Bài viết này trình bày vấn đề hình vẽ biểu diễn các đối tượng hình học trong không gian và các kết quả của một thực nghiệm trên việc đọc hình vẽ biểu diễn của B. Parzysz (1989).
Số 32 (57) - Tháng 9/2017 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Một nghiên cứu đọc hình vẽ biểu diễn đối tượng hình học khơng gian học sinh lớp 11 A research on the reading of drawings of Geometric objects in space of class 11 students TS Nguyễn Ái Quốc, Trường Đại học Sài Gòn Nguyen Ai Quoc, Ph.D., Saigon University Tóm tắt Bài báo trình bày vấn đề hình vẽ biểu diễn đối tượng hình học khơng gian kết thực nghiệm việc đọc hình vẽ biểu diễn B Parzysz (1989) Từ kết này, rút giả thuyết nghiên cứu diễn giải mà học sinh thực đọc hình vẽ biểu diễn hình thành số đốn quy tắc diễn giải khác Sau tiến hành thực nghiệm để hợp thức hóa giả thuyết nghiên cứu đốn Từ khóa: hình vẽ biểu diễn, diễn giải, kiểu biểu diễn, quy tắc diễn giải Abstract This paper presents the problematics of the drawing of the geometrical objects in space and the results of an experiment on the reading of the drawing by B Parzysz (1989) Based on these results, we will develop a hypothesis on the possible interpretations that students can use when reading a drawing and we will speculate on other rules of interpretation Finally, we carry out an experiment to validate this hypothesis and these conjectures Keywords: drawing, interpretation, type of representation, rules of interpretation hình vẽ biểu diễn đối tượng hình học không gian yêu cầu thông qua phép chiếu song song: “Để nghiên cứu hình học khơng gian, người ta thường vẽ hình khơng gian lên bảng, lên giấy Ta gọi hình vẽ hình biểu diễn hình khơng gian.” [5, tr 45] Biểu diễn đối tượng hình học hình vẽ biểu diễn thường dẫn đến số thơng tin nhiều tính chất đối tượng hình học không diễn dịch số mối quan hệ không gian Đặt vấn đề Ngay từ lớp bậc trung học sở, học sinh bắt đầu tiếp cận hình học khơng gian qua việc nghiên cứu số khối đa diện hình lăng trụ đứng hình chóp Việc nghiên cứu thực mức độ mô tả không nghiên cứu quan hệ song song vng góc đối tượng hình học khơng gian điểm, đường thẳng mặt phẳng 1.1 Hình biểu diễn Hình học khơng gian tiếp tục nghiên cứu Hình học 11 việc sử dụng 34 NGUYỄN ÁI QUỐC phức tạp hơn…” 1.3 Phép chiếu song song Do đó, dạy học hình học khơng gian, vấn đề hình vẽ biểu diễn gắn liền với lựa chọn kiểu biểu diễn đối tượng hình học khơng gian: “Thơng thường muốn biểu diễn hình khơng gian đó, người ta chiếu hình lên mặt phẳng chiếu phép chiếu xuyên tâm hay phép chiếu song song Đặc biệt có người ta dùng phép chiếu vng góc (là phép chiếu song song đặc biệt)…Ở trường THPT, chương trình hạn chế dùng hình biểu diễn qua phép chiếu song song.” [5, tr 76] Như vậy, Hình học 11 Việt Nam, kiểu biểu diễn lựa chọn phép chiếu song song Trong phép biểu diễn phẳng khác đối tượng hình học khơng gian, phép chiếu song song phép chiếu cho phép bảo toàn nhiều tính chất hình học song song, trung điểm, tỉ số độ dài đoạn thẳng song song, mang lại cho đối tượng biểu diễn hình ảnh gần với đối tượng biểu diễn Hơn nữa, sử dụng kiểu biểu diễn phép chiếu song song, đòi hỏi số quy tắc, quy ước kiểu biểu diễn đối tượng hình học khơng gian trang giấy tập mà gọi chung mã để giúp cho việc viết đọc hình biểu diễn Vấn đề đặt quy ước biểu diễn tác động việc đọc hình vẽ biểu diễn đối tượng hình học không gian học sinh? Quy ước, quy tắc kiểu biểu diễn đối tượng hình học Sách Giáo Khoa Hình học lớp 11 2.1 Quy ước 2.1.1 Biểu diễn mặt phẳng Quy