Phép dời hình và ứng dụng khoá luận tốt nghiệp đại học

Tr-ờng đại học vinh Khoa TON HC NGUYN TH HIN KHóA LUậN tốt nghiệp Đề tà i : PHẫP DI HÌNH VÀ ỨNG DỤNG ngµnh: HÌNH HỌC Líp: 49B - Toán Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Hữu Quang VINH - 2012 LỜI NĨI ĐẦU Phép dời hình hình học phổ thơng phép biến hình có nhiều ứng dụng để giải tốn hình học Ơclit Đặc biệt tốn hình học sơ cấp việc dùng phép dời hình hữu ích Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài “Phép dời hình ứng dụng” nhằm hệ thống định nghĩa, tính chất, phân loại viết phương trình phép dời hình sở sử dụng kiến thức tích vơ hướng, khơng gian Ơclit, phép biến đổi trực giao… Ngồi việc trình bày lí thuyết, chúng tơi đưa số ứng dụng phép dời hình vào việc giải tốn hình học phổ thơng Trong khóa luận này, chúng tơi trình bày số nội dung sau: §1 Khơng gian Ơclit Chúng tơi trình bày khái niệm tính chất tích vơ hướng, khơng gian Ơclit, phẳng vng góc En phương trình phẳng En §2 Phép dời hình khơng gian Ơclit Chúng tơi trình bày sơ lược ánh xạ đẳng cự; định nghĩa, tính chất, phân loại phương trình phép dời hình §3 Các phép dời hình phổ thơng ứng dụng Chúng tơi trình bày định nghĩa,tính chất, phương trình ứng dụng giải số tốn sơ cấp Khóa luận thực hướng dẫn, giúp PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này, chúng tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến thầy Chúng xin chân thành cảm ơn đến thầy, tổ hình học thầy, tồn khoa tốn giảng dạy, trang bị kiến thức cho suốt thời gian qua Sau cùng, xin cảm ơn động viên, giúp đỡ tất bạn sinh viên Xin chân thành cảm ơn! Nghệ An, tháng 05 năm 2012 Tác giả §1 Khơng gian Ơclit Trong mục này, ta giả giả thiết rằng: Vn không gian vectơ trường số thực, n- chiều Cũng mục này, chúng tơi trình bày khái niệm tính chất tích vơ hướng, khơng gian vectơ Ơclit, khơng gian Ơclit, phẳng vng góc En… I.Không gian vectơ Ơclit 1.1 Định nghĩa  Một tích vơ hướng V ánh xạ : VV  R x, y    x y   x, y thỏa mãn điều kiện sau 1) x y  y x  x, y  V   3)  x y   x y  2) x  x' y  x y  x' y x, x', y V  x, y  V,   R 4) x x  x x   x  0, x  V  Một không gian vectơ V trường số thực với tích vơ hướng gọi khơng gian vectơ Ơclit 1.2 Ví dụ a) Giả sử x, y vectơ mặt phẳng Oxy.Ta xét ánh xạ  : R2  R2  R ( x, y ) | x || y |cos( x, y ) Khi đó,  tích vơ hướng R2 b)Trên Rn, ánh xạ  : Rn  Rn  R cho ((x1, x2,…,xn),(y1,y2,…,yn)) x1y1+x2y2+…+xnyn tích vơ hướng, gọi tích vơ hướng tắc Rn 1.3 Nhận xét a) a ( x  y )  a x a y b) x  1.4 Định lý (Bất đẳng thức Cauchy – Schwartz) (Xem tài liệu 8 ) Nếu ánh xạ  : V  V  R a.b : =  (a, b) (a, b) tích vơ hướng V (ab)2  a b Chứng minh Trường hợp 1: a, b phụ thuộc tuyến tính, tức k  R : a  kb 2 2 Khi đó: a b  (kb)2 b  k b b 2 (ab)2  (kb)2 b  k b b Nên 2 a b  (ab)2 Trường hợp 2: a, b phụ thuộc tuyến tính, tức a  kb với k  R  a  kb  k  R  (a  kb)2  k  R 2  a  2kab  k b  k  R 2  phương trình a  2kab  k b  vô nghiệm k 2  '  (ab)2  