Chương này trình bày về ứng dụng lý thuyết nhóm cho mã kiểm tra chẵn lẻ. Các nội dung chính trong chương gồm có: Mã chẵn lẻ, định nghĩa (mã chẵn lẻ), ma trận chẵn lẻ, vector hiệu chỉnh, mẫu sai, nhóm (Group), nhóm và mã kiểm tra chẵn lẻ,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Chương 4: Mã sửa sai 4.2 Ứng dụng lý thuyết nhóm cho mã kiểm tra chẵn lẻ Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Mã chẵn lẻ • Mã chẵn lẻ ban đầu xây dựng đơn giản • Cho trước mã gồm từ mã n bit nhị phân Một bit chẵn lẻ thêm vào từ mã tổng số bit từ mã chẵn (hoặc lẻ) • Ví dụ mã ban đầu {00, 01, 10, 11}, mã chẵn lẻ thu {000, 011, 101, 110} • Dễ dàng thấy truyền sai e bit, với e lẻ, phát • Gọi r1, r2, …, rn bit từ mã, số bit chẵn viết r1 + r2 + … + rn = modulo Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 ðịnh nghĩa (mã chẵn lẻ) Cho hệ phương trình tuyến tính Tập nghiệm hệ gọi mã kiểm tra chẵn lẻ (hay mã nhóm) Chú ý: Các aij, ri số 0, Phép cộng, nhân theo modulo định nghĩa sau: + = + = 0; + = + = 1; 1.1 = 1; 1.0 = 0.1 = 0.0 = Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Ma trận chẵn lẻ • Ma trận A = [aij] gọi ma trận kiểm tra chẵn lẻ • Nếu A có hạng t cột j1, …, jt độc lập tuyến tính có n – t = k rj (j ≠ j1, …, jt) chọn tùy ý, ta gọi bit thơng tin • Các bit thứ j1, …, jt gọi bit kiểm tra • Mỗi cho giá trị bit thông tin ta từ mã • Bộ mã kiểm tra chẵn lẻ có 2k từ mã Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Ví dụ • Cho hệ sau • Có thể chọn r1, r2, r3 làm bit kiểm tra r4, r5, r6 làm bit thông tin • Cho r4 = 0, r5 = 1, r6 = Ta r1 = 1, r3 = 1, r2 = Và từ mã thu 111010 • Cho giá trị khác cho r4, r5, r6 ta 23 = từ mã Toàn từ mã cho bảng sau Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Bộ mã kiểm tra chẵn lẻ vd1 w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8 r1 0 1 1 0 r2 0 1 1 r3 1 0 1 r4 0 0 1 1 r5 0 1 0 1 r6 1 1 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Vector hiệu chỉnh • Giả sử dãy bit r1, r2, …, rn truyền qua kênh nhị phân đối xứng, dãy nhận r1’, r2’, …, rn’ • Ta tính • Và gọi vector cột c = (c1, c2, …, cm)T vector hiệu chỉnh ứng với dãy v = (r1’, r2’, …, rm’) • Dưới dạng ma trận c = AvT • Chú ý vT ký hiệu cho chuyển vị v Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Mẫu sai • Giả sử w = (r1, r2, …, rn) truyền dãy nhận v = (r1’, r2’, …, rn’) • Dãy z = v – w = (r1’ – r1, r2’ – r2, …, rn’ – rn) gọi mẫu sai w v • Vector hiệu chỉnh v c = A(zT + wT) = AzT + AwT = AzT • Nếu z có giá trị bit thứ j1, j2, …, je bit lại vector AzT tổng cột thứ j1, j2, …, je A Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Nhóm (Group) Một nhóm tập hợp G có xác định phép tốn gọi phép “cộng” thỏa mãn tính chất a, b thuộc G a + b thuộc G (a + b) + c = a + (b + c) với a, b, c G Có phần tử G cho a + = + a = a với a G Với a G có phần tử -a G cho a + (-a) = (-a) + a = Nhóm G gọi giao hoán a + b = b + a, với a, b G 10 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Nhóm mã kiểm tra chẵn lẻ • Gọi Bn tập dãy nhị phân chiều dài n với phép cộng cộng bit theo mod Thì Bn nhóm • Dễ dàng kiểm tra S mã kiểm tra chẵn lẻ S nhóm, gọi nhóm Bn • Thật vậy, w1, w2 từ mã A(w1 + w2)T = Aw1T + Aw2T = • Các tính chất khác suy từ định nghĩa phép cộng theo mod 14 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Chứng minh ñịnh lý 4.4 • Giả sử k cột cuối độc lập tuyến tính Khi m cột đầu viết dạng tổ hợp tuyến tính k cột cuối • Hay 15 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Chứng minh ñịnh lý 4.4 • Như từ mã thỏa AwT = • Mặc