Bài viết này xây dựng công thức phần tử hữu hạn cho một mô hình trường pha, sử dụng mô hình để khảo sát ảnh hưởng của phân bố lỗ rỗng tới sự phá hoại của một mẫu vật liệu chịu kéo.
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ PHÂN BỐ LỖ RỖNG TỚI SỰ KHỞI TẠO VÀ PHÁT TRIỂN VẾT NỨT BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRƯỜNG PHA Nguyễn Thị Hải Như1*, Trần Anh Bình2 Tóm tắt: Các loại vật liệu tựa dòn thường xem đồng tỷ lệ lớn, gồm nhiều pha tỉ lệ nhỏ có lỗ rỗng vết nứt siêu nhỏ Các vết nứt lỗ rỗng có vai trò quan trọng việc hình thành vết nứt thực tỷ lệ lớn Sự phân bố vết nứt pha rỗng tỷ lệ nhỏ có ảnh hưởng khác đến khởi tạo lan truyền vết nứt vật liệu Nhiều mơ hình xây dựng để nghiên cứu lan truyền vết nứt Gần đây, mơ hình trường pha nhận nhiều quan tâm nghiên cứu Bài báo xây dựng công thức phần tử hữu hạn cho mơ hình trường pha, sử dụng mơ hình để khảo sát ảnh hưởng phân bố lỗ rỗng tới phá hoại mẫu vật liệu chịu kéo Từ khóa: Khởi tạo vết nứt; phát triển vết nứt; phương pháp trường pha Study the impact of voids distribution on the initiation and propagation of cracks by a phase field method Abstract: Quasi brittle materials are considered to be homogeneous at macroscale but composed of phases at microscale including void inclusions and microcracks These defects play an important role in the forming a real crack at macroscale The distribution of microcracks and voids affects differently on the initiation and propagation of cracks A lot of works have been proposed to study the initiation and propagation of the crack in literature Recently phase field models are of interest by many researchers who work on the damage of materials because of the ability to track the crack naturally by solving the minimization problem of energy This work will derive discretization formulas for a phase field model and ultilize this model to study the impact of the void distribution on the fracture process of a specimen in a traction test Keywords: Crack initiation; crack propagation; microvoid; phase field method Nhận ngày 22/3/2017; sửa xong 20/6/2017; chấp nhận đăng 26/9/2017 Received: March 22th, 2017; revised: June 20th, 2017; accepted: September 26th, 2017 Giới thiệu Các loại vật liệu xây dựng bê tông, đá, ceramic, vữa, thạch cao thường tồn pha rỗng vết nứt siêu nhỏ thấy mắt thường Các hư hại hình thành cách tự nhiên trình hình thành nên vật liệu (ví dụ: Hình thể vết nứt tỷ lệ micro vật liệu bê tơng nhẹ, hình thành q trình thủy hóa, đơng cứng bê tông) Dưới tác dụng tải trọng, nhiệt độ, hư hại vị trí khác lan truyền, rẽ nhánh kết hợp với tạo thành vết nứt thực nhìn thấy mắt thường dẫn đến phá hoại toàn kết cấu Hình a) Vi cấu trúc bê tơng nhẹ (Amine Bouterf-phD thesis 2014) b) vết nứt tỉ lệ micro (Passmore et al.1965) Trong nhiều thập niên vừa qua, nghiên cứu hư hại vật liệu kết cấu nhận quan tâm nhiều tác giả Khi nghiên cứu vết nứt phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống (FEM), ThS, Khoa Công nghệ thông tin, Trường Đại học Xây dựng TS, Khoa Công nghệ thông tin, Trường Đại học Xây dựng * Tác giả E-mail: nhunth@nuce.edu.vn 100 TẬP 11 SỐ 09 - 2017 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG vị trí bị phá hoại, nút phải tách rời dẫn đến việc chia lưới phải cập nhật đường vết nứt quy định cạnh phần tử [1] Việc giải thuật tốn chia lại lưới [2,3] sử dụng phương pháp XFEM [4-7] sử dụng hàm bình đồ (hàm level-set) để biểu diễn không liên tục phần tử Các phương pháp có thành cơng định mơ hình vết nứt chiều gặp khó khăn vết nứt rẽ nhánh mơ hình chiều Để giải khó khăn này, nhóm phương pháp đề xuất vết nứt mơ tả đại lượng có chiều dày hữu hạn Trong số phương pháp trường pha nhận nhiều quan tâm nhà nghiên cứu Trong mơ hình này, vết nứt biểu diễn thông qua trường vô hướng có giá trị từ đến Cách biểu diễn tương đồng với cách biểu diễn biến hư hại nghiên cứu hư hại học môi trường liên tục hư hại (Continuum Damage Mechanics) Bài toán phá hoại giải dựa nguyên lý biến phân không cần đến tiêu chuẩn phá hoại thuật toán chia lại lưới làm cho việc mơ hình vết nứt khơng gian chiều trở nên dễ dàng Với lợi này, nhiều mơ hình trường pha phát triển để nghiên cứu toán hư hại khác nhau: phá hoại kiểu I [8], kiểu III [9], hay kiểu I II [10] Trong lĩnh vực học, phương pháp trường pha xây dựng nguyên lý biến phân cho vật liệu dòn sử dụng hàm trơn, khả vi để mô tả bề mặt nứt đề xuất [1113] Loại mô hình mở rộng áp dụng cho vết nứt cố kết [17,18] toán động học [14-16] Bài báo xây dựng công thức phần tử hữu hạn để tìm trường hư hại sử dụng mơ hình trường pha (phase field) [19,20] theo nguyên lý cực tiểu hóa lượng mục Trong mục trình bày kết tính tốn theo mơ hình báo so sánh với kết cơng bố Trong mục 4, nhóm tác giả tiến hành khảo sát ảnh hưởng phân bố pha rỗng tròn xung quanh vết nứt mẫu vật liệu chịu kéo Các kết luận từ việc tính toán khảo sát đưa mục Phương pháp trường pha 2.1 Công thức lượng mơ hình Xét miền mở ký hiệu Ω biên dΩ khơng gian D chiều với n vec tơ pháp tuyến hướng ngồi mơ tả Hình Miền chứa vùng nứt Γ không gian D - chiều Hình Miền Ω chứa miền nứt Γ Hình Mơ tả giá trị d mơ hình vết nứt thực (sharp crack) vết nứt mờ (smear crack) toán chiều Francfort Marigo [11] đề xuất công thức lượng cho tốn mơ hình vết nứt sau: (1) Trong mơ hình chuẩn hóa lý thuyết trường pha, hàm lượng E(u,Γ) biểu diễn dạng sau: (2) Trong (1) (2): Wu hàm mật độ lượng biến dạng đàn hồi; u trường chuyển vị; ten-sơ biến dạng, gc tỷ lệ giải phóng lượng tới hạn; Eu đại diện cho lượng biến dạng đàn hồi, Es lượng bề mặt hay lượng phá hủy Lưu ý cơng thức (1), Es đại lượng tích phân bề mặt nứt, cơng thức (2), Es đại lượng tính tích phân toàn miền hàm mật độ trường nứt γ(d,∇d) Hàm mật độ chọn theo [19] sau: (3) TẬP 11 SỐ 09 - 2017 101 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG Trong mơ hình xét, d = biểu thị vật liệu trạng thái hồn tồn bị phá hủy vị trí vết nứt; d = biểu thị trạng thái nguyên vẹn vật liệu Trên Hình 3, với tốn chiều, giá trị d miền liên tục d, d = vị trí vết nứt liên tục giảm dần miền hư hại tiến đến Độ lớn miền phụ thuộc vào biến l công thức (3) Tham số l ban đầu giới thiệu tham số mơ hình nên chọn bé tốt nhiên thơng số có mối quan hệ với tính chất khác vật liệu Do đó, l nên xem tính chất vật liệu xác định dựa theo thí nghiệm Cơng thức (2) viết lại dạng: lượng tự W = W(ε(u),d) + gcγ(d) gọi Để mô tả hư hại vật liệu, hàm lượng biến dạng mô hình trường pha thường viết kèm theo hàm suy thối g(d) Dựa giả thiết có biến dạng kéo gây vết nứt, hàm suy thoái đưa vào công thức gắn với phần dương lượng biến dạng đàn hồi Theo đó, cơng thức lượng cho mơ hình có dạng: (4) Trong công thức (4): k hệ số nhỏ đế tránh biến dạng kì dị phần tử bị phá hoại hoàn toàn (d = toàn miền); hàm g(d) chọn đơn giản có dạng g(d) = (1 – d)2 thỏa mãn điều kiện: g(d=0) = 1; g(d=1) = tương ứng giới hạn trạng thái ban đầu trạng bị hư hại, g'(d=1) = nhằm đảm bảo hư hại hồn tồn xảy ra, lượng mơ hình hội tụ đến giá trị hữu hạn trường hư hại tiếp tục tiến triển Theo [19,20], lượng dương lượng âm tính dựa phần kéo phần nén ten xơ biến dạng Các đại lượng (4) tính sau: (5) (6) Với Trong công thức trên, εi ni trị riêng vec tơ riêng ten sơ biến dạng ε; 2.2 Phương trình biến phân Để giải tốn cực tiểu lượng theo cơng thức (2), hai giải thuật đề nghị nghiên cứu mơ hình bao gồm giải đồng thời tìm giá trị trường u d (monothilic scheme) giải d u (staggered scheme) [19,20] Trong báo này, giải thuật thứ chọn tính đơn giản cho kết hợp lý Công thức dạng yếu tốn tìm trường d (phase field) xây dựng dựa quán với nguyên lý nhiệt động học (xem [20]) Công thức tích phân để tìm d xây dựng dựa theo nguyên lý biến phân d nghiệm tốn cực tiểu hóa lượng theo biến d hay đạo hàm theo hướng δd E Ta viết: (7) Thay (3) vào (7), tốn tìm trường d viết lại: hay Khai triển (8), ta có: 102 TẬP 11 SỐ 09 - 2017 (8) KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG (9) (10) hay Với giả thiết vết nứt liền lại, Miehe [19] giới thiệu hàm H thay cho hàm Ψ+ công thức (10) (11) Thay (11) vào (10) ta công thức dạng yếu tìm trường d: (12) Cơng thức dạng tích phân tốn tìm chuyển vị viết tương tự phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống: (13) đó: Su = {u|u(x) = u ∂Ω} không gian hàm u thỏa mãn điều kiện biên; Fext = ∫ΩfuⅆΩ + ∫∂ΩFF̅ uⅆΩ), f lực thể tích; F̅ lực tác dụng biên ∂ΩF u chuyển vị cưỡng đặt biên ∂Ωu với điều kiện ∂Ω = ∂Ωu U ∂ΩF Khi đó, phương trình biến phân tốn đàn hồi có vết nứt theo phương pháp trường pha viết dạng: (14) (15) đó: Trường biến dạng tách thành thành phần theo công thức xấp xỉ sau: (16) (17) đó: 2.3 Rời rạc hóa phương pháp phần tử hữu hạn 2.3.1 Công thức ma trận giải tốn tìm trường d Áp dụng công thức gần phương pháp phần tử hữu hạn cho biến d δd: (18) đó: Nd(x) Bd(x) ma trận hàm dạng ma trận đạo hàm hàm dạng Sau biến đổi (12) ta thu hệ phương trình tuyến tính: Kdd = Fd (19) (20) đó, ma trận độ cứng Kd vec tơ Fd lực xác định bởi: TẬP 11 SỐ 09 - 2017 103 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG 2.2.2 Cơng thức ma trận giải tốn tìm trường chuyển vị Áp dụng cơng thức gần phương pháp phần tử hữu hạn, ta nhận được: (21) (22) đó: Trong cơng thức (20): λ μ số l’amé vật liệu, [1] = [1 0] N B ma trận hàm dạng ma trận đạo hàm hàm dạng phép xấp xỉ chuyển vị u Pn+ Pn- giới thiệu (17); R+ R- toán tử xấp xỉ thỏa mãn điều kiện sau: (23) viết: Tại bước chuyển vị, trường d tìm theo cơng thức (19) sử dụng để giải tìm trường chuyển vị u theo cơng thức (20) Ví dụ tính tốn: chịu kéo Ví dụ nhằm mục đích so sánh kết chương trình phần tử hữu hạn lập theo mơ hình trình bày mục với kết công bố [19] Xét mẫu biến dạng phẳng có kích thước L × H = 1mm × 1mm chứa vết nứt ban đầu có chiều dài 0.5mm vị trí Y = 0.5mm Các số vật liệu λ = 121.15KN/mm2, μ = 80.77 KN/ mm2, gc = 0.0027 KN/ mm Tấm ngàm đáy Hình 4.a Tiến hành áp chuyển vị tăng dần vị trí Y = 1mm: ∆u = 10-5 mm cho 500 bước chuyển vị ∆u = 10-6 mm cho chuyển vị Hệ số l = 0.015mm, hệ số k = 10-6 Lưới chia phần tử hữu hạn thể Hình 4.b sử dụng 15292 phần tử tam giác, kích thước phần tử vùng dự đoán hư hại xấp xỉ 0.001mm Hình 4.c thể quan hệ lực chuyển vị tính tốn theo phương pháp trường pha, so sánh với kết [19] Đồ thị cho thấy kết nhóm tác giả đáng tin cậy Hình a) Sơ đồ hình học; b) Lưới chia phần tử hữu hạn; c) Kết tính sử dụng mơ hình trường pha mục (đường liền) so sánh với kết [19] (đường nét đứt) Ảnh hưởng phân bố lỗ rỗng đến hình thành phát triển vết nứt Trong phần này, ảnh hưởng phân bố lỗ rỗng đến hình thành phát triển vết nứt khảo sát phương pháp trường pha qua mẫu biến dạng phẳng có kích thước L × H = 1mm × 1mm Các mẫu có 11 lỗ tròn phân bố khác vết nứt ban đầu song song với trục X Bán kính lỗ r = 0.02mm phân bố tạo thành dạng tam giác Hình 5.a, vết nứt ban đầu có chiều dài 0.5 mm vị trí Y = 0.5mm Các số vật liệu lấy ví dụ mục 3, tham số l = 0.01mm Ứng xử mẫu khảo sát dựa quan hệ lực - chuyển vị hình dạng vết nứt 104 TẬP 11 SỐ 09 - 2017 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG (phân bố trường d) thí nghiệm kéo cách áp chuyển vị tăng dần theo phương Y vị trí Y = 1mm (chuyển vị theo phương X, Ux = 0) Bước nhảy chuyển vị ∆u = 10-4 mm 120 bước chuyển vị thực mẫu Hình Cột a: Các mẫu thử; Cột b: Phân bố trường hư hại d (vị trí vết nứt) điểm cuối trình gia tải; Cột c: Mối quan hệ lực - chuyển vị cưỡng Xấp xỉ 80,000 phần tử tam giác tuyến tính sử dụng để rời rạc hóa phần tử Việc chia lưới thực phần mềm ABAQUS 6.14 Việc tính tốn thực phần mềm MATLAB 2009 Trên Hình 5.b thể trường phá hoại d Hình 5.c thể quan hệ lực chuyển vị F̅ – u̅ tương ứng với mẫu Quan sát hai mẫu m1 m2 (Hình 5): Các lỗ bố trí phía trước vết nứt ban đầu Tọa độ theo phương X hai mẫu hoàn toàn giống khác theo phương Y Khoảng cách tâm lỗ tương ứng 0.08mm d = 0.1386 mm Ở mẫu m1 lỗ rỗng phân bố gần nhau, trường phá hoại xuất tất mép lỗ vết nứt tìm theo hình dích dắc nối lỗ với Ở mẫu m2 TẬP 11 SỐ 09 - 2017 105 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG lỗ rỗng phân bố xa với khoảng cách tâm lỗ, vết nứt không qua tất lỗ mà thẳng qua lỗ vị trí Y = 0.5mm Trên biểu đồ, quan sát thời điểm F̅ đạt giá trị tới hạn, tức mẫu bắt đầu bị phá hoại, cho thấy mẫu bắt đầu bị phá hoại sớm mẫu Chuyển vị cưỡng tương ứng với