Phân tích ứng xử uốn dầm nhịp đơn sử dụng mô hình phần tử rời rạc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TRÌNH MINH PHONG PHÂN TÍCH ỨNG XỬ UỐN DẦM NHỊP ĐƠN SỬ DỤNG MƠ HÌNH PHẦN TỬ RỜI RẠC Chun ngành:Xây dựng cơng trình dân dụng công nghiệp Mã ngành: 605820 LUẬN VĂN THẠC SĨ Tp.HCM, 01 – 2016 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán hướng dẫn khoa học: Cán hướng dẫn: PGS.TS Lương Văn Hải Cán chấm nhận xét 1: TS Hồ Đức Duy Cán chấm nhận xét 2: TS Vũ Tân Văn Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM, ngày 18 tháng 02 năm 2016 Thành phàn Hội đồng đánh giá Luận vãn thạc sĩ gồm: PGS.TS Bùi Công Thành - Chủ tịch Hội đồng TS Nguyễn Vãn Hiếu - Thư ký TS Hồ Đúc Duy - ủy viên (Phản biện 1) TS.VŨ Tân Văn - ủy viên (Phản biện 2) PGS.TS Nguyễn Trung Kiên - ủy viên CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: TRÌNH MINH PHONG MSHV: 12214088 Ngày, tháng, năm sinh: 02/08/1989 Nơi sinh: Trà Vinh Chuyên ngành: Xây dựng cơng trình dân dụng cơng nghiệp Mã số: 605820 I TÊN ĐỀ TÀI :Phân tích ứng xử uốn dầm nhịp đơn sử dụng mơ hình phần tử rời rạc II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG Sử dụng mơ hình dầm rời rạc để phân tích ứng xửuốn dầm nhịp đơn Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để thiết lập cơng thức tính tốn ví dụ số Kết ví dụ số đưa kết luận quan trọng ứng xử uốn dầm rời rạc III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: : 06/07/2015 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 08/01/2016 V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:PGS.TS LươngVăn Hải Tp HCM, ngày tháng năm 2016 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Họ tên chữ ký) BAN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH (Họ tên chữ ký) PGS TS Lương Văn Hải TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG (Họ tên chữ ký) ii LỜI CẢM ƠN Luận văn thạc sĩ Xây dựng cơng trình dân dụng cơng nghiệp nằm hệ thống luận cuối khóa nhằm trang bị cho học viên cao học khả tự nghiên cứu, biết cách giải vấn đề cụ thể đặt thực tế xây dựng Đó trách nhiệm niềm tự hào học viên cao học Để hoàn thành đề cương luận văn này, cố gắng nỗ lực thân, nhận giúp đỡ nhiều từ tập thể cá nhân Tôi xin ghi nhận tỏ lòng biết ơn đến tập thể cá nhân dành cho giúp đỡ quý báu Đầu tiên tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS.Lương Văn Hải.Thầy đưa gợi ý để hình thành nên ý tưởng đề tài Thầy góp ý cho tơi nhiều cách nhận định đắn vấn đề nghiên cứu, cách tiếp cận nghiên cứu hiệu Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cơ Khoa Xây dựng Cơng Trình Dân Dụng Và Công Nghiệp, trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM truyền dạy kiến thức q giá cho tơi, kiến thức thiếu đường nghiên cứu khoa học nghiệp sau Đề cương Luận văn thạc sĩ hoàn thành thời gian quy định với nỗ lực thân, nhiên khơng thể khơng có thiếu sót Kính mong q Thầy Cơ dẫn thêm để tơi bổ sung kiến thức hồn thiện thân Xin trân trọng cảm ơn Tp HCM, ngày 08 tháng 01 năm 2016 Trình Minh Phong iii TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Luận văn tập trung vào phân tích ứng xử uốn dầm phần tử rời rạc Đây mơ hình