứng minh rằng ABM ABN

c) Trên đường tròn O R; lấy C thuộc cung AM không chứa B (C khác A, M) Đường thẳng CA vuông góc với O r', tại D CMR: KCKD

Câu 6: Cho 17 số tự nhiên mà các chữ số của mỗi số được lấy từ tập hợp 0;1; 2;3; 4

Chứng minh rằng ta có thể chọn được 5 số trong 17 số đã cho sao cho tổng của 5 số này chia hết cho 5

-Hết -

Trang 15

Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1)

Câu 1 (2,0 điểm) Giải các phương trình

b) Gọi K là giao điểm thứ hai của AD và (O) Chứng minh rằng ABD ~AKC

c) Kẻ EH AC tại H Chứng minh rằng HE AD EAEF

d) Hãy so sánh diện tích của tam giác ABC với diện tích của tứ giác AEKF

Câu 5 (1,0 điểm) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a b c  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

Trang 16

Câu 1 (3,0 điểm) Giải các phương trình sau

;2

   

b) 3x  1 x   3 x 1

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên 3x2 y2 2xy 7

Câu 3 (1,5 điểm) Tìm các số nguyên tố p q, thỏa mãn  2

p q  p q

Câu 4 (3,5 điểm) Cho hai đường tròn    O , O' cắt nhau tại A và B Từ điểm C thuộc tia đối của tia AB kẻ hai tiếp tuyến đến  O tại D và E, E nằm trong  O' Các đường thẳng AD,

AE cắt  O' tại điểm thứ hai tương ứng là M, N Gọi I là giao điểm của DE và MN

a) Chứng minh rằng tứ giác BEIN nội tiếp và BIN ~BDA

c) Chứng minh rằng I là trung điểm của MN

Câu 5 (1,0 điểm) Cho các số thực không âm a b c, , thỏa mãn a b c   2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

12

Trang 17

Câu 1 (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức

b) Tìm m để phương trình (1) có các nghiệm là x x1, 2 thỏa mãn (2x11)(2x2 1) 9

Câu 3 (1,5 điểm) Giải hệ phương trình

2 2

Câu 5 (4,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi C là điểm chính giữa cung AB,

D là điểm thuộc cung nhỏ BC (D khác B và C) Trên đoạn thẳng AD lấy điểm E sao cho

AEBD

a) Chứng minh rằng ACE BCD

b) Gọi F là giao điểm của OC và BD Chứng minh rằng DC là phân giác của ADF

c) Tiếp tuyến của (O) ở A cắt BC tại I Chứng minh rằng IE//BD

-Hết -

Trang 18

(không lời giải)

Câu 1 (2,0 điểm) Tìm hai số nguyên a và b sao cho

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm bé là x1, nghiệm lớn là x2 thỏa mãn điều kiện x12x2 0

Câu 3 (1,5 điểm) Giả sử x và y là các số dương có tổng bằng 1 Đặt S xy 1

xy

 

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của S

b) Biểu thức S có giá trị lớn nhất hay không ? Vì sao?

Câu 4 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8, BC = 10 Gọi M, N, P tương ứng là

chân đường cao, chân đường phân giác, chân đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A

a) Chứng minh rằng, điểm N nằm giữa hai điểm M và P

b) Tính diện tích các tam giác APB, ABN và ABM

-Hết -

Trang 19

(không lời giải)

Câu 1 (1,5 điểm) Giả sử n là số nguyên tố lớn hơn 2 Chứng minh rằng

2

2013 38

n 

là số nguyên dương

Câu 2 (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức

a) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC Chứng minh rằng bốn điểm I, J, D,

E cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh rằng HA là tia phân giác của EHD

c) Xác định mối liên hệ giữa AB, AC và AH để DE tiếp xúc với cả hai đường tròn nói trên

-Hết -

Trang 20

Câu 1.(1,5 điểm) Rút gọn biểu thức

trong đó ,a b là các số thực dương phân biệt

Câu 2 (1 điểm) Chứng minh rằng với mọi tham số m bất kì thì phương trình

2

4x 2(m1)x m  3 0 luôn có hai nghiệm phân biệt

Câu 3 (1,5 điểm) Giải hệ phương trình 3 4 10 0

Câu 5 (4 điểm) Cho đường tròn ( , )O R có đường kính AB cố định và đường kính CD

thay đổi sao cho CD không vuông góc cũng không trùng với AB Gọi d là tiếp tuyến tại

A của ( ; )O R Các đường thẳng BC và BD cắt d tương ứng tại E và F

1.Chứng minh rằng CDEF là tứ giác nội tiếp

2 Gọi M là trung điểm của EF , chứng minh rằng BM CD

3 Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF Chứng minh rằng MKR

4 Gọi H là trực tâm của tam giác EF D , chứng minh rằng H luôn chạy trên một

đường tròn cố định

-Hết -

Trang 21

Câu 1.(1,5 điểm)

Giả sử a, b, c là các số nguyên sao cho a2b2c2 chia hết cho 4 Chứng minh rằng

a, b, c đồng thời chia hết cho 2

yz z

y

xy y

x

5)(12

11)(30

9)(20

Câu 5 (1,5 điểm)

20122013

12011

2012

1

23

112

b) Gọi F AEOD và HOECD. Chứng minh rằng HF//AC

c) Chứng minh rằng ba đường thẳng OC, DE, HF đồng qui

-Hết -

Trang 22

Câu 1 Cho biểu thức ( 1) ( 1) ,

y x

y x y

y x

x y x

1 Tìm các giá trị của a sao cho ( ) P đi qua điểm A(2;15)

2 Với các giá trị nào của a thì ( ) d tiếp xúc với

Câu 3 Giải hệ phương trình

85

552

xy y x

Câu 4 Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức abc3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 3 1 3 1 3

Trang 23

Câu 1 Cho phương trình 2 2

x  x m  m  ).(1

1 Tìm các giá trị của m để phương trình )(1 có nghiệm

2 Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ).(1 Hãy tìm các giá trị của m sao cho x1 x22 4x2

Câu 2 Tìm các số nguyên không âm a, b sao cho a2b25a3b4 là số nguyên tố

Câu 3 Giả sử x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn hệ thức x yz 8 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Px3yy3zz3x

Câu 4 Cho nửa đường tròn O; R đường kính AB. M là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn

đó Gọi H thuộc AB sao cho MH AB. Tia phân giác của góc HMB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMH tại điểm thứ hai I và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BMH tại

điểm thứ hai J

1 Gọi E, F là trung điểm của MA , MB Chứng minh rằng E, I, F thẳng hàng

2 Gọi K là trung điểm của IJ. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác KEF

theo R

Câu 5 Bên trong hình lục giác đều có cạnh bằng 2 cho 81 điểm phân biệt Chứng minh rằng tồn tại một hình vuông có cạnh bằng 1 (kể cả biên) chứa ít nhất 6 điểm trong số các điểm đã cho

-Hết -

Trang 24

Câu I

1 Tính giá trị của biểu thức .

3 2

1 3

2 7

3 3 8

Câu III Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R  2 và có các góc

B, C nhọn Biết  BAC  600, đường cao AH của tam giác ABC bằng 3

1 Tính diện tích tam giác ABC

2 Gọi P là một điểm di động trên cung nhỏ BC; M, N lần lượt là các điểm đối xứng của P qua các đường thẳng AB và AC Xác định vị trí của P sao cho độ dài MN lớn nhất

Tính độ dài lớn nhất đó

-Hết -

Trang 25

Câu I

1 Giải phương trình

1 2 2

3 2

x x

2 Tìm số nguyên dương n sao cho n13  n5  1 là số nguyên tố

Câu II Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn

1 2

3 3

y y

x P

Câu IV Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB Đường tròn ( I ) tiếp xúc với AB tại C

và tiếp xúc trong với (O) tại D Giả sử BD cắt ( I ) tại E (E khác D) và tiếp tuyến của ( I ) tại

Trang 26

Câu 1 (2 điểm)

Cho phương trình x2(2m3)xm(m3)0, với m là tham số

1 Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

2 Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm u, v thỏa mãn hệ thức u2v217

xy y x

y x y x

2 Cho các số thực x, y thoả mãn x8y0 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

)8(

1

y x y

Cho hai đường tròn (O1,R1) và (O2,R2) cắt nhau tại hai điểm I , P Cho biết R1  R2

và O1,O2khác phía đối với đường thẳng IP Kẻ hai đường kính IE, IF tương ứng của

)

,

(O1 R1 và (O2,R2)

1 Chứng minh E,P,F thẳng hàng

2 Gọi K là trung điểm EF Chứng minh O1PKO2 là tứ giác nội tiếp

3 Tia IK cắt (O2,R2) tại điểm thứ hai là B , đường thẳng vuông góc với IK tại I

cắt (O1,R1) tại điểm thứ hai là A Chứng minh IABF

-Hết -

Trang 27

5x2 y2

m y x

Tìm m để biểu thức 2

2 1 2 2

(x2y2 x y  xy

2 Cho các số thực dương a ,,b c thoả mãn abc3 Chứng minh rằng

2

333

b b

a

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 3 Cho ba điểm phân biệt A,B,C cùng nằm trên một đường thẳng (điểm B nằm giữa

A và C) Gọi (O1),(O2),(O3) tương ứng là các nửa đường tròn đường kính AB,BC,CA và chúng cùng nằm về một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AC Đường thẳng qua B

vuông góc với AC cắt (O3) tại điểm D

1 Chứng minh rằng tiếp tuyến chung của (O1),(O2)( khác BD ) song song với tiếp

tuyến của (O3) tại điểm D

2 Tính diện tích phần hình phẳng nằm ngoài (O1),(O2)và nằm trong (O3) theo

Trang 28

Câu 1: Tính giá trị của biểu thức

),11)(

2(

y x y x

y y

1(x2 x x2 x 

Câu 3: Tìm m để phương trình x22mx2m20 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x12x22x1x2 10

Câu 4: Cho a, b là hai số thực dương Chứng minh rằng

2211

2 2 2

a

b b

Khi nào xảy ra dấu đẳng thức?

Câu 5: Cho tam giác ABC và (O) là đường tròn nội tiếp của nó Gọi M0,N0,P0 lần lượt là tiếp điểm giữa các cạnh AB, AC và BC với (O) Trên các cạnh AB, AClần lượt lấy các điểm M , N sao cho BMCN BC

a) Chứng minh rằng ( )

2

10 0



b) Chứng minh rằng tam giác OMN là tam giác cân

c) Xác định vị trí của M trên AB sao cho đoạn MN ngắn nhất

-Hết -

Trang 29

Câu 1:

Giải các phương trình

a) 2

54

104

)1)(

1)(

1( a b c d abcd

Câu 4:

Cho (O) là đường tròn có bán kính R và A, B là 2 điểm thuộc (O)sao choAB2a không đổi, với 0< a < R Giả sử M , N là hai điểm thuộc cung lớn AB sao cho AM BN

a) Tính khoảng cách từ O đến trung điểm I của MN theo a

b) Xác định vị trí của M sao cho độ dài MAMB đạt giá trị lớn nhất

Trang 30

Câu 1: Cho biểu thức

A =    4  4 1         1 1    1 1   

2

x

x x

4

3 3

xy y x

y x

Câu 3: Cho các số thực x, y thoả mãn x2  y2  6 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  5y

Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O

Gọi AA', BB', CC' là các đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC

a) Chứng minh rằng AA' là đường phân giác trong của  B ' A ' C '.

b) Cho  BAC  600 Chứng minh tam giác AOH là tam giác cân

-Hết -

Trang 31

Câu 1:

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 5 x  2007 y  1, trong đó x   1; 3000 

b) Chứng minh rằng  53n2  22n3  11

, với mọi số tự nhiên n

Câu 2: Xác định các số nguyên tố p , qsao cho p2  pq  2q2 và 2 p2  pq  q2 là các số nguyên tố cùng nhau

Câu 3: Cho các số thực dương a , b , c thoả mãn a  b  c  6 Chứng minh rằng

6 3

3 2

4 1

a c a

c b

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 4: Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm H nằm trong đường tròn Qua H ta

vẽ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau

Câu 5: Trong một tam giác có cạnh lớn nhất bằng 2, người ta lấy 5 điểm phân biệt Chứng

minh rằng trong 5 điểm đó luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá 1