giá trị lớn F̅ mẫu tương ứng ua = 0.006mm, ub = 0.0072mm So sánh hai mẫu m3 m4 (Hình 5), lỗ bố trí hai bên vết nứt ban đầu Tương tự mẫu m1 m2, tọa độ theo phương X hai mẫu hoàn toàn giống khác theo phương Y Khoảng cách tâm lỗ tương ứng d = 0.08mm d = 0.1386 mm Quan sát Hình So sánh mối quan hệ lực (F) - chuyển vị (u) mẫu phân bố trường d quan hệ lực - chuyển vị hai mẫu m3 m4, lỗ rỗng bố trí hai bên vết nứt ban đầu, cho thấy: (i) phân bố trường d giống nhau, vết nứt tiến triển từ vết nứt ban đầu thẳng mẫu bị phá hoại hoàn tồn; (ii) khơng có khác biệt quan hệ lực chuyển vị (trên Hình đường cong F̅ – u̅ hai mẫu m3 m4 chồng khít lên dù bố trí lỗ rỗng hai mẫu khác nhau) Điều cho thấy lỗ rỗng vùng không ảnh hưởng đến giá trị lực tới hạn thời điểm đạt giá trị lực này, đồng thời giá trị lớn F̅ hai mẫu m3 m4 lớn mẫu a d Kết luận Bài báo dùng mơ hình trường pha sử dụng để nghiên cứu ảnh hưởng phân bố lỗ rỗng đến hình thành phát triển vết nứt Kết bước đầu cho thấy: lỗ rỗng bố trí bên vết nứt ban đầu không ảnh hưởng đến khởi tạo lan truyền vết nứt Vết nứt không phụ thuộc vào phân bố lỗ xung quanh vết nứt ban đầu mà phụ thuộc vào môi trường phía trước vết nứt, vùng mà vết nứt dự kiến phát triển Kết phù hợp với phân bố ứng suất hai bên vết nứt ban đầu phù hợp với kết luận độ cứng phá hủy chịu ảnh hưởng lớn phân bố lỗ rỗng xung quanh vết nứt [21] Trong báo xây dựng lại công thức phần tử hữu hạn để tìm trường hư hại mơ hình trường pha áp dụng cho toán phá hủy, mơ hình mới, nhận nhiều quan tâm lĩnh vực học phá hủy Ảnh hưởng khoảng cách, mật độ lỗ rỗng phía trước vết nứt tới phát triển vết nứt chủ để nghiên cứu nhóm tác giả Lời cảm ơn: Nghiên cứu tài trợ Quỹ phát triển Khoa học Công nghệ quốc gia (NAFOSTED) đề tài mã số 107.02-2017.309 Tài liệu tham khảo Ngo D., Scordelis A.C (1967), “Finite element analysis of reinforced concrete beams”, Journal of American Concrete Institute, 64:152-163 Ingraffea A., Saouma V (1984), Numerical modelling of discrete crack propagation in reinforced and plain concrete, In: Sih G, Di Tommaso A, editors, Fracture mechanics of concrete, Dordrecht: Martinus Nijhoff Publishers; 171-225 Camacho G.T., Ortiz M (1996), “Computational modeling of impact damage in brittle materials”, International Journal of Solids and Structures, 33:1267-1282 Belytschko T., Black T (1999), “Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 45:601-20 Daux C., Moës N., Dolbow J., Belytschko T (2000), “Arbitrary branched and intersecting cracks with the extended finite element method”, International Journal for Numerical Methods in Engineering; 48:1741-60 Moës N., Dolbow J., Belytschko T (1999), “A finite element method for crack growth without remeshing”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 46(1):131-56 106 TẬP 11 SỐ 09 - 2017 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG Moran B., Belytschko T., Sukumar N., Moës N (2000), “Extended finite element method for three-dimensional crack modeling”, International Journal for Numerical Methods in Engineering; 