ước P: mặt phẳng (P) biểu diễn hình bình hành hay trang giấy tập trừ sử dụng mã vẽ hình quy ước biểu diễn Tương tự, tính chất khơng gian hình vẽ biểu diễn đầy đủ tính chất hình học cần thiết cho tốn chí số trường hợp khơng thỏa đáng hình vẽ biểu diễn thuyết minh vật chất đối tượng hình học 1.2 Miền hoạt động – miền diễn giải Hình vẽ biểu diễn xem mơ hình đối tượng hình học Chúng ta gắn liền với mơ hình miền hoạt động tập hợp tính chất hình học biểu diễn số tính chất khơng gian hình vẽ biểu diễn miền diễn giải tập hợp tính chất khơng gian hình vẽ biểu diễn diễn giải liên quan đến tính chất đối tượng Sự biểu diễn đối tượng hình học khơng gian, khơng gian chiều, hình vẽ biểu diễn trang giấy tập, không gian chiều, thực hay nhiều phép chiếu Thực tế, trường hợp có phép chiếu nhất, chắn có thơng tin Do cần phải sử dụng số mã cho việc đọc viết biểu diễn này, Bkouche [1, tr.16] nhấn mạnh: “Do tình khơng gian xuất thơng qua biểu diễn biến đổi thành hình phẳng, điều địi hỏi giải thích mã, mã viết mã đọc… Trong điều kiện này, hiểu biết tình khơng gian thơng qua trung gian biểu diễn mặt phẳng khơng cịn phụ thuộc vào tính rõ ràng trường hợp hình học phẳng, người ta khơng cịn suy luận hình khác với thực tế mà cho đại diện, địi hỏi phát triển phương pháp suy luận 35 M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN… thuộc mặt phẳng điểm nằm bên hình bình hành biểu diễn điểm không thuộc mặt phẳng điểm nằm bên ngồi hình bình hành (H 3) miền góc ghi tên mặt phẳng vào góc hình biểu diễn (H.1 H2) 2.1.2 Biểu diễn điểm thuộc mặt phẳng Quy ước ĐP: biểu diễn điểm Hình Hình Hình hình bình hành [4, tr 60] (H 4) Kiểu biểu diễn TPs: biểu diễn đường thẳng song song mặt phẳng đoạn thẳng biểu diễn cho đường thẳng d’ mặt phẳng (P), nằm bên hình bình hành, đoạn thẳng biểu diễn cho đường thẳng d song song với d’, nằm bên ngồi hình bình hành [4, tr 61] (H 5), hay đoạn thẳng biểu diễn cho đường thẳng d song song với cạnh hình bình hành [4, tr.60] (H 6) 2.2 Kiểu biểu diễn Kiểu biễu diễn hình vẽ tay nhằm mục đích minh họa hay mối quan hệ hình học đối tượng hình học khơng gian Nó khơng phải đối tượng quy ước, phần truyền thống dạy học 2.2.1 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Kiểu biểu diễn TP: biểu diễn đường thẳng nằm mặt phẳng đoạn thẳng nằm bên Hình Hình Kiểu biểu diễn TPc: để biểu diễn đường thẳng cắt mặt phẳng, người ta cho thấy giao điểm nằm bên hình bình Hình hành hay bên miền góc biểu diễn phần đường thẳng giả thiết bị che khuất nét đứt đoạn [4, tr 60] (H H 8) Hình Hình 36 NGUYỄN ÁI QUỐC 2.2.2 Vị trí tương đối hai đường thẳng Kiểu biểu diễn TTc: hai đường thẳng cắt biểu diễn hai đoạn thẳng cắt nằm bên hình bình hành [4, tr 55] (H 9) Kiểu biểu diễn TTs: hai đường thẳng song song biểu diễn hai đoạn thẳng song song nằm hình bình hành [4, tr 55] (H 10) Hình Hình 10 thẳng, đoạn thẳng thứ biểu diễn cho đường thẳng d nằm hình bình hành đoạn thẳng thứ hai biểu diễn cho đường thẳng d’ cắt mặt phẳng điểm không thuộc đường thẳng thứ [4, tr 56] (H 12) Kiểu biểu diễn TTt: hai đường thẳng trùng biểu diễn đoạn thẳng nằm hình bình hành [4, tr 55] (H 11) Kiểu biểu diễn TTch: hai đường thẳng chéo biểu diễn hai đoạn Hình 11 Hình 12 2.2.3 Vị trí tương đối hai mặt phẳng Kiểu biểu diễn PPc: để biểu diễn hai mặt phẳng cắt nhau, người ta cho thấy giao tuyến chúng nằm hai hình bình hành Hơn nữa, giao tuyến song song với số cạnh hai hình bình hành [4, tr 48] (H 13) Kiểu biểu diễn PPs: hai mặt phẳng song song biểu diễn hai hình bình hành có cạnh song