nghiên cứu trước đây, nhiên gần ứng dụng phân tích phi cục kết cấu.vấn đề phân tích tác động phi cục kết cấu xuất từ lâu, nhiên mơ hình phi cục truyền thống phân tích nguyên lý Eringen nhiều nghịch lý Gần tượng cố với mơ hình phần tử rời rạc Dầm phần tử rời rạc mơ hình đoạn phần tử cứng kết nối với lò xo xoay đàn hồi Mối quan hệ mơ hình phần tử rời rạc mơ hình phi cục Eringen chứng minh cụ thể luận văn thông qua quan điểm lý thuyết đến ví dụ số cụ thể.Theo lý thuyết phi cục bộ, quan hệ ứng suất biến dạng khác biệt so với định luật Hook phụ thuộc hệ số ảnh hưởng quy mô nhỏ «0 Mơ hình phân tích hệ số vi mô nhỏeo kết cấu Các kết phân tích ứng xử uốn từ mơ hình phần tử rời rạcthu từ phân tích rời rạc kết cấu, kết phi cục dựa mơ hình liên tục tương đương Qua mơ hình phi cục Eringen ảnh hưởng dầm Euler-Bemoulli thu từ mơ hình dầm phần tử rời rạc Luận văn đưa nhiều thay đổi từ điều kiện biên, tải trọng tác dụng tiết diện dầm để so sánh kết ứng xử uốn mơ hình dầm phần tử rời rạc với phương pháp phân tích phân tử hữu hạn truyền thống sử dụng chương trình SAP2000, lý thuyết phi cục Eringen Qua cho thấy, mơ hình dầm phần tử rời rạccho kết xác so với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống, hồn tồn phù hợp cho tính tốn ảnh hưởng phi cục kết cấu LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng việc thực hướng dẫn thầy PGS.TS Lương Văn Hải Các kết ửong luận văn thật Tôi xin chịu trách nhiệm công việc thực Tp HCM, ngày 08 tháng 01 năm 2016 Trình Minh Phong MỤC LỤC NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ i TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC sĩ iii LỜI CAM ĐOAN iv MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT xi CHƯƠNG TỔNG QUAN 1.1 Giới thiệu 1.2 Tình hình nghiên cứu tính cấp thiết đề tài 1.2.1 Các công trình nghiên cứu giới 1.2.2 Các cơng trình nghiên cứu nước 1.3 Mục tiêu hướng nghiên cứu 1.4 Cấu trúc luận văn ố CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Mơ hình dầm Euler-Bemoulli phi cục 2.2 Mơ hình dầm phần tử rời rạc 2.3 Độ cong dầm xét ảnh hưởng phi cục 13 2.3.1 Dầm tựa đơn chịu tải phân bố 13 2.3.2 Dầm congxon chịu tải phân bố 15 CHƯƠNG VÍ DỤ SỐ 18 3.1 Ví dụ 1: Phân tích dầm hai đầu tựa đơn chịu tải phân bố 20 3.1.1 Bài toán 1: So sánh chuyển vị lớn mơ hình dầm phần tử rời rạc hai đầu tựa đơn với SAP2000, giải tích mơ hình phi cục Eringen 22 3.1.2 Bài toán 2: So sánh dạng chuyển vị momen mơ hình dầm phần tử rời rạchai đầu tựa đơn với SAP2000 24 3.1.3 Bài toán 3: So sánh chuyển vị mơ hình dầm phần tử rời rạchai đầu tựa đơn với SAP2000 chiều dài dầm tải trọng thay đổi 26 3.2 Ví dụ 2: Phân tích dầm congxon chịu tải tập trung đầu tự 27 vi 3.2.1 Bài toán : So sánh chuyển vị lớn mơ hình dầm phần tử rời rạc congxon chịu tải tập trung với SAP2000 giải tích 30 3.2.2 Bài toán : So sánh dạng chuyển vị momen mơ hình dầm phần tử rời rạc congxon chịu tải tập trung với SAP2000 31 3.3 Ví dụ 3: Phân tích dầm nhịp đơn hai đầu ngàm chịu tải phân bố 33 3.3.1 Bài toán : So sánh chuyển vị lớn mơ hình dầm phần tử rời rạc hai đầu ngàm với SAP2000, giải tích mơ hình phi cục Eringen 36 3.3.2 Bài toán : So sánh dạng