a b  2  (ab)2  a b 2 Vậy ta ln có (ab)2  a b 1.5 Hệ quả: Cho a (a1,a2, ,an) a1,a2, ,an) b (b1,b2,…,bn) hai vectơ Rn Khi đó: (a1b1 + a2b2 + + anbn)2  (a12 +a22 + +an2)(b12 + b22 + + bn2) 1.6 Định lý (Pytago) (Xem tài liệu   ) Giả sử x y hai vectơ trực giao ( x y  ) Khi đó: 2 x y  x  y Chứng minh Ta có: x  y  ( x  y)( x  y)  xx  x y  y y  x  2x y  y Mặt khác: x y  suy ra: 2 x y  x  y 1.7 Biến đổi trực giao Cho không gian vectơ Ơclit E , E ' Một ánh xạ tuyến tính  : E  E ' đượ gọi ánh xạ trực giao bảo tồn tích vơ hướng hai vector E tức  ( x). ( y)  x y với  x, y  E 1.8 Mệnh đề ( Xem tài liệu  6 ) n n n Giả sử  : E  E ánh xạ tuyến tính E ma trận  đối   với sở trực chuẩn e1, , en là:  a11 A     an1 a12 an a1n    ann  Khi đó,  biến đổi trực giao A ma trận trực giao II Không gian Ơclit 1.9 Định nghĩa Một không gian Ơclit, khơng gian afin n- chiều với không gian vectơ Ơclit n- chiều Không gian Ơclit n- chiều thường kí hiệu En , với không gian vectơ Ơclit E n 1.10 Ví dụ: a) Khơng gian Oxy thơng thường khơng gian Ơclit chiều Thật vậy:   ( A, B)  AB  (b1  a1, b2  a2 , b3  a3 ); A(a1, a2 , a3 ), B(b1, b2 , b3 )  Oxy Khi đó:  thỏa mãn tiên đề Afin: i) Với điểm A(a1, a2 , a3 )  Oxy vectơ u(a1' , a2' , a3' )  Oxy , có điểm M (a1  a1' , b1  b1' , c1  c1' )  Oxy cho AM  u ii) Với điểm A(a1, a2 , a3 ), B(b1, b2 , b3 ), C (c1, c2 , c3 )  Oxy bất kì, ta có: AB  BC  AC Do Oxy khơng gian Afin  ABCD  AB CD cos( AB, CD) tích vơ hướng khơng gian vectơ chiều thông thường b) Mỗi không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều cới cấu trúc Afin tắc khơng gian Ơclit, chẳng hạn Rn c) Các không gian Afin thực n- chiều trở thành khơng gian Ơclit n- chiều cách trang bị tích vô hướng cho không gian vectơ liên kết với không gian Afin cho d) Nếu E không gian Ơclit có E phẳng  khơng gian Ơclit liên kết với  (Trong  xét tích vơ hướng cảm sinh từ tích vô hướng E ) III Các phẳng vuông góc En Trong khơng gian Afin, ta xét vấn đề vị trí tương đối phẳng như: cắt nhau, song song, chéo nhau… Trong không gian Ơclit xét thêm quan hệ vuông góc phẳng 1.11 Định nghĩa Trong En cho phẳng  có phương  , phẳng  có phương  Hai phẳng   gọi vng góc với nhau, kí hiệu    , không gian vector   trực giao với 1.12 Định lí ( Xem tài liệu 5 ) Hai phẳng vng góc với có khơng q điểm chung Hai phẳng bù vng góc có điểm chung Chứng minh: Giả sử   hai phẳng E n ,    Nếu có hai điểm M,N thuộc    MN    , tức MN  MN   Mặt khác,    nên =0 hay M  N n Nếu   bù vng góc E     Do đó, giả sử      dim(    )= dim   dim   dim (   )  = n 0   n  (vô lý) Hệ 1: Nếu   bù vng góc với tổng chúng En Chứng minh: Vì  bù vng góc với  nên    điểm nhất, tức      Do theo định lí số chiều khơng gian afin ta có: dim      dim   dim   dim     (1) Vì    điểm nên: dim (   )  (2) Mặt khác, gọi phương     thì:  bù vng góc với  nên  bù vng góc với   dim   dim   n  dim   dim   n (3) Từ (1), (2) (3) suy dim      n hay     E n Hệ 2: Trong E n , qua điểm cho có phẳng bù vng góc với phẳng cho ( Nghĩa phương trình phẳng hồn tồn xác định) Chứng minh: Giả sử En cho phẳng  điểm A Ta chứng minh tồn phẳng  qua A bù vng góc với  - Chứng minh tồn tại: Gọi  phương  Giả sử  không gian E n bù vng góc với  Khi đó,  phẳng bù vng góc với phẳng  - Chứng minh nhất: Giả sử  ' phẳng qua A bù vng góc với  , suy  ' có phương  (do  bù vng góc với  định nghĩa bù vng góc phẳng) Như  ' phẳng qua A có phương  , tức  ' trùng với  1.13 Định lí ( Xem tài liệu 5 ) Nếu phẳng  vng góc với phẳng  phẳng  bù vng góc với phẳng   phương với  Chứng minh: Gọi  , ,  phương phẳng  ,  ,  Vì  n trực giao với   phần bù trực giao  E nên suy   Vậy  phương với  Hệ quả: Hai phẳng phân biệt bù vng góc với phẳng thứ ba song song với có số chiều 1.14 Ví dụ a) Trong E , đường thẳng vng góc với mặt phẳng hai phẳng bù vng góc b) Trong E n cho m- phẳng  k- phẳng  vng góc với Khi đó: i) Nếu n  m  k   bù vng góc ii) Mọi k- phẳng  ' song song với  vng góc với  Thật vậy:   i) Nếu n  m  k theo định lý số chiều suy dim     m  k  n     Do đó,   bù trực giao, tức hai phẳng   bù vng góc ii) Vì k- phẳng  ' song song với  nên  '   Vậy  vng góc với  1.15 Phương trình phẳng En a) Bài tốn 1: Viết phương trình đường thẳng qua điểm vng góc với siêu phẳng Trong khơng gian Ơ clit En với mục tiêu trực chuẩn cho trước, cho siêu phẳng P có phương trình: a1x1+a2x2+…+anxn+b  b Viết phương trình tham số tổng quát đường thẳng d qua điểm Mn(x01,x02,…,x0n) vng góc với siêu phẳng P Giải: Lấy điểm M(m1,m2,…,mn) thuộc siêu phẳng P Với X điểm thuộc P, X=( x1,x2,…,xn ) ,XM , ta có: MX   x1  m1, x2  m2 , , xn  mn  Siêu phẳng có vecto pháp tuyến a  a1 , a2 , , an  10  x  x'   y  y'  a   b cb     Ta có:  a  x  x '  b  y  y '  2c  1  ax ' by ' ax  by  2c  Mặt khác: MM’  a nên MM '  u  b; a  véc tơ phương đường thẳng a  MM '.u    x ' x  b    y ' y  a   2  bx ' ay ' bx  ay  ax ' by ' ax  by  2c  Từ (1) (2) ta có hệ:  bx ' ay ' bx  ay   b2  a 2ab  x '  b  a x  b  a y  2ac  2  y '   2ab x  b  a y  2bc b2  a b2  a  * Hệ (*) phương trình phép đối xứng qua đường thẳng a 3.4.Tính chất phép đối xứng trục a) Phép đối xứng trục phép dời hình nên có đầy đủ tính chất phép dời hình b) Nếu M ' ảnh M qua phép đối xứng trục d M lại ảnh M ' qua phép đối xứng Ta suy tích phép đối xứng trục với phép đồng c) Mọi điểm trục đối xứng d điểm kép d) Mỗi đường thẳng a vng góc với trục đối xứng d biến thành ý ngồi giao điểm a với d, điểm khác a điểm kép 22 e) Phép đối xứng trục hoàn toàn xác định cho biết trục đối xứng d 3.5 Áp dụng phép đối xứng trục để giải toán a) Dấu hiệu sử dụng: - Đối với phép đối xứng trục điểm kép nằm trục đối xứng - Chúng ta thường sử dụng phép đối xứng trục toán có đoạn thẳng nhận đường thẳng cố định làm đường trung trực tốn có giả thiết tia phân giác góc - Các hình có trục đối xứng: đoạn thẳng Tam giác cân, tam giác đều, hình thang cân, hình vng, hình chữ nhật, đường trịn b) Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hai điểm A,B phân biệt nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng x cho trước Hãy tìm đường thẳng x điểm M cho tổng hai đoạn thẳng AM + MB ngắn Giải: B A x M M' A' Hình Gọi A’ điểm đối xứng A qua đường thẳng x cho trước gọi M giao điểm đường thẳng A’B với x (Hình 1) Ta có: AM  MB  A' M  MB Khi đường thẳng x với điểm M’ khác M, ta có: 23 A' M '  M ' B  A' B  AM  MB Do đó: AM '  M ' B  AM  MB Vậy điểm M cần tìm giao đường thẳng A' B với đường thẳng x Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD Gọi I,J trung điểm cạnh AB CD, gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh rằng: a) I,O,J ba điểm thẳng hàng b) Kẻ đường thẳng d qua O song song với AB cắt AD M, cắt BC N Chứng minh rằng: OM=ON Giải: A I B N M O D J C Hình Gọi  trục đối xứng hình thang ABCD   qua I J Ta có: Đ  : A  B nên Đ  : AC  BD (1) (Hình 2) C D Tương tự: Đ  : B  A nên Đ  BD  AC D C Từ (1) (2)  Đ  : AC  BD  BD  AC Đ  : OO 24 (2)  O điểm kép hay O    I,J,O thẳng hàng b) Giả sử d cắt cạnh AD, BC M,N Do d // AB suy d   Gọi M’ ảnh M qua Đ  M  d  Đ  : M  M’  d Mặt khác M AD, mà Đ  : AD  BC  M’  BC  M’ = BC  d hay M’  N Do tính chất đối xứng nên OM = ON Ví dụ 3: Cho tam giác ABC điểm P nằm tam giác Hãy dựng tam giác cân đỉnh P có đáy song song với cạnh BC có hai đỉnh nằm hai cạnh AB,AC tam giác ABC cho trước Giải: d A M A' N P C' B C Hình Giả sử ta dựng tam giác PMN thỏa mãn yêu cầu toán Ta nhận thấy M N ảnh qua phép đối xứng trục, có trục đối xứng đường thẳng d qua P vng góc với BC cho trước (Hình 3) Do ta có cách dựng: - Dựng đường thẳng d qua P vng góc BC - Dựng ảnh cạnh AC A’C’ qua phép đối xứng nhận d làm trục 25 Gọi M giao điểm AB A’C’ Dựng N ảnh M qua phép đối xứng trục d ta  MNP tam giác cần dựng thỏa mãn yêu cầu toán II Phép quay 3.6 Định nghĩa: Cho điểm O góc lượng giác  Phép biến hình biến O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ cho OM’=OM góc lượng giác (OM; OM’)  gọi phép quay tâm O góc  M' M I Điểm O gọi tâm quay cịn  gọi góc quay phép quay Phép quay tâm O góc  thường kí hiệu Q O,  3.7 Định lí ( Xem tài liệu  6 ) Phép quay phép dời hình Chứng minh: N' M' O α N M 26 Giả sử M,N hai điểm mặt phẳng Q O,  phép quay biến M,N thành M’,N’ a) Nếu M (hay N) trùng với O M’ (hay N’) trùng với O, M’N’=MN b) Giả sử M N khác O, theo định nghĩa ta có: OM=OM’ , ON=ON’ OM , OM '  ON ,ON '   OM , ON   OM ,OM '  OM ',ON '  ON ',ON      OM ', ON '     OM ', ON ' Do đó:   2 M ' N '  ON '  OM '  ON '  OM '  2.ON '.OM ' 2 2   ON '  OM '  2.OM '.ON '.cos ON ', OM '   ON '  OM '  2.OM ON cos ON , OM   ON  OM   MN   Vậy M ' N '  MN hay M’N’=MN 3.8 Phương trình phép quay a) Bài tốn 1: Trong mặt phẳng cho điểm I góc  Viết phương trình phép quay tâm I góc  27 y M' M O x Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho O  I Giả sử M(x,y) M’(x’,y’) ảnh M qua phép quay Q(O,  ) ta có: OM=O’M’  OM2 = OM’2  x  y  