Bài viết Nén tổng đa mode bậc cao Hillery từ hệ có ngõ vào là các đơn Mode kết hợp, đơn Mode kết hợp thêm Photon và đơn Mode nén trình bày: Các phương trình chuyển động Heisenberg của các toán tử sinh hủy hạt photon được thiết lập. Thông qua việc giải hệ phương trình này với phép gần đúng bậc hai theo thời gian bé và tính phương sai biên độ trực giao bậc cao,... Mời các bạn cùng tham khảo.
NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY TỪ HỆ CÓ NGÕ VÀO LÀ CÁC ĐƠN MODE KẾT HỢP, ĐƠN MODE KẾT HỢP THÊM PHOTON VÀ ĐƠN MODE NÉN VÕ TÌNH Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế NGUYỄN ANH BĂNG Trường THPT Thanh Tuyền, Bình Dương Tóm tắt: Từ Hamiltonian hệ tương tác gồm photon nguyên tử môi trường phi tuyến, phương trình chuyển động Heisenberg tốn tử sinh hủy hạt photon thiết lập Thông qua việc giải hệ phương trình với phép gần bậc hai theo thời gian bé tính phương sai biên độ trực giao bậc cao, mối liên hệ nén tổng biên độ trực giao đa mode bậc cao Hillery từ photon ngõ vào với nén biên độ trực giao bậc cao Hillery photon có tần số tổng ngõ hình thành Cũng báo này, điều kiện nén tổng đa mode bậc cao Hillery tổng quát rút từ nén tổng đa mode bậc cao Hillery khảo sát với photon trạng thái kết hợp, nén kết hợp kết hợp thêm photon GIỚI THIỆU Nén tổng nén hiệu đa mode tổng quát bậc khảo sát tác giả Nguyễn Bá Ân Võ Tình [5], [6], [7] Tiếp theo tác giả Võ Tình Phạm Thị Hạnh Thảo khảo sát nén tổng đa mode bậc cao từ hệ đơn mode kết hợp đơn mode nén [3] Các kết nghiên cứu cho thấy chất học lượng tử ánh sáng bộc lộ trực tiếp thông qua trạng thái nén đa mode bậc cao Việc nghiên cứu photon nén có tần số tổng tần số photon ban đầu trạng thái kết hợp, trạng thái phi cổ điển môi trường phi tuyến khơng có ý nghĩa quan trọng lĩnh vực cơng nghệ mà có đóng góp lớn lĩnh vực khoa học bản, mở rộng tầm hiểu biết người sâu chất trường điện từ tương tác với vật chất Bài báo trình bày khảo sát mở rộng cơng trình [3] với trạng thái ngõ vào đơn mode kết hợp, đơn mode kết hợp thêm photon đơn mode nén Tạp chí Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 03(23)/2012: tr 21-29 22 VÕ TÌNH - NGUYỄN ANH BĂNG NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY Nén tổng đa mode bậc cao Hillery tổng quát nghiên cứu [3] Nội dung nén tổng đa mode bậc cao Hillery tóm tắt sau: Xét q trình vật lý xảy mơi trường phi tuyến, N photon với tần số ω1 , ω2 , ω3 , , ωN kết hợp với để tạo thành photon có tần số tổng ΩS = ω1 + ω2 + ω3 + + ωN Hamiltonian ứng với sinh tần số tổng có dạng [2] ˆS = H N ∑ ωj n ˆ j + ΩS n ˆ S + gS (ˆ c+ ˆ1 ˆ cN + h.c), Sc (1) j=1 n ˆ j = cˆ+ ˆj , n ˆ S = cˆ+ ˆS với cˆ+ ˆj cˆ+ ˆS theo thứ tự toán tử sinh, huỷ ứng j c j ,c Sc S,c với mode ωj ΩS Hằng số tương tác gS giả thiết thực Vì photon dao động miền quang học với tần số cao cỡ 1015 Hz nên thành phần biến thiên nhanh tách riêng viết cˆj (t) = Cˆj (t)e−iωj t , cˆS (t) = CˆS (t)e−iΩS t , (2) tốn tử Cˆj (t), CˆS (t) biến thiên chậm theo thời gian thơng thường gS ≪ ωj , ΩS Toán tử biên độ trực giao tần số tổng ΩS luỹ thừa k định nghĩa [ ] ˆ C ,k (φ, t) = Cˆ k (t)e−iφ + Cˆ +k (t)eiφ X S S S (3) Từ ta tính giao hốn tử ] ˆ C ,k (φ, t), X ˆ C ,k (φ + π , t) = i FˆC (k, t), (4) X S S 2 S [ ] FˆCS (k, t) = CˆSk (t), CˆS+k (t) Điều kiện để có nén biên độ luỹ thừa k kiểu Hillery [ theo phương φ V XCS ,k (φ, t) < |⟨FˆCS (k, t)⟩| (5) ˆ S,k (φ, t) định nghĩa sau Toán tử ′′ tập thể′′ lũy thừa k Q ˆ S,k (φ, t) ≡ Cˆ k−1 (t) Q S N ∏ j=1 +(k−1) Cˆj (t)e−iφ + CˆS (t) N ∏ Cˆj+ (t)eiφ (6) j=1 Từ ta tính giao hoán [ ( )] ˆ S,k (φ, t), Q ˆ S,k φ + π , t = i FˆS (k, N, t), Q 2 (7) NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY TỪ HỆ CÓ NGÕ VÀO 23 +(k−1) FˆS (k, N, t) = CˆSk−1 (t)CˆS (t)FˆS (N, t) + FˆCS (k − 1, t) N ∏ n ˆ j (t) (8) j=1 Trạng thái ′′ tập thể′′ mode ωj gọi nén tổng đa mode bậc cao Hillery theo hướng φ V QS,k (φ, t) thỏa mãn điều kiện V QS,k (φ, t) − |⟨FˆS (k, N, t)⟩| < 0, (9) phương sai ⟨ ⟩ ⟨ ⟩2 ˆ (φ, t) − Q ˆ S,k (φ, t) V QS,k (φ, t) = Q S,k (10) Mối liên hệ nén Hillery đơn mode có tần số tổng với nén tổng đa mode bậc cao Hillery rút cách dùng Hamiltonian (1) để thiết lập phương trình chuyển động cho tốn tử cần quan tâm, hệ phương trình thu có dạng dCˆj (t) ˙ Cˆj (t) ≡ = −igS dt N ∏ Cˆk+ (t)CˆS (t), (11) k=1,k̸=j N ∏ dCˆj (t) ˙ Cˆk (t) = −igS CˆS (t) ≡ dt (12) k=1 Lấy đạo hàm (12) theo thời gian lần vận dụng (12) vào kết tính đạo hàm cho ta kt qu ă CS (t) = gS2 CS (t)FˆS (N, t) (13) Trong phép gần thời gian ngắn, phụ thuộc thời gian nghiệm CˆS (t) dạng khai triển Taylor đến bậc hai có dạng (quy ước CˆS (0) = CˆS , ) CˆS (t) = CˆS − igS t N ∏ j=1 Cˆj − gS2 t2 CˆS FˆS (N ) (14) Với điều kiện bỏ qua số hạng bậc hai trở lên thời gian thời điểm ban đầu mode không tương quan với ta viết ( CˆSk (t) = ) N ∏ k 2ˆ k−1 k ˆ ˆ Cˆj , − gS t FS (N ) CS − ikgS tCS (15) ) N ∏ k 2ˆ +(k−1) +k ˆ ˆ − gS t FS (N ) CS + ikgS tCS Cˆj+ (16) j=1 ( CˆS+k (t) = j=1 24 VÕ TÌNH - NGUYỄN ANH BĂNG Khi mối liên hệ nén Hillery đơn mode tần số tổng với nén tổng đa mode bậc cao Hillery thiết lập V ≡ V XCS ,k (φ, t)− ⟩ ⟨ˆ FCS (k, t) [ ( ⟩] π) ⟨ ˆ = k gS2 t2 V QS,k φ + − FS (k, N, t) (17) Phương trình (17) cho thấy mối liên hệ chặt chẽ nén đơn mode Hillery có tần số tổng thời điểm t > với nén tổng đa mode bậc cao Hillery thời điểm t = Theo khơng có nén tổng đa mode bậc cao Hillery không tồn nén đơn mode Hillery mode cˆS Qua tính tốn ta biểu thức điều kiện nén tổng đa mode bậc cao Hillery: { 2(k−1) V =2Re e−2iφ αS [ + |αS |2(k−1) N ⟨ ∏ ⟩ Cˆj2 − j=1 N ∏ ⟨ˆ nj ⟩ − j=1 N ⟨ ∏ Cˆj ⟩2 j=1 N ⟨ ∏ Cˆj+ ⟩⟨ Cˆj ⟩ } ] (18) < j=1 Dựa vào (18) ta khảo sát nén tổng đa mode bậc cao với hệ đặc biệt Nếu V < hệ có nén tổng Còn khơng, hệ khơng nén tổng NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY TỪ HỆ CÓ NGÕ VÀO LÀ CÁC ĐƠN MODE KẾT HỢP, ĐƠN MODE KẾT HỢP THÊM PHOTON VÀ ĐƠN MODE NÉN a) Trường hợp tất mode trạng thái