BỘ ĐỀ ÔN THI LỚP 10 CHUYÊN NGHỆ AN HAY VÀ KHÓ

Tailieumontoan.com  Sưu tầm tổng hợp BỘ ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHYÊN TỈNH NGHỆ AN Thanh Hóa, ngày 17 tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com PHẦN 1: ĐỀ TOÁN VÀO 10 CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN Đề thức Đề số KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2019-2020 Mơn thi chun: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (6,0 điểm) a) Giải phương trình x3  x2  12 x x   20  ( x  1)( xy  1)  b) Giải hệ phương trình  2  x ( y  y  1)  Câu (3,0 điểm) a) Cho đa thức P( x)  ax  bx  c  a   * thỏa mãn P    P    2019 Chứng minh P 10   P   số lẻ b) Tìm cặp số nguyên dương  x; y  cho x y  x  y chia hết cho xy  y  Câu (2,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  a  b  c  Tìm giá 1   trị lớn biểu thức P  a  b2 b2  c c2  a2 Câu (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn  O  Gọi E điểm nằm cung nhỏ BC Trên cạnh AC lấy điểm M cho EM  EC , đường thẳng BM cắt đường tròn  O  N ( N khác B ) Các đường thẳng EA EN cắt cạnh BC D F a) Chứng minh tam giác AEN đồng dạng với tam giác FED b) Chứng minh M trực tâm tam giác AEN c) Gọi I trung điểm AN , tia IM cắt đường tròn  O  K Chứng minh đường thẳng CM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK Câu (2,0 điểm) Cho 12 điểm mặt phẳng cho điểm đỉnh tam giác mà tam giác ln tồn cạnh có độ dài nhỏ 673 Chứng minh có hai tam giác mà chu vi tam giác nhỏ 2019 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2018-2019 Đề thức Mơn thi chun: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số Câu a) Giải phương trình : x    x  x2  5x 1  xy  y  x  b) Giải hệ phương trình:  2   y  y   x  8x Câu a) Tìm số nguyên x; y; z cho x2  y  z   xy  3x  z b) Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn m  n  ước nguyên tố  m2  n2   CMR m.n số phương Câu Cho a, b, c thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: a  a3  ab   b4  b3  bc   c  c3  ac   Câu Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  nội tiếp đường tròn (O) đường cao AH Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Gọi K hình chiếu vng góc A lên BD Qua H kẻ đường thẳng song song với BD cắt AK I Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) N (N khác B) a) Chứng minh AN.BI  DH BK b) Tiếp tuyến (O) D cắt đường thẳng BC P Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP c) Tiếp tuyến (O) C cắt DP M Đường tròn qua D tiếp xúc với CM M cắt OD Q (Q khác D) Chứng minh đường thẳng qua Q vng góc với BM qua điểm cố định BC cố định A di động đường tròn (O) Câu Để phục vụ cho lễ khai mạc World Cung 2018, ban tổ chức giải đấu chuẩn bị 25000 bóng, bóng đánh số từ đến 25000 Người ta dùng màu: Đỏ, Da cam, Vàng, Lục, Lam, Chàm, Tím để sơn bóng (mỗi sơn màu) Chứng minh 25000 bóng nói tồn bóng màu đánh số a, b, c mà a chia hết cho b, b chia hết cho c abc  17 Hết -Họ tên Số báo danh Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2017-2018 Đề thức Mơn thi chun: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số Câu (7.0 điểm) a) Giải phương trình 3x  x   14 x   20     6x  4y   x   b) Giải