x '2  y '2  x  sin   cos2   y  sin   cos2   x '2  y '2  x 2cos 2  y sin   2cos sin   x sin   y 2cos2  2cos sin   x '2  y '2   xcos  y sin     x sin   ycos   x '2  y '2 Mặt khác: cos   OM OM '  OM OM ' OM OM ' OM  1 xx ' yy ' x2  y   x  y  cos  xx ' yy '  x 2cos  xy sin   y 2cos  xy sin   xx ' yy '  x  xcos  y sin    y  x sin   ycos   xx ' yy ' Ta nhận thấy x '  xcos  y sin  y '  xsin  ycos thỏa mãn hệ (1) (2) Vậy phương trình phép quay Q  O;   x '  xcos  y sin    y '  xsin  ycos b) Bài toán 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(a,b) góc  Viết phương trình phép quay tâm I góc  28  2 y M' M I O x Phép quay Q(I,  ) phép tịnh tiến từ phép quay Q(O,  ) theo véc tơ OI (a,b) Vì phương trình phép quay Q(I,  ) là:  x '  xcos  y sin   a   y '  xsin  ycos  b 3.9 Các tính chất phép quay a) Phép quay phép dời hình nên có đầy đủ tính chất phép dời hình b) Trong phép quay tâm O với góc quay   0, có tâm O điểm kép phép quay trường hợp đường thẳng a qua tâm O đường thẳng ảnh a , qua điểm O c) Nếu phép quay tâm O với góc quay  biến điểm M thành điểm M’ phép quay tâm O với góc quay tâm O với góc quay   biến điểm M’ thành điểm M, nghĩa f  Qo f 1 d) Qua phép quay tâm O góc quay  điểm A biến thành A , biến điểm   B thành điểm B AB, A ' B '   nghĩa góc hai vectơ tương ứng góc quay  Do đó, hai đương thẳng AB cắt tạo nên góc  góc    e) Phép quay hoàn toàn xác định biết tâm quay O góc quay  29 3.10 Áp dụng phép quay để giải toán a) Dấu hiệu sử dụng - Điểm kép tâm quay - Phép quay thường sử dụng tốn có điểm cố định , có góc hai tia hai đường thẳng khơng đổi a có độ dài đoạn thẳng - Phép quay sử dụng tốn có giả thiết tam giác cân, tam giác đều, hình vng b) Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng song song a b Với điểm C không nằm hai đường thẳng đó, tìm a,b hai điểm A,B cho tam giác ABC Giải: a' A B H b 60 a 600 H' C Hình Giả sử ta dựng tam giác ABC thỏa mãn điều kiện toán Với phép quay ta Q( C ,  ) ta có: A  B Khi đó, đường thẳng a’ ảnh a qua B (Hình 4) Từ ta suy cách dựng: 30 - Dựng đường thẳng a’ ảnh a qua phép quay Q cách kẻ CH vng góc với a H, tìm ảnh H’ H qua phép quay vẽ a’ vng góc CH’ H’ - Gọi B giao điểm a’ với b lấy điểm A tạo ảnh B phép quay nói ta có a nằm a Ta dễ dàng chứng minh tam giác Abc tam giác cần dựng Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Trên cạnh AB,AC ta dựng phía ngồi hình vng ABMN ACPQ a) Chứng minh NC  BQ NC  BQ b) Gọi M trung điểm BC, chứng minh AM  QN AM  QN Giải: P B1 N O A M B M1 C Hình a) Ta xét phép quay Q(A,  ) biến điểm N thành điểm B, điểm C thành điểm Q Do đường thẳng NC biến thành đường thẳng BQ Vậy NC  PQ NC=PQ 31 b) Gọi B điểm đối xứng với B qua tâm A, ta có AM // B C (do AM đường trung bình tam giác BCB ) Qua phép quay Q(A,  )nói điểm C biến thành điểm Q điểm B biến thành điểm N Do đó, đương thẳng CB  QN AM  QN Vì NQ  CB , mà AM1  CB1 NQ nên AM  2 Ví dụ 3: Cho điểm M chuyển động nửa đường