kết hợp thêm photon Một mode kết hợp thêm photon mô tả số phức αp = rp eiϑp số nguyên m Theo véc tơ trạng thái kết hợp thêm photon xác định |αp , m⟩ = a ˆ+m |αp ⟩ , [m!Lm (−|αp |2 )]1/2 (19) với Lm (x) = m ∑ n=0 (−x)n m! (n!)2 (m − n)! đa thức Laguerre bậc m (m số nguyên dương) theo x Sử dụng véctơ trạng thái kết hợp thêm photon ta tính số giá trị trung bình trạng thái sau: 25 NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY TỪ HỆ CÓ NGÕ VÀO m ∑ m ∑ Li (− | αp |2 ) ⟨Cˆp+ ⟩ = αp∗ i=0 , Lm (− | αp |2 ) m ∑ (m + − i)Li (− | αp |2 ) ⟨Cˆp2 ⟩ = αp2 i=0 , Lm (− | αp |2 ) Li (− | αp |2 ) ⟨Cˆp ⟩ = αp i=0 , Lm (− | αp |2 ) ⟨ˆ np ⟩ = (20) (m + 1)Lm+1 (− | αp |2 ) − Lm (− | αp |2 ) Xét trường hợp mode kết hợp thêm photon giống αp = rp eiϑp tham số kết hợp αS = rS eiϑS Thay (20) vào (18) ta { [ ( )] 2(k−1) V1 = 2rS rp2N cos − φ + (k − 1)ϑS + N ϑp [( m ∑ (m + − i)Li (−rp2 ) )N i=0 × + (m + 1)Lm+1 (−rp2 ) Lm (−rp2 ) Lm (−rp2 ) )N −1 Li (−rp2 ) )2N ] i=0 − Lm (−rp2 ) ( ( m ∑ ( m ∑ Li (−rp2 ) )2N } i=0 − rp2N Lm (−rp2 ) (21) Kết khảo sát hình cho thấy k tăng chu kỳ nén theo ϑS giảm, hay nói cách khác xác suất có nén tăng lên b a V1 1 rp rp 1 S 10 5 V1 S −5 Hình 1: Đồ thị hàm V1 × 10 khảo sát theo ϑS rp với ϑp = 0; φ = 0; N = 5; m = 1; rS = Hình (a) k = Hình (b) k = b) Trường hợp có L mode trạng thái kết hợp thêm photon mode lại trạng thái kết hợp Một mode kết hợp mô tả số phức αq = rq exp{iϑq }, q = 1, 2, , N Theo véc tơ trạng thái kết hợp xác định ( ) ⟩ ( ) ⟩ |αq = exp − |αq | exp αq a ˆ+ |0 (22) 26 VÕ TÌNH - NGUYỄN ANH BĂNG Sử dụng véctơ trạng thái kết hợp ta tính số giá trị trung bình trạng thái sau: ⟨Cˆq+ ⟩ = αq∗ , ⟨Cˆq ⟩ = αq , ⟨Cˆq2 ⟩ = αq2 , ⟨ˆ nq ⟩ = |αq |2 (23) Xét trường hợp mode kết hợp thêm photon giống αp = rp eiϑp , mode kết hợp giống αq = rq eiϑq tham số kết hợp αS = rS eiϑS Thay (20) (23) vào (18) ta { [ ( )] 2(k−1) 2(N −L) V2 = 2rS rq rp2L cos − φ + (k − 1)ϑS + Lϑp + (N − L)ϑq [( m ∑ (m + − i)Li (−rp2 ) )L i=0 × + m ∑ (m + 1)Lm+1 (−rp2 ) −1 Lm (−rp2 ) Li (−rp2 ) )2L ] i=0 − Lm (−rp2 ) ( ( Lm (−rp2 ) )L ( − rp2L m ∑ Li (−rp2 ) )2L } i=0 Lm (−rp2 ) (24) Kết khảo sát hàm V2 theo rq rp hình 2a cho thấy hệ có nén tổng đa mode với giá trị rq , rp thích hợp Khảo sát nén tổng hình 2b, ta thấy với φ = mức độ nén tổng lớn nhất, φ tăng từ đến π/4 độ nén tổng giảm Khi φ = π/2 hệ khơng có nén tổng a b 1.0 0.5 1 rq V2 0.0 V2 0.5 1.0 rp 1.5 rp Hình 2: Đồ thị hàm V2 × 10−4 khảo sát trường hợp ϑp = 0; N = 5; m = 1; rS = 5; L = 3; ϑq = 0; rq = Hình (a) Khảo sát theo rq , rp , φ = Hình (b) khảo sát theo rp , rq = 1.5, φ = 0; π4 ; π2 (Các tham số chọn ba giá trị để khảo sát theo thứ tự tăng dần tương ứng với đường gạch dài, gạch ngắn liền nét) c) Trường hợp có L mode trạng thái nén kết hợp mode lại trạng thái kết hợp thêm photon Một mode nén mô tả hai số phức αj = rj exp(iϑj ) z = sexp(iχ) theo vectơ trạng thái nén kết hợp đơn mode bị nén ˆ C (αj )SˆC (z)|0⟩ |αj , z⟩ = D j j (25) NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY TỪ HỆ CÓ NGÕ VÀO 27 Sử dụng véctơ trạng thái nén kết hợp tính số giá trị trung bình trạng thái sau: ⟨Cˆj+ ⟩ = αj∗ , ⟨Cˆj2 ⟩ = αj2 − eiχ sinh2s, ⟨Cˆj ⟩ = αj , ⟨ˆ nj ⟩ = |αj |2 + sinh2 s (26) Xét trường hợp mode kết hợp thêm photon giống αp = rp eiϑp , mode nén kết hợp giống αj = rj eiϑj , tham số kết hợp αS = rs eiϑS tham số nén z = seiχ Thay (20) (26) vào (18) ta { [ [( )L 2(k−1) 2(N −L) 2i[−φ+(k−1)ϑS +(N −L)ϑp ] V3 = 2rS rp Re e rj2 e2iϑj − eiχ sinh2s ( × m ∑ (m + − i)Li (−rp2 ) )N −L i=0 Lm (−rp2 ) ( − rj2L e2iLϑj m ∑ Li (−rp2 ) )2(N −L) ]] i=0 Lm (−rp2 ) )N −L ( ( )L (m + 1)Lm+1 (−r2 ) p 2 −1 + rj + sinh s Lm (−rp2 ) ( − rp2(N −L) rj2L m ∑ Li (−rp2 ) )2(N −L) } i=0 Lm (−rp2 ) (27) Kết khảo sát hình 3a cho thấy khoảng giá trị rj khảo sát số mode trạng thái nén kết hợp L lớn mức độ nén tổng lớn với giá trị xác định rj Ta biết số mode nén kết hợp tăng số mode trạng thái kết hợp thêm photon giảm Vậy hệ mà ta xét, số mode trạng thái kết hợp thêm photon giảm độ nén lại tăng Khảo sát hình 3b cho thấy m nhận giá trị tăng dần mức độ nén tổng đạt cực đại địa phương tăng dần Như mức độ nén tổng đạt cực đại địa phương hệ lớn m nhận giá trị lớn KẾT LUẬN Như dựa vào điều kiện nén tổng đa mode bậc cao Hillery tổng quát, ta thiết lập điều kiện nén tổng đa mode cho trạng thái kết hợp thêm photon, kết hợp kết hợp thêm photon, kết hợp thêm photon nén kết hợp trường hợp cụ thể: mode không tương quan, trạng thái giống Kết khảo sát nén tổng đa mode bậc cao Hillery photon kết hợp, kết hợp thêm photon nén kết hợp ngõ vào phương pháp tính số đồ thị cho thấy nén tổng đa mode bậc cao Hillery phụ thuộc chặt chẽ vào biên độ kết hợp trạng thái kết hợp rq , biên độ nén s, biên độ nén kết hợp trạng thái kết hợp rj , biên độ kết hợp rS mode cˆS pha tương ứng 28 VÕ TÌNH - NGUYỄN ANH BĂNG b 0.05 50 0.00 100 V3 V3 a 150 0.05 0.10 200 2.0 2.5 3.0 rj 3.5 4.0 0.15 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 s Hình 3: Đồ thị hàm V3 × 10−5 khảo sát trường hợp ϑp = 0; ϑj = 0; φ = 0; χ = 0; ϑS = 0.2; N = 6; rS = 4; k = 3; rp = 1.5; s = 0.4 Hình (a) khảo sát theo rj , m =1, L = 2, 3, Hình (b) khảo sát theo s, rj = 2, L = 3, m = 1, 3, 5.(Các tham số chọn ba giá trị để khảo sát theo thứ tự tăng dần tương ứng với đường liền nét, gạch ngắn gạch dài) chúng Tuy nhiên trình khảo sát ta rút số kết cụ thể như: (i) Tham số thêm photon m lớn mức độ nén tổng đạt cực đại địa phương hệ lớn; (ii) Nén tổng đạt cực đại góc pha tốn tử tập thể φ = kπ; (iii) Biên độ kết hợp trạng thái kết hợp thêm photon rp lớn mức độ nén tổng tăng Tóm lại, qua kết khảo sát cho thấy cần ngõ vào có mode trạng thái phi cổ điển, mode lại trạng thái kết hợp ln ln có nén tổng đa mode bậc cao hay ngõ có nén tổng biên độ trực giao đơn mode tần số tổng kiểu Hillery TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Võ Tình, Phạm Diệu Quỳnh Châu(2010) Nén tổng đa mode từ hệ có ngõ vào đơn mode kết hợp thêm photon, đơn mode kết hợp đơn mode nén Tạp chí Khoa học Giáo dục Trường ĐH Sư phạm-ĐH Huế, số 02(14), tr 22-28 [2] Võ Tình (2001) Một số hiệu ứng hệ photon-exciton-biexciton bán dẫn kích thích quang, Luận án tiến sĩ Vật lý Trường ĐHSP Hà Nội [3] Võ Tình, Phạm Thị Hạnh Thảo(2010) Nén tổng đa mode bậc cao Hillery Tạp chí Khoa học Giáo dục Trường ĐH Sư phạm-ĐH Huế, số 02(14), tr 22-28 [4] Agarwal G S and Tara K (1991) Nonclassical properties of States generated by excitations on a coherent state, Phys Rev A, 43(1), pp 492-497 NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY TỪ HỆ CÓ NGÕ VÀO 29 [5] Nguyen Ba An and Vo Tinh (1999),′′ General multimode sum-squeezing′′ , Physics Letters A, 261, pp 34-39 [6] Nguyen Ba An and Vo Tinh (2000) General multimode difference-squeezing Physics Letters A, 270, pp 27-40 [7] Nguyen Ba An and Vo Tinh (2000) Multimode difference-squeezing J Phys A: Mathematics & General, 33, pp 2951-2962 [8] Hillery M (1989) Sum and Difference squeezing of the electromagnetic field, Phys Rev A, 40(8), pp 3147-3155 [9] Kumar A and Gupta S P (1997) Sum squeezing in four-wave sum frequency generation, Optics communication, 136, pp 441-446 [10] Stoler (1970-1971) Equivalence classes of minimum-uncertainty Phys rev lett D, 1, pp 37-45 Title: THE GENERAL HILLERY HIGHER-ORDER MULTIMODE SUM-SQUEEZING FROM PHOTON-ADDED COHERENT STATES, COHERENT STATES AND SQUEEZED STATES Abstract: From the Hamiltonian of an interacting system including photons and atoms in nonlinear medium, the Heisenberg equations of motion for creation (annihilation) operators are set up The relation between the Hillery higher-order multimode quadrature amplitude sum-squeezing of input photons to the Hillery high-order squeezing of output sum-frequency photon is established by solving these equations with short time approximation method and computing the photon quadrature amplitude variance Building Hillery higher-order multimode sum-squeezing condition, using Hillery higher-order multimode sum-squeezing condition to study from coherent states, squeezed states and photon-added coherent states is also presented in this paper TS VÕ TÌNH Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế ThS NGUYỄN ANH BĂNG Trường THPT Thanh Tuyền - Bình Dương ... Dựa vào (18) ta khảo sát nén tổng đa mode bậc cao với hệ đặc biệt Nếu V < hệ có nén tổng Còn khơng, hệ khơng nén tổng NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY TỪ HỆ CÓ NGÕ VÀO LÀ CÁC ĐƠN MODE KẾT HỢP, ĐƠN... hợp thêm photon, kết hợp kết hợp thêm photon, kết hợp thêm photon nén kết hợp trường hợp cụ thể: mode không tương quan, trạng thái giống Kết khảo sát nén tổng đa mode bậc cao Hillery photon kết. .. liên hệ chặt chẽ nén đơn mode Hillery có tần số tổng thời điểm t > với nén tổng đa mode bậc cao Hillery thời điểm t = Theo khơng có nén tổng đa mode bậc cao Hillery không tồn nén đơn mode Hillery