luận văn thạc sĩ chu kỳ của chip firing game song song trên đồ thị

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Mai Thu Huyền CHU KỲ CỦA CHIP-FIRING GAME SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Mai Thu Huyền CHU KỲ CỦA CHIP-FIRING GAME SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Hoàng Thạch Hà Nội - 2019 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết đề tài: "Chu kỳ chip-firing game song song đồ thị" trình bày lại từ hai báo [3] [4] Các ví dụ số liệu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Nếu khơng nêu trên, tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm đề tài Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2019 Mai Thu Huyền Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS Nguyễn Hồng Thạch, thầy hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi nhiều q trình học tập làm luận văn Thầy truyền cảm hứng giúp tơi hồn thiện thân nhiều sau q trình làm việc thầy Tơi xin gửi lòng cảm ơn tới tất thầy Viện Toán Học truyền đạt kiến thức chuyên sâu ý nghĩa việc học Toán hai năm học Tôi xin cảm ơn tới tất thầy cô anh chị Học viện Khoa học Công nghệ giúp đỡ quan tâm nhiều q trình học tập Cuối cùng, tơi xin gửi lời tri ân tới bố mẹ, người thân gia đình bạn bè ln ủng hộ, khích lệ động viên tinh thần suốt trình học tập để hồn thành tốt luận văn thạc sĩ Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2019 Mai Thu Huyền Danh mục kí hiệu CF G Cn Kn Wn C(t) Cv (t) L fvi (t) Mô hình chip-firing game Chu trình n đỉnh Đồ thị đầy đủ n đỉnh Đồ thị bánh xe n đỉnh Cấu hình chip thời điểm t Cấu hình chip đỉnh v thời điểm t Ma trận Laplace Vết đỉnh vi thời điểm t chu kỳ T Ski Tập lớn kí tự Dki Tập lớn kí tự Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 Một ví dụ đồ thị đơn Một ví dụ đa đồ thị Một ví dụ đồ thị có khun Một ví dụ đồ thị có hướng Một ví dụ đồ thị đơn có hướng (a), đa đồ thị có hướng (b) Một ví dụ chu trình: (a) C3 , (b)C4 , (c) C5 Một ví dụ đồ thi đầy đủ: (a) K4 , (b) K5 Đồ thị hai phía đầy đủ: (a) K2,3 , (b) K3,3 Đồ thị bánh xe: (a) W3 , (b) W4 , (c) W5 Đồ thi liên thông Đồ thị không liên thông Cây 10 10 11 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Cấu hình ban đầu chip đồ thị Bắn chip chu trình C3 Bắn chip đồ thị Đồ thị cho ma trận Laplace Cấu hình chip ban đầu chu trình C6 14 14 17 18 20 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Cấu hình ban đầu chip đường Cấu hình ban đầu chip đồ thị Cấu hình ban đầu chip chu trình Cây có chu kỳ T = Chu trình có chu kỳ T = 22 23 25 30 31 Danh sách bảng 2.1 Bắn chip chu trình C6 20 3.1 3.2 3.3 Bắn chip song song đường 22 CFG song song chu trình 25 CFG song song chu trình đỉnh 31 Mục lục KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ ĐỒ THỊ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.2 MỘT SỐ DẠNG ĐỒ THỊ VÀ VÍ DỤ 1.3 ĐƯỜNG ĐI, CHU TRÌNH VÀ TÍNH LIÊN THƠNG 1.4 CÂY 3 10 CHIP-FIRING GAME TRÊN ĐỒ THỊ 12 2.1 MƠ HÌNH CFG TRÊN ĐỒ THỊ 12 2.2 TÍNH HỮU HẠN CỦA CFG 14 2.3 CFG VÀ MA TRẬN LAPLACE 17 CFG SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ 21 3.1 MƠ HÌNH CFG SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ 21 3.2 CHU KỲ CỦA CHIPS TRÊN CÂY 24 A Mã nguồn CFG 33 B Mã nguồn CFG song song 35 MỞ ĐẦU Trong năm gần đây, mơ hình Chip-firing game (CFG) thu hút nhiều nhà nghiên cứu, nhiều công trình cơng bố CFG trở thành phần quan trọng cấu trúc tổ hợp (structural combinatoric) Năm 1986, CFG mở đầu báo J Spencer viết "balancing game" Năm 1991, A Bjorner, L Lovasz, P W Shor xây dựng mơ hình CFG cho đồ thị đơn, vơ hướng liên thơng, trình bày [3] Họ tính hữu hạn CFG, mối liên hệ CFG ma trận Laplace Năm 1992, J Bitar E Goles xây dựng mơ hình CFG song song chu kỳ cây,được trình bày [4] Trong khn khổ luận văn trình bày kết đồ thị hữu hạn, liên thông, đơn vô hướng Luận văn bao gồm ba chương Chương trình bày số định nghĩa kết sử dụng chương chương Đó số khái niệm tính chất đồ thị Chương trình bày mơ hình CFG, tính hữu hạn CFG, mối liên hệ CFG ma trận Laplace Chương trình bày mơ hình CFG song song chu kỳ chip dạng đồ thị Phụ lục A trình bày mã nguồn tìm cấu hình kết thúc CFG, phụ lục B trình bày mã nguồn tìm cấu hình thời điểm CFG song song đồ thị Mã nguồn trình bày ngơn ngữ Python với thư viện xây dựng cho đồ thị networkx Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ ĐỒ THỊ Phần trình bày số kiến thức đồ thị tham khảo từ [1], [2] Đó kiến thức sở phần luận văn 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong phần trình bày số khái niệm sở đồ thị hữu hạn Định nghĩa 1.1 Một đồ thị (vô hướng) G = (V, E) xác định bởi: • tập hợp V khác rỗng gồm đỉnh, • tập hợp E gồm cạnh, cạnh có hai đầu hai đỉnh Định nghĩa 1.2 Nếu hai đỉnh có khơng q cạnh G gọi đồ thị đơn Khi E đồng với tập hợp cặp đỉnh không thứ tự Một cách tương đương, E đồng với ánh xạ từ V × V vào {0, 1} cho với vi , vj ∈ V : E(vi , vj ) = E(vj , vi ) = có cạnh nối vi vj , không 22 đỉnh vi Hàm ngưỡng: fvi (t) = (Cvi (t) − deg(vi )) = 1, Cvi (t) ≥ deg(vi ) 0, ngược lại Nhận xét Từ (3.1) ln tìm số chip đỉnh vi ∈ V thời điểm t hiểu sau: • Nếu Cvi ≥ deg(vi ) đỉnh vi deg(vi ) chip • Đỉnh vi nhận chip từ đỉnh kề Hình 3.1: Cấu hình ban đầu chip đường Ví dụ 3.2 Cho G = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } đường gồm đỉnh với cấu hình chip ban đầu C(0) = (0, 2, 1, 1, 1) (Hình 3.1) Thực bắn chip song song bảng 3.1 sau chips t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 C v1 1 C v2 2 C v3 2 C v4 2 C v5 1 Bảng 3.1: Bắn chip song song đường Ví dụ 3.3 Cho đồ thị có cấu hình ban đầu Hình 3.2 với cấu hình ban đầu C(0) = (3, 4, 2, 1, 2) Thực trình bắn chip song song đồ thị, với lần bắn cho đỉnh ta thu đầu sau: 23 Hình 3.2: Cấu hình ban đầu chip đồ thị The start configure: → {'v1':3,'v2':4,'v3':2,'v4':1,'v5':2} At time t = ***The configure: → {'v1':2,'v2':2,'v3':1,'v4':3,'v5':4} At time t = ***The configure: → {'v1':1,'v2':5,'v3':2,'v4':1,'v5':3} At time t = ***The configure: → {'v1':3,'v2':3,'v3':1,'v4':4,'v5':1} At time t = ***The configure: → {'v1':1,'v2':5,'v3':2,'v4':1,'v5':3} At time t = ***The configure: → {'v1':3,'v2':3,'v3':1,'v4':4,'v5':1} At time t = ***The configure: → {'v1':1,'v2':5,'v3':2,'v4':1,'v5':3} At time t = ***The configure: → {'v1':3,'v2':3,'v3':1,'v4':4,'v5':1} At