Ứng dụng một số dạng toán THCS vào thực tế cuộc sống

Với mục đích giúp cho học sinh biết và hiểu rằng toán học là rất gần gũi với cuộc sống xung quanh, hoàn toàn rất thực tế và việc tiếp thu các kiến thức toán ở nhà trường không chỉ để thi

1 - PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 – Lý do chọn đề tài

“Luật giáo dục nước ta từng xác định “hoạt động giáo dục phải được thực hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục phải kết hợp với lao động sản xuất, lý luận phải gắn liền với thực tiễn…”

Nghị quyết 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của ban chấp hành trung ương Đảng đã khẳng định: “Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng

xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế” Mục tiêu của giáo dục ngày nay là đào tạo nguồn nhân lực có phẩm chất và trình độ để phục vụ đất nước Do vậy các kiến thức học sinh được học phải gắn liền với thực tiễn Chính vì lẽ đó mà các nhà giáo dục đã không ngừng chỉnh sửa, cải cách giáo dục cho phù hợp với yêu cầu xã hội

Có lẽ ai đã từng học toán, đang học toán đều có suy nghĩ rằng toán học ngoài những phép tính đơn giản như cộng, trừ, nhân, chia, … thì hầu hết các kiến thức toán khác là rất trừu tượng đối với học sinh Vì vậy việc học toán trở thành một áp lực nặng nề đối với học sinh Họ nghĩ rằng toán học là mơ hồ, xa xôi, học chỉ là học mà thôi Học sinh học toán chỉ có một mục đích duy nhất đó là thi cử Hình như ngoài điều đó ra các em không biết học toán để làm gì Vì vậy họ có quyền nghi ngờ rằng liệu toán học có ứng dụng vào thực tế được không nhỉ?

Sự thật là toán học có rất nhiều ứng dụng vào thực tế cuộc sống và nó thể hiện rất rõ trong cuộc sống hằng ngày của con người nhưng chúng ta không để ý mà thôi Với mục đích giúp cho học sinh biết và hiểu rằng toán học là rất gần gũi với cuộc sống xung quanh, hoàn toàn rất thực tế và việc tiếp thu các kiến thức toán ở nhà trường không chỉ để thi cử mà nó còn là những công cụ đắc lực để giúp các em giải quyết các vẫn đề, tình huống đơn giản trong thực tế Vì lý do đó nên tôi đã chọn đề

tài “Ứng dụng một số dạng toán THCS vào thực tế cuộc sống”.

1.2 – Điểm mới của đề tài

Điểm mới của sáng kiến mà tôi muốn chia sẻ với quý đồng nghiệp và các em học sinh cụ thể như sau: Nêu một số tình huống trong thực tiễn cuộc sống cần sự hỗ trợ của toán học mới giải quyết được Đề xuất các phương án giải quyết tình huống

1.3 – Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

* Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh THCS, đặc biệt là học sinh lớp 8, lớp 9

* Phạm vi nghiên cứu:

Phạm vi nghiên cứu là các dạng toán THCS và các bài toán thực tế được áp dụng các kiến thức toán THCS để giải quyết

2 – PHẦN NỘI DUNG 2.1 – Thực trạng của nội dung cần nghiên cứu

Trong cuộc sống thường ngày, trong khi đi chơi, đi du lịch, trong học tập, lao động, mua sắm, tiêu dùng, thì có không ít những câu hỏi sẽ xuất hiện trong đầu chúng ta, chẳng hạn như: chiếc ô tô, tàu hỏa đang chạy với vận tốc bao nhiêu, tốc độ dòng chảy của con sông là bao nhiêu, khoảng cách giữa các địa điểm là bao nhiêu, liệu hai vật thể đang chuyển động có va chạm với nhau không, lượng điện dùng trong một tháng là bao nhiêu, chọn mua sản phẩm nào là phù hợp, Nhưng rất ít học sinh THCS sau khi học xong chương trình có thể vận dụng để giải và tìm ra phương án của các bài toán thực tế đó được Các em cứ cho rằng đây là việc của các nhà nghiên cứu chứ không trực tiếp giải thích được

Khảo sát thực tế tại một trường THCS về một số dạng toán áp dụng vào thực tế cuộc sống (chưa áp dụng sáng kiến) có kết quả như sau:

2.2 – Các giải pháp

2.2.1 – Tình huống 1: Chiếc Eke tiện lợi

Đặt vấn đề: Từ một đoạn dây có thể tạo ra một hình tam giác vuông không cần phải

sử dụng thước kẻ, thước đo độ Làm thế nào để làm được như vậy? Bạn hãy nghĩ xem

Phương án giải quyết:

Trên dây lấy 3 đoạn bằng nhau đánh dấu lại, tiếp tục lấy 4 đoạn bằng nhau đó đánh dấu lần nữa, sau đó tiếp tục lấy 5 đoạn như thế đánh dấu lại Khi đó ta có trên dây sẽ có 4 điểm được đánh dấu (tính cả điểm đầu mút) Bây giờ ta nối điểm đầu với điểm đánh dấu cuối cùng với nhau, hai điểm còn lại kéo căng ra sao cho tạo ra một hình tam giác Hình này nhất định sẽ là một tam giác vuông

Bài toán được áp dụng từ định lý đảo của định lý Pytago (hình học lớp 7), bộ

ba số Pytago 3; 4; 5

Hình 1: Máy bơm

Chiếc Eke này giải quyết được nhiều việc trong thực tế khi cần là ta có: Ví dụ như các bác thợ xây muốn xác định góc vuông đầu tiên của một móng nhà bằng cách xác định ba độ dài 3; 4; 5 và làm như hướng dẫn trên thì sẽ tạo ra một tam giác vuông, từ đó cố định các góc của móng nhà

2.2.2 – Tình huống 2: Bài toán máy bơm

Đặt vấn đề: Một hộ gia đình có ý định mua một cái máy bơm để phục vụ cho việc

tưới tiêu vào mùa hạ Khi đến của hàng thì được ông chủ giới thiệu về hai loại máy bơm có lưu lượng nước trong một giờ và

chất lượng máy là như nhau

Máy thứ nhất giá 1 500 000 đồng

và trong một giờ tiêu thụ hết 1,2kW điện

Máy thứ hai giá 2 000 000 đồng và

trong một giờ tiêu thụ hết 1kW điện

Theo bạn, người nông dân nên chọn mua

loại máy bơm nào để đạt hiệu quả kinh tế

cao

Phương án giải quyết:

Chọn máy bơm trong hai loại để mua sao cho hiệu quả kinh tế là cao nhất Như vậy ngoài giá cả ta phải quan tâm đến hao phí khi sử dụng máy, nghĩa là chi phí cần chi trả khi sử dụng máy trong một khoảng thời gian nào đó

Quy ước rằng giá tiền điện là 1000đ/1kW

Vậy trong x giờ số tiền phải trả khi sử dụng máy thứ nhất là:

f(x) = 1500 + 1,2x (nghìn đồng)

Số tiền phải chi trả cho máy thứ hai trong x giờ là:

g(x) = = 2000 + x (nghìn đồng)

Ta thấy rằng chi phí trả cho hai máy sử dụng là như nhau sau khoảng thời gian x0 là nghiệm của phương trình:

f(x) = g(x)

⇔ 1500 + 1,2x = 2000 + x

⇔0,2x = 500

⇔x = 2500 (giờ)

Ta có đồ thị của hai hàm số f(x) và g(x) như sau:

Bài toán áp dụng hàm số bậc nhất và đồ thị của nó (đại số lớp 9)

Quan sát đồ thị ta thấy rằng: Ngay sau khi sử dụng 2500 giờ tức là nếu mỗi ngày dùng 4 tiếng thì không quá 2 năm máy thứ hai chi phí sẽ thấp hơn rất nhiều so với máy thứ nhất Vì thế nên chọn mua máy thứ hai thì hiệu quả kinh tế sẽ cao hơn

Trường hợp 1: Nếu thời gian sử dụng máy ít hơn hai năm thì mua máy thứ nhất

sẽ tiết kiệm hơn

Trường hợp 2: Nếu thời gian sử dụng nhiều hơn hoặc bằng hai năm thì nên mua máy thứ hai

Nhưng trong thực tế, một máy bơm có thể sử dụng được thời gian khá dài Do vậy trong trường hợp này người nông dân nên mua máy thứ hai

