DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU TRONG ĐOẠN MẠCH CHỈ CÓ ĐIỆN TRỞ THUẦN, TỤ ĐIỆN HOẶC CUỘN DÂY THUẦN CẢM A.. Câu 2: Đặt vào hai đầu đoạn mạch chỉ có điện trở thuần R một điện áp xoay chiều có biểu t
Trang 1CHỦ ĐỀ II DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU TRONG ĐOẠN MẠCH CHỈ CÓ ĐIỆN TRỞ THUẦN, TỤ ĐIỆN HOẶC CUỘN DÂY THUẦN CẢM
A TÓM TẮT KIẾN THỨC CĂN BẢN
Đoạn mạch chỉ có điện trở thuần R cuộn dây thuần cảm cóĐoạn mạch chỉ có
độ tự cảm L
Đoạn mạch chỉ có
tụ điện có điện dung C
Sơ đồ mạch
Đặc điểm
Định luật
Ôm
R
U
R
0
0 = hoặc
R
U
R =
L
L L Z
U
0 = hoặc
L
L L Z
U
I =
C
C C Z
U
0 = hoặc
C
C C Z
U
I =
Giản đồ vectơ : Giản đồ vectơ : Giản đồ vectơ :
- Điện trở R , đơn vị Ôm (Ω) - Cảm kháng Z L = ωL , đơn
vị Ôm (Ω)
- Dung kháng
C
Z C
ω
1
= , đơn vị
Ôm (Ω)
- Điện áp giữa hai đầu điện trở
thuần biến thiên điều hoà
cùng pha với dòng điện
- Điện áp giữa hai đầu cuộn dây thuần cảm biến thiên điều hoà sớm pha hơn dòng điện góc π2 .
- Điện áp giữa hai đầu tụ điện biến thiên điều hoà trễ pha
hơn dòng điện góc
2
π
R
U 0
R
I 0
R
U
R
I
L
U 0
L
I 0
2
π
+
C
U 0 I 0C
2
π
−
L
U
L
I
2
π
+
C
2
π
−
Trang 2điện trở thuần, cuộn dây thuần cảm hoặc tụ điện
B MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài 1 : Đặt điện áp xoay chiều u = 220 2 cos( 100 πt)(V), t tính bằng giây (s), vào hai đầu điện trở thuần R = 110 Ω Viết biểu thức cường độ dòng điện chạy qua điện trở thuần R.
Bài giải :
Biên độ dòng điện xoay chiều chạy qua điện trở thuần R là :
2 2 110
2 220
0
R
U
Dòng điện chạy qua điện trở thuần R biến đổi điều hoà cùng tần số và cùng pha với điện
áp xoay chiều giữa hai đầu của nó nên biểu thức của dòng điện qua điện trở thuần R là :
) )(
100 cos(
2
Bài 2 : Biểu thức cường độ dòng điện xoay chiều chạy qua một điện trở thuần R là
) ( 3 100
cos
, t tính bằng giây (s) Hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai dầu điện trở thuần đo đuợc bằng vôn kế xoay chiều là U = 150 V.
a) Xác định R.
b) Viết biểu thức điện áp giữa hai đầu điện trở thuần R.
Bài giải :
a) Điện trở thuần R được xác định từ định luật Ôm :
150 1
150 =
=
=
I
U
b) Biên độ của điện áp xoay chiều giữa hai đầu điện trở thuần R là :
2 150 2
0 =U =
Điện áp giữa hai đầu điện trở thuần R biến đổi điều hoà cùng tần số và cùng pha với dòng điện chạy qua nó nên biểu thức điện áp giữa hai đầu điện trở thuần R là :
) ( 3 100 cos 2
, t tính bằng giây (s)
Bài 3 : Biểu thức điện áp xoay chiều giữa hai đầu một đoạn mạch chỉ có cuộn dây thuần
cảm là u = 200 2 cos( 100 πt)(V), t tính bằng giây (s) Cường độ hiệu dụng của dòng điện xoay chiều chạy trong đoạn mạch đo được bằng ampe kế xoay chiều là I = 2 A.
a) Xác định độ tự cảm L của cuộn dây.