chuyển vị momen mô hình dầm phần tử rời rạchai đầu ngàm với SAP2000 38 3.3.3 Bài toán 8: So sánh chuyển vị mơ hình dầm phần tử rời rạc hai đầu ngàm tải phân bố với SAP2000 chiều dài dầm tải trọng thay đổi 40 3.4 Ví dụ 4: Phân tích dầm nhịp đơn đầu ngàm, đầu khớp tải phân bố 41 3.4.1 Bài toán : So sánh chuyển vị lớn mơ hình dầm rời rạc đầu ngàm đầu khớp với SAP2000, giải tích mơ hình phi cục Eringen 43 3.4.2 Bài toán 10 : So sánh dạng chuyển vị momen mơ hình dầm rời rạc đầu ngàm đầu khớp với SAP2000,giải tích mơ hình phi cục Eringen 45 3.4.3 Bài toán 11 : So sánh chuyển vị mơ hình dầm phần tử rời rạc đầu ngàm đầu khớp tải phân bố với SAP2000 chiều dài dầm tải trọng thay đổi 47 3.5 Ví dụ 5: Phân tích dầm congxon chịu tải phân bố 48 3.5.1 Bài toán 12 : So sánh chuyển vị lớn mơ hình dầm phần tử rời rạc congxon chịu tải phân bố với SAP2000, giải tích mơ hình phi cục Eringen 50 3.5.2 Bài toán 13 : So sánh dạng chuyển vị momen mơ hình dầm phần tử rời rạc congxon chịu tải phân bố với s AP2000 52 vii 3.5.3 Bài toán 14 : So sánh chuyển vị mơ hình dầm phần tử rời rạc congxon chịu tải phân bố với SAP2000 chiều dài dầm tải trọng thay đổi .54 3.6 Ví dụ 6: Phân tích dầm nhịp đơn gối tựa chịu tải phân bố tiết diện thay đổi 55 3.6.1 Bài toán 15 : So sánh chuyển vị lớn mơ hình dầm phần tử rời rạcgối tựa chịu tải phân bố có tiết diện thay đổi với SAP2000 .57 3.6.2 Bài toán 16 : So sánh dạng chuyển vị momen mơ hình dầm phần tử rời rạc gối tựa chịu tải phân bố có tiết diện thay đổi với SAP2000 58 3.6.3 Bài toán 17 : So sánh chuyển vị mơ hình dầm phần tử rời rạc có tiết diện thay đổi chịu tải phân bố với SAP2000 chiều dài dầm tải trọng thay đổi .60 CHƯƠNG KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 61 4.1 Kết luận 61 4.2 Kiến nghị 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 PHỤ LỤC 67 LÝ LỊCH TRÍCH NGANG .75 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ • Hình 1.1 Mơ hình dầm gối tựa cổ điển .1 Hình 1.2 Mơ hình dầm phần tử rời rạc Hình 2.1 Dầm gối tựa với trục tọa độ Hình 2.2 Lực cắt mơmentrên phần tố dầm .8 Hình 2.3 ứng suất mặt cắt ngang dầm Hình 2.4 Mơ hình dầm phần tử rời rạcvới hai đầu tựa đơn .10 Hình 2.5 Mơ hình dầm phần tử rời rạcvới đầu ngàmmột đầu tự 15 Hình 2.6 Lưu đồ tính tốn 17 Hình 3.1 Sơ đồ ví dụ 20 Hình 3.2 Biểu đồ so sánh chuyển vị lớn dầm tựa đơn .23 Hình 3.3 Biểu đồ so sánh dạng chuyển vị dầm tựa đơn 24 Hình 3.4 Biểu đồ so sánh momen dầm tựa đơn 25 Hình 3.5 Biểu đồ so sánh độ võng dầm tựa đơn L thay đổi 26 Hình 3.6 Biểu đồ so sánh độ võng dầm tựa đơn q thay đổi 26 Hình 3.7 Sơ đồ ví dụ 27 Hình 3.8 Phân tích độ cứng lò xo C1 đầu ngàm 27 Hình 3.9 Biểu đồ so sánh chuyển vị lớn dầm congxon chịu tải tập trung 30 Hình 3.10 Biểu đồ so sánh dạng chuyển vị dầm congxon chịu tải tập trung 32 Hình 3.11 Biểu đồ so sánh momen dầm congxon chịu tải tập trung .32 Hình 3.12 Sơ đồ ví dụ 33 Hình 3.13 Biểu đồ so sánh chuyển vị lớn dầm hai đầu ngàm 37 Hình 3.14 Biểu đồ so sánh dạng chuyển vị dầm hai đầu ngàm .38 Hình 3.15 Biểu đồ so sánh momen dầm hai đầu ngàm .39 Hình 3.16 Biểu đồ so sánh độ võng dầm hai đầu ngàm L thay đổi .40 Hình 3.17 Biểu đồ so sánh độ võng dầm hai đầu ngàm q thay đổi .40 Hình 3.18 Sơ đồ ví dụ 441 Hình 3.19 Biểu đồ so sánh chuyển vị lớn dầm mộtđầu Ví dụ số 3.6.3 61 Bài tốn 17 : So sánh chuyển vị mơ hình dầm phần tử rời rạc có tiết diện thay đổi chịu tải phân bố vói SAP2000 chiều dài dầm tải trọng thay đổi Khi chiều dài L thay đổi tải trọng q thay đổi ta thu kết chuyển vị gần trùng khớp với SAP2000, sai lệch khơng đáng kể Hình 3.34 Biểu đồ so sánh độ võng dầm có tiết diện biến đổi L thay đổi Hình 3.35 Biểu đồ so sánh độ võng dầm có tiết diện biến đổi q thay đổi Kết luận kiến nghị 62 CHƯƠNG KẾT LUẬN VÀ KIÉN NGHỊ Luận văn tiến hành phân tích ứng xử uốn mơ hình dầm phần tử rời rạc, mơ hình chia dầm thành đoạn cứng nối với lò xo xoay.Các trường hợp phân tích bao gồm thay đổi điều kiện biên, tải trọng tác dụng, dầm thay đổi tiết diện Các kết trình bày có kiểm chứng với tài liệu tham khảo khác so sánh với kết xuất từ phần mềm SAP2000 Qua kết phân tích số đạt trình bày Chương 3, tác giả rút số kết luận quan trọng hướng phát triển đề tài tương lai 4.1 Kết luận Mơ hình dầm phần tử rời rạc cho kết ứng xử uốnphù hợp phương pháp phần tử hữu hạn Đối với mô hình dầm phần tử rời rạc, số lượng phần tử dầm chưa đủ nhiều kết khác nhiều với kết xác từ giải tích Khi tăng số lượng phần tử dầm phần tử rời rạc, kết chuyển vị hội tụ giá trị giải tích, điều khác với giải tốn SAP2000, giá trị chuyển vị không thay đổi tăng số lượng phần tử Trong toán Chương 3, chia đến 30 phần tử dầm phần tử rời rạc, thu kết chuyển vị gần với giá trị giải tích (sai lệch thấp 1%), tiếp tục tăng số lượng phần tử kết dần hội tụ đến giá trị xác Mơ hình phần tử rời rạcđã cố cho kết hợp lý so với mơ hình dầm phi cục Eringen ví dụ Chương Do mơ hình thích hợp để phân tích tượng ảnh hưởng phi cục kết cấu Đối với dầm có điều kiện biên ngàm, độ cứng lò xo liên kết ngàm C1 lớn giá trị c lò xo lại dầm Giá trị c tăng dần số lượng phần tử tăng lên hội tụ giá trị 2C Ở toán Chương lấy giá trị C1=2C thấy kết thu hợp lý Khi thay đổi điều kiện biên, tải họng hay tiết diện ửong phân tích dầm nhịp đơn kết ứng xử uốn dầm chuyển vị, momen hợp lý với kết Kết luận kiến nghị 63 SAP2000 Phương pháp phân tích dầm rời rạc sử dụng để phân tích dầm phức tạp có tiết diện thay đổi hay độ cứng thay đổi 4.2 Kiến nghị Mặc dù luận vănđâ đạt số kết định trình bày số vấn đề chưa khám phá cần nghiên cứu thêm tương lai Những vấn đề bao gồm: Luận văn khảo sát với dầm nhịp đơn phát triển xét dầm nhiều nhịp, khung Có thể mở rộng khảo sát với phần tử hai phương phân tử ba phương Tải trọng luận văn tải trọng tĩnh, mở phân tích tốn với tải trọng động để xét ứng xử mơ hình phần tử rời rạc Tài liệu tham khảo 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.C.Eringen, Nonlocal polar elastic continua,/ní J Eng Sci (1972) [2] A.C.Eringen, On differential equations of nonlocal elasticityand solutions of screw dislocation and surface waves, J Appl Phys (1983) [3] A c Eringen, International Journal of Engineering Science, Sci 30 (1992)1551 [4] Y s Wang, Nonlocal elastic analogy for wave propagation in periodic layered composites,Meeh Res Com 26 (1999) 719 [5] A c Eringen, International