Toán 1 toán2 (1)

P.H.K TOÁN CAO CẤP A1 CHƯƠNG 0: SỐ PHỨC CƠNG THỨC CẦN NHỚ 1) Cơng thức bản: z = a + bi 2) Dạng lương giác: z = r(cosφ + isinφ) Với: r = √𝑎2 + 𝑏 𝑎 cosφ = 𝑟 𝑏 { sinφ = 𝑟 −𝜋 ≤ φ ≤ π 3) Dạng mũ: z = r𝑒 𝑖φ 𝑧 𝑛 = 𝑟 𝑛 𝑒 𝑛𝑖φ = 𝑟 𝑛 (cos𝐧φ + isin𝐧φ) Phép lũy thừa số phức BTVD: Ví dụ 0.4 trang (Giáo trình Thanh Hải) φ + k2π φ + k2π Phép khai 𝑛 𝑛 ) + 𝐢sin ( )) √𝑧 = {𝑤𝑘 𝜖𝐶: 𝑤𝑘 = √𝑟 (cos ( n n Với k = 0, 1, 2,3…n-1 BTVD: Ví dụ 0.5 trang (Giáo trình Thanh Hải) CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Một số giới hạn Vô bé (dùng cho VẤN ĐỀ 1: Giới hạn Trang 17 19 Lưu ý: 𝒍𝒏𝒃 𝒏 ≤ 𝒏𝒂 ≤ 𝒃𝒏 ≤ 𝒏! _VCB tương đương: trang 22 _Ngắt bỏ VBC cấp cao 𝟎 _Lưu ý: tổng quát x => xo u(x) tiến tới có dạng ) 𝟎 thể áp dụng công thức VBC tương đương u(x) với x Vô lớn: _Ngắt bỏ VCL cấp thấp 𝟎 Cách 1: Dùng LLH Dạng lim 𝟎 Cách 2: Dùng VCB Cách 3: Dùng L’Hospital ∞ Dùng L’Hospital VCL Dạng , 0.∞ = ∞ 𝟏 𝟎 ∞ = ∞ ∞ Dạng Lim f(x)u(x) PP: đặt y = f(x)u(x) Lấy ln vế, đưa dạng quen thuộc (Tính xong nhớ trả e mũ) Page | P.H.K VẤN ĐỀ 2: Sự liên tục hàm số Dạng 1: Liên tục điểm Dạng 2: Điểm gián đoạn 𝑔(𝑥)𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 𝑎 VD: 𝑓(𝑥) = { xét liên tục hàm số ℎ(𝑥)𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 𝑎 a Giải: _D = … _F(x) liên tục a khi: Giới hạn phải a= giới hạn trái a = f(a) Gọi a điểm gián đoạn f(x) (như Vd trên) đặ𝑡 ℎ = | lim− 𝑓(𝑥) 𝑣à lim− 𝑓(𝑥) | 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 Nếu: + h = 0: điểm gián đoạn bỏ +h > 0: a gọi điểm nhảy, h bước nhảy CHƯƠNG 2: VI PHÂN - ĐẠO HÀM Các vấn đề đạo hàm Phương pháp dùng định nghĩa: f’(𝑥𝑜 ) = lim 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥𝑜) 𝑥→𝑥𝑜 𝑥−𝑥𝑜 Bảng đạo hàm trang 29 Đạo hàm cấp cao tích hàm trang 33 Đạo hàm cấp cao trang 34 Đạo hàm cấp y’x theo x(t) y(t) trang 34 *(Giáo trình Thanh Hải) _ Vi phân cấp cao: 𝑑 𝑛 (𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑥)𝑛 𝑑𝑥 𝑛 CT khái triển Trang 37 (Giáo trình cô Thanh Hải) Vi phân Khai triển Taylor 𝑘 Khai triển _Cách 1: Dùng định nghĩa f(x) = ∑𝑛 𝑓 (0) +∝ (𝑥 𝑛 ) 𝑘=0 𝑘! Maclaurent _Cách 2: Dùng công thức trang 38 Hàm số