b) Viết biểu thức cường độ dòng điện chạy qua cuộn dây
c) Tính cường độ dòng điện qua cuộn dây vào thời điểm t =4003 s
Bài giải :
a) Cảm kháng của cuộn dây thuần cảm này là :
100 2
200
=
=
=
I
U
Độ tự cảm của cuộn dây thuần cảm này là :
π π ω
1 100
100
=
=
= Z L
b) Biên độ của dòng điện xoay chiều chạy qua cuộn dây thuần cảm là :
2 2 2
0 =I =
Trang 3Dòng điện xoay chiều chạy qua cuộn dây thuần cảm biến đổi điều hoà cùng tần số và trễ pha góc π2
so với điện áp giữa hai đầu của nó nên biểu thức cường độ dòng điện chạy qua cuộn dây thuần cảm là :
) ( 2 100 cos 2
, t tính bằng giây (s)
c) Cường độ dòng điện chạy qua cuộn dây vào thời điểm
400
3
=
2 2 400
3 100 cos 2
Bài 4 : Dòng điện xoay chiều chạy qua một cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm 2 π
1
=
L H
3 100 cos 2
, t tính bằng giây (s).
a) Viết biểu thức điện áp giữa hai đầu cuộn dây thuần cảm này
b) Tính điện áp giữa hai đầu cuộn dây vào thời điểm
600
1
=
t s
Bài giải :
a) Cảm kháng của cuộn dây thuần cảm này là :
50 2
1
=
=
π π
ωL
Biên độ của điện áp xoay chiều giữa hai đầu cuộn dây thuần cảm là :
2 250 50 2 5
0
0 =I Z L = =
Điện áp xoay chiều giữa hai đầu cuộn dây thuần cảm biến đổi điều hoà cùng tần số và sớm pha góc
2
π
so với dòng điện chạy qua nó nên biểu thức điện áp xoay chiều giữa hai đầu cuộn dây thuần cảm là :
) ( 6 100 cos 2 250 2
3 100 cos 2
=
, t tính bằng giây (s)
b) Vào thời điểm t =6001 s thì điện áp giữa hai đầu cuộn dây là :
2 125 6
600
1 100 cos 2
Bài 5 : Biểu thức điện áp xoay chiều giữa hai đầu một đoạn mạch chỉ có tụ điện là
) )(
100 cos(
2
chạy trong mạch đo được bằng ampe kế xoay chiều là I = 2 A.
a) Xác định điện dung C của tụ điện.
b) Viết biểu thức cường độ dòng điện chạy qua đoạn mạch này
Bài giải :
a) Dung kháng của tụ điện này là :
100 2
200
=
=
=
I
U
Điện dung của tụ điện này là :
Trang 4điện trở thuần, cuộn dây thuần cảm hoặc tụ điện
π π
ω
4
10 100 100
1
=
=
=
C
Z
C F ≈ 31 , 83 μF b) Biên độ dòng điện chạy qua đoạn mạch này là :
2 2 2
0 =I =
Dòng điện chạy qua tụ điện biến đổi điều hoà cùng tần số và sớm pha góc
2
π
so với điện
áp giữa hai đầu của nó nên biểu thức cường độ dòng chạy qua đoạn mạch này là :
) ( 2 100 cos 2
, t tính bằng giây (s)
Bài 6 : Dòng điện xoay chiều chạy qua một đoạn mạch chỉ chứa tụ điện có điện dung
π
2
10 − 4
=
3 100 cos
, t tính bằng giây (s) Viết biểu thức điện áp giữa hai
đầu đoạn mạch này
Bài giải :
2
10 100
1 1
4 =
=
π π
ωC
Z C
Ω Biên độ của điện áp xoay chiều giữa hai đầu đoạn mạch là :
2 200 200 2
0
Điện áp xoay chiều giữa hai đầu tụ điện biến đổi điều hoà cùng tần số và trễ pha góc π2
so với dòng điện chạy qua nó nên biểu thức điện áp giữa hai đầu đoạn mạch này là :
) ( 6 100 cos 2 200 2
3 100 cos 2
=
, t tính bằng giây (s)
Bài 7 : Một đoạn mạch điện xoay chiều
chỉ chứa một trong ba phần tử điện : điện trở
thuần, cuộn dây thuần cảm, tụ điện Hình
bên là đồ thị biểu diễn sự biến đổi theo thời
gian của điện áp giữa hai đầu đoạn mạch và
cường độ dòng điện chạy qua đoạn mạch
điện đó Đoạn mạch điện này chứa phần tử
điện nào ?