2.2.3 – Tình huống 3: Công tơ điện

Công tơ điện là một dụng cụ đếm điện năng tiêu thụ của các hộ gia đình hoặc

cơ quan đơn vị Để thực hiện chủ trương tiết kiệm điện, bộ công thương đưa ra mức giá bán điện theo bảng sau:

Hình 2: Công tơ điện

Bảng giá bán lẻ điện sinh hoạt theo 6

bậc áp dụng hiện nay (theo quyết định số

2256/QĐ-BCT ngày 12/3/2015 của bộ công

thương):

TT Mức sử dụng của mỗi hộ trong tháng Giá bán điện (đồng/kWh)

Câu 1: Tính tiền điện sinh hoạt của một hộ gia đình:

Một hộ gia đình có các thiết bị điện như sau:

1 Tủ lạnh: 01 cái, công suất 170W; sử dụng 24h/ngày

2 Tivi: 01 cái, công suất 75W/cái; sử dụng 8h/ngày

3 Nồi cơm điện: 01 cái, công suất 800W, sử dụng 2h/ngày

4 Bóng đèn: 04 cái, công suất 40W/cái, sử dụng 3 giờ/ngày

Đặt vấn đề: Tính số tiền của hộ gia đình phải trả trong một tháng (30 ngày) Biết thuế

GTGT 10%

Phương án giải quyết:

Ta tính tổng điện năng tiêu thụ T của tất cả các thiết bị điện trong gia đình (Tính tổng điện năng tiêu thụ trong 1 ngày x 30, với đơn vị là kWh):

T = (170 24 + 75 8 + 800 2 + 4 40 3) 30 : 1000 = 202,8kWh

Tổng tiền điện trong tháng (chưa tính VAT) là:

50 1484 + 50 1533 + 100 1786 + 2,8 2242 = 335727,6 (đồng) Vậy tổng tiền điện phải trả trong tháng (đã bao gồm VAT) là:

335727,6 + 335727,6 10% = 369300,36 (đồng)

Câu 2: Khoán định mức điện năng tiêu thụ:

Đặt vấn đề: Một gia đình dự kiến phải trả tiền điện 300 000 đồng/tháng Hỏi gia đình

đó mỗi tháng có thể sử dụng tối đa bao nhiêu kWh

Phương án giải quyết:

Trước tiên ta tính số tiền x thực tế phải trả (chưa đóng thuế VAT) theo phương trình: x + 0,1x = 300000 ⇔ x = 272727,3 đồng.

Bây giờ ta tính lượng điện năng tối đa có thể sử dụng của hộ gia đình đó

Gọi lượng điện năng tiêu thụ của hộ gia đình đó là m Vì số tiền tối đa là 272727,3 nên chắc chắn lượng điện năng tiêu thụ sẽ lớn hơn 100kWh và không thể vượt quá 200kWh

Vậy ta có: 50 1484 + 50 1533 + (m – 100) 1786 = 272727,3

⇔ m ≈ 168 (kWh) Vậy mỗi tháng hộ gia đình đó có thể dùng tối đa là 168kWh

Quy tình huống này, mỗi hộ gia đình có thể kiểm soát được lượng điện mà mình dùng nhằm mục đích tiết kiệm điện

2.2.4 – Tình huống 4: Thiết kế hộp đựng bột trẻ em

Đặt vấn đề: Một nhà máy sản xuất bột trẻ em cần thiết kế bao bì mới cho một loại

sản phẩm mới của nhà máy có thể tích 1dm3 Nếu bạn là nhân viên thiết kế thì bạn sẽ làm như thế nào để nhà máy chọn bản thiết kế của bạn?

Phương án giải quyết:

Người thiết kế muốn nhà máy chọn bản thiết kế của mình thì ngoài tính thẩm

mỹ của bao bì thì cần tính đến chi phí về kinh tế sao cho nguyên vật liệu làm bao bì là

ít tốn nhất

Theo cách thông thường ta làm bao bì dạng hình họp chữ nhật hoặc hình trụ Như vậy cần xác định xem trong hai dạng trên thì dạng nào sẽ ít tốn vật liệu hơn

Phương án 1: Làm bao bì theo dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh

x, chiều cao h.