Xem tập :v CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN Tích phân _Cơng thức bản: Trang 49 _Công thức phần: Trang 51 _Một số dạng khác: Trang 53 _Dạng lượng giác t = tg(x/2): Trang 56 _Thứ tự ưu tiên: Log -> Đa -> Lượng -> Mũ Page | P.H.K Công thức Newton Leibnitz Ứng dụng tích phân Tích phân suy rộng _ Công thức Newton Leibnitz Trang 59 _Ứng dụng: tham khảo ∞ Loại 1: a b tiến tới vô cực +∞ ∞ 𝑏 PP: ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , trường hợp 𝑏→ ∞ lại làm tương tự 𝑏 Dạng: ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑡ạ𝑖 𝑎 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑏 ℎà𝑚 𝑓(𝑥)𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑥á𝑐 đị𝑛ℎ Loại 2: Điểm gián đoạn KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ 𝑏 Dạng: ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ℎ𝑜ặ𝑐 ∫∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ℎ𝑜ặ𝑐 ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑏 𝑏−𝜀 PP: ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫𝑎+𝜀 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ℎ𝑜ặ𝑐 lim ∫𝑎 𝜀→ 𝜀→ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 1) Các tính chất 𝑏 ➢ Nếu lim ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐻ữ𝑢 ℎạ𝑛 => ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑁𝑔ượ𝑐 𝑙ạ𝑖 𝑙à 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì 𝑏→ ∞ ∞ 𝑑𝑥 ➢ I=∫ (a > ∝ thuộc R) = 𝑎 𝑥∝ 𝑎1−∝ < ∞ 𝑘ℎ𝑖 ∝ > => ℎộ𝑖 𝑡ụ { ∝−1 +∞ 𝑘ℎ𝑖 ∝ ≤ => 𝑃ℎâ𝑛 𝑘ì 𝑏 𝑑𝑥 𝑘ℎ𝑖 ∝ < => ℎộ𝑖 𝑡ụ ➢ I=∫ (∝ thuộc R) = { 𝑎 (𝑏−𝑥)∝ 𝑘ℎ𝑖 ∝ ≥ => 𝑃ℎâ𝑛 𝑘ì 1−∝ 𝑏 𝑏 𝑑𝑥 ➢ I=∫ = { 1−∝ 𝑘ℎ𝑖 ∝ < => ℎộ𝑖 𝑡ụ ∝ 𝑥 +∞ 𝑘ℎ𝑖 ∝ ≥ => 𝑃ℎâ𝑛 𝑘ì 2) Tiêu chuẩn so sánh _Cho f(x), g(x) không âm, thuộc trg dạng tịch phân suy rông _ Giả sử 𝒇(𝒙) ≤ 𝒈(𝒙) khoảng tính tích phân, ta có: +∞ +∞ ➢ Nếu ∫𝑎 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 ℎộ𝑖 𝑡ụ → ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ℎộ𝑖 𝑡ụ +∞ ➢ Nếu ∫𝒂 𝑏 +∞ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì → ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì 𝑏 ➢ Nếu ∫𝑎 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 ℎộ𝑖 𝑡ụ → ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝒃 𝑏 ➢ Nếu ∫𝒂 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì → ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì 3) Tiêu chuẩn so sánh Page | P.H.K _Cho f(x), g(x) xác định, khơng âm khoảng tính tích phân *Nếu Loại 1: +∞ +∞ 𝑡ℎì ∫ 𝑔(𝑥) ℎộ𝑖 𝑡ụ => ∫ 𝑎 𝑎 𝑓(𝑥) =𝐾= 𝑥→ +∞ 𝑔(𝑥) lim +∞ 𝑓(𝑥) ℎộ𝑖 𝑡ụ +∞ +∞ 𝑡ℎì ∫ 𝑔(𝑥) 𝑝𝑘 => ∫ 𝑎 𝑎 𝑓(𝑥) 𝑝𝑘 {0 < 𝐾 < +∞ 𝑡ℎì 𝑐ù𝑛𝑔 ℎộ𝑖 𝑡ụ ℎ𝑜ặ𝑐 𝑐ù𝑛𝑔 𝑝𝑘 *Nếu Loại 2: 𝑏 𝑏 𝑡ℎì ∫ 𝑔(𝑥) ℎộ𝑖 𝑡ụ => ∫ 𝑓(𝑥) ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑎 𝑓(𝑥) lim =𝐾= 𝑥→ 𝑏−ℎ𝑜ặ𝑐 𝑎+ 𝑔(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑏 +∞ 𝑡ℎì ∫ 𝑔(𝑥) 𝑝𝑘 => ∫ 𝑓(𝑥) 𝑝𝑘 𝑎 𝑎 {0 < 𝐾 < +∞ 𝑡ℎì 𝑐ù𝑛𝑔 ℎộ𝑖 𝑡ụ ℎ𝑜ặ𝑐 𝑐ù𝑛𝑔 𝑝𝑘 4) Chú ý 1: Nếu f(x) ~ g(x) x → +∞ tính chất, Nếu 𝐱 → −∞ ngược lại 5) Chú ý 2: Nếu I = I1 + I2 ➢ I1 & I2 hội tụ => I hội tụ 𝐼1 → −∞ 𝐼1 → +∞ ➢ { { => I phân kì 𝐼2 ≤ 𝐼2 ≥ 6) Hội tụ tuyệt đối (sử dụng ko xét dấu f(x) đc) 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 ➢ ∫𝑎 |𝑓(𝑥)| ℎộ𝑖 𝑡ụ → ∫𝑎 𝑓(𝑥) ℎộ𝑖 𝑡ụ => Hội tụ tuyệt đối ➢ ∫𝑎 𝑓(𝑥) ℎộ𝑖 𝑡ụ nhg ∫𝑎 |𝑓(𝑥)| phân kì => bán hội tụ Sử dụng tính chất: Kẹp, tiêu chuẩn so sánh ý 1, 𝑏 để xét hội tụ ∫𝑎 |𝑓(𝑥)| CHƯƠNG 4: CHUỖI Tổng dãy (Sn) KSHT dựa Sn Tham khảo giáo trình lim 𝑆𝑛 = S hữu hạn => Hội tụ, ngược lại phân kì 𝑛→ +∞ Page | P.H.K +∞ Một số Chú ∑+∞ 𝑛=1 𝑈𝑛 𝑣à ∑𝑛=1 𝑉𝑛 hội tụ => … (trang 77) ý (ko quan trọng lắm) DẠNG 1: 1) Định lý 1: +∞ +∞ +∞ KSHT _ ∑+∞ 𝑛=1 𝑈𝑛 𝑣à ∑𝑛=1 𝑉𝑛 𝑙à chuỗi dương ∑𝑛=1 𝑈𝑛 ≤ ∑𝑛=1 𝑉𝑛 +∞ chuỗi ➢ ∑+∞ 𝑛=1 𝑉𝑛 hội tụ ∑𝑛=1 𝑈𝑛 +∞ dương ➢ ∑+∞ 𝒏=𝟏 𝑼𝒏 pk ∑𝑛=1 𝑉𝑛 pk 2) Định lý 2: +∞ _ ∑+∞ 𝑛=1 𝑈𝑛 𝑣à ∑𝑛=1 𝑉𝑛 𝑙à chuỗi dương +∞ +∞ 𝑡ℎì ∑ 𝑉𝑛 ℎ𝑡 => ∑ 𝑈𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ lim 𝑛→+∞ 𝑈𝑛 =𝐾= 𝑉𝑛 𝑛=1 +∞ 𝑛=1 +∞ ∞ 𝑡ℎì ∑ 𝑈𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ => ∑ 𝑉𝑛 ℎ𝑡 𝑛=1 𝑛=1 {0 < 𝐾 < +∞ 𝑡ℎì 𝑐ù𝑛𝑔 ℎộ𝑖 𝑡ụ ℎ𝑜ặ𝑐 𝑐ù𝑛𝑔 𝑝𝑘 3) Tiêu chuẩn tích phân Xét ∑+∞ 𝒏=𝒌 𝑼𝒏 không âm Un = f(n) hàm giảm ta có +∞ ∫𝑘 𝑓(𝑥) ℎộ𝑖 𝑡ụ  ∑+∞ 𝒏=𝒌 𝑼𝒏 hội tụ *Xét tính tăng giảm: Lấy đạo hàm f(n), f’(n) 𝟏 { 𝒏∝ 𝒑𝒌, ∝≤ 𝟏 5) Tiêu chuẩn D’Alembert Xét ∑+∞ 𝒏=𝒌 𝑼𝒏 dương, < 𝑡ℎì ℎ𝑡𝑢 𝑈𝑛 + > 𝑡ℎì 𝑝𝑘 lim = 𝐾{ 𝑛→+∞ 𝑈𝑛 = 𝑐ℎư𝑎 𝑐ó 𝑘ế𝑡 𝑙𝑢ậ𝑛 6) Tiêu chuẩn Cauchy Xét ∑+∞ 𝒏=𝒌 𝑼𝒏 dương, < 𝑡ℎì ℎ𝑡𝑢 𝑛 > 𝑡ℎì 𝑝𝑘 