song đơi [4, tr 64] (H 14) Hình 13 Hình 14 37 M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN… thuyết nghiên cứu kế thừa phát triển từ thực nghiệm trình bày luận án Parzysz (1989) việc đọc hình vẽ biểu diễn đối tượng hình học khơng gian học sinh lớp Đệ Tam Đệ Nhị Pháp, tương đương lớp 10 11 Việt Nam Sự kế thừa thực nghiệm Parzysz học sinh lớp 11 Việt Nam hợp lý phân tích Sách giáo khoa Pháp Việt Nam cho thấy có tương tự cách tiếp cận đối tượng hình học khơng gian quan hệ song song cấp Trung học phổ thông Hơn nữa, quy ước kiểu biểu diễn hai hệ thống dạy học tương tự chương trình Pháp phép biểu diễn phẳng đối tượng hình học khơng gian thực phép chiếu song song Thực nghiệm Parzysz đốn 5.1 Mục đích Trong luận án mình, Parzysz mơ tả thực nghiệm việc đọc hình vẽ biểu diễn đối tượng không gian học sinh trung học phổ thông để biết học sinh diễn giải vị trí tương đối đối tượng hình học gồm mặt phẳng, đường thẳng điểm không gian số hình vẽ biểu diễn liên quan số tình thơng thường hình học khơng gian Vì thế, chúng tơi rút quy tắc diễn giải hình thành đốn liên quan quy tắc diễn giải khác mà muốn kiểm chứng Mặt khác, thực nghiệm Parzysz làm rõ ảnh hưởng quy ước hình vẽ nguyên mẫu việc đọc hình vẽ biểu diễn học sinh mà khơng tính đến biến dạy học “khối đa diện”, cụ thể hình vẽ biểu diễn khối đa diện thông thường Chúng nghĩ 2.3 Quy tắc Để vẽ hình biểu diễn đối tượng hình học khơng gian, người ta dựa vào quy tắc sau: - Hình biểu diễn đường thẳng đường thẳng, đoạn thẳng đoạn thẳng - Hình biểu diễn hai đường thẳng song song hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt - Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc điểm đường thẳng - Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất [4, tr 45] Phân tích Sách giáo khoa Hình học 11 cho thấy có nhập nhằng quy ước quy tắc phép chiếu song song Hơn nữa, có số quy tắc quy ước phát biểu tường minh hầu hết sử dụng quy ước kiểu biểu diễn để minh họa tính chất tương giao không gian cụ thể mở rộng miền hoạt động hình vẽ biểu diễn mơ hình đối tượng hình học khơng gian Giả thuyết nghiên cứu Xuất phát từ lợi ích quy ước kiểu biểu diễn sử dụng dạy học hình học khơng gian cho phép mở rộng miền hoạt động hình vẽ biểu diễn mà việc sử dụng chúng bị ảnh hưởng Chúng tơi hình thành giả thuyết nghiên cứu tồn số hệ quan niệm học sinh dẫn đến phát triển số diễn giải bất hợp lý đọc hình vẽ biểu diễn: Các quy ước biểu diễn phép chiếu song song trở thành quy tắc diễn giải hình vẽ biểu diễn đối tượng hình học khơng gian học sinh Thực nghiệm nhằm hợp thức hóa giả 38 NGUYỄN ÁI QUỐC biến dạy học quan trọng việc đọc hình vẽ biểu diễn khơng gian học sinh trung học phổ thơng Việt Nam bắt đầu nghiên cứu khối đa diện lớp 11 mà hình hộp đối tượng thường xuất toán liên quan khảo sát vị trí tương đối quan hệ song song đối tượng hình học điểm, đường thẳng mặt phẳng 5.2 Kết 5.2.1 Sự phân hoạch khơng gian Cho hình bình hành biểu diễn mặt phẳng (P), đoạn thẳng biểu diễn đường thẳng Diễn giải “bên – mặt phẳng” Một điểm biểu diễn nằm bên hình bình hành diễn giải điểm thuộc mặt phẳng (P) Diễn giải “bên – mặt phẳng” Một điểm biểu diễn bên ngồi hình bình hành diễn giải điểm không thuộc mặt phẳng (P) Hơn nữa, học sinh có xu hướng mở rộng mặt phẳng, suy nghĩ mình, theo phương nằm ngang nhiều so với phương thẳng đứng (H 15) Do đó, miền xem phần mặt phẳng hai miền Hình 15 Từ đó, chúng tơi dự đốn có phân hoạch liên quan đến hai miền mà chúng tơi hình thành đốn 1: “ở / dưới” sau: Một điểm thuộc miền diễn