Phép biến hình và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM VĂN VIỆT GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM VĂN VIỆT GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN HÌNH Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS ĐÀO VĂN DƯƠNG Bình Định - Năm 2017 i Mục lục MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH CƠ BẢN TRONG MẶT PHẲNG 1.1 Phép biến hình 1.2 Phép dời hình 1.3 Phép tịnh tiến 10 1.4 Phép đối xứng trục 14 1.5 Phép đối xứng tâm 19 1.6 Phép quay 25 1.7 Phép vị tự 32 1.8 Phép nghịch đảo 42 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN HÌNH 47 2.1 Ứng dụng phép biến hình vào tốn quỹ tích 47 2.2 Ứng dụng phép biến hình vào tốn dựng hình 58 2.3 Ứng dụng phép biến hình vào tốn cực trị hình học 73 KẾT LUẬN 86 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 MỞ ĐẦU Trong chương trình tốn phổ thơng, mơn hình học ln thu hút nhiều quan tâm giáo viên học sinh u tốn tính đa dạng, độc đáo lời giải chúng Một vấn đề thường hay gặp hình học sơ cấp mà gây khó khăn cho người học tốn sử dụng phép biến đổi hình học để giải, cụ thể như: Những toán chứng minh tính chất hình học sử dụng phép biến hình ứng dụng phép biến hình vào tốn quỹ tích, dựng hình, cực trị hình học Đây nội dung thường xuất kỳ thi học sinh giỏi cấp Để giải toán này, phải nắm vững kiến thức phép biến hình mối liên hệ phép biến đổi hình học Từ áp dụng vào việc giải số tốn có liên quan phép biến hình Trong chương trình hình học bậc THPT, nội dung kiến thức phép biến hình đơn giản dễ hiểu có tính thực tế nên học sinh dễ tưởng tượng nắm bắt Tuy nhiên việc áp dụng phép biến hình vào giải tốn vấn đề khơng dễ làm, học sinh thường lúng túng gặp nhiều khó khăn Với ý nghĩa đó, chúng tơi chọn đề tài "Giải số tốn hình học phẳng phương pháp biến hình" để tìm hiểu ứng dụng phép biến hình vào số tốn quỹ tích, tốn dựng hình, tốn cực trị hình học phẳng Nội dung luận văn gồm hai chương Chương Một số phép biến hình mặt phẳng Chương chúng tơi trình bày phép biến hình mặt phẳng cách có hệ thống, sở lí thuyết phép biến đổi trình bày rõ ràng kèm theo số ví dụ minh họa Chương Một số ứng dụng phép biến hình Chương nghiên cứu ba ứng dụng quan trọng phép biến hình, là: Ứng dụng phép biến hình vào tốn quỹ tích, vào tốn dựng hình vào tốn cực trị hình học Luận văn hồn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn TS Đào Văn Dương, Trường Đại học Xây Dựng Miền Trung Nhân dịp xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Chúng tơi xin cảm ơn thầy TS Nguyễn Thái Hòa có nhiều góp ý việc chọn lựa tên đề tài nội dung đề tài Chúng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Tốn q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Phương Pháp Tốn Sơ Cấp khóa 18 tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi q trình học tập thực đề tài Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý quý thầy cô giáo để luận văn hồn thiện Bình Định, ngày 20 tháng 06 năm 2017 Tác giả Phạm Văn Việt Chương MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH CƠ BẢN TRONG MẶT PHẲNG Trong chương chúng tơi trình bày số phép biến hình mặt phẳng Các phép biến hình trình bày có hệ thống từ phép biến hình tổng quát đến phép dời hình, phép dời hình bản, phép vị tự phép nghịch đảo Mỗi phép biến hình định nghĩa, xếp tính chất thơng qua định lí số ví dụ minh họa Tất định lí nêu chúng tơi trình bày chi tiết phép chứng minh Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [4], [5], [6], [8] 1.1 Phép biến hình Định nghĩa 1.1.1 Phép biến hình f (trong mặt phẳng) quy tắc với điểm M thuộc mặt phẳng, xác định điểm M thuộc mặt phẳng Điểm M gọi ảnh điểm M qua phép biến hình viết M = f (M ) Từ định nghĩa ta suy phép biến hình f ánh xạ từ mặt phẳng P vào Nếu f song ánh ta nói f phép biến đổi − Nhận xét Nếu thực liên tiếp số hữu hạn phép biến hình ta thu phép biến hình Hay nói cách khác, tích hữu hạn phép biến hình phép biến hình Nếu phép biến hình f biến điểm M thành ta gọi M điểm bất động phép biến hình f Phép biến hình f mà điểm mặt phẳng điểm bất động gọi phép đồng kí hiệu Id Ví dụ 1.1.2 Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định.Với điểm M = O, ta có điểm M đối xứng với M qua O, điều có nghĩa −−→ −−→ M hồn tồn xác định hệ thức véc tơ OM = −OM Nếu M trùng với O ta lấy M ≡ O Rõ ràng ánh xạ f : P → P biến điểm M thành điểm M xác định phép biến hình mặt phẳng Ta gọi f phép đối xứng tâm O mặt phẳng P Ví dụ 1.1.3 Gọi A0 , B0 , C0 trung điểm cạnh BC, CA AB ABC cho trước mặt phẳng P Với điểm M mặt phẳng P , ta lấy điểm A , B , C đối xứng với M theo thứ tự qua A0 , B0 , C0 Chứng tỏ đường thẳng AA , BB , CC đồng quy điểm M ánh xạ f : M → M từ mặt phẳng vào phép biến hình mặt phẳng Thật vậy, từ giả thiết ta suy điểm M đỉnh chung thứ tư ba hình bình hành BA CM, CB AM, AC BM Từ suy tứ giác BCB C , CAC A , ABA B hình bình hành hình nhận hai ba đoạn thẳng AA , BB , CC làm đường chéo Do ba đoạn thẳng AA , BB , CC đồng quy điểm M trung điểm đoạn AA , BB , CC Như vậy, với điểm M mặt phẳng P ta quy tắc f xác định biến M thành M Vậy f : M → M phép biến hình mặt phẳng Hơn nữa, ta chứng minh f phép biến đổi − 1.2 Phép dời hình Định nghĩa 1.2.1 Phép dời hình phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng cách hai điểm bất kì, nghĩa M = f (M ), N = f (N ), với M, N hai điểm bất kì, M N = M N Từ định nghĩa, ta dễ dàng suy phép đồng nhất, phép biến hình đảo ngược phép dời hình phép dời hình Định lý 1.2.2 Phép dời hình bảo toàn thẳng hàng ba điểm thứ tự chúng Chứng minh Giả sử phép dời hình f biến ba điểm thẳng hàng A, B, C theo thứ tự thành ba điểm A , B , C Khi đó, ta có A B = AB, B C = BC, A C = AC Nếu A, B, C thẳng hàng, B nằm A C AB + BC = AC Do đó, ta có A B + B C = A C , tức A , B , C thẳng hàng B nằm A C Hệ 1.2.3 Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến góc thành góc nó, biến đường tròn thành đường tròn có bán kính Định lý 1.2.4 Tích (thực liên tiếp) hai phép dời hình phép dời hình Chứng minh Giả sử f, g hai phép dời hình; A, B hai điểm f (A) = A , g(A ) = A , f (B) = B , g(B ) = B Vì f, g hai phép dời hình nên ta