Bài giải :
Dựa vào đồ thị ta thấy u (t) và i (t) biến
đổi điều hoà với cùng chu kì hay u (t) và i (t)
biến đổi điều hoà với cùng tần số
Ta thấy lúc t = 0 thì i = 0 và sau đó i tăng nên pha ban đầu của i là ϕ =−π2
thì u = U0 (giá trị cực đại) nên pha ban đầu của u là ϕu = 0.
Như vậy, điện áp u (t) sớm pha hơn dòng điện i (t) góc
2
π
Do đó, đoạn mạch này chứa cuộn dây thuần cảm
C CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
i, u
t
i (t) u (t)
0
Trang 5Câu 1: Chọn phát biểu đúng khi nói về đoạn mạch điện xoay chiều chỉ có điện trở thuần R.
A Dòng điện xoay chiều chạy qua điện trở luôn có pha ban ban đầu bằng không
B Dòng điện xoay chiều chạy qua điện trở luôn cùng pha với điện áp xoay chiều giữa hai đầu điện trở
=
2
cos
0
π
ωt U
độ dòng điện chạy qua điện trở R có dạng 0 cos( t)
R
U
D Cường độ hiệu dụng I của dòng điện xoay chiều chạy qua điện trở, điện áp cực đại
0
U giữa hai đầu điện trở và điện trở R liên hệ với nhau bởi hệ thức
R
U
I = 0
Câu 2: Đặt vào hai đầu đoạn mạch chỉ có điện trở thuần R một điện áp xoay chiều có biểu
thức u=U0cos( ωt) thì cường độ dòng điện chạy qua điện trở có biểu thức
) cos(
2 t i
I
A
R
U
I = 0 và
2
π
R
U I
2
0
= và ϕi = 0.
C
R
U
I
2
0
2
π
R
U I
2
0
= và ϕi = 0.
Câu 3: Trong một đoạn mạch điện xoay chiều chỉ có điện trở thuần R, cường độ dòng điện
=
6
cos
0
π
ωt I
điện trở thuần R là
A u =U0cos( ωt+ ϕu) với U0 =I0R và ϕu = 0.
B u =U0cos( ωt+ ϕu) với U0 = 2I0R và ϕu = 0.
C u =U0cos( ωt+ ϕu) với U0 = 2I0R và
6
π
ϕu =
D u =U0cos( ωt+ ϕu) với U0 =I0R và
6
π
ϕu =
Câu 4: Đoạn mạch điện xoay chiều gồm hai điện trở thuần R1 = 20 Ω và R2 = 40 Ω mắc nối
tiếp với nhau Đặt vào giữa hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có biểu thức
) )(
100 cos(
2
A Dòng điện xoay chiều chạy qua hai điện trở thuần cùng pha với nhau
B Dòng điện xoay chiều chạy qua hai điện trở thuần có cùng cường độ hiệu dụng I = 2 A.
C Dòng điện xoay chiều chạy qua hai điện trở thuần có biểu thức i = 2 2 sin( 100 πt)(A)
D Dòng điện xoay chiều chạy qua hai điện trở thuần R1 và R2 có cường độ cực đại lần lượt
là I01 = 6 2 A và I02 = 3 2 A.
Câu 5: Đặt vào giữa hai đầu một đoạn mạch điện chỉ có điện trở thuần R = 220 Ω một điện áp
3 100 cos 2
, t tính bằng giây (s) Biểu thức cường
độ dòng điện chạy qua điện trở thuần R là
A ( )
3 100 cos
6 100 cos
Trang 6
điện trở thuần, cuộn dây thuần cảm hoặc tụ điện
3 100 cos
6 100 cos
Câu 6: Đoạn mạch điện xoay chiều gồm hai điện trở thuần R1 = 60 Ω và R2 = 90 Ω mắc song
song với nhau Đặt vào giữa hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có biểu thức
) ( 6 100 cos
2
, t tính bằng giây (s) Kết luận nào sau đây là không đúng ?
