Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace

Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace CHƯƠNG I: HÀM GIẢI TÍCH § SỚ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TRƯỜNG SỚ PHỨC I Dạng đại sớ: Định nghĩa: Dạng đại số của số phức có dạng: z=x+iy x=Rez: phần thực y=Imz: phần ảo i: đơn vị ảo, i = −1 Tập tất cả các số phức gọi là Trường số phức: ký hiệu C 2 số phức bằng nhau: x = x  x + iy = x + iy ⇔  1 2  y1 = y2  Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của z=x+iy là z = x − iy Các phép toán về sớ phức: • Phép cợng: z1 + z = ( x1 + x2 ) + i( y1 + y ) • Phép trừ: z1 − z = ( x1 − x2 ) + i( y1 − y ) • Phép nhân: z1 z = ( x1 x2 − y1 y ) + i ( x y1 + x1 y ) zz = x + y • Phép chia: z1 z z = z2 z2 z2 Ví dụ: Tính A = ( − 3i )(1 + i ) = Ví dụ : Rút gọn B= ( − 3i )(1 + i ) = + i 26 26 i + i + i + i + i i − − i + + i i (1 − i ) i + = = = 1+ i 1+ i 2 II.Biểu diễn hình học và dạng lượng giác Mặt phẳng phức Page Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace Dạng lượng giác: z = x + iy = r ( cos ϕ + i sin ϕ) r= x2 + y2 ϕ = Argument ( z ) = Arg ( z ) = arg( z ) + k 2Π, ( k = 0,±1,±2,) ϕ là hàm đa trị arg(z) là giá trị chính ( − Π < arg(z ) < Π ) y  arctan  x  y  Π + arctan x   y arg( z ) =  − Π + arctan x  Π    Π −   x>0 x < 0, y > x < 0, y < x = 0, y > x = 0, y < Ví dụ: Biểu diễn số phức z=-1-I về dạng lượng giác: r= Π 3Π =− 4 3Π 3Π   ⇒ z =  cos − i sin  4   arg z = −Π + arctan = −Π + Page Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace Phép nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác: z1 z = r1 r2 [ cos( ϕ1 + ϕ ) + i sin ( ϕ1 + ϕ ) ] z1 r1 = [ cos( ϕ1 − ϕ ) + i sin ( ϕ1 − ϕ ) ] z r2 phép lũy thừa và phép khai • z = r [cos( nϕ ) + i sin ( nϕ )] n • n n   ϕ + k 2Π   ϕ + k 2Π   + i sin  , k = 0; n − z = n r cos     n n      Vậy bậc n của số phức z gồm n giá trị Ví dụ: Tìm + i = • Dạng mũ Cơng thức Euler: Ví dụ: −i  Π  Π  + k 2Π  + k 2Π     4  + i sin  , k = 0; n −1 cos     3            e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ z = re iϕ Π z = −1 − i = 2e Mợt sớ miền mặt phẳng phức: • z − z : Khoảng cách giữa số phức • z − z =r : Đường tròn tâm Z0, bán kính r • z − z < r : Hình tròn mở tâm Z0, bán kính r ( hình tròn khơng tính biên) • z − z ≤r : Hình tròn đóng tâm Z0, bán kính r ( hình tròn có biên) • z − z > r : Phần ngoài hình tròn mở tâm Z0, bán kính r BÀI TẬP Viết dưới dạng mũ và dạng lượng giác các số phức sau: a) z=-5 b) −i c)-2+2i d) − − i Tính và viết dưới dạng đại số: 0 0 −2 +i a) − 3i b) (1 + i ) c) 1 + i    1 − i  3.Tính và viết dưới dạng mũ: a) − i b) − + i3 d) 1 + i     −i    Page e) Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace Tìm và biểu diễn hình học các số phức thỏa: z = z GIẢI: r=0  r =1   ⇔ re iϕ = r e i 2ϕ ⇔ re − iϕ = r e i 2ϕ ⇔  re i 3ϕ = ⇔  k 2Π ϕ = , k = 0;1;2     Vẽ tập điểm xác định bởi a) z −1 +i =1 b) z +i ≤3 c) Re( z − i ) = d) z −i Vẽ miền của mp phức xác định