-Hết -

Trang 32

Trang 33

b) Xác định số nguyên m để phương trình sau có nghiệm nguyên

a b a( b ) 128, với a, b là các số thực dương thoả mãn hệ

thức a b 4 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 4:

Cho tam giác đều ABC, có O là trung điểm của cạnh BC Vẽ xOy = 600 sao cho các

tia Ox, Oy cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F

a) Chứng minh rằng BC2 4BE FC

b) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

khi xOy quay xung quanh O sao cho các tia Ox, Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của

tam giác đều ABC

-Hết -

Trang 34

HƯỚNG DẪN GIẢI

PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN

TH1:x x  1 2 x3 x2   4 x 2(thỏa mãn điều kiện)

TH2:x x 1 10x3x2 100 x 5(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có hai nghiệm là x2 và x5

Trang 36

y x z x bc

y z y x ca

cung BC và theo giả thiết EM EC Mặt khác AE

là tia phân giác ̂ suy ra AE là trung trực đoạn

thẳng BM hay vuông góc với tia NM

Chứng minh tương tự thì NE là tia phân giác của

̂, suy ra NE là đường trung trực của đoạn thẳng

MChay NEvuông góc với AM

Từ hai điều trên ta có M là trực tâm của AEN

c) Gọi giao điểm của AM với ENlà X, của BN với AE là Y

Gọi giao điểm của IM với đường tròn  O là T Dễ thấy rằng ATNMlà hình bình hành

nên TN vuông góc với EN suy raET là đường kính đường tròn  O

 ̂ =90hay ̂=90hay Kthuộc đường tròn đường kính EM, suy ra năm điểm

, , , ,

X Y M K Ecùng thuộc một đường tròn

Ta có ̂ ̂ ̂ ̂ ̂(do tứ giác MEKX nội tiếp)

Suy ra CMlà tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK

Trang 37

Câu 5: Ta tô màu các đoạn thẳng có đầu mút là 2 trong 12 điểm đã cho:

-Tô đỏ các đoạn thẳng có độ dài nhỏ hơn 673

-Tô xanh các đoạn thẳng còn lại

thì mỗi tam giác có ít nhất một cạnh màu đỏ Ta sẽ chứng minh có ít nhất 2 tam giác có 3

cạnh đều là màu đỏ

+Xét 6 điểm trong 12 điểm đã cho Từ một điểm A nối đến các đoạn thẳng còn lại tạo

thành 5 đoạn thẳng, được tô tới hai màu xanh, nên tồn tại 3 cạnh cùng màu Giả sử đó là

, ,

AB AC AD

Nếu AB AC AD, , tô đỏ (nét liền, h1) thì tam giác BCD phải có 1cạnh tô đỏ(h1)., chẳn hạn

BCthì tam giác ABCcó 3 cạnh tô đỏ(h2) Nếu AB AC AD, , tô xanh (nét đứt, h3) Do mỗi

tam giác phải có ít nhất một cạnh đỏ nên BC CD BD, , và tam giác BCDcó 3 cạnh đỏ(h1)

Suy ra trong 6 điểm này luôn tồn tại ít nhất một tam giác có 3 cạnh màu đỏ

+Xét 6 điểm còn lại, chứng minh tương tự

Vậy trong 12 điểm luôn tồn tại ít nhất 2 tam giác có hai cạnh đều màu đỏ Suy ra tồn tại ít

nhất hai tam giác mà chu vi mỗi tam giác bé hơn 2019

(Từ trái qua phải lần lượt là h1,h2,h3,h4)

Trang 38

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x3

b) Hệ đã cho tương đương với

y z z

Trang 39

Vậy ta có điều phải chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1

Câu 4

J Q M

P

K D

A

Trang 40

a) Chứng minh AN BI DH BK.

Ta có do cùng chắn cung AB nên BDA BNA IHABNAINA

Suy ra tứ giác ANHI nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau) Do đó: AHN AINBIK (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

Gọi O1là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP, I là trung điểm NP

Vì A; D đối xứng qua BC nên PA cũng là tiếp tuyến của (O)

Gọi J là trung điểm OM, G là trung điểm của OC, E là giao điểm của QGvà BM

Dễ thấy MQ là đường kính của đường tròn đi qua D là tiếp xúc với MC (Do

Định dạng
Số trang	141
Dung lượng	3,27 MB