slide bài giảng lý thuyết thông tin chương 6 bùi văn thành mã vòng

 Nghĩa là dịch vòng sang trái hay phải một từ mã thì kết quả cũng là một từ mã.. Ở đây qui ước dịch phải... Chứng minh hoàn tất... Chúng ta chứng minh rằng bộ mã tương ứng với không gi

BÀI GIẢNG MÔN HỌC

LÝ THUYẾT THÔNG TIN

Trang 2

Mã vòng

13.1 Giới thiệu 13.2 Các tính chất của mã vòng 13.3 Ma trận sinh và ma trận kiểm tra của mã 13.4 Mã BCH

 Nghĩa là dịch vòng (sang trái hay phải) một từ mã thì kết quả cũng

là một từ mã Ở đây qui ước dịch phải.

Trang 5

Giới thiệu (tt)

 w(i), w(i)(x)

 w(i) là từ mã do dịch từ mã w i bit, và w(i)(x) là đa thức mã

tương ứng của w(i) w(0) chính là w.

Trang 6

Giới thiệu (tt)

 w(i)(x) = xi * w(x) tuy nhiên nếu w(i)(x) có xp với p ≥ n thì xp

được thay bằng xp mod n.

 Mặc khác trên trường GF(2) chúng ta có

xn + j = xj * (xn + 1) + xj hay xn + j mod (xn + 1) = xj

 Bổ đề 13.1

w(i)(x) = [xi * w(x)] mod (xn + 1)

f(x) = f0 + f1x + … + fr–1xr - 1 + xr

 Từ đây suy ra đa thức mã g(x) + f(x) có bậc nhỏ hơn r, mâu thuẫn Chứng

minh hoàn tất.

Trang 8

Các tính chất của mã vòng (tt)

 Kí hiệu đa thức mã có bậc nhỏ nhất là g(x)

g(x) = g0 + g1x + … + gr–1xr - 1 + xr

vì nó là một tổ hợp tuyến tính của các đa thức mã.

i i

p i

i

q g

q

v

0 0

)(

*)

(

*)

(

*)()

v(x) = a0g(x) + a1x * g(x) + …

+ ak – 1xk – 1 * g(x)

v(x) là một đa thức có bậc ≤ n –

1 và là bội số của g(x).

Trang 14

Các tính chất của mã vòng (tt)

 Có tất cả 2k tổ hợp tuyến tính v(x) khác nhau và tạo nên một không gian tuyến tính của các đa thức

mã với g(x), x * g(x), …, xk – 1 * g(x) là các đa thức làm cơ sở.

Chúng ta chứng minh rằng bộ mã tương ứng với không gian này là mã vòng.

Trang 15

Các tính chất của mã vòng (tt)

 Theo Bổ đề 13.1 chúng ta có

w(1)(x) = [x * w(x)] mod (xn + 1)

Dựa vào biểu diễn của v(x) và w(1)(x) chúng ta suy ra

x * w(x) = bn – 1(xn + 1) + w(1)(x)

Do v(x) và

(xn + 1) đều là bội của g(x) nên w(1)(x) cũng là bội của g(x) Suy ra w(1)(x) cũng là đa thức mã Hoàn tất chứng minh

01

00

0

00

0

2 1

1

0

2 0

1 1

0

2 1

0

k

g g

g

g g

g

k n

g

g g

g g

g

g g

g g

G

k n

k n k

n

k n k

n

k n

k n

n k

Trang 17

Ví dụ

x7 + 1 = (1 + x)(1 + x + x3)(1 + x2 + x3)

11

00

0

01

01

10

0

00

10

11

0

00

01

01

1

7 4

G

00

0

01

01

10

0

00

10

11

0

00

01

01

1

7 4

11

00

0

11

10

10

0

11

00

01

0

01

10

00

1

) 7 4 (

ht G

Nhân u(x) với xn–k =

x3 rồi chia cho g(x) chúng ta được.

x3 * (1 + x2) = x3 + x5 = x2 * (1 + x + x3) + x2

 Từ đây suy ra

w(x) = x2 + x3 + x5

w = 0011010

là từ mã hệ thống dạng 2 tương ứng với u.

Trang 20

Ma trận kiểm tra của mã vòng

 Có một cách khác để tìm ma trận kiểm tra của mã vòng

xn + 1 = g(x)

* h(x)

 h(x) được gọi là đa thức đối ngẫu của g(x) h(x) có bậc k

h(x) = h0 + h1x + … + hkxk

 Ma trận sau là một ma trận kiểm tra của mã vòng

0 0

0 1

0 0

0

0 0

0

0 2

1

0 1

0

2

1 1

0 2

1

) (

k n

h h

h

h h

h k

h

h h

h h

h

h h

h h

H

k k

k

k

k k

k k

k

n k n

00

01

110

10

00

111

01

7 3

H

Trang 23

Ứng dụng trường GF(2m)

để xây dựng mã vòng (tt)

 Từ đây suy ra ma trận kiểm tra của mã vòng (15, 11).

 Nếu đa thức tối thiểu của a là f(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 thì a có chu

kỳ là 5 và các phần tử 1 , a, , a4 được biểu diễn như sau.

1 = (1000) a3 = (0001)

a = (0100) a4 = (1111) a2 = (0010)

110

10

11

00

10

00

01

111

01

01

10

01

00

00

111

10

10

11

00

10

11

101

01

10

01

00

01

15 4

H

0 0

0

1 0

1 0

0

1 0

0 1

0

1 0

0 0

1

5 4

H

Trang 25

Mã BCH nhị phân

 Do Bose, Chaudhuri và Hocquenghem sáng lập ra

 Là mã vòng có khả năng sửa được nhiều lỗi

 Đối với các số nguyên dương m và t bất kỳ chúng ta sẽ xây

dựng một mã BCH nhị phân có các thông số sau:

1 2 ( )

2 )((

1 2 ( )

1 2 ( 2 1

2

) 1 ( 5 )

2 ( 5 10

5

) 1 ( 3 )

2 ( 3 6

3

1 2

2

1

1 1 1

n t

n t

t t

n n

n n

n n

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

Trang 27

Định lý (tt)

 Hơn nữa đa thức sinh g(x) của bộ mã là đa thức bội số chung

nhỏ nhất của các đa thức tối thiểu của các phần tử a, a3, a5, …,

2

2 2

2 1

2 1

1 1

1

r r

r r

r r

y y

y

y y

y

y y

y A

Trang 28

Ví dụ

 Cho m = 4, t = 2 chúng ta sẽ xây dựng một mã vòng có chiều dài từ

mã là 24 – 1 = 15 và có khoảng cách Hamming d ≥ 5 Việc xây dựng

sẽ dựa vào trường GF(24).

 Gọi a là phần tử có đa thức tối thiểu là đa thức căn bản bậc 4 sau

f1(x) = 1 + x + x4

 Đây chính là trường GF(24) trong ví dụ ở slide 250.

 a có chu kỳ n = 2m – 1 = 15 Chúng ta có ma trận kiểm tra của bộ mã

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a H

110001100011000

100011000110001

111101011001000

011110101100100

001111010110010

111010110010001

H

 Trong trường hợp đa thức tối thiểu của a không phải là đa thức căn bản,

chúng ta sẽ tìm được mã vòng có chiều dài n ≠ 2m + 1, với n là chu kỳ

của a.