giải nằm mặt phẳng điểm thuộc miền diễn giải nằm mặt phẳng 5.2.2 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Diễn giải “đường thẳng - - mặt phẳng” Một đoạn thẳng nằm bên hình bình hành diễn giải đường thẳng nằm mặt phẳng (P) (H 16) Trong phần này, không rút quy tắc diễn giải mà xây dựng số đoán sau: Phỏng đoán 2: “đường thẳng – song song – mặt phẳng” - Một đoạn thẳng song song với đoạn thẳng biểu diễn bên hình bình hành diễn giải đường thẳng song song mặt phẳng (P) (H 17) - Một đoạn thẳng song song với cạnh hình bình hành diễn giải đường thẳng song song mặt phẳng (P) (H 18) 39 M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN… Hình 16 Hình 17 Phỏng đốn 3: “đường thẳng – bên – mặt phẳng” Sự thiếu vắng nét đứt đoạn biểu diễn đường thẳng nằm ngồi hình bình hành dẫn đến đường thẳng không cắt mặt phẳng (P) (H 19) Phỏng đốn 4: “đường thẳng – cắt – Hình 18 mặt phẳng” Nếu đoạn thẳng biểu diễn cho đường thẳng có đầu mút nằm bên hình bình hành đầu mút nằm bên ngồi hình bình hành đường thẳng xem cắt mặt phẳng (P) (H 20) Hình 19 Hình 20 5.2.3 Vị trí tương đối hai đường thẳng Diễn giải “đường thẳng – song song – đường thẳng” Nếu hai đường thẳng, biểu diễn cho hai đường thẳng, song song với hai đường thẳng song song (H 21) Các kết thực nghiệm Parzysz chứng tỏ học sinh xem hai đường thẳng có biểu diễn đoạn thẳng cắt nhau, mà khơng giao điểm, hai đường thẳng không song song không cắt (H 22) Trong sách giáo khoa Hình học 11 VN, hai đường thẳng cắt biểu diễn hai đoạn thẳng cắt nằm mặt phẳng với giao điểm Từ đó, chúng tơi hình thành đốn 5: “đường thẳng - cắt - đường thẳng” sau: Nếu hai đoạn thẳng, biểu diễn cho hai đường thẳng, nằm mặt phẳng cắt điểm hai đường thẳng cắt Hình 21 Hình 22 40 NGUYỄN ÁI QUỐC Thực nghiệm 6.1 Mục đích Thực nghiệm nhằm kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu diễn giải học sinh đọc hình vẽ biểu diễn đối tượng hình học khơng gian có nguồn gốc từ quy ước kiểu biểu diễn sử dụng dạy học Giả thuyết quy ước biểu diễn mối quan hệ tương giao trình bày tường minh sách giáo khoa hay giáo viên sử dụng việc đọc hình vẽ biểu diễn 6.2 Hình thức Chúng tơi đặt cho học sinh câu hỏi em phải trả lời câu hỏi mối quan hệ tương giao thành phần điểm, đường thẳng mặt phẳng xuất phát từ hình vẽ biểu diễn Học sinh phải chọn câu trả lời: “có”, “khơng” “em khơng biết cả” Mỗi câu trả lời phải chứng minh phép diễn giải tốt câu trả lời học sinh Thực nghiệm tiến hành em học sinh lớp 11 lớp thuộc ba trường THPT Trần Khai Nguyên, THPT Trần Hữu Trang THPT Hùng Vương Thành phố Hồ Chí Minh, sau em học xong chương II “Đường thẳng mặt phẳng không gian Quan hệ song song” mơn Hình học Thời gian làm em 90 phút Số học sinh tham gia 206 Thực nghiệm tiến hành vào tháng 12 năm 2016 Chúng tơi chọn thực nghiệm với lớp 11 hai lý sau: - Vị trí tương đối đối tượng hình học khơng gian điểm, đường thẳng, mặt phẳng học - Phép chiếu song song hình vẽ biểu diễn đối tượng hình học khơng gian hình chóp, lăng trụ, hình hộp, hình lập phương học Bộ câu hỏi thực nghiệm bao gồm 11 tập: hai tập liên quan đến khảo sát vị trí tương đối ba điểm; bảy tập 3, 4, 5, 6, 7, 8, liên quan đến nghiên cứu vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng, nhóm tập số 6, 7, 8, có đối tượng nghiên cứu hình hộp; hai tập liên quan đến nghiên cứu vị trí tương đối hai đường thẳng 6.3 Phân tích tiên nghiệm Bài tốn nghiên cứu vị trí tương đối ba điểm Bài toán Các điểm I, J, K có nằm mặt phẳng khơng? Chứng minh Bài tốn Các điểm A, B, C có nằm mặt phẳng không? Chứng