lim √𝑈𝑛 = 𝐾 { 𝑛→+∞ = 𝑐ℎư𝑎 𝑐ó 𝑘ế𝑡 𝑙𝑢ậ𝑛 Page | P.H.K DẠNG 2: KSHT chuỗi tùy ý Hội tụ tuyệt đối: Xem giáo trình/82 Sau lấy trị tuyệt đối loại bỏ “dấu bất kì”, từ kết luận hội tụ tuyệt đối Người ta thương so sánh chuỗi với chuỗi sau: +∞ ∑ 𝒏=𝟏 +∞ 𝟏 𝒉𝒕𝒖, ∝> 𝟏 { 𝒏∝ 𝒑𝒌, ∝≤ 𝟏 ∑ 𝒒𝒏 { 𝒏=𝟏 DẠNG 3: KSHT chuỗi đan dấu DẠNG 4: KSHT chuỗi hàm DẠNG 5: KSHT chuỗi lũy thừa 𝒉𝒕𝒖, |𝒒| < 𝟏 𝒑𝒌, |𝒒| ≥ 𝟏 𝒏 Dạng: ∑+∞ 𝒏=𝟏(−𝟏) 𝑼𝒏, 𝑼𝒏 > 𝟎 𝑮𝒊ả𝒎 𝑫ươ𝒏𝒈 Un Thỏa tính chất{ => Hội tụ 𝒉ộ𝒊 𝒕ụ 𝒗ề 𝟎 (𝑳𝒊𝒎𝑼𝒏 = 𝟎) Dạng: ∑+∞ 𝒏=𝟏 𝒇𝒏(𝒙) Bài tốn tìm miền hội tụ: Khái niệm: Tại 𝑥𝑜 , ∑+∞ 𝒏=𝟏 𝒇𝒏(𝒙𝒐 ) hội tụ => 𝑥𝑜 điểm hội tụ Tập hợp tất điểm hội tụ gọi miền hội tụ 𝒏 _Dạng: ∑+∞ 𝒏=𝟏 𝒂𝒏 (𝒙 − 𝒙𝒐 ) , điểm 𝒙𝒐 gọi tâm chuỗi lũy thừa 𝒏 _Định lý Abel: Nếu ∑+∞ 𝒏=𝟏 𝒂𝒏 𝒙 hội tụ 𝒙𝒐 hội tụ tuyệt đối x ∈ (−|𝒙𝒐 |; |𝒙𝒐 |) (|𝒙𝒐 | gọi bán kính hội tụ) 𝒏 _Hệ quả: Nếu ∑+∞ 𝒏=𝟏 𝒂𝒏 𝒙 phân kì 𝒙𝒐 phân kì x thỏa mãn |x| > 𝒙𝒐 Định lý Cauchy – Hadamard: 𝒏 Xét chuỗi lũy thừa ∑+∞ 𝒏=𝟏 𝒂𝒏 𝒙 𝑎𝑛+1 𝑛 Đặt p = lim | | p = √|𝑎𝑛| 𝑎𝑛 𝑛→+∞ 0, 𝑝= ∞ Bán kính hội tụ r = {𝑝 , < 𝑝 < ∞ +∞, 𝑝=0 _Thuật tốn tìm miền hội tụ: 𝒏 Xét chuỗi lũy thừa ∑+∞ 𝒏=𝟏 𝒂𝒏 𝒙 Bước 1: Tìm r => D Bước 2: Xét tính hội tụ x = r x = -r Bước 3: Kết luận miền hội tụ Page | P.H.K TỐN CAO CẤP A2 CHƯƠNG 3: KHƠNG GIAN VECTO DẠNG 1: Chứng VD: (BT1/chương3) minh không gian Các bước: _W ⊂ 𝑅3 (ℎ𝑖ể𝑛 𝑛ℎ𝑖ê𝑛) (1) _0 ∈ 𝑊 𝑣ì 0(0, 0, 0)𝑡ℎỏ𝑎 ℎệ 𝑐ủ𝑎 đề (2) _Cho u(u1, u2, u3) ∈ 𝑊 => 𝑇ℎỏ𝑎 ℎệ v(v1, v2, v3) ∈ 𝑊 => 𝑇ℎỏ𝑎 ℎệ C/m u + v thỏa hệ (3) _C/m Cu ∈ 𝑊 (𝑐 hệ số bất kì) (4) (1), (2), (3), (4) => W không gian R3 (hay W≤ 𝑅3) DẠNG 2: Tổ hợp VD: (BT2/chương 3) tuyến tính Các bước: _Để x thtt u, v, w hệ pt: X = ux1 + vx2 + wx3 có nghiệm _Lập ma trận _Xét hạng, kết luận *Lưu ý: Bài 2c mượn ma trận để giải DẠNG 3: Độc VD: (BT3/chương 3) lập tuyến tính, Các bước: phụ thuộc tuyến _Xét hệ: u1+u2+… = tính _Lập ma trận vng: tính Det A +DetA = 0: Phụ thuộc tt (VSN) +Det A khác 0: Độc lập tt (1 nghiệm nhất) _Kết luận (Nếu có tham số kế luận theo tham số) DẠNG4: gọi W VD: (BT5/chương 3) không gian Các bước: R4 _ u có thuộc W => u tổ hợp tuyến tính u1, u2, u3 sinh vecto u1, u2, u3 Hỏi u có thuộc W khơng, sao? Page | P.H.K DẠNG 5: C/m B = {u, v, w} sở R3 VD: (BT6/chương 3) Các bước: _Chứng minh độc lập tuyến tính (ux1+ vx2 wx3 = nghiệm  Det khác 0) (1) _Mà số vecto B = DimR3 => B ⊂ 𝑅3 (2) (1), (2) => B = {u, v, w} sở R3 *Nếu cho tập P[x] dung pp mượn ma trận (Lập theo cột) *Nếu cho tập R lập theo hàng bình thường *Lưu ý: số vecto tập B > dimR3 sở (6c), số vecto tập B > dimR3 chắn khơng DẠNG 6: Tìm VD: (BT7/chương 3) sở số chiều Các bước: không gian _Lập ma trận, giải hệ => x1, theo x2, x3 cho sẵn _Cho x2 = 1, x3 = => u1 _Cho x3 = 2, x2 = => u2  u1, u2 sở B Số chiều = số vecto *Lưu ý: _Nếu hệ nghiệm (độc lập tuyến tính) B khơng có sở _ Nếu dung pp mượn ma trận phải trả lại dạng ban đầu (VD: 7c, 7d) DẠNG 7: W *Đây trường hợp ma trận u1x1+ u2x2 + u3x3 = có det = sinh VD: (BT8/chương3) u1, u2, u3, tìm Các bước: cở sở số chiều _Lập ma trận theo hang W _Đưa bậc thang => vecto v1, v2 (khác 0) Xét ma trận A ngang = (v1/v2) (theo cột) có r(A) = r(A ngang)  Độc lập tuyến tính => Kết luận: (lưu ý: DimW = r(A) DẠNG 8: Tìm VD: W tạo thành x1, x2, x3, thỏa hệ (1), tìm sở cơ, sở số chiều số chiều W ma trận Các bước: không vuông _Giải hệ (1) (lập ma trận) _Lấy u thuộc W => u (x1 theo …, x2, x3…) Page | P.H.K _Gán giá trị cho ẩn tự => u1, u2 …(số vecto phụ thuộc số ẩn tự do, có ẩn tự có vecto, ẩn td vt) Dim W = số ẩn tử Lưu ý: Nếu ko gian P[x] phải trả P[x] DẠNG - TỌA ĐỘ: Cho B chứa (u1, u2, u3) tìm tọa độ u theo B Các bước: _Giải hệ u = au1 + bu2 + cu3 𝑎 _[u]𝐵 = [𝑏] 𝑐 𝑎 DẠNG 10 - TỌA Cho [u]𝐵 = [𝑏 ] , 𝑐ℎ𝑜 𝐵𝑐ℎứ𝑎 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 ĐỘ: Bài toán 𝑐 ngược dạng VD: [u]𝐵 = [7], B = {u1=(1; 2; 0), u2=(5; 1; -1), u3=(1; 2; -1)} Tìm u Giải: u = au1 + bu2 + cu3  u = 2(1; 2; 0) + (5; 1; -1) + 0u3  u = (2+7*5+ 0; 2*2+7*1+0 ; -7) = (37; 11; -7) DẠNG 11 - TỌA Cho v1 = + 3x, v2 = x+2x2, v3 = + x + x2 B = + 2x -3 x2 , tìm [v1]𝐵, [v2]𝐵 , [v3]𝐵 ĐỘ: Tọa độ P[x] Giải: Xét hệ: X = au1 + bu2 + cu3 Tại v1 + 3x = a.3 + b.2.x – c.3x2  a = 1/3, b = 3/2, c =0  [v1]𝐵 = 1/3 + 3x/2  Còn lại v2, v3 làm tương tự DẠNG 12 – TỌA Cho E = {v1, v2, v3} ,B = {u1, u2, u3} ĐỘ: Ma trận Tìm ma trận chuyển cở sở từ B sang E chuyển sở