có AB = A B , A B = A B Như phép biến hình g◦ f biến A thành A , biến B thành B thỏa mãn AB = A B Do g◦ f phép dời hình Hệ 1.2.5 Tích n (n ∈ N ∗ ) phép dời hình phép dời hình Định lý 1.2.6 Tích phép dời hình có tính chất kết hợp Chứng minh Giả sử f, g, h phép dời hình Ta cần chứng minh (h◦ g)◦ f = h◦ (g◦ f ) Thậy vậy, giả sử f (M ) = M , g(M ) = M , h(M ) = M , với M điểm mặt phẳng Ta có h◦ g phép dời hình biến M thành M (theo Định lý 1.2.4) Do (h◦ g)◦ f biến M thành M Mặt khác g◦ f phép dời hình biến M thành M nên h◦ (g◦ f ) biến M thành M Vậy (h◦ g)◦ f = h◦ (g◦ f ) Định lý 1.2.7 Một phép dời hình mặt phẳng có ba điểm bất động khơng thẳng hàng phép đồng Chứng minh Giả sử f phép dời hình phẳng có ba điểm bất động khơng thẳng hàng A, B, C Ta có A ≡ A = f (A), B ≡ B = f (B), C ≡ C = f (C) Do đó, điểm đường thẳng AB, BC, CA điểm bất động Từ suy điểm M mặt phẳng (ABC) điểm bất động, f = Id Nhận xét Một phép dời hình f, f = Id, khơng có điểm bất động có điểm bất động có đường thẳng mà điểm điểm bất động, tức có đường thẳng cố định Định lý 1.2.8 Cho ABC A B C hai tam giác với A B = AB, B C = BC, C A = CA Khi tồn phép dời hình f cho f (A) = A , f (B) = B , f (C) = C Chứng minh • Trước hết ta chứng minh tồn Nếu A A phân biệt gọi phép đối xứng qua trục A B1 C1 biến đường trung trực cạnh AA’ Khi ABC thành A B1 C1 ABC = 73 Cách dựng - Dựng đường tròn (O ) tiếp xúc với hai tia Sx, Sy M , N - Gọi A điểm chung đường thẳng SA với đường tròn (O ) - Dựng AO//A O , với O nằm đường phân giác góc xSy Khi (O) đường tròn cần dựng Chứng minh Vì đường tròn (O) ảnh (O ) qua phép vị tự V(S, SA ) SA nên (O ) tiếp xúc với hai tia Sx, Sy (O) tiếp xúc với hai tia Sx, Sy qua A Biện luận Số nghiệm hình toán phụ thuộc vào số giao điểm SA với đường tròn (O ) Vậy tốn ln có hai nghiệm hình 2.3 Ứng dụng phép biến hình vào tốn cực trị hình học Những tốn cực trị hình học thường tốn khó học sinh phổ thơng nên xuất khơng nhiều sách giáo khoa, nhiên chúng thường xuất kỳ thi tuyển chọn cấp Những dạng tốn cực trị hình học thường gặp tốn dựng xác định điểm hình cho biểu thức cho trước đạt giá trị nhỏ lớn nhất; chứng minh bất đẳng thức hình học Bài tốn cực trị thường liên quan đến thực tiễn, tìm đại lượng lớn nhất, nhỏ ta tìm tối ưu thường xảy sống Trong phần này, chúng tơi sử dụng số phép biến hình để giải số tốn cực trị hình học Bài toán 2.3.1 Cho hai điểm A, B phân biệt nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d cho trước Hãy tìm đường thẳng 74 d điểm M cho tổng hai đoạn thẳng AM + BM ngắn Giải Gọi A =Đd (A) M giao điểm đường thẳng d A B Ta có AM + BM = A M + BM = A B A M + BM , với điểm M d Vậy M điểm cần tìm Nhận xét (i) Vì vai trò A, B nên lấy điểm đối xứng B qua đường thẳng d (ii) Bài toán sử dụng bất đẳng thức tam giác "Trong tam giác, tổng hai cạnh ln lớn cạnh lại" Ngồi có bất đẳng thức tam giác hiệu "Trong tam giác, hiệu hai cạnh bé cạnh lại" Từ có toán tương tự sau: Cho hai điểm A, B phân biệt nằm hai nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d cho trước Hãy tìm đường thẳng d