48(11):1549-70 Aranson I.S., Kalatsky V.A., Vinokur V.M (2000), “Continuum field description of crack propagation”, Physical Review Letters, 85:118-121 Karma A., Kessler D.A., Levine H (2001), “Phase-field model of mode III dynamic fracture”, Physical Review Letters, 87:045501 10 Hakim V., Karma A (2009), “Laws of crack motion and phase-field models of fracture”, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 57:342-368 11 Francfort G.A., Marigo J.J (1998), “Revisiting brittle fractures as an energy minimization problem”, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 46:1319-1342 12 Bourdin B., Francfort G.A., Marigo J.J (2000), “Numerical experiments in revisited brittle fracture”, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 48:797-826 13 Bourdin B., Francfort G A., Marigo J.J (2008), “The variational approach to fracture”, Journal of Elasticity, 91:5-148 14 Larsen C.J., Ortner C., Süli E (2010), “Existence of solutions to a regularized model of dynamic fracture”, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 20:1021-1048 15 Bourdin B., Larsen C.J., Richardson C (2011), “A time-discretemodel for dynamic fracture based on crack regularization”, International Journal of Fracture, 168:133-14 16 Schlüter A., Willenbücher A., Kuhn C., Müller R (2014), “Phase field approximation of dynamic brittle fracture”, Computational Mechanics, 54:1141-1161 17 Verhoosel C.V., de Borst R (2013), “A phase-field model for cohesive fracture”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 96:43-62 18 May S., Vignollet J., Borst R.D.(2015), “A numerical assessment of phase models for brittle and cohesive fracture: G-convergence and stress oscilla-tions”, European Journal of Mechanics-A/Solids, 52:72-84 19 Miehe C., Hofacker M., Welschinger F (2010), “A phase model for rate-independentcrack propagation: Robust algorithmic implementation based on operator splits”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 199(45):2765-2778 20 Nguyen T.T., Yvonnet J., Zhu Q-Z., Bornert M., Chateau C (2015), “A phase method to simulatecrack nucleation and propagation in strongly heteroge-neous materials from direct imaging of their microstructure”, Engineering Fracture Mechanics, 139:18-39 21 Cramer M., Sevostianov M (2009), “Effect of pore distribution on elastic stiffness and fracture toughness of porous media”, International Journal of Fracture, doi:10.1007/s10704-009-9416-6 TẬP 11 SỐ 09 - 2017 107 ... (đường nét đứt) Ảnh hưởng phân bố lỗ rỗng đến hình thành phát triển vết nứt Trong phần này, ảnh hưởng phân bố lỗ rỗng đến hình thành phát triển vết nứt khảo sát phương pháp trường pha qua mẫu biến... mơ hình trường pha sử dụng để nghiên cứu ảnh hưởng phân bố lỗ rỗng đến hình thành phát triển vết nứt Kết bước đầu cho thấy: lỗ rỗng bố trí bên vết nứt ban đầu không ảnh hưởng đến khởi tạo lan... truyền vết nứt Vết nứt không phụ thuộc vào phân bố lỗ xung quanh vết nứt ban đầu mà phụ thuộc vào mơi trường phía trước vết nứt, vùng mà vết nứt dự kiến phát triển Kết phù hợp với phân bố ứng