hệ phương trình  6y  4x   y    Câu (2.0 điểm) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn S  n   n2  2017n  10 với S  n  tổng chữ số n Câu (2.0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn c  a Chứng minh rằng: 2  a   b   c       4   a  b b  c c a Câu (7.0 điểm) Cho hai đường tròn  O   O '  cắt A B Trên tia đối tia AB lấy điểm M khác A Qua M kẻ tiếp tuyến MC MD với đường tròn  O '  (C, D tiếp điểm D nằm đường tròn tâm O) a) Chứng minh AD.BC  AC.DB b) Các đường thẳng AC, AD cắt đường tròn  O  E F (E, F khác A ) Chứng minh đường thẳng CD qua trung điểm EF c) Chứng minh đường thẳng EF ln qua điểm có định M thay đổi Câu (2.0 điểm) Trong đường tròn  O  có bán kính 21 đơn vị, cho 399 điểm A1, A2 , , A399 Chứng minh tồn vơ số hình tròn có bán kính đơn vị nằm đường tròn O không chứa điểm 399 điểm A , A , , A 399 Hết -Họ tên Số báo danh Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2016-2017 Đề thức Mơn thi chun: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề số Câu (7.0 điểm) a) Giải phương trình 3x b) Giải hệ phương trình x 3x 2xy 4x 3y 4x y2 12x 4x 4y Câu (3.0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương x ; y cho x 2 xy Câu (2.0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a2 P a b2 b b c c 4a Câu (6.0 điểm) Cho điểm A cố định nằm ngồi đường tròn O Kẻ tiếp tuyến AE, AF O (E, F tiếp điểm) Điểm D di động cung lớn EF cho DE DF , D không trùng với E tiếp tuyến D O cắt tia AE, AF B, C a) Gọi M, N giao điểm đường thẳng EF với đường thẳng OB, OC Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn b) Kẻ tia phân giác DK góc EDF tia phân giác OI góc BOC K EF;I BC Chứng minh OI song song với DK c) Chứng minh đường thẳng IK qua điểm cố định Câu (2.0 điểm) Mỗi điểm mặt phẳng gắn với hai màu đỏ xanh Chứng minh tồn tam giác có ba đỉnh màu có độ dài cạnh Hết -Họ tên Số báo danh Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2015-2016 Đề thức Mơn thi chun: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số Câu (7,0 điểm) a) Giải phương trình x  5x   x   x   x  4x    1  x    y    b) Giải hệ phương trình  y  x 2x y  xy  4xy  2x  y  Câu (2,0 điểm) Cho a,b số nguyên dương thỏa mãn a  b ab 2 a  b2 Tính giá trị biểu thức A   2ab Câu (2,0 điểm) 3(a  b  c) Cho a,b,c số thực Chứng minh (a  1)(b  1)(c  1)  2 Câu (7,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) có BC dây cố định (BC  2R) ; E điểm cung nhỏ BC Gọi A điểm di động cung lớn BC AB < AC (A khác B) Trên đoạn AC lấy điểm D khác C cho ED = EC Tia BD cắt đường tròn (O;R) điểm thứ hai F a) Chứng minh D trực tâm tam giác AEF b) Gọi H trực tâm tam giác DEC; DH cắt BC N Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN cắt đường tròn (O;R) điểm thứ hai M Chứng minh đường thẳng DM qua điểm cố định Câu (2,0 điểm) Cho tập hợp A gồm 21 phần tử số nguyên khác thỏa mãn tổng 11 phần tử lớn tổng 10 phần tử lại Biết số 101 102 thuộc A Tìm tất phần tử A Hết -Họ tên Số báo danh Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2014-2015 Đề thức Mơn thi chun: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số Câu (7,0 điểm) a) Giải phương trình x   x x   x  x  x  