Chương 4.3 trình bày các nội dung về chận trên và dưới cho khả năng sửa sai của bộ mã kiểm tra chẵn lẻ. Trong phần này, chúng ta sẽ tập trung giải quyết bài toán liên quan đến chủ đề trên. Mời các bạn cùng tham khảo.
Chương 4: Mã sửa sai 4.3 Chận cho khả sửa sai mã kiểm tra chẵn lẻ Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Khả sửa sai • Như biết, số từ mã tăng làm giảm khả sửa sai mã Ta cố gắng định lượng mối liên hệ • Trong phần này, ta giải toán sau: cần chọn ma trận kiểm tra chẵn lẻ để mã thu sửa sai e bit trở lại • Xét trường hợp e = Ta xây dựng mã sửa sai bit • Nếu bit sai vị trí thứ j vector hiệu chỉnh tương ứng cột thứ j ma trận chẵn lẻ 3 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Khả sửa sai • Ta chọn ma trận chẵn lẻ cho n cột khác đơi (và khác 0) • Khi dãy sai bit có vector hiệu chỉnh khác Do lỗi sai bit sửa sai • Ví dụ, n = 7, k = 4, ta chọn ma trận chẵn lẻ sau: Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 ðịnh lý 4.9 Bộ mã kiểm tra chẵn lẻ xác định ma trận A sửa sai e bit trở lại tập 2e cột A độc lập tuyến tính Chứng minh: Theo định lý 4.8, lỗi sai không e bit làm mẫu sai ≤ e bit có vector hiệu chỉnh phân biệt Nghĩa khơng có tổ hợp tuyến tính e (hoặc hơn) cột A với tổ hợp tuyến tính khác (cũng e cột (hoặc hơn) A) Điều tương đương với tập 2e cột A phải độc lập tuyến tính 5 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Ví dụ • Có thể thấy tập gồm cột A độc lập tuyến tính Bộ mã ứng với A sửa sai bit • Tuy nhiên: c(r1)+c(r8)+c(r9)=c(r3)+c(r4)+c(r6) • Do dãy sai ba cột 1, 8, dãy sai ba cột 3, 4, có vector hiệu chỉnh • Như sai bit chưa sửa 6 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Chận cho khả sửa sai mã kiểm tra chẵn lẻ • Giả sử ta cần xây dựng mã kiểm tra chẵn lẻ sửa sai e bit (chiều dài từ mã n cố định) • Vấn đề đặt cần bit kiểm tra để xây dựng mã • Ta muốn bit kiểm tra tốt Do số bit kiểm tra số bit thơng tin lớn ta có nhiều từ mã • Tổng qt khơng thể xác định xác số bit kiểm tra cực tiểu Nhưng ta ước lượng chận chận định lý sau Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 ðịnh lý 4.10 (Chận Hamming cho số bit kiểm tra) Số bit kiểm tra mã chẵn lẻ sửa sai e bit cần thỏa: Trong đó: n = chiều dài từ mã m = số bit kiểm tra = n - k Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Chứng minh định lý 4.10 • Để mã kiểm tra chẵn lẻ sửa sai e bit trở lại lỗi sai e bit có vector hiệu chỉnh khác đơi • Nếu từ mã có chiều dài n số lỗi sai i bit tổ hợp chập i n • Số vector hiệu chỉnh 2m • Do để vector hiệu chỉnh cho lỗi sai e bit trở lại thì: Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Chú ý • Chận Hamming cho số bit kiểm tra chận Hamming cho số từ mã (định lý 4.3) • Chận Hamming điều kiện cần không đủ cho việc xây dựng mã kiểm tra chẵn lẻ sửa sai e bit • Nói cách khác, gọi m0 số nguyên nhỏ thỏa định lý 4.10 (với n e cho trước) khơng có mã sửa sai e bit mà sử dụng có m0 bit kiểm tra • Ví dụ với n = 10, e = ta có m0 = Tuy nhiên khơng có mã chẵn lẻ sửa sai bit mà sử dụng bit kiểm tra 10 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 ðịnh lý 4.11 (Điều kiện Varsharmov-Gilbert-Sacks) Một mã kiểm tra chẵn lẻ sửa sai e bit với chiều dài từ mã n xây dựng số bit kiểm tra m thỏa điều kiện: Đây chận cho số bit kiểm tra cần thiết cho việc xậy dựng mã chẵn lẻ sửa sai e bit 11 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Chú ý • Điều kiện định lý 4.11 điều kiện đủ khơng cần • Nói cách khác, cố định n e, gọi m1 số nguyên dương nhỏ thỏa định lý 4.11 Thì theo định lý 4.11 xây dựng mã sửa sai e bit sử dụng m1 bit kiểm tra Tuy nhiên, số trường hợp, ta xây dựng mã sửa sai e bit mà sử dụng m1 bit kiểm tra • Ví dụ với n = 10, e = 2, ta có m1 = Tuy nhiên ta xây dựng mã sửa sai bit mà sử dụng bit kiểm tra ví dụ sau định lý 4.9 12 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Chứng minh định lý 4.11 • Ta xây dựng mã thỏa yêu cầu cách cột c(r1), c(r2), …, c(rn) ma trận chẵn lẻ tương ứng • Các cột cần phải thỏa điều kiện: tập gồm 2e cột độc lập tuyến tính • Đầu tiên, chọn c(r1) khác tùy ý • Chọn c(r2) cho c(r2) ≠ 0, c(r2) ≠ c(r1) • Chọn c(r3) cho c(r3) ≠ 0, c(r3) ≠ c(r1), c(r3) ≠ c(r2), c(r3) ≠ c(r1)+c(r2) 13 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Chứng minh ñịnh lý 4.11 • Giả sử chọn c(r1), c(r2), …, c(rn-1), ta chọn c(rn) thỏa: 14 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Chứng minh định lý 4.11 • Số tổ hợp nói trên, không vượt quá: (Chú ý: không thiết tất tổ hợp nói phân biệt nhau, số tổ hợp nhỏ hơn) • Như vậy, tổng ≤ 2m hiển nhiên ta chọn c(rn) Và định lý chứng minh ... c(r3) ≠ c(r1)+c(r2) 13 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Chứng minh định lý 4.11 • Giả sử chọn c(r1), c(r2), …, c(rn-1), ta chọn c(rn) thỏa: 14 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Chứng minh ñịnh lý 4.11 • Số tổ hợp... định lý sau Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 ðịnh lý 4.10 (Chận Hamming cho số bit kiểm tra) Số bit kiểm tra mã chẵn lẻ sửa sai e bit cần thỏa: Trong đó: n = chiều dài từ mã m = số bit kiểm tra = n - k Huỳnh. .. sai e bit 11 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Chú ý • Điều kiện định lý 4.11 điều kiện đủ không cần • Nói cách khác, cố định n e, gọi m1 số nguyên dương nhỏ thỏa định lý 4.11 Thì theo định lý 4.11 xây