Journal of Engineering Science Sci 10 (1972) 561 [6] Peddieson, Buchanan, G.G., McNitt, R.p, Application of nonlocal continuum models to nanotechnology, Int J Eng Sci (2003) 41, 305e312 [7] Hencky, Habilitationschrift,D Sc Thesis, Technical University of Darmstadt,Germany (1920) [8] Y Q Zhang, G R Liu, and J s Wang, Small-scale effects on buckling of multiwalled carbon nanotubes under axial compression, Phys Rev (2004), B70, 205430 [9] Y Q Zhang, G R Liu, and X Y Xie, Free ttansverse vibrations of doublewalled carbon nanotubes using a theory of nonlocal elasticity, Phys Rev (2005), B71, 195404 [10] Q Wang,Wave propagation in carbon nanotubes via nonlocal continuum mechanics J Appl Phys (2005) 98, 124301 [11] Heireche, H., Tounsi, A., and Benzair, Scale effect on wave propagation of double-walled carbon nanotubes with initial axial loading, Nanotechnology (2008), 19 185703 [12] Li, X F., Wang, B L., and Mai, Y.w, Effects of a surrounding elastic medium on flexural waves propagating in carbon nanotubes via nonlocal elasticity, J Appl Phys (2008), 103, 074309 Tài liệu tham khảo [13] 65 Reddy, J N, Nonlocal theories for bending, buckling and vibration of beams, International Journal of Engineering Science Volume 45, Issues 2-8, (2007), Pages 288-307 [14] Reddy, J N., and Pang, s D, Nonlocal continuum theories of beams for the analysis of carbon nanotubes, J Appl Phys (2008), 103, 023511 [15] N Challamel and c M Wang, The small length scale effectfor a nonlocal cantilever beam: a paradox solved, Nanotechnology, (2008), 19, 345703 [16] D c c Lam, F Yang, A c M Chong, J Wang, and p Tong, Experiments and theory in strain gradient elasticity, J Meeh Phys Solids (2003), 51, 14771508 [17] Zhang, z., Challamel, N., Wang, C.M., Eringen’s small length scale coefficient for buckling of nonlocal Timoshenko beam based on a microstructured beam model,/ Appl Phys (2013), 114, 114902 [18] Duan, w., Challamel, N., Wang, C.M., Ding, z., Development of analytical vibration solutions for microstructured beam model to calibrate length scale coefficient in nonlocal Timoshenko beams, J Appl Phys, (2013) 114, 104312 [19] N.Challamel, C.M.Wang, I Elishakoff, Discrete systems behave as nonlocal structural elements: Bending,buckling and vibration analysis, European Journal of Mechanics - A/Solids Volume 44, (2014), Pages 125-135 [20] Zhen Zhang, C.M Wang, Noel Challamel 2014, “Eringen’s length scale coefficient for buckling of nonlocal rectangular plates from microstructured beam-grid model, International Journal of Solids and Structures, Volume 51, Issues 25-26, (2014), Pages 4307-4315 [21] Huu-Thai Tai, A nonlocal beam theory for bending, buckling, and vibration of nanobeams, International Journal of Engineering Science, Volume 52, (2012), Pages 56-64 [22] Phạm Xuân Tùng, Phân tích dao động ổn định dựa mơ hình dầm phần tử rời rạc, Luận văn cao học trường đại học Bách Khoa HCM (2014) [23] Challamel, N., Lerbet, J., Wang, C.M., Zhang, Analytical length scale calibration of nonlocal continuum from a microstructured buckling model, Tài liệu tham khảo 66 z Angew Math Mech.