A Dòng điện xoay chiều chạy qua hai điện trở cùng pha với nhau và cùng pha với điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch
B Dòng điện xoay chiều chạy qua hai điện trở R1 và R2 có cường độ hiệu dụng lần lượt là I1
= 3 A và I2 = 2 A.
C Dòng điện xoay chiều chạy qua hai điện trở có cùng biểu thức tức thời là
) ( 6 100
cos
2
D Dòng điện xoay chiều chạy qua hai điện trở R1 và R2 có cường độ cực đại lần lượt là
I01 = 3 2 A và I02 = 2 2 A.
Câu 7: Biểu thức cường độ của dòng điện xoay chiều chạy qua một điện trở thuần R = 110 Ω
2 100 cos
2
, t tính bằng giây (s) Biểu thức điện áp xoay chiều giữa hai đầu
điện trở là
A u = 220 2 cos( 100 πt)(V) B u= 110 2 cos( 100 πt)(V)
C ( )
2 100 cos 2
2 100 cos 2
Câu 8: Hai bóng đèn điện như nhau có cùng số ghi 110 V – 75 W được mắc nối tiếp nhau rồi
mắc vào điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U = 220 V và tần số f = 50 Hz Xem dây tóc
bóng đèn chỉ có tác dụng như một điện trở thuần Chọn gốc thời gian là lúc dòng điện qua hai bóng đèn có cường độ tức thời cực đại Biểu thức cường độ tức thời của dòng điện xoay chiều chạy qua hai bóng đèn là
2 100 cos 682
,
B i≈ 0 , 964 cos(100 πt)(A)
2 100 cos 364
,
D i ≈ 1 , 928 cos(100 πt)(A)
Câu 9: Hai bóng đèn điện như nhau có cùng số ghi 220 V – 25 W được mắc song song nhau
rồi mắc vào điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U = 220 V và tần số f = 50 Hz Xem dây
tóc bóng đèn chỉ có tác dụng như một điện trở thuần Chọn gốc thời gian là lúc dòng điện qua hai bóng đèn có cường độ tức thời cực đại Biểu thức cường độ tức thời của dòng điện xoay chiều chạy qua mỗi bóng đèn là
A i≈ 0 , 114 cos(100 πt)(A) B i ≈ 0 , 161 cos(100 πt)(A)
2 100 cos 227
,
2 100 cos 321 ,
Câu 10: Một bóng đèn điện có ghi 220 V – 100 W được dùng với dòng điện xoay chiều tần số
f = 50 Hz Xem dây tóc bóng đèn chỉ có tác dụng như một điện trở thuần Cho biết đèn sáng
bình thường Chọn gốc thời gian là lúc điện áp tức thời giữa hai đầu bóng đèn bằng không và
Trang 7ngay sau đó thì điện áp tức thời có giá trị dương Biểu thức cường độ tức thời của dòng điện xoay chiều chạy qua bóng đèn là
2 100 cos 455
,
B i≈ 0 , 643 cos(100 πt)(A)
C ( )
2 100 ( cos 643
,
D i ≈ 0 , 455 cos(100 πt)(A)
Câu 11: Phát biểu nào sau đây là đúng khi nói về đặc điểm của cuộn dây thuần cảm ?
A Cuộn dây thuần cảm cho dòng điện một chiều đi qua nhưng không cho dòng điện xoay chiều đi qua
B Cuộn dây thuần cảm cho dòng điện xoay chiều đi qua nên nó không có tính cản trở dòng điện xoay chiều
C Cuộn dây thuần cảm có cản trở dòng điện xoay chiều, dòng điện xoay chiều có tần số càng lớn thì bị cản trở càng ít
D Cuộn dây thuần cảm có cản trở dòng điện xoay chiều, dòng điện xoay chiều có tần số càng lớn thì bị cản trở càng nhiều
Câu 12: Đặt một điện áp xoay chiều hình sin u =U0cos( ωt) vào hai đầu một đoạn mạch chỉ
có cuộn dây thuần cảm Nếu độ tự cảm của cuộn dây không đổi thì cảm kháng của cuộn dây
A lớn khi tần số của dòng điện nhỏ B nhỏ khi tần số của dòng điện lớn
C lớn khi tần số của dòng điện lớn D không phụ thuộc tần số của dòng điện
Câu 13: Sự phụ thuộc của cảm kháng ZL của cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L không đổi vào tần số f của dòng điện xoay chiều hình sin chạy qua cuộn dây được diễn tả bởi đồ thị ở
hình nào sau đây là đúng ?