minh 41 M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN… biểu diễn cho Các câu trả lời thể diễn giải phân hoạch khơng gian « bên – mặt phẳng » Chúng tơi ký hiệu nhóm câu trả lời « Pg » Biến dạy học « khối đa diện» củng cố diễn giải thuận lợi cho câu trả lời thuộc nhóm « Pg » Do đó, có nhiều câu trả lời dạng « Pg » cho toán toán Bài tốn nghiên cứu vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Ở phân biệt hai biến dạy học cho việc chọn tập: tính chất đối tượng nghiên cứu diễn giải vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Trong hai toán này, chúng tơi trình bày ba điểm khơng thẳng hàng Câu hỏi đặt liệu chúng có thuộc mặt phẳng hay không Hai biến dạy học chọn: - Tính chất đối tượng nghiên cứu: có khối đa diện hay khơng - Có hay khơng nằm bên đa giác Câu trả lời “có” Trong trường hợp này, việc chứng minh mong đợi học sinh sử dụng tính chất hình học cho xác định mặt phẳng ba điểm không thẳng hàng Chúng ký hiệu tập hợp trả lời dạng « P » Một số câu trả lời biểu đạt mặt phẳng thu gọn thành đa giác Bài toán Đường thẳng d có cắt mặt phẳng (P) khơng? Chứng minh Bài tốn Đường thẳng (AB) có cắt mặt phẳng (P) khơng? Chứng minh Trong tốn 3, chúng tơi biểu diễn đường thẳng d đoạn thẳng có điểm mút nằm bên ngồi hình bình hành biểu diễn cho mặt phẳng (P), đầu mút thứ hai nằm bên hình bình hành Chúng tơi giả thuyết câu trả lời: “Có, điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng” chiếm đa số Câu trả lời biểu lộ việc sử dụng quy tắc diễn giải “đường thẳng - cắt - mặt phẳng” Trong tốn 4, đường thẳng khơng biểu diễn đoạn thẳng xác định hai điểm A B biểu diễn hình vẽ cho A “nằm phía trên” hình bình hành B “nằm phía dưới” Bài tốn Đường thẳng d có song song với mặt phẳng (P) khơng? Chứng minh hình bình hành Chúng tơi giả thuyết khơng có câu trả lời “khơng” Trong tốn 5, đoạn thẳng biểu diễn đường thẳng song song với cạnh hình bình hành Việc lựa chọn cạnh theo phương nằm ngang để củng cố câu trả lời “có” Thơng qua câu trả lời học sinh, kiểm tra đoán liên quan đến quy tắc diễn giải “đường thẳng - song song - mặt phẳng” Chúng thiết kế tập số 6, 7, với việc biểu diễn hình hộp đoạn thẳng biểu diễn cho đường thẳng Chúng lựa chọn hình hộp học 42 NGUYỄN ÁI QUỐC sinh tiếp cận hình hộp từ cấp trung học sở tiếp tục nghiên cứu hình hộp lớp 11 12 Việc lựa chọn hình hộp để nghiên cứu toán tương giao với diện mặt song song cạnh song song Điều cho phép chúng tơi xem học sinh có ưu tiên cho mặt phẳng thẳng đứng hay nằm ngang hay khơng Bài tốn Đường thẳng d có song song với mặt phẳng (ABB’A’) không? Chứng minh Bài tốn Đường thẳng d có nằm mặt phẳng (BCC’B’) khơng? Chứng minh Bài tốn Đường thẳng d có nằm mặt phẳng (BCC’B’) khơng? Chứng minh Bài Đường thẳng d có nằm mặt phẳng (BCC’B’) không? Chứng minh Trong phần này, chọn hai biến dạy học: dạng câu hỏi phân hoạch miền không gian khối hộp Câu hỏi gồm hai dạng: nằm mặt phẳng hay song song với mặt phẳng Các mặt phẳng xác định mặt hình hộp Sự phân hoạch miền khơng gian hình hộp: mang khía cạnh văn hóa Chẳng hạn, hình 23, tùy theo người, đường thẳng d xem nằm mặt phẳng (A’B’C’D’), hay nằm “phía trên” hình hộp Hình 23 43 M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN… hay khơng Chúng tơi thay đổi vị trí đoạn thẳng biểu diễn đường thẳng so với hình hộp Biến dạy học phân hoạch miền khơng gian hình hộp Chúng giả thuyết tập số 7, phần lớn câu trả lời “có” theo quy tắc diễn giải “đường thẳng – – mặt phẳng”, tập câu trả lời chiếm đa số “không” Bài tốn nghiên cứu vị trí