y2  x2    2 ( x  1) b) Giải hệ phương trình  ( y  1) 3xy  x  y   Câu (3,0 điểm) a) Tìm số nguyên x y thoả mãn phương trình x   y  y b) Tìm chữ số a, b cho ab   a  b  Câu (2,0 điểm) Cho số a, b, c không âm Chứng minh a  b2  c  3  abc    ab  bc  ca  Đẳng thức xảy nào? Câu (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AE CF cắt H Gọi P điểm thuộc cung nhỏ BC (P khác B, C); M, N hình chiếu P đường thẳng AB AC Chứng minh rằng: a) OB vng góc với EF BH EF 2 BO AC b) Đường thẳng MN qua trung điểm đoạn thẳng HP Câu (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có BAC  60 , BC  cm Bên tam giác cho 13 điểm Chứng minh 13 điểm ln tìm điểm mà khoảng cách chúng không lớn 1cm o Hết -Họ tên Số báo danh Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2013-2014 Đề thức Mơn thi chun: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề số Câu (7,0 điểm) a) Giải phương trình:  2x     x   x 1   x y  y  b) Giải hệ phương trình:   y (3x  2)  Câu (2,0 điểm) Cho hai số nguyên x, y Chứng minh rằng: ( x  y)( x  y)( x  y)( x  y)  y  khơng phải số phương Câu (2,0 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn a  0, b  0, c  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức T  (6  a  b2  c )(2  abc) Câu (7,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính BC Trên tia đối tia BC lấy điểm A khác B Kẻ tiếp tuyến AD, AE (O) ( D, E tiếp điểm) Kẻ DH vng góc với EC H Gọi K trung điểm DH, Gọi I giao điểm AC DE CK cắt (O) Q khác C, AQ cắt (O) M khác Q Chứng minh rằng: a) AB.CI = AC.BI b) QD vng góc với QI c) DM song song với OC Câu (2,0 điểm) Trên mặt phẳng cho bảy điểm (khơng có điểm thẳng hàng) Gọi h đội dài lớn đoạn thẳng nối hai bảy điểm cho Chứng minh tồn tam giác có đỉnh ba bảy điểm cho thỏa mãn diện tích nhỏ h (4  3) 24 Hết Họ tên Số báo danh Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN Đề thức KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2012-2013 Mơn thi chun: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số Câu (7,0 điểm) a) Giải phương trình: ( x   1)(5  x)  x  x  xy  x  y   b) Giải hệ phương trình:  2  y  x  xy  x   Câu (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x y thoả mãn   y x Câu (2,0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn 1    Chứng minh rằng: x y z x  yz  y  zx  z  xy  xyz  x  y  z Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm D khác A DAB  600 Trên đường kính AB lấy điểm C (C khác A, B) kẻ CH vng góc với AD H Phân giác góc DAB cắt đường tròn E cắt CH F Đường thẳng DF cắt đường tròn điểm thứ hai N a) Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn ba điểm N, C, E thẳng hàng b) Cho AD = BC, chứng minh DN qua trung điểm AC Câu (2,0 điểm) Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh số tự nhiên cho tổng ba số chúng chia hết cho số lại Chứng minh tứ giác có hai cạnh Hết -Họ tên Số báo danh Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2011-2012 Đề thức Mơn thi chun: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề số Câu (7,0 điểm) 3x  15  3x  8x  a) Giải phương trình:  xy  x  y   b) Giải hệ phương trình:  1   2  x  2x y  y   Câu (3,0 điểm) Tìm số nguyên