bởi: a) < Re z ≤ Im z b) z −1 ≤Re z Page =4 e) z −1 = z +i Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace §2 HÀM BIẾN PHỨC I Miền và biên mp phức: Miền mp phức là tập D có tính chất sau: D là tập mở ⇔ ∀z ∈ D, ∃S ( z , r ) ⊂ D D liên thông ⇔ ∀z1 , z ∈ D có thể nối z1, z2 bằng đường gấp khúc nằm trọn D Biên của D là đường cong kín C: gồm các điểm của mp phức thỏa: a) C ∩ D = Φ b) ∃hình tròn nếu chứa điểm của C thì nó sẽ chứa ít điểm của D D = D ∪ C gọi là miền đóng II Hàm biến phức Định nghĩa: S ⊂ C , Hàm số f: S → C là quy tắc cho mỗi z ∈ S tương ứng phần tử nhất f ( z ) ∈C Hàm biến phức này gọi là hàm đơn trị Trong lý thuyết hàm phức ta thường gặp các hàm đa trị nghĩa là ứng với mỗi z có thể có nhiều f(z) Phần thực và phần ảo của hàm biến phức: z = x + iy ⇒ w = f ( z ) = u ( x; y ) + iv ( x; y ) Ví dụ: Cho w = f ( z ) = x − y + i ( x + y ) Tính f(1+2i) GIẢI: Với x=1, y=2 ta có f(1+2i)=-3+5i Page Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace Ví dụ: Cho w = f ( z ) = z Tính u(x;y), v(x;y) GIẢI: u = x − y w = f ( x + iy ) = x − y + i ( xy ) ⇔       v = xy u v III Giới hạn và liên tục Giới hạn: w0 gọi là Giới hạn của hàm cho z − z < δ ⇒ w − w < ε lim f ( z ) = w Ký hiệu: z → z0 w = f ( z) z → z ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > Liên tục: f(z) gọi là liên tục tại z0 ⇔ lim z →z f ( z ) = f ( z0 ) f ( z ) = u ( x; y ) + iv( x; y ) liên tục ⇔ Các hàm u(x;y), v(x;y) cũng liên tục IV Các hàm sơ cấp bản Hàm mũ: z • e z : đơn trị và giải tích ∀ • e z : có thể âm • (e z )′ = e z 2.Hàm lượng giác •  eiz = cos z + isin z eiz + e− iz eiz − e− iz  ⇒ cos z = ,sin z =  2i  e− iz = cos z − isin z • ( cos z )′ = −sin z, ( sin z )′ = cos z Hàm Hypebolic: e z + e− z e z − e− z sinh z cosh z chz = , shz = , tghz = , coth z = 2 cosh z sinh z Hàm Logarit: z = re iϕ ⇒ Lnz = Lnr + i (ϕ + k 2Π) , ( − Π < ϕ < Π) • Vậy Lnz là hàm đa trị • Với k=0 ta được nhánh chính của Lnz BÀI TẬP: Tính giá trị các hàm phức sau: a) Ln(− +i ) b) ( Ln − i  ) c) Ln − + i  2 Viết các hàm sau về dạng đại số:  Page 3    Toán chuyên ngành a)ch(1-i) b)sin(1+i) c) (1 − i ) ( ) Π  + iLn + 15    h) sin  2 +i Hàm phức và Toán tử Laplace 1−i d) i e) ( + i ) i Page f) (1 − i ) 2i +1 g) 32 +i Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace §3 ĐẠO HÀM Định nghĩa: Đạo hàm của hàm biến phức f(z) tại z nếu giới hạn sau tồn tại f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z ∆z → f ′( z ) = lim Quy tắc: ′ ′ a) ( w1 ± w2 ) ′ = w1 ± w2 ′ ′ b) ( w1w2 ) ′ = w1w2 ± w2 w1 c) ′  ′ ′  = w1w2 − w2 w1  w2  ′ w n = nw n − w′ w  w  d) ( ) Điều kiện để hàm biến phức khả vi tại điểm: Định lý: Cho hàm f ( z ) = u ( x; y ) + iv( x; y ) , nếu các hàm biến u(x;y), v(x;y) có các đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann:  ∂u ∂v  ∂x = ∂y  ∂u ∂v  =− ∂y ∂x  Tại điểm z=x+iy thì f(z) khả vi tại điểm này Điều kiện để hàm biến phức giải tích tại điểm: Định lý: Nếu hàm f ( z ) = u ( x; y ) + iv ( x; y ) khả vi tại mọi điểm lân cận nào đó của điểm z0 thì f(z) giải tích tại z0 NHẬN XÉT: • Trong miền thì tính khả vi và giải tích là tương đương • Nhưng tại điểm thì tính giải tích đòi hỏi điều kiện nhiều tính khả vi Định lý: Cho hàm f ( z ) = u ( x; y ) + iv( x; y ) , nếu các hàm biến u(x;y), v(x;y) có các đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann:  ∂u ∂v  ∂x = ∂y  ∂u ∂v  =− ∂y ∂x  Trong miền D là điều kiện cần và đủ để hàm f(z) giải tích miền D và đó đạo hàm của f(z) cho bởi công thức: f ′( z ) = ∂ u ∂ v ∂ v ∂ u +i = −i ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y Liên hệ giữa hàm giải tích và hàm điều hòa 5.1 Hàm u(x;y) gọi là hàm điều hòa miền D nếu nó thỏa pt LPLACE: ∇ = u ∂2 v ∂x + ∂2 v ∂y =0 Page Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace 5.2 Định lý: hàm f ( z ) = u ( x; y ) + iv( x; y ) giải tích D ⇔ phần thực và phần ảo là những hàm điều hòa D và thỏa điều kiện C-RVí dụ: xét tính giải tích và tính đạo hàm của các hàm sau: a) f ( z ) = x − y + 2ixy b) f ( z ) = e x ( cos y + i sin y ) GIẢI: a) ∂u ∂v ∂v ∂u = x, = y, = x, =− y ∂x ∂x ∂y ∂y Các đạo hàm riêng thỏa điều kiện C-R ⇒ f ′( z ) = (z )′ =2 z ∂u b) ∂x = cos ye x , ∂u ∂v +i = x + 2iy = z Vậy ∂x ∂x ∂v ∂v ∂u = sin ye x , = cos ye x , = −sin ye x ∂x ∂y ∂y Các đạo hàm riêng thỏa điều kiện C-R ⇒ f ′( z ) = ∂u ∂v +i = e x (cos y + i sin y ) = e z Vậy e z ′ = e z ∂x ∂x ( ) Ví dụ: xét tính khả vi của các hàm sau: a) f ( z ) = x − y + 9ixy b) f ( z ) = ( z ) c) f ( z ) =z GIẢI: a) −iz +izz ∂u ∂v ∂v ∂u = x, = y, = x, = −9 y ∂x ∂x ∂y ∂y Để hàm số khả vi và chỉ điều kiện C-R được thỏa ta có hệ pt:   x=0  2x = 9x  ⇔   y = ⇔ ( 0;0) ∨ ( 0;1)  − y = −9 y   y =   b) f ( z ) = x − y − 2ixy ∂ u ∂ v ∂ v ∂ u = x, = − y, = − x, =− y ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y Để hàm số khả vi và chỉ điều kiện C-R được thỏa ta có hệ pt:  x = −2 x x = ⇔ ⇔ ( 0;0)   − y = y c) f ( z ) = x − y − y + i ( x + y + xy − x ) ∂u ∂v ∂v ∂u = x, = x + y −1, = y + x, = −2 y −1 ∂x ∂x ∂y ∂y Để hàm số khả vi và chỉ điều kiện C-R được thỏa ta có hệ pt: 2x = y + 2x  y = ⇔ ⇔ (1;0 )  2 x + y − = y +  x = Ví dụ: Tìm hàm giải tích f(z)=u(x;y)+iv(x;y) biết v = x y + x − y − y ; f ( ) =1 b) u =e x cos y , f (0) =1 c) u = ln( x + y ) GỈAI: a) • Kiểm tra v là hàm điều hòa Page Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace ∂v ∂ v ∂v ∂2 v = xy + x ⇒ = + y −1, = −3 y + x − y , = −6 y − ∂x ∂y ∂x ∂y ⇒ ∂2 v ∂x + ∂2 v ∂y =0 Ta có V là hàm điều hòa  ∂u ∂v 2  ∂x = ∂y = x − y − y  Từ điều kiện C-R ta có hệ pt:  ∂u ∂v  = − = −6 xy − x  ∂y ∂x  • u = ∫ ( − xy − x ) dy + g ( x ) = −3 xy − xy + g ( x ) ⇒ Ta có: ∂u = −3 y − y + g ′( x ) dx = x − y − y ⇒ g ′( x) = x ⇒ g ( x ) = x + C ( ) ⇒ f ( z ) = −3 xy − xy + x + C + x y + x − y − y i ( ) Because : f (0) = C =1, so : f ( z ) = −3 xy − xy + x +1 + x y + x − y − y i GỈAI: a) • Kiểm tra v là hàm điều hòa ∂u ∂2 v ∂v ∂2 v = e x cos y ⇒ = e x cos y , = −sin ye x , = −cos ye x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂2 v ∂2 v ⇒ + =0 ∂x ∂y Ta có V là hàm điều hòa  ∂u ∂v x  ∂x = ∂y = e cos y  Từ điều kiện C-R ta có hệ pt:  ∂u ∂v  = − = −e x sin y  ∂y ∂x  • v = ∫ e x sin ydx + g ( y ) = e x sin y + g ( y ) ⇒ Ta có: ∂v = e x cos y + g ′( y ) dy = e x cos y ⇒ g ′( y ) = o ⇒ g ( y ) = C ( ) ⇒ f ( z ) = e x cos y + e x sin y + C i ( ) Because : f (0) = iC +1 =1 ⇒C = 0, so : f ( z ) = e x cos y + e x sin y i c) • Kiểm tra v là hàm điều hòa ( ) ( ( ∂u 2x ∂2u y − x ∂u 2y ∂2 u − y + x = ⇒ = , = , = ∂y ∂x x + y ∂x x + y ∂y x2 + y2 x2 + y2 ( ⇒ ∂ v ∂x + ∂ v ∂y ) =0 Ta có v là hàm điều hòa Page 10 ) ) Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace + cos 2mt f ) f ( t ) = cos mt = ⇒ F ( p ) = [ L(1) + L( cos 2mt ) ] 2   p + 2m  1 p =  +  =  p 4m + p   4m + p p      ( ) Tìm ảnh của hàm gốc: c ) e −3t ch 2t a )e 4t cos t b) e 2t sin 3t f ) sin 2t − 2t cos 2t GIẢI: a) F ( p ) = b) F ( p ) = + ( p − 4) + ( p − 2) p +3 ( p + 3) − d )F ( p) = 3p 16 + ( p ) e) L( f ( t ) ) = L( ch3t ) + L( tsh3t ) = p p2 −9 e)ch3t + tsh3t p −4 c) F ( p ) = = d )3 cos 4t + 6p = p p2 −9 − F ′( p ) = '    − p2 −9  p2 −9    p p3 − p ( p − 9)2 ( p − 9)2 '  p    f ) L( f ( t ) ) = L( sin 2t ) − L( t cos 2t ) = − F ′( p ) = −2  p2 +  p2 + p2 +   = 2 p +4 + ( − p2 (p +4 )= ) (p 16 +4 Tìm ảnh của hàm gốc: a )t eαt t b) ∫ sin udu )2 t c) ∫ cos 2udu d) sin t t Page 52 e) − cos t te t f ) sin 7t sin 3t Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace GIẢI ″    t ′ a ) L t eα = F ′( p ) =  =  p −α ( p −α)    [ ] ′   =  ( p −α)3  t  F ( p) 1 b) L ∫sin udu  = = p p + p2 0    t  F ( p) 1 p c ) L ∫cos 2udu  = = L[cos 2t ] = = p p p + p2 + p2     ( ( ) du =  )  + ∞ a   1 +∞ u 1 d u +4  −cos 2t  du = d )L lim ∫ −    = ∫ L[1 −cos 2u ]du = ∫ u − u 2t a → ∞p  +   u +4  u +4 p p  a     a   1 u a   = lim  u p − ln u +4 ln ln  = lim  a→ ∞ p  u +4   +  a→ ∞ +      p      1 a p p +4 =  lim ln −ln  = ln a → ∞  a +4   p +4  + p2            ( )  −cos t  +∞ e) L   = ∫ F (u )du ,With  te t  p = [ ] t t F = L e − −e − cos t = 1 p +1 − p +1 +( p +1) + ∞   p +1 u +1 du = − ⇒ [ f (t )] = ∫  L u +1 −  p +1 p +2 p + u +2u +2  p  a − ∫ a → ∞ u +1 + lim p ( ( ) ) ( ) a  d u +2u +2  du = lim  (u +1) a − ln u +2u +2 ln   p p a→ ∞ +  u +2u +2   a     u +1  =−ln = lim  ln  a→ ∞ +   u +2u +2         p    p +1 p + p +2    Page 53 = p +2 p +2 ln p +1 Toán chuyên ngành f) Hàm phức và Toán tử Laplace ( sin 7t sin 3t ) = −  cos10t − cos 4t    t 2 t  +∞  +∞ +∞ u u  ( cos10t − cos 4t )      L − −  = −  ∫ F1 ( u ) du − ∫ F2 ( u ) du  = −  ∫  2 2 t   u + 42 p  p   p  u +10 ( ) ( a  1 d u + 10 d u + 42 = −  lim ∫  − a →+∞ p  u +10 u + 42   )  = −      du       2 a 2 ln u + 10  = − ln p +10 lim a →+∞ u +  p + 42 p    Các bài tập dùng Định lý hoãn CHÚ Ý CÁC CÔNG THỨC a ) L[u ( t − a ) f ( t − a ) ] = e − pa F ( p ) b)u ab ( t ) = u ( t − a ) − u ( t − b ) a) Tìm ảnh của hàm sau: t