tròn tâm O bán kính AB  2R Dựng ngồi tam giác AMB hình vng MBCD Hãy tìm quĩ tích đỉnh C M vạch nửa đường trịn nói Trên tia Bx vng góc với AB B nằm phía với nửa đường trịn, ta lấy điểm O’ cho BO’=BO Chứng minh rằng: OM  O’C x A' D M O' C A O B Hình   Theo giả thiết ta có BM=BC BM , BC   32   k 2 Với phép quay tâm B, góc quay     ta có C ảnh M (Hình 6) Do điểm M vạch nửa đường trịn đường kính A’B với A’ ảnh A phép quay Q( B,  ) nói Ta dễ dàng chứng minh qũy tích điểm C cần tìm Nửa đường trịn ảnh nửa đường trịn đường kính AB cho qua phép quay Q(B,  ) điểm M biến thành điểm C, điểm O biến thành điểm O’ nên ta suy OM  O’C 33 KẾT LUẬN Khóa luận thu số kết sau: - Hệ thống lại khái niệm tích vơ hướng, biến đổi trực giao, vng góc phẳng En - Trình bày khái niệm ánh xạ đẳng cự, phép dời hình đồng thời chứng minh số tính chất phép dời hình - Đưa tốn viết phương trình phép đối xứng trục, phép quay đưa dấu hiệh sử dụng đẻ áp dụng vào giải toán phổ thơng Phép dời hình ứng dụng vấn đề mà quan tâm tiếp tục nghiên cứu Chúng hi vọng đạt nhiều kết thời gian tới 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Phạm Khắc Ban – Phạm Bình Đơ (2005) Hình học Afin Hình học Ơclit ví dụ tập, Nxb Đại học Sư phạm  2 Nguyễn Duy Bình – Phạm Ngọc Bội – Trương Đức Hinh – Nguyễn Hữu Quang (1999) Bài tập hình học Afin Ơclit – Nxb Giáo dục 3 Văn Như Cương – Tạ Mân (1998) Hình học Afin Hình học Ơclit , Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội  4 Trần Văn Hạo – Nguyễn Mộng Hy – Khu Quốc Anh – Nguyễn Hà Thanh – Phan Văn Viện (2007) Hình học 11, Nxb Giáo dục 5 Nguyễn Mộng Hy (2003) Hình học cao cấp, Nxb Giáo dục  6 Nguyễn Mộng Hy (2003) Các phép biến hình mặt phẳng – Nxb Giáo dục 7 Nguyễn Sum – Nguyễn Văn Giám – Mai Quý Năm – Nguyễn Hữu Quang – Ngơ Sĩ Tùng (2000) Tốn cao cấp (Tập 1), Nxb Giáo dục 8 Nguyễn Đình Trí – Tạ Văn Đĩnh – Nguyễn Hồ Quỳnh (2007) Toán cao cấp (Tập 1), Nxb Giáo dục 35 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu §1 Không gian Ơclit I Không gian vectơ Ơclit II Không gian Ơclit III Các phẳng vuông góc En §2 Phép dời khơng gian Ơclit 12 I Ánh xạ đẳng cự 12 II Phép dời hình 13 §3 Các phép dời hình phổ thơng ứng dụng 18 I Phép đối xứng trục 18 II Phép quay…………………………………………………………… 25 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 36 ... phép dời hình có tính chất kết hợp Hơn nữa, tập hợp phép dời hình có phần tử đơn vị phép dời hình đồng phép dời hình có phép dời hình đảo ngược Nếu gọi f phép dời hình bất kì, f 1 phép dời hình. .. hợp phép dời hình lập thành nhóm phép biến hình với phép tốn tích phép biến hình Chứng minh: Theo định lí 2.7 tích hai phép dới hình phép dời hình Vì vậy, tập hợp phép dời hình khép kín với phép. .. Phép dời hình hình học phổ thơng phép biến hình có nhiều ứng dụng để giải tốn hình học Ơclit Đặc biệt tốn hình học sơ cấp việc dùng phép dời hình hữu ích Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài ? ?Phép dời