x y thỏa mãn: x  xy  y  x  40  2 Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường thẳng d cố định ((O) d khơng có điểm chung) M điểm di động d Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB phân biệt cát tuyến MCD (O) (A, B tiếp điểm, C nằm M D, CD không qua O) Vẽ dây DN (O) song song với AB Gọi I giao điểm CN AB Chứng minh rằng: a) IC BC = IA = IB IA BD b) Điểm I thuộc đường cố định M di động đường thẳng d Câu (2,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:  a b  b c  c a  ab 2 2  bc  ca   abc   a3  abc  b3  abc  c3  abc  Đẳng thức xảy nào? Câu (2,0 điểm) Cho đa giác lồi có chu vi Chứng minh tồn hình tròn bán kính chứa đa giác Hết -Họ tên Số báo danh Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 126 Website:tailieumontoan.com A M N0 M0 N O P0 B a) Vì AM ON tứ giác nội tiếp, nên OM N  OAN  A (1) Tương tự, xét tứ giác nội tiếp BM OP0 ta có OM P0  B (2) C Từ (1) (2) suy P0 M N  (A  B) 0,5 0,5 b) Ta có BM  CN  BC  BM  CN , nên M M  N N 0,5 Hơn OM  ON0 , nên hai tam giác vuông OM M ON N 0,5 Suy OM  ON , tam giác OMN cân O c) Ta có MOM  NON , nên M ON0  MON 0,5 Lại tam giác M ON MON cân O nên chúng đồng dạng với Suy MN ON   Hay MN  M N M N ON 0,5 Vì M0N0 khơng đổi, nên MN ngắn M trùng với M0 N trùng N0 0,5 Đề số 28 Câu Nội dung Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 Điểm TÀI LIỆU TỐN HỌC 127 Website:tailieumontoan.com a) Đặt t  x  x   ( x  2)   Khi phương trình cho trở thành 10 t     t  7t  10   t   t  t +) t   ( x  2)    x   x  +) t   ( x  2)    x   x  0,5 0,5 0,5 b) Lập phương hai vế phương trình cho ta 5x   33 x  13 3x  1(3 x   3x  1)  5x   x  13 3x  13 5x   0,5  (2 x  1)(15x  x  1)   30 x  19 x   x   x  19 30 0,5 -Với x  hai vế khác 19 - Với x  hai vế phương trình cho 30 19 Vậy phương trình có nghiệm x  30 0,5 a) Ta có x12  18x1   0, nên x1n2  18x1n1  x1n  (1) 0,5 Tương tự: x2n2  18x2n1  x2n  (2) Từ (1) (2) ta có x1n2  x2n2  18( x1n1  x2n1 )  ( x1n  x2n )  0,5  S n2  18S n1  S n b) Ta có S  2; S1  x1  x2  18; S  x12  x22  ( x1  x2 )  x1 x2  322 số nguyên dương không chia hết cho 17 0,5 Giả sử toán đến k  0,1, , n  2, n  N Khi S n3  18S n2  S n  17S n2  (18S n1  S n )  S n  17(S n2  S n1 )  S n số nguyên dương khơng chia hết cho 17 Vậy tốn chứng minh abc ; 1 a 1 b 1 c (1  a)(1  b)(1  c)(1  d )  (1  a)(1  b)(1  c)  abc abc 1  Suy P  3 Với a, b, c, d  0,1 ta có 3 1,0 abcd  abc  0,5 Dấu đẳng thức xảy a  b  c  d   a  b  c  d  Vậy max P  Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 0,5 128 Website:tailieumontoan.com Q J A N a) AO cắt đường tròn (O) A' Gọi J trung điểm B AB Ta có hai cung MN A'B O bù với cung AB Do IM  I A' M 0,5 1 MN  A' B  JO Suy 2 0,5 OI  OM  IM  OA2  JO  a P K b) Gọi P, Q trung điểm hai cung lớn, nhỏ AB Trên AM kéo dài lấy 0,5 điểm K cho MB = MK Ta có MA + MB = AK Vì ta xác định M cho AK có độ dài lớn Ta có MQ phân giác AMB MP  MQ nên MP phân giác góc BMK Vì MK = MB nên PK = PB Điều chứng tỏ K thuộc đường tròn tâm P cố định với bán kính PB = PA khơng đổi 0,5 0,5 Do dây cung AK lớn đường kính, nghĩa M  P Giả sử ABC tam giác có cạnh Chia cạnh tam giác ABC thành ba phần Nối điểm chia