tương đối hai đường thẳng Trong tốn 6, chúng tơi cố gắng xem biến “hình hộp” ảnh hưởng lên kiểu chứng minh đến mức Chúng giả thuyết câu trả lời chiếm đa số “Khơng, d khơng song song với đường thẳng mặt phẳng (BCC’B’) Đó hệ quy tắc diễn giải “đường thẳng – song song – mặt phẳng” Trong ba toán 7, 9, câu hỏi liệu đường thẳng d có nằm mặt phẳng xác định mặt trước hình hộp Bài tốn 10 Hai đường thẳng d d’ Bài toán 11 Cho d đường thẳng nằm có cắt không? Chứng minh mặt phẳng (SAB) d’ đường thẳng nằm mặt phẳng (SCD) Hai đường thẳng d d’ có cắt khơng? Chứng minh hình thực hình vẽ Bằng cách kéo dài đoạn thẳng biểu diễn hai đường thẳng d d’, học sinh tìm thấy tình với tốn 10 Chúng tơi quan tâm đến câu trả lời “không” em học sinh toán 10 cách chứng minh đường thẳng khơng cắt khơng có đánh dấu chấm giao chúng 6.4 Thu thập liệu Chúng tiến hành thực nghiệm câu hỏi 206 học sinh lớp 11 ba trường THPT Giáo viên không trả lời câu hỏi học sinh liên quan đến hình vẽ khơng giải thích nhiệm vụ trả lời câu hỏi em Tên Trong tốn 10, chúng tơi muốn kiểm chứng đoán liên quan đến quy tắc diễn giải “đường thẳng – cắt – đường thẳng” Hai đường thẳng biểu diễn hai đoạn thẳng cắt Trong toán 11, hai đường thẳng d d’ biểu diễn hai đoạn thẳng nằm bên hai tam giác SAB SCD hình chóp S.ABCD Khơng tốn khác, tốn chúng tơi số mối quan hệ đối tượng hình học Những liệu cho phép định mức độ hình vẽ đường thẳng có cắt hay khơng Đây kiểu tình mời học sinh giải tốn hình học khơng gian mà việc dựng 44 NGUYỄN ÁI QUỐC họ học sinh ghi làm mã hóa số tự nhiên Để thống kê kết quả, chúng tơi mã hóa câu trả lời “Có” “C”, “Khơng” “K” “Em khơng biết cả” “KB” 6.5 Phân tích hậu nghiệm 6.5.1 Bài tốn nghiên cứu vị trí tương đối ba điểm Bảng 1: Chính hai tốn có kết thực nghiệm trình bày bảng Bài toán Kiểu trả lời C K KB C K KB Số lượng Phần trăm 116 56,3 20 9,7 70 34 138 67 36 17,5 32 15,5 Kết thống kê cho thấy có gia tăng câu trả lời hai toán Hơn nửa số học sinh huy động tính chất “ba điểm khơng thẳng hàng xác định mặt phẳng” độc lập với tính chất đối tượng nghiên cứu Tuy nhiên, số câu trả lời “P” tập nhiều tập Hầu hết câu trả lời “P” toán (100 câu) kiểu với câu trả lời tốn (112 câu), có đến 34 câu trả lời kiểu “Pg” (34%) toán 22 câu trả lời kiểu (19,6%) toán Điều khẳng định tầm quan trọng biến dạy học “tính chất đối tượng” cụ thể hơn, học sinh bị hạn chế với mặt phẳng trình bày trường hợp đối tượng nghiên cứu khối đa diện thường xuyên trường hợp khác 6.5.2 Bài toán nghiên cứu vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Trường hợp đối tượng nghiên cứu khơng phải hình hộp Bảng 2: Chính ba tốn 3, có kết thực nghiệm trình bày bảng Bài toán Kiểu trả lời C K KB C K KB C K KB Số lượng Phần trăm 36 17,5 3,9 162 78,6 80 38,8 2,9 120 58,3 142 68,9 0 64 31,1 Tám học sinh trả lời “K” mà không chứng minh câu trả lời thiếu vắng nét đứt đoạn Trong 36 câu trả lời “C”, có chứng minh đề cập đến quy tắc diễn giải “đường thẳng – cắt – mặt phẳng” 14 sử dụng Trong tốn 3, có gần 80% câu trả lời kiểu “KB”, học sinh sử dụng số quy tắc ngầm ẩn hình vẽ biểu diễn: “Thiếu dấu nét đứt đoạn”, “Cần kéo dài đoạn thẳng để xem”, “Cần làm rõ giao điểm” 45 M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN… phần kết hình học: đường thẳng song song cắt mặt phẳng, chứng minh đường thẳng d không song mặt phẳng (P) cách sử dụng quy tắc diễn giải “đường thẳng – song song – mặt phẳng” (phỏng đoán 2) Trong toán 4, phần lớn chứng minh cho câu trả lời kiểu “C” là: “Có, A B nằm hai phía mặt phẳng (P)” Một số