khác, tập nghiệm AwT = có 2k phần tử nên tập nghiệm AwT = S • Đây điều cần chứng minh 16 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Ví dụ • Xét ví dụ bên trên, ta tìm ma trận chẵn lẻ tương ứng • Có = 23 từ mã số hàng độc lập tuyến tính tối đa • Do w1, w2, w5 họ độc lập tuyến tính tối đa S nên ta cần tìm ma trận A thỏa cho ba từ mã đủ • Xét ma trận Q gồm ba từ mã sau 17 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Ví dụ • Ba cột cuối độc lập tuyến tính, viết ba cột đầu thành tổ hợp tuyến tính ba cột cuối sau • Cột • Suy a1 = a2 = a3 = 18 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Ví dụ • Tương tự cho hai cột lại • Suy b1 = b2 = 1, b3 = c1 = c3 = 1, c2 = 19 Huỳnh Văn Kha Ví dụ • Và • Ma trận A 9/30/2010 20 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Lớp thương (coset) • Cho S nhóm nhóm G , lớp thương ứng với phần tử z tập hợp mà phần tử có dạng z + w, với w nằm S Lớp th ng ứng thương ng với v i z ký hiệu hi u z + S • Ví dụ S = {0000, 0101, 1110, 1011}, ▫ ▫ ▫ ▫ 0110 + S = {0110, 0011, 1000, 1101} 1000 + S = 0110 + S 1111 + S = {1111, 1010, 0001, 0100} 0000 + S = S • Các lớp thương rời trùng 21 Huỳnh Văn Kha Bảng lớp thương w0 0000 0110 1111 0010 w1 0101 0011 1010 0111 w2 1110 1000 0001 1100 w3 1011 1101 0100 1001 9/30/2010 22 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Bổ ñề 4.5 Cho mã chẵn lẻ S Nếu có từ mã wi mẫu sai z cho d(wi + z, wi) ≤ d(wi + z, wj) với từ mã wj Thì d(w + z, w) ≤ d(w+ z, w’) với từ mã w, w’ Ta thấy mẫu sai sửa không sửa 23 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Chứng minh bổ đề 4.5 • Dễ dàng kiểm tra d(v1 + v3, v2 + v3) = d(v1, v2) • Do 24 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 ðịnh lý 4.6 Để xây dựng phương án giải mã cực tiểu khoảng cách, lớp thương, ta cần chọn mẫu sai z có số ký tự cực tiểu Khi dãy nhận có dạng z + w (w từ mã) giải mã thành w Chứng minh: Ta có Theo Bổ đề 4.5 ta có điều cần chứng minh 25 Huỳnh Văn Kha Ví dụ w0 0000 1000 0001 0010 w1 0101 1101 0100 0111 w2 1110 0110 1111 1100 w3 1011 0011 1010 1001 9/30/2010 26 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 ðịnh lý 4.7 Tất dãy lớp thương mã nhóm S có vector hiệu chỉnh Hai dãy hai lớp thương khác có vector hiệu chỉnh khác Dựa vào hai định lý 4.6 4.7 ta chứng minh định lý 4.8 sau Định lý 4.8 cho phép việc giải mã nhanh Đó thay phải lưu trữ tồn 2n dãy nhị phân, ta cần lưu vector hiệu chỉnh mẫu sai tương ứng đủ 27 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 ðịnh lý 4.8 Việc giải mã theo cách làm cực tiểu khoảng cách thực theo cách sau Với dãy v nhận được, ta tính vector hiệu chỉnh c tương ứng Trong tất dãy z thỏa AzT = c, giả sử z0 có số ký tự nhất, ta giả mã v thành v – z0 28 Huỳnh Văn Kha Ví dụ Với ma trận kiểm tra chẵn lẻ Lập bảng giải mã 9/30/2010 ... 14 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Chứng minh ñịnh lý 4.4 • Giả sử k cột cuối độc lập tuyến tính Khi m cột đầu viết dạng tổ hợp tuyến tính k cột cuối • Hay 15 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Chứng minh ñịnh lý. .. thấy mẫu sai sửa không sửa 23 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Chứng minh bổ ñề 4.5 • Dễ dàng kiểm tra d(v1 + v3, v2 + v3) = d(v1, v2) • Do 24 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 ðịnh lý 4.6 Để xây dựng phương án... cần chứng minh 25 Huỳnh Văn Kha Ví dụ w0 0000 1000 0001 0010 w1 0101 1101 0100 0111 w2 1110 0110 1111 1100 w3 1011 0011 1010 1001 9/30/2010 26 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 ðịnh lý 4.7 Tất dãy lớp