đoạn thẳng song song với cạnh, tam giác A ABC chia thành tam giác có cạnh Gọi I, J J, K điểm cạnh BC, CA AB cho K 0,5 IC = JA = KB =1 Ba đường tròn bán kính 1, tâm tương B I C ứng I, J, K phủ kín tam giác ABC (mỗi hình tròn phủ tam giác nhỏ) Như dùng bìa phủ kín tam giác ABC Số bìa phải dùng 3, ngược lại phải có hai ba đỉnh tam giác ABC thuộc hình tròn bán kính Điều khơng thể xảy cạnh tam giác ABC Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 0,5 129 Website:tailieumontoan.com Đề số 29 Câu Nội dung < x  a) Điều kiện: A= x  12  16 x b) 2A + x  Điểm      x   x   x  1  x  x =  16 x x 1 x 2 1,0 1 x 1 x + x= Theo giả thiết ta có x x 1 x  2x  x   = x 0,5 x  t (0  t  1) ta 2t2-5t+2 =  t = t = Suy x = x = Đặt a) Phương trình cho có nghiệm kép  ' = 1+m(m-3)+1 =0  m23m+2 =  m =1 m = x  y  x  y      xy ( x  y )  30  xy[( x  y )  xy ]  30 0,5 b) Hệ cho   1,0 x  y  x  y     xy   xy  ( xy )  xy  15  0,5 x  y   (x, y) = (3, 1); (x, y) = (1, 3) xy   *)  Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 130 Website:tailieumontoan.com x  y  , vô nghiệm  xy  0,75 *)  Áp dụng BĐT Bunhiacôpski cho hai số (x, y) (1,  ) ta có P  ( x  y)  36  -6  P  0,75 +) P = -6 x =-1, y = Suy minP =-6 +) P = x =1, y =- Suy maxP = A K B' C' H 1,0 O B' C' O A' 0,5 H a) Tứ giác HA'BC' nội tiếp nên C'A'H = C'BH (cùng chắn cung C'H) Tứ giác AB'A'B nội tiếp nên AA'B' = ABB' (cùng chắn cung AB') Từ suy C'A'H = AA'B' b) Kéo dài CO cắt đường tròn K Tứ giác KBHA hình bình hành KB // AH (cùng vng góc với BC) KA // BH (cùng vng góc với AC) Suy AH = KB (1) Tam giác vuông BKC có BKC =BAC = 600 nên KB = KC =OC =AO (2) Từ (1) (2) ta có AH = AO Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 131 Website:tailieumontoan.com Chú ý: +) Cũng kéo dài BO AO cho cắt đường tròn chứng minh tương tự 1,5 +) Cũng sử dụng tam giác đồng dạng để giải 1,0 1,0 Đề số 30 Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 132 Website:tailieumontoan.com a) Phương trình cho tương đương với x  401y  2y 1 Do x, y nguyên nên 2y 1 z 1  z Z Vậy y = 2z+  z=2t+1, tZ 0,5 Suy y = 5t+2, x = 2007t + 803, t Z Kết hợp giả thiết x (0; 3000) suy t = t = +) Với t =  x = 803, y = 0,5 +) Với t =  x = 2810, y = 0,5 b) Ta có 53n+2+22n+3 = 25.125n + 8.4n = 25(125n - 4n) +33.4n 1,0 Mặt khác (125n - 4n )  (125 - 4) = 121  11 33.4n  11,  n  N Do 53n+2+22n+3  11,  n  N 1,0 Đặt A = p  pq  2q B = p  pq  q Xét trường hợp: 2 2 +) p = q = 2, không thoả mãn +) p =2, q  3, ( A, B ) = (4 - 2q+2q2, 8+2q+ q2) = (2- q+ q2, 8+2q + q2), (vì + 2q + q2  2) = ( + 3q, + 2q + q2) = (2 + q, + (2 + q)q ) , (vì + 2q + q2  3) = d Suy d lẻ d Do d =1 +) q =2, p  3, 0,5 ( A, B ) = (p2 –2p +8, 2p2 +2p+4) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 133 Website:tailieumontoan.com = (p2 –2p +8, p2 + p+2), (vì p2 –2p +8  2) = (3p - 6, p2 + p +2) (vì p2 + p +2  3) = (p - 2, p2 + p +2), = (p - 2, p2 + 4) = (p - 2, (p - 2)2 + 4p) = d Suy d p , d lẻ d < p Do d =1 +) p, q  Vì p, q số lẻ nên p + q p - q số chẵn Suy A=p(p - q) +2q2  B = 2p2 + q(q + p)  Vậy A B khơng ngun tố Tóm lại: p = 2, q  3, nguyên tố q =2, p  3, nguyên tố Đặt P = bc5 ca4 ab3 1    P+3=12 + +     