A Hình 1 B Hình 2 C Hình 3 D Hình 4
Câu 14: So với điện áp, dòng điện xoay chiều chạy qua đoạn mạch chỉ có cuộn dây thuần cảm
sẽ biến đổi điều hoà
A sớm pha hơn một góc
2
π
B trễ pha hơn một góc
2
π
C sớm pha hơn một góc π4
Câu 15: Trong đoạn mạch điện xoay chiều chỉ có cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L, điện áp
giữa hai đầu cuộn dây có biểu thức u=U0cos( ωt) thì cường độ điện chạy qua đoạn mạch có biểu thức i=I 2 cos( ωt+ ϕi), trong đó I và ϕi được xác định bởi các hệ thức
A I =U0 ωL và ϕi = 0. B
L
U I
ω0
= và
2
π
ϕi = −
Z
L
f
0
Z
L
f
0
ZL
f
0
ZL
f
0
Trang 8điện trở thuần, cuộn dây thuần cảm hoặc tụ điện
C
L
U
I
ω
2
0
2
π
L
U I
ω
2
0
2
π
ϕi =
Câu 16: Đặt vào giữa hai đầu một đoạn mạch điện chỉ có cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L
một điện áp xoay chiều có biểu thức u=U0cos( ωt) thì dòng điện xoay chiều chạy qua đoạn mạch có biểu thức
=
2
cos
C
−
=
2 cos
U
+
=
2 cos
U
Câu 17: Đặt vào giữa hai đầu một đoạn mạch điện chỉ có cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm
π
1
=
L H một điện áp xoay chiều có biểu thức u= 220 2 cos( 100 πt)(V), t tính bằng giây
(s) Dòng điện xoay chiều chạy qua đoạn mạch có biểu thức
2 100 cos 2 2 ,
2 100 cos
2
,
2 100 cos 2 2 ,
Câu 18: Đặt vào giữa hai đầu một đoạn mạch điện chỉ có cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm
π
1
=
6 100 cos 2
, t tính bằng
giây (s) Dòng điện xoay chiều chạy qua đoạn mạch có biểu thức
6 100 cos 2 2
,
2 100 cos 2 2 ,
3 100 cos
2
,
3 100 cos 2 2 ,
Câu 19: Dòng điện xoay chiều chạy qua một đoạn mạch chỉ có cuộn dây thuần cảm có độ tự
1
=
6 100 cos 2
, t tính bằng giây (s) Biểu thức điện
áp xoay chiều giữa hai đầu đoạn mạch này là
3 100 cos
3 100 cos 2
6 100 cos 2
2 100 cos 2
Câu 20: Biểu thức điện áp xoay chiều giữa hai đầu một đoạn mạch chỉ có cuộn dây thuần cảm
3 100 cos
, t tính bằng giây (s) Mắc ampe kế xoay chiều nối tiếp vào đoạn
mạch thì ampe kế chỉ 2 A Độ tự cảm của cuộn dây này là
A L ≈ 225 H B L ≈ 70,7 H C L ≈ 225 mH D L ≈ 70,7 mH.
Câu 21: Phát biểu nào sau đây là không đúng khi nói về đặc điểm của tụ điện ?