Hình 3: Hộp sữa hình hộp

Hình 4: Hộp sữa hình trụ

Ta có thể tích của hình hộp chữ nhật là:

V = Sđ h = x2.h

⇒ V = hx2 = 1 ⇒ h = x12

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần phải

nhỏ nhất

Ta có diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là:

Stp = Sxq + S2đáy = 4xh 2x2 4x 12 2x2

x

= 2 2 2x2 33 2 2 .2x2 6

x x+ + ≥ x x =

Dấu “=” xảy ra khi 2 2x2 x3 1 x 1 h 1

Vậy diện tích toàn phần nhỏ nhất của hình hộp đó là 6dm2, xảy ra khi x = 1 và

h = 1 Khi đó, nhà thiết kế cần làm làm hình lập phương có cạnh bằng 1dm

Phương án 2: Làm theo dạng hình trụ có bán kính là x, chiều cao h.

Tương tự như trên, ta cần làm hộp hình

trụ sao cho diện tích toàn phần của nó là nhỏ

nhất

Ta có: V = πx h2 =1 2

1

h x

π

⇒ =

Stp = Sxq + S2đáy = 2πxh+2πx2

= 2 πx 1x2 2πx2 2x 2πx2

= 1 1 2 x2 33 1 1 .2 x2 3 23 5,54

Dấu “=” xảy ra khi 1 2 2 3 1 0,54

2

x = π ⇔ = π ⇒ ≈ ⇒ ≈h 1,08 Vậy diện tích toàn phần nhỏ nhất của hộp hình trụ là 5,54dm2 xảy ra khi h≈1,08 và 0,54

x≈ Khi đó nhà thiết kế cần làm hộp hình trụ sao cho đường cao bằng đường kính đáy

Theo tính toán ở trên thì cả hai hộp đều có thể tích là 1 dm3 nhưng diện tích toàn phần của hộp lập phương lớn hơn hộp hình trụ do vậy chi phi vật liệu để làm hộp dạng hình lập phương là tốn kém hơn Vì thế để nhà máy chọn bản thiết kế của mình thì người thiết kế nên chọn dạng hình trụ để làm hộp

Đó cũng là lý do mà chúng ta thấy phần lớn trên thị trường hiện nay các hãng sữa đều làm hộp dạng hình trụ Tuy nhiên, vẫn còn một số lượng ít sữa dạng hình hộp chữ nhật, hình lập phương, là do những tính năng ưu việt khác của dạng hộp đó

2.2.5 – Tình huống 5: Tính toán tốc độ xe lửa

Đặt vấn đề: Khi đang ở trong một chiếc xe lửa đang chuyển động có lẽ nhiều khi bạn

suy nghĩ liệu chừng có thể xác định được tốc độ của nó không?

Hãy đưa ra các biện pháp nào đó để đo tốc độ của xe lửa (tất nhiên phải thực hiện trong điều kiện thực tế của chuyến đi) Liệu vẫn nằm trên giường, thậm chí không cần nhìn qua cửa sổ có thể đo được tốc độ xe lửa hay không?

Hình 5: Xe lửa Phương án giải quyết:

Phương án 1: Một trong những phương pháp là: Đo thời gian mà con tàu đi được

trong quãng đường 1km (theo cột km trên đường và đồng hồ đeo tay) và sau đó tính vận tốc của con tàu sau khi đổi về đơn vị cần thiết (m/s hoặc km/h)

Ví dụ như con tàu đi 1km trong 100 giây thì tốc độ của nó là: (100 giây = 100

3600h )

100 100 3600

km h

Hình 6: Xe taxi

Phương án 2: Một phương án khác dựa trên cơ sở là khi đang ngồi trong tàu bạn có

thể nghe tiếng va đập giữa bánh xe tàu lửa và các điểm ghép hai thanh ray Độ dài của thanh ray thường bằng 12,5m, bạn có thể đếm số thanh ray trong một khoảng thời gian nào đó Từ đó bạn có thể tính được tốc độ của con tàu

Ví dụ bạn đếm được trong 1 phút, con tàu đi được quảng đường là 60 thanh ray, từ đó

ta có thể tính vận tốc của con tàu như sau:

12,5

60

km

km h

2.2.6 – Tình huống 6: Đi taxi

Đặt vấn đề: Một hãng taxi định giá tiền thuê xe theo hai phương án sau:

Phương án 1: Khách hàng phải trả

10 000đ/km cho 10km đầu tiên và từ km

thứ 11 trở đi giá tiền là 5000đ/km

Phương án 2: Khách hàng phải trả

8000đ/km cho cả quảng đường đi

Vậy nếu bạn là người cần đi taxi thì bạn

sẽ chọn phương án đi nào sao cho tiết

kiệm nhất?