học sinh cho “A nằm phía (P) B nằm bên (P)” Các chứng minh phần quy tắc diễn giải “ở / dưới” (phỏng đoán 1) “Có, đường thẳng AB khơng song song với (P)” Chúng nghĩ học sinh đưa chứng minh đường thẳng AB khơng song song với cạnh hình bình hành (quy tắc diễn giải “đường thẳng – song song – mặt phẳng”) Các chứng minh “Vì A B nằm hai phía mặt phẳng (P)”, “Vì đường thẳng AB xun qua (P)” “Nếu ta mở rộng mặt phẳng (P) ra”… “thì đường thẳng cắt mặt phẳng” hệ phân hoạch mặt phẳng “ở / dưới” Trong toán 5, câu trả lời “C” chiếm đa số thuộc kiểu “Có, đường thẳng song song với đường thẳng mặt phẳng” (chiếm 40%) hay “Có, đường thẳng d khơng cắt mặt phẳng (P)” (chiếm 15%) Trường hợp đối tượng nghiên cứu hình hộp Bảng 3: Chính bốn tốn 6, 7, có kết trình bày bảng Bài toán Kiểu trả lời C K Số lượng Phần trăm 134 0,9 65,1 KB 70 34 C K KB C K KB C K KB 46 10 150 24 32 150 20 22,3 4,9 72,8 11,7 15,5 72,8 9,7 16 7,8 170 82,5 khơng song song với mặt phẳng Trong ba toán 7, 9, câu trả lời kiểu “KB” chiếm tỉ lệ phần trăm cao, có 30% câu trả lời Một loại chứng minh khác cho câu trả lời “KB” (chiếmj 30%) dựa thực tế “đường thẳng d song song với mặt phẳng (ABCD) hay nằm mặt phẳng này” Sự thiếu vắng đánh dấu giao điểm hay nét đứt đoạn cho phép học sinh (khoảng 10%) kết luận giao hai đườnh thẳng hay đường thẳng mặt phẳng 6.5.3 Bài tốn nghiên cứu vị trí tương đối hai đường thẳng Trong toán 6, đa số câu trả lời trùng với mong đợi chúng tôi, nghĩa trả lời “K” Trong số đó, có 50 học sinh chứng minh với luận chứng liên quan đến hiển nhiên mặt nhận thức: “Khơng, cho thấy rõ” Có 64 học sinh chứng minh với luận chứng “Khơng, d khơng song song với đường thẳng mặt phẳng” hay “Không, đường thẳng d khơng song song với đường thẳng AC” Các câu trả lời hệ quy tắc diễn giải “đường thẳng – song song – mặt phẳng” Cụ thể hơn, học sinh sử dụng kết đường thẳng không song song với đường thẳng mặt phẳng 46 NGUYỄN ÁI QUỐC Bảng 4: Các kết liên quan đến hai toán 10 11 trình bày bảng Bài tốn Kiểu trả lời Số lượng Phần trăm 10 C K 11 KB C K KB 40 136 30 134 18 54 19,4 66 14,6 65,1 8,7 26,2 Câu trả lời chiếm đa số toán 10 “K”và toán 11 “C” Trong câu trả lời “K” tốn 10, có 31 học sinh chứng minh “vì chúng khơng chứa hình bình hành” có 37 học sinh chứng minh “vì chúng khơng có giao điểm chung hình vẽ” Trong 18 câu trả lời “K” tốn 11, có học sinh chứng minh “d d’ không cắt giao điểm chúng với giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SCD) hai điểm phân biệt” Các chứng minh khác cho câu trả lời “K” “d d’ không nằm mặt phẳng” hay “các mặt phẳng không cắt nhau” Các chứng minh cho câu trả lời “C” chủ yếu là: - “d d’ cắt chúng nằm hai mặt phẳng cắt nhau” (49%) - “Bằng cách kéo dài hai đường thẳng, ta thấy chúng cắt nhau” (7%) Các chứng minh cho câu trả lời “KB” chủ yếu là: - “bài toán cho thiếu kiện” (38%) - “Cần phải biết d d’ có đồng phẳng hay không?” (10%) 6.6 Tổng hợp kết thực nghiệm Phân tích cho thấy chứng minh dựa hiển nhiên mặt nhận thức chiếm số lượng nhỏ Hầu hết chứng minh sử dụng tính chất hình học Ràng buộc “Chứng minh” cho phép làm rõ quy tắc diễn giải Học sinh sử dụng theo cách liên hợp quy tắc diễn giải với định lý hình học khơng gian để chứng minh cho trả lời câu hỏi Cần lưu ý định lý không mâu thuẫn với quy tắc diễn giải quy tắc diễn giải minh họa định lý Chúng ta suy khơng tồn mâu thuẫn kiến thức hình học việc đọc hình vẽ biểu diễn Điều củng cố việc sử dụng quy tắc diễn giải Khái niệm đồng phẳng đóng vai trị quan trọng toán tương giao hai đường thẳng khơng