A Tụ điện không cho dòng điện một chiều đi qua nhưng cho dòng điện xoay chiều “đi qua”
Trang 9B Tụ điện cho dòng điện xoay chiều “đi qua” nên nó không có tính cản trở dòng điện xoay chiều
C Tụ điện có cản trở dòng điện xoay chiều, dòng điện xoay chiều có tần số càng lớn thì bị cản trở càng ít
D Tụ điện có cản trở dòng điện xoay chiều, dòng điện xoay chiều có tần số càng nhỏ thì bị cản trở càng nhiều
Câu 22: Đặt một điện áp xoay chiều hình sin u =U0cos( ωt) vào hai đầu một đoạn mạch chỉ
có tụ điện Nếu điện dung của tụ điện không đổi thì dung kháng của tụ điện
A lớn khi tần số của dòng điện lớn B nhỏ khi tần số của dòng điện lớn
Câu 23: Xét công thức tính dung kháng ZC của tụ điện có điện dung C không đổi với dòng điện xoay chiều có tần số f thay đổi được : Z C fC
π
2
1
= Nếu đặt y=Z C và x= 1f thì đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của y theo x có dạng nào dưới đây ?
A Hình 1 B Hình 2 C Hình 3 D Hình 4
Câu 24: So với điện áp giữa hai đầu đoạn mạch, dòng điện xoay chiều chạy qua đoạn mạch chỉ có tụ điện biến đổi điều hoà
A sớm pha hơn một góc π2
C sớm pha hơn một góc π4
Câu 25: Đặt vào hai đầu một tụ điện một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U không đổi
và tần số 50 Hz thì cường độ hiệu dụng qua tụ là 2 A Để cường độ hiệu dụng qua tụ bằng 1
A thì tần số dòng điện là
A 25 Hz B 50 Hz C 100 Hz D 200 Hz
Câu 26: Trong đoạn mạch điện xoay chiều chỉ có tụ điện có điện dung C, điện áp giữa hai đầu
tụ điện có biểu thức u=U0cos( ωt) thì cường độ dòng điện chạy qua đoạn mạch có biểu thức
) cos(
2 t i
I
A I =U0 ωC và ϕi = 0. B
C
U I
ω
2
0
2
π
ϕi = −
C
C
U
I
ω
2
0
2
π
2
0 C U
I = ω
và
2
π
ϕi =
y
x
0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
Trang 10điện trở thuần, cuộn dây thuần cảm hoặc tụ điện Câu 27: Đặt vào giữa hai đầu một đoạn mạch điện chỉ có tụ điện có điện dung C một điện áp
xoay chiều có biểu thức u=U0cos( ωt) thì dòng điện xoay chiều chạy qua đoạn mạch có biểu thức
=
2
cos
0
π ω
−
=
2 cos
U
+
=
2 cos
U
Câu 28: Biểu thức điện áp xoay chiều giữa hai đầu một đoạn mạch điện chỉ chứa tụ điện là
) )(
100 cos(
2
hiệu dụng I = 2 A Điện dung C của tụ điện này là
A C ≈ 25,5 F B C ≈ 25,5 μF C C ≈ 125 F D C ≈ 125 μF.
Câu 29: Đặt vào giữa hai đầu một đoạn mạch điện chỉ có tụ điện có điện dung
π
4
10 −
=
C F một điện áp xoay chiều có biểu thức u= 220 2 cos( 100 πt)(V), t tính bằng giây (s) Dòng
điện xoay chiều chạy qua đoạn mạch có biểu thức
2 100 cos 2 2 ,
2 100 cos
2
,
2 100 cos 2 2 ,
Câu 30: Đặt vào giữa hai đầu một đoạn mạch điện chỉ có tụ điện có điện dung π
4
10 −
=
C F
6 100 cos
, t tính bằng giây (s) Dòng
điện xoay chiều chạy qua đoạn mạch có biểu thức
A ( )
3 100 cos
2 100 cos
3 100 cos
6 100 cos
Câu 31: Dòng điện xoay chiều chạy qua đoạn mạch chỉ có tụ điện có điện dung
π
4
10−
=
3 100 cos 2
, t tính bằng giây (s) Biểu thức điện áp xoay chiều giữa
hai đầu tụ điện là
6 100 cos
3 100 cos 2
C ( )
6 100 cos 2
2 100 cos 2
Câu 32: Một đoạn mạch điện xoay chiều gồm một tụ điện có điện dung π
4 1
10
2 −
=
nối tiếp với một tụ điện có điện dung
π
3
10
2
−
=