điểm M cho giá trị tuyệt đối hiệu hai đoạn thẳng |AM − BM | lớn 75 Bài toán 2.3.2 Cho đường thẳng d hai điểm A, B nằm phía so với d Một đoạn CD = a khơng đổi trượt d Tìm vị trí đoạn thẳng để độ dài đường gấp khúc ACDB ngắn Giải −→ (A), B =Đd (B) Ta có Gọi A = T− CD AA = CD, AC = A D, DB = DB Do AC + CD + DB = A D + CD + DB = CD + (A D + DB ) CD + A B Vì A, B cho trước CD = a không đổi nên độ dài CD + A B không đổi Vậy AC + CD + DB ngắn D giao điểm A B với đường −→ (D) thẳng d C = T− DC Bài toán 2.3.3 Hai thơn nằm vị trí A, B cách sông (xem hai bờ sông hai đường thẳng song song) Người ta dự định xây cầu M N bắc qua sơng(cầu vng góc với bờ sơng) Hãy xác định vị trí cầu M N cho độ dài AM + N B ngắn Giải ∗ Trường hợp Nếu ta coi sơng hẹp 76 Khi tốn trở thành: Cho hai điểm A, B nằm hai phía khác so với đường thẳng a Tìm vị trí M A để AM + AN nhỏ Dễ dàng suy M giao điểm AB với đường thẳng a ∗ Trường hợp a//b −−→ Vì a, b cố định nên M N có phương cố định −→ (A) = A ⇒ A N = AM Ta có T− MN Do AM + BN = A N + N B A B Vậy độ dài AM + BN ngắn N giao điểm A B với đường −→ (N ) thẳng b M = T− NM Bài toán 2.3.4 Cho hai đường thẳng x, y song song với điểm M nằm hai đường thẳng Trên đường thẳng x ta đặt đoạn thẳng AB = a, y ta đặt đoạn CD = b Tìm vị trí đoạn AB CD 77 để đồ dài M A + M B + M C + M D nhỏ Giải Ta xét điểm A, B, C, D xếp Hình 2.28 Gọi M = TAB (M ), M = TDC (M ), M1 =Đx (M ), M2 =Đy (M ) Khi M A + M B + M C + M D = BM + M B + M C + CM = M1 B + BM + M C + CM2 M1 M2 Do M A + M B + M C + M D nhỏ B giao điểm M1 M với đường thẳng x C giao điểm M M2 với đường thẳng y Từ suy A = TBA (B) D = TCD (C) Bài toán 2.3.5 Cho góc xOy điểm M nằm góc Tìm tia Ox, Oy điểm A, B cho OA = OB độ dài M A + M B nhỏ Giải Phép quay tâm O với góc quay xOy biến tia Ox thành tia Oy , biến A thành B biến M thành M Suy BM ảnh AM qua phép quay tâm O với góc quay xOy Do AM = BM 78 Ta có M A + M B = BM + M B M M Do độ dài M A + M B nhỏ ba điểm M, B, M thẳng hàng, tức B giao M M với tia Oy Suy A = Q(O,ϕ) (B) (Ở qóc quay ϕ = yOx góc hình học) Bài tốn 2.3.6 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn a) Gọi D điểm cố định cạnh BC Tìm AB AC hai điểm E F cho tam giác DEF có chu vi nhỏ b) Cho D thay đổi cạnh BC Xác định vị trí điểm D cho chu vi tam giác Giải a) DEF nhỏ 79 Gọi M =ĐAB (D), N =ĐAC (D) Ta có ED = EM, F D = F N Do chu vi tam giác DEF DE + EF + F D = M E + EF + F N chu vi tam giác M N Suy DEF nhỏ bốn điểm M, E, F, N thẳng hàng Vậy E F giao điểm đoạn M N với cạnh AB AC b) Do D thay đổi BC nên chu vi tam giác DEF nhỏ độ dài đoạn M N nhỏ Ta có AM = AN = AD M AN = 2BAC khơng đổi Do AM N có cạnh đáy M N nhỏ hai cạnh bên nhỏ Mà AM = AN = AD nên AM = AN nhỏ AD nhỏ nhất, ⇒ AD ⊥ BC , hay D chân đường cao hạ từ A ABC Nhận xét (i) Nếu góc BAC góc vng E ≡ F Nếu góc BAC góc tù E, F nằm tia đối tia AB, AC tam giác DEF khơng thể có chu vi nhỏ (ii) Trường hợp D chân đường cao hạ từ A chân đường cao hạ từ B C Bài toán 2.3.7 Bên tam giác nhọn ABC ABC , tìm điểm P cho tổng P A + P B + P C có độ dài nhỏ Giải