gian tốn 10 11 Đặc biệt tốn 11, hình vẽ thơng tin sử dụng phương tiện kiểm soát khác dựa quy tắc phép chiếu song song Thực vậy, tốn thực nghiệm mà trả lời hình vẽ biểu diễn cách sử dụng quy tắc “nếu giao điểm d với giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SCD) trùng với giao điểm d’ với hai đường thẳng d d’ cắt nhau” Quy tắc không phát biểu tường minh Sách giáo khoa, cần thiết phải chứng minh 6.6.1 Phân hoạch không gian Quy tắc diễn giải “bên – mặt phẳng” “bên – mặt phẳng” 47 M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN… Parzysz kiểm chứng Chúng ta lưu ý quy tắc diễn giải “bên – mặt phẳng” học sinh huy động toán Trong toán 4, học sinh sử dụng số chứng minh cho thấy hai miền “ở trên” “ở dưới” mặt phẳng Điều cho phép hợp thức hóa đốn “ở / dưới” 6.6.2 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Quy tắc diễn giải “đường thẳng – – mặt phẳng” Parzysz kiểm chứng Quy tắc diễn giải “đường thẳng – song song – mặt phẳng” thực nghiệm kiểm chứng Quy tắc cho phép chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng song song với đoạn thẳng mặt phẳng, để chứng minh đường thẳng không song song với mặt phẳng hình vẽ khơng song song với đoạn thẳng mặt phẳng Quy tắc diễn giải “đường thẳng – – mặt phẳng” kiểm chứng trường hợp có khối đa diện 6.6.3 Vị trí tương đối hai đường thẳng Quy tắc diễn giải “đường thẳng – song song – đường thẳng” Parzysz kiểm chứng Phân tích chứng minh toán 10 làm lộ rõ việc sử dụng quy tắc diễn giải “đường thẳng – cắt – đường thẳng” Riêng 11, việc phân tích kết cho thấy tồn định lý hành động học sinh: Nếu hai đường thẳng chứa Ngày nhận bài: 07/8/2017 hai mặt phẳng cắt nhau, chúng cắt Kết luận Các quy ước biểu diễn chấp nhận giảng dạy có chức minh họa tình khơng gian mở rộng miền hoạt động hình vẽ biểu diễn Các quy ước trở thành quy tắc diễn giải học sinh việc đọc hình vẽ biểu diễn Điều cho phép hợp thức hóa giả thuyết nghiên cứu quy ước: Các quy ước biểu diễn phép chiếu song song trở thành quy tắc diễn giải hình vẽ biểu diễn đối tượng hình học khơng gian học sinh Tồn định lý hành động học sinh liên quan đến cắt hai mặt phẳng: Nếu hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng cắt chúng cắt TÀI LIỆU THAM KHẢO Bkouche R., Soufflet M (1983), Axiomatique, formalism, théorie, Bulletin Inter-Irem « Enseignement de la géometrie » (23) – 24 Parzysz B (1989), Représentations planes et enseignement de la géometrie de l’espace au lycee, Contribution l’étude de la relation voir/savoir, Thèse Paris: Université Paris-7 Phan Đức Chính, Tơn Thân, Nguyễn Huy Đoan, Lê Văn Hồng, Trương Công Thành, Nguyễn Hữu Thảo (2007), Toán 8, Tập Hai, Nxb Giáo dục Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện (2007), Hình học 11, Nxb Giáo dục Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện (2007), Sách Giáo viên Hình học 11, Nxb Giáo dục Biên tập xong: 15/9/2017 48 Duyệt đăng: 20/9/2017 ... khơng gian hình vẽ biểu diễn miền diễn giải tập hợp tính chất khơng gian hình vẽ biểu diễn khơng thể diễn giải liên quan đến tính chất đối tượng Sự biểu diễn đối tượng hình học khơng gian, khơng gian. .. kiểu biểu diễn đối tượng hình học khơng gian trang giấy tập mà gọi chung mã để giúp cho việc viết đọc hình biểu diễn Vấn đề đặt quy ước biểu diễn tác động việc đọc hình vẽ biểu diễn đối tượng hình. .. đích Trong luận án mình, Parzysz mơ tả thực nghiệm việc đọc hình vẽ biểu diễn đối tượng không gian học sinh trung học phổ thông để biết học sinh diễn giải vị trí tương đối đối tượng hình học gồm