B, E Các bước: _ Tìm [v1]𝐵, [v2]𝐵 , [v3]𝐵 thuộc R Xét hệ: au1 + bu2 + cu3 = X 𝑎 Tại X = v1 => a, b, c => [v1]𝐵 = [𝑏 ] 𝑐 _Lập ma trận chuyển sở: 𝑃𝐵→𝐸 = [[v1]𝐵 [v2]𝐵 [v3]𝐵 ] Page | P.H.K MỘT SỐ BÀI TOÁN NGƯỢC CỦA MTCCS DẠNG 14: KHÔNG GIAN EUCLIDE LƯU Ý: (𝑷𝑩→𝑬 ) -1 = 𝑷𝑬→𝑩 Dạng nhỏ 1: Cho B = {u1, u2, u3}, 𝑃𝐵→𝐸 Tìm: E Các bước: _Tìm v1: 𝑎 Có [v1]𝐵 = [𝑏 ] 𝑐 Xét hệ: v1 = au1 + bu2 + cu3 => v1 Tương tự tìm v2, v3 Dạng 2: Cho E = {u1, u2, u3}, 𝑃𝐵→𝐸 Tìm: B Lấy (𝑷𝑩→𝑬 ) -1 = 𝑷𝑬→𝑩  [[u1]𝐸 [u2]𝐸 [v3]𝐸 ] Còn lại làm tương tự Dạng nhỏ Trực giao – trực chuẩn: Xem trang 26 (slide 3) Quá trình trực giao Gram – Schmit: Xem trang 27 (slide 1) CHƯƠNG 4: Chéo hóa ma trận- Dạng tồn Phương DẠNG 1: Chéo hóa Bước 1: tìm giá trị riêng 𝜆 ma trận Giá trị riêng 𝜆 thỏa: Det(A - 𝜆𝐼) = Bước 2: Tìm vecto riêng 𝑥1 X = [𝑥2] vecto riêng A thỏa hệ: (A - 𝜆𝐼)𝑋 = 𝑥3 Tại 𝜆 = 𝜆1 => (A - 𝜆1𝐼) = lập ma trận giải nghiệm X hệ Dùng phương pháp gán giá trị để tìm X1 (và X2 nghiệm kép) Làm tương tự 𝜆2, 𝜆3 … )  Các vecto riêng X1, X2, X3 Bước 3: Đặt P = [ X1 X2 X3] Page | 10 P.H.K 𝜆1 0  D = P AP = [ 𝜆2 ] 0 𝜆3 k Lưu ý: Det(A ) = Det(A)k DẠNG 2: Chéo hóa Bước 1: Chéo hóa ma trận trực giao Bước 2: Trực chuẩn Với 𝜆1 (𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 đơ𝑛)𝑑ù𝑛𝑔 𝐺 − 𝑆 𝑐ℎ𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑋1 𝒙𝟏 = (… ) ||𝒙𝟏|| _Với 𝜆2 (𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑘é𝑝)𝑑ù𝑛𝑔 𝐺 − 𝑆 𝑐ℎ𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑢1, 𝑢2 _Dùng trình trực giao Gram – Schmit: Xem trang 27 (slide 1) để biến đổi u1, u2 thành v1, v2 _Trực chuẩn: 𝒗𝟏 𝒗𝟐 = (… ), = (… ) -1 ||𝒗𝟏|| ||𝒗𝟐|| 𝒙𝟏 Đặt P = [ 𝒗𝟏 𝒗𝟐 ] ||𝒙𝟏|| ||𝒗𝟏|| ||𝒗𝟐|| 𝜆1 0  D = P AP = [ 𝜆2 ] 0 𝜆2 -1 DẠNG 3: Đưa dang toàn phương dạng tắc phép biến đổi trực giao DẠNG 4: Dấu DTP, tiêu chuẩn Sylvester _Bước 1: Dạng toàn phương A … _Bước 2: Chéo hóa trực giao _Bước 3: Thực đổi biến X = PY Khi fct = Y-1AY = 𝜆1𝑦12 + 𝜆2𝑦22 + 𝜆3𝑦32 Trang 34-35 Hạng = hạng ma trận dạng tắc f Page | 11 P.H.K CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Page | 12 P.H.K Page | 13 P.H.K Page | 14 ... DẠNG 1: 1) Định lý 1: +∞ +∞ +∞ KSHT _ ∑+∞