ABC E F 80 Giả sử phép quay tâm A với góc quay 600 biến điểm B, C, P thành điểm B , C , P Khi đó, ta có AP = P P , P C = P C Do P A + P B + P C = P P + P B + P C = P B + P P + P C Vì độ dài đường gấp khúc BP P C nhỏ đường gấp khúc đoạn thẳng Suy AP B = AP C = AP C = 1200 Vậy điểm P cần tìm giao điểm cung chứa góc 1200 chắn đoạn thẳng AB, BC, CA Nhận xét Vì tam giác giác Đặc biệt, ABC nhọn nên điểm P nằm bên tam ABC tam giác P tâm tam giác Bài tốn 2.3.8 Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác Gọi A , B , C ảnh A, B, C qua phép đối xứng tâm O H đa giác tạo phần chung hai tam giác ABC ABC Tìm vị trí điểm O cho H có diện tích lớn Giải ∗ Trường hợp Điểm A nằm tam giác ABC Khi hình H hình bình hành có hai cạnh liên tiếp nằm AB AC AA đường chéo Gọi M = AA ∩BC dựng hình bình hành AKM H có M K//AC, M H//AB 81 Rõ ràng hình H chứa hình bình hành AKM H Do dt(H) dt(AKM H) Mặt khác, M K//AC, M H//AB nên AK CM AH BM AK AH = , = , + = AB BC AC BC AB AC Theo bất đẳng thức AM-GM ta có AK AH AK AH ≤ + AB AC AB AC = Vì dt( AKH) AK AH = ≤ , dt( ABC) AB AC hay 1 dt(∆AKH) ≤ dt(∆ABC) ⇔ dt(AKM H) ≤ dt(∆ABC) Từ suy dt(AKM H) ≤ dt(∆ABC) Vậy dt(H) lớn dt( ABC) O trung điểm trung tuyến AM dt(H) ∗ Trường hợp Các đỉnh A , B , C nằm tam giác ABC Khi H lục giác có cặp cạnh đối song song 82 Ta kí hiệu S1 , S2 , S3 diện tích tam giác nhỏ bị cắt từ ABC đường thẳng A B , B C , C A ; P, Q giao điểm C A , C B với cạnh AB S diện tích Ta có S1 = S AQ AB ABC S2 , = S BP AB S3 , = S PQ AB Nên theo bất đẳng thức Bunhiacốpki ta suy S1 + S2 + S3 = S AQ AB + BP AB + PQ AB PB S S AQ QP + + = AB AB AB S AQ B Vì M in(S1 + S2 + S3 ) = AB = QP = PAB hay O trọng tâm AB ABC Mà dt(H) lớn S1 + S2 + S3 nhỏ Vậy M ax(dt(H)) = S O trọng tâm ABC Đối chiếu hai trường hợp ta thấy dt(H) lớn kho O trọng tâm ABC Bài toán 2.3.9 Cho hai đường tròn (O; R) (O ; R) cắt hai điểm A B cho OAO = 1200 Trên đường tròn (O) ta lấy điểm M , đường tròn (O ) ta lấy điểm M cho M M nằm hai đường tròn M M qua B Gọi S giao điểm hai tiếp tuyến với đường tròn M M Xác định vị trí hai điểm M M để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SM M lớn Giải Xét phép quay tâm A, góc quay 1200 biến O thành O , biến M thành M nằm (O ) 83 AO M + ABM = 12 AOM + ABM = 1800 Suy M ≡ M , hay phép quay tâm A, góc quay 1200 biến M thành M Ta có ABM + ABM = Suy M SM = 600 Theo định lí hàm số sin ta có R = với R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MM sin 600 = M√M , SM M Do R lớn M M lớn Gọi H, K trung điểm dây cung BM BM Khi M M = 2HK 2OO Suy M M lớn M M //OO Vậy R lớn M M //OO Bài toán 2.3.10 Cho góc xSy điểm A nằm góc Một đường thẳng qua A cắt hai tia Sx, Sy hai điểm P, Q Xác định vị trí P, Q cho tam giác SP Q có chu vi nhỏ Giải Theo kết Bài tốn 2.2.8, tồn hai đường tròn qua A tiếp xúc với hai tia Sx, Sy Trong hai đường tròn ta chọn đường tròn (O) cho A thuộc cung nhỏ M N (M, N hai tiếp điểm (O) với Sx, Sy ) Gọi d đường thẳng qua A cắt (O) điểm thứ hai A cắt tia Sx, Sy P , Q (như Hình 2.35) 84 Ta kẻ tiếp tuyến d với cung AA d//d , d cắt Sx, Sy P Q Khi hai tam giác k= giác SP SP SP Q SP Q vị tự với với tỉ số vị tự ≥ Suy chu vi tam giác SP Q lớn chu tam SP Q Mặt khác, SP Q có chu vi 2SM khơng đổi khơng phụ thuộc vào vị trí d Vậy đường thẳng d qua A tiếp xúc với cung AA A cắt Sx, Sy tai hai điểm P, Q có chu vi nhỏ Bài tốn 2.3.11 (Đề thi IMO năm 1965) Cho lục giác lồi ABCDEF có AB = BC = CD, DE = EF = F A, BCD = EF A = 600 Giả sử G H hai điểm nằm lục giác cho AGB = DHE = 1200 Chứng minh AG + GB + GH + DH + HE Giải CF 85 Từ giả thiết ta có AB = DB, ED = EA Suy D ảnh A qua phép đối xứng trục BE Gọi C , F ảnh C, F qua phép đối xứng trục BE Khi ABC DEF tam giác (ảnh tam giác qua phép đối xứng trục tam giác đều); C G nằm khác phía so với AB; H F nằm khác phía so với DE Do tứ giác AGBC DF EH tứ giác nội tiếp đường tròn (tổng hai góc đối diện 1800 ) Mà AGB = DHE = 1200 nên ta có GA + GB = GC , HE + HD = HF Vì C G + GH + HF = GA + GB + GH + HE + HD C F Ta lại có C F ảnh CF qua phép đối xứng trục BE nên C F = CF Từ suy GA + GB + GH + HE + HD CF Dấu ” = ” xảy G H nằm đoạn C F 86 KẾT LUẬN Trong luận văn thực cơng việc sau Tổng hợp, xếp có hệ thống phép biến hình ứng dụng Chứng minh đầy đủ tính chất phép biến hình chọn lọc số ví dụ minh họa cho việc áp dụng phép biến hình để giải tốn hình học phẳng Phân dạng, hệ thống ứng dụng phép biến hình Dựa tốn nêu chúng tơi có nhận xét để nhìn nhận cách tổng quát Từ thay đổi tạo toán khác để phục vụ cho công tác giảng dạy sau 87 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Đễ, Nguyễn Khánh Ngun (1993), Các đề thi vơ địch Tốn nước Tập 1, 2, 3, NXB Hải Phòng [2] Vũ Đình Hòa (2004), Bất đẳng thức hình học, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Mộng Hy (1997), Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục [4] Đỗ Thanh Sơn (2004), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT Phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục [5] Đồn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Sách giáo khoa hình học 11 - Nâng cao, NXB Giáo dục [6] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho (2001), 40 năm Olympic Toán học Quốc tế, NXB Giáo dục [7] T Andreescu, O Musharov, L Stoyanov (2005), Geometric problems on Maxima and Minima, Birkhauser Boston [8] V.V.Praxolov (1997), Các tốn hình học phẳng, tập 1, 2, NXB Hải Phòng [9] I M Yaglom (1973), Geometric Transformation I, II, The Mathematical Association of America ... ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN HÌNH 47 2.1 Ứng dụng phép biến hình vào tốn quỹ tích 47 2.2 Ứng dụng phép biến hình vào tốn dựng hình 58 2.3 Ứng dụng phép biến hình vào tốn cực trị hình học 73... khác, tích hữu hạn phép biến hình phép biến hình Nếu phép biến hình f biến điểm M thành ta gọi M điểm bất động phép biến hình f Phép biến hình f mà điểm mặt phẳng điểm bất động gọi phép đồng kí hiệu... kiến thức phép biến hình mối liên hệ phép biến đổi hình học Từ áp dụng vào việc giải số tốn có liên quan phép biến hình Trong chương trình hình học bậc THPT, nội dung kiến thức phép biến hình đơn