(2OỈ3à) [24] Challamel, N., Zhang, z., Wang, C.M., Nonlocal equivalent continua for buckling and vibration analyses of microstructured beams,/ Nanomech.Micromech., ASCE in press (2013b) [25] Sudak, L J, Column buckling of multiwalled carbon nanotubes using nonlocal continuum mechanics, Appl Phys (2003), 94, 7281 [26] Lu, p., Lee, H p., Lu, c., and Zhang, p Q, Dynamic propertiesof flexural beams using a nonlocal elasticity model, J Appl Phys, (2006) 99, 073510 [27] Ece, M c., and Aydogdu, Nonlocal elasticity effect on vibration of in-plane loaded double-walled carbon nanotubes, Acta Mechanica;, Vol 190 Issue 14, pl85 (2007) [28] Wang, L F., and Hu, H Y, Flexural wave propagation in singlewalled carbon nanotube, Phys Rev.B (2005) 71, 195412 [29] Wang, c M., Zhang, Y Y., Ramesh, s s., and Kitipomchai, s, Buckling analysis of micro- and nano-rods/tubes based on nonlocal Timoshenko beam theory, J Phys D: Appl Phys (2006), 39, 3904 [30] Zhang, Y Q., Liu, G R., and Wang, J s, Small-scale effects onbuckling of multiwalled carbon nanotubes under axial compression, Phys Rev B(2004), 70, 205430 [31] Li, R., and Kardomateas, G A, Thermal buckling of multiwalled carbon nanotubes by nonlocal elasticity, J Appl Meeh, (2007), 74, 399-405 [32] Li, R., and Kardomateas, G A, Vibration characteristics of multiwalled carbon nanotubes embedded in elastic media by a nonlocal elastic shell model, J Appl Meeh, (2007) 74, 1087-1094 [33] C.M Wang, Kitipomchai, c.w Lim, Eisenberger, Beam bending solutions based on nonlocal Timoshenko beam theory, J Eng Meeh, (2008) 134(6), 475^181 [34] c M Wang, Y Y Zhang, Y Xiang, and J N Reddy, Recent studies on buckling of carbon nanotubes Appl- Meeh Rev (2010), 63, 030804 [35] Andrianov, I.V., Awrejcewicz, J., Ivankov, O,On an elastic dissipation model as continuous approximation for discrete media, Math Probl Eng, (2006) Tài liệu tham khảo 67 27373, l-e8 [36] Andrianov, I.V., Awrejcewicz, J., and D Weichert, Improved continuous models for discrete media, Math Problems Eng (2010), 986242, 1-35 [37] I Elishakoff, D Pentaras, K Dujat, c Versaci, G Muscolino, J Storch, s Bucas, N Challamel, T Natsuki, Y Y Zhang, c M Wang, and G Ghyselinck, Carbon Nanotubes and Nanosensors: “Vibrations, Buckling and Ballistic Impact”, ISTE-Wiley, Chichester (2012) [38] Cheng Li, Linquan Yao, Weiqiu Chen, Shuang Li, Coments on nonlocal effects in nano-cantilever beams, International Journal of Engineering Science, (2015), 87, 47-57 Phụ lục 68 PHỤ LỤC Chng trình tính ma trận độ cứng ví dụ function[K]=K_VD1(E,I,P,a,n,M,omega2) C=E*I/a; alpha=C/aA2; beta=M* omega2/n; gam a=p/a; K=vpa(zeros(n-l,n-l)); hl=5*alpha-beta-2*gam a; h2=6*alpha-beta-2*gam a; g=-4*alpha+gam a; K(l,l)=hl; K(2,l)=g; K(3,1)=alpha; K(n-1,n-1)=hl; K(n-2,n-l)=g; K (n-3,n-l)=alpha; for i=2:n-2 for j=2:n-2 if i==j K(i,j)=h2; K(i+1,j)=g; K(i-1,j)=g; if i+2=l K (i-2,j)=alpha; end end end end Chương trình tính tốn ví dụ clc; clear all; E=2ell; 1=1.40625e-5; L=4; M=0; P=0; omega2=0; n=4; g=2000; for j=l:15; X (j )=n a=L/n; K=K_VD1(E, I, p, a, n,M, omega2); [0]=ones(n-1,1) ; w=vpa(g*a*inv(K)*ones(n-1,1)) ma=w(1,1); for k=l:n-1 if ma