Phương án giải quyết:

Ta dễ dàng thấy rằng nếu quãng đường s chúng ta đi nhỏ hơn 10km thì nên chọn phương án thứ hai thì sẽ tiết kiệm hơn, và khi đó số tiền tiết kiệm được là:

(10000 – 8000).s = 2s (nghìn đồng)

Vậy còn với quãng đường đi s lớn hơn 10km thì sao?

Đặt s = 10 + x, với x > 0, ta có:

Theo phương án 1, số tiền khách hàng phải trả là:

T1 = 10 10 + 5 x = 5x + 100 (nghìn đồng)

Theo phương án 2, số tiền khách hàng phải trả là:

T2 = (10 + x) 8 = 8x + 80 (nghìn đồng)

Xét: T1 – T2 = 20 – 3x < 0 ⇔x > 20 6,7

3 ≈

quãng

đường khách hàng đi lớn hơn 16,7km thì nên chọn theo phương án 1 sẽ tiết kiệm hơn

2.2.7 – Tình huống 7: Sơn tường

Đặt vấn đề: Hai công nhân được giao nhiệm vụ sơn một bức tường Sau khi người

thứ nhất làm được 7h và người thứ hai làm được 4h thì họ sơn được 59 bức tường

Sau đó họ bắt tay làm chung trong 4h thì chỉ còn 181 bức tường chưa sơn Vì cả hai người này đều bận nên nhờ người công nhân thứ 3 sơn tiếp bức tường còn lại Bây giờ phải chia tiền công như thế nào cho công bằng Biết rằng người chủ khoán tiền công sơn bức tường này là 360 000 đồng

Hãy tính số tiền mà mỗi người nhận được khi sơn xong bức tường?

Phương án giải quyết:

Công việc còn lại người công nhân thứ ba làm nên nhận được số tiền trong giai đoạn này là 360 000 : 18 = 20 000đ Vấn đề quan tâm là tiền công người thứ nhất và người thứ hai có thể nhận được là bao nhiêu?

Phương án 1: Tính theo số giờ làm việc

Số tiền tổng cộng của hai người công nhân đầu tiên là: 360 000 – 20 000 = 340 000đ

Số giờ tổng cộng mà hai người làm là: t = 7 + 4 + 2.4 = 19h

Thời gian người thứ nhất làm là: 7 + 4 = 11h

Khi đó số tiền người thứ nhất có thể nhận được là: 340 000.11 197 000

Số tiền người thứ hai nhận được là: 340 000 – 197 000 = 143 000 (đồng)

Tuy nhiên ta thấy rằng điều này vẫn chưa thỏa mãn vì tiền công phụ thuộc vào năng suất làm việc của mỗi người Mâu thuẫn này dẫn đến phương án giải quyết thứ hai

Phương án 2: Tính theo năng suất làm việc

Giả sử năng suất của mỗi người khi làm việc là không đổi

Gọi: x là phần bức tường người thứ nhất làm trong 1h

y là phần bức tường người thứ hai làm trong 1h

Theo bài ra ta có:

7

18

Như vậy trong quá trình làm việc của mình, người thứ nhất sơn được 11

18 bức

tường, người thứ hai sơn được 1

3 bức tường.

Số tiền người thứ nhất nhận được là:11.360 000 220 000

Số tiền người thứ hai nhận được là: 1.360 000 120 000

Vậy trong công việc này thì số tiền mà người thứ nhất, thứ hai, thứ ba nhận được lần lượt là: 220 000đ, 120 000đ, 20 000đ

2.2.8 – Tình huống 8: Gia công vật liệu

Đặt vấn đề: Trong một xưởng cơ khí, sau đợt tham gia học tập, người chủ tổ chức thi

để đánh giá trình độ tay nghề của các học viên Sau khi kiểm tra xong các nội dung