a  b  c 1 a 2b 3c   0,5 Áp dụng BĐT Cơsi cho số dương ta có P+3 36 1      3 (  a )(  b )(  c ) 1  a  b  c  = 12  36  Suy P  1 a   b   c 0,5 1  a   b   c  a  3, b  2, c  a  b  c  Dấu đẳng thức xảy   D N a) Kẻ OI  AB, OJ CD  I, J tương ứng trung điểm AB, CD AB2+CD2 = 4IA2+ 4JD2 H A K B p J I 0,5 O M = 4(OA2-IO2) + 4(OD2-OJ2) = 8R2 - 4(OI2+OJ2) =8R2- 4OH2 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 C TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com = 8R2- R2 = 7R2 0,5 b) Kéo dài NH cắt AC K Ta có AHK = BHN (đối đỉnh) BHN = NBH (vì HN trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông), nên AHK = NBH (1) Mặt khác, CAB = HDB (2) Từ (1) (2)  AHK +CAB = NBH + HDB = 900, hay NK AC Suy NH // OM Tương tự MH// ON Do tứ giác OMHN hình bình hành  M, N, P thẳng hàng d Bổ đề: Cho ABC M, N hai điểm tuỳ ý A M0 tam giác Khi MN  max{AB, BC, CA} 1,5 M N (1) Chứng minh: Gọi d đường thẳng MN i) Nếu d qua đỉnh ABC, chẳng hạn A Khi d cắt BC A1 B N0 A1 C Nếu A1 trùng với B C hiển nhiên có (1) Nếu A1 khác B, C góc  AA1B  AA1C có góc  900, giả sử  AA1C Khi MN  AA1  AC nên suy (1) 1,0 ii) Nếu d không qua đỉnh ABC Giả sử d cắt AB, BC M0, N0 Áp dụng i) ta có MN  max{A N0 , N0B, AB}  max{A N0 , BC, AB} (2) Mặt khác theo i) AN0  max{AB, BC, CA} (3) Từ (2), (3) suy (1) 0,5 Trở lại Bài toán: Bằng cách nối trung điểm cạnh tam giác cho, theo tính chất đường trung bình ta thu tam giác tam giác có cạnh lớn Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 135 Website:tailieumontoan.com Vì có điểm phân vào tam giác nên tồn tam giác chứa điểm (nguyên lí Đirichlet) Theo bổ đề ta có khoảng cách điểm khơng vượt 0,5 0,5 Đề số 31 Câu Nội dung Điểm Đặt n = 3k + r với k nguyên; r = 0, *)Nếu n = 3k n2 + n + = 9k2 + 3k + chia dư Câu 0,5 0,5 *) Nếu n = 3k + n2 + n + = 9k2 + 9k + chia dư 0,5 *) Nếu n =3k + n2 + n + = 9k2 + 15k + chia dư 0,5 Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 136 Website:tailieumontoan.com a) Đặt x2 – x = u, u  v  19 y2 – 2y = v   uv  20  u,v nghiệm phương trình t2 – 19t – 20 =  t = -1; t = 20 u  1  x  x   *)     vô nghiệm  y y  20  v  20 u  20  x  4 ; x   x  x  20        y  y   v  1 y  Câu 0,5 *)  nghiệm hệ (x, y) = (-4, 1); (5, 1) < b) Điều kiện -  x  Với điều kiện phương trình  3x  = 3-  x   3x + = -  x + – x   x = – 2x  …  9(x-2) = 25 -20x + 4x2 x   4x - 11x + =   x   Câu 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 Ta có a3 = + 17 + - 17 + 3  17 3  17 a = – 6a  a + 6a =  f(a) = (a3 + 6a – 5)2006 = (6 – 5)2006 = 0,5 0,5 Nội dung xĐiể Câu m a) I E K F A O • •O’ • 0,25 B Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 137 Website:tailieumontoan.com Ta có  KEA =  KBE Suy  KEA đồng dạng với  KBE  KE KA =  KE2 = KA.KB KB KE (1) Tương tự, ta xét hai tam giác KFA KBF ta có KF2 = KA.KB Câu Từ (1) (2) suy KE = KF (2) (3) Mặt khác, theo giả thiết KA = KI (4) 0,5 Từ (3) (4) suy tứ giác AEIF hình bình hành b) Ta có MA= MO' =  OO'   OAO' vuông A OO' = OA + O ' A = R2 + R ' 0,25 (5) Do tứ giác OEFO' hình thang vng E, F nên OO' = EF2 + (OE - O ' F ) = EF2 + ( R  R ') (6) Từ (5) (6) suy EF2= R2 + R ' – ( R  R ') = 2RR '  EF = 0,5 2RR '