time t = ***The configure: → {'v1':1,'v2':5,'v3':2,'v4':1,'v5':3} Từ định lý 2.7, thấy trò chơi vơ hạn Theo định nghĩa chu kỳ, chọn t0 = chu kỳ CFG song song T = 24 3.2 CHU KỲ CỦA CHIPS TRÊN CÂY Định nghĩa 3.4 Giả sử trạng thái ổn định xích giới hạn (C(0), , C(T − 1)) với chu kỳ T a) Vòng lặp địa phương định nghĩa bởi: ∀vi ∈ V : Cvi = (Cvi (0), Cvi (1), , Cvi (T − 1)) ∈ NT fvi = (fvi (0), fvi (1), , fvi (T − 1)) ∈ {0, 1}T đó, fvi (t) = (Cvi (t) − deg(vi )) gọi vết đỉnh vi vòng lặp địa phương b) Giá fvi tập hợp tất thời điểm mà đỉnh vi bắn chu kỳ T , định nghĩa bởi: supp(fvi ) = {t ∈ [0, T − 1] : fvi (t) = 1} Ta phân hoạch supp(fvi ) thành pi khoảng rời viết lại sau: pi Ski supp(fvi ) = (3.2) k=1 đó, Ski tập lớn [0, T − 1] kí tự định nghĩa sau: Ski = [t, t + q] cho fvi (t + s) = 1, s = 0, , q fvi (t − 1) = fvi (t + q + 1) = Ví dụ 3.5 Cho đồ thị chu trình Hình 3.3 có cấu hình chip ban đầu C(0) = {0, 2, 1, 1, 0, 2} Thực bắn chip song song bảng 3.2, tìm chu kỳ CFG T = fv1 = (010001) S11 = {1}, S21 Sk1 = {5}, supp(fv1 ) = k=1 Bổ đề 3.6 Cho G = (V, E) đồ thị đơn, liên thông vô hướng với cấu hình ban đầu chip C(0) thực CFG song song G Khi đó, 25 Hình 3.3: Cấu hình ban đầu chip chu trình chips t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6 C v1 1 C v2 2 1 C v3 2 1 C v4 1 2 C v5 1 2 C v6 1 2 Bảng 3.2: CFG song song chu trình a) Nếu fvk = ⇒ fvi = 0, ∀vi ∈ V fvk = ⇒ fvi = 1, ∀vi ∈ V hai trường hợp này, vòng lặp địa phương điểm cố định, tức chu kỳ vết T = b) Cho [s − k, s] ⊆ supp(fvi ) tập lớn kí tự 1, ∃vj ∈ N (vi ) cho [s − k − 1, s − 1] ⊆ supp(fvj ) c) Cho [s − k, s] ⊆ (supp(fvi ))c , ∃vj ∈ N (vi ) cho [s − k − 1, s − 1] ⊆ (supp(fvi ))c 26 Chứng minh a) Ta chứng minh cho trường hợp fvk = 0, chứng minh tương tự fvk = Giả sử fvk = Từ (3.1) ta có: Cvk (t + 1) = Cvk (t) − deg(vk )fvk (t) + fvi (t) vi ∈N (vk ) fvi (t) = Cvk (t) + vi ∈N (vk ) ≥ Cvk (t) Suy ra, Cvk (T − 1) ≥ Cvk (T − 2) ≥ ≥ Cvk (0) = Cvk (T ) ≥ Cvk (T − 1) Vì vậy, Cvk = (ak , , ak ) , ak ≤ deg(vk ) − (3.3) Giả sử phản chứng ∃vi ∈ N (vk ) thời điểm t ∈ [0, T − 1] cho fvi (t ) = Ta có: fvi (t ) Cvk (t + 1) = Cvk (t ) + vi ∈N (vk ) ≥ Cvk (t ) + > Cvk (t ) Điều mâu thuẫn với (3.3), suy fvi = 0, ∀vi ∈ N (vk ) T = Vì G đồ thị hữu hạn, nên khẳng định cho ∀vi ∈ V b) Từ (3.1) ta có: Cvi (s) = Cvi (s − 1) − deg(vi )fvi (s − 1) + fvj (s − 1) vj ∈N (vi ) = Cvi (s − 2) − deg(vi ) [fvi (s − 1) + fvi (s − 2)] fvj (s − 1) + fvj (s − 2) + vj ∈N (vi ) 27 k = Cvi (s − k) − k deg(vi ) + fvj (s − t) vj ∈N (vi ) t=1 Do [s − k, s] tập lớn fvi , theo định nghĩa ta có: fvi (s − k − 1) = ⇒ Cvi (s − k − 1) ≤ deg(vi ) − Và k+1 Cvi (s) = Cvi (s − k − 1) − k deg(vi ) + fvj (s − t) vj ∈N (vi ) t=1 Vì vậy, k+1 Cvi (s) ≤ deg(vi ) − − k deg(vi ) + fvj (s − t) vj ∈N (vi ) t=1 Giả sử phản chứng với đỉnh kề vj vi cho [s − k − 1, s − 1] supp(fvj ), tức ∀vj ∈ N (vi ), ∃t∗j ∈ [s − k − 1, s − 1] cho fvj (t∗j ) = Ta có: k+1 fvj (s − t) ≤ k deg(vi ) ⇒ Cvi (s) ≤ deg(vi ) − vj ∈N (vi ) t=1 Vì vậy, fvi (s) = 0, mâu thuẫn với giả thiết [s − k, s] ⊆ supp(fvi ) c) Giả sử phản chứng ∀vj ∈ N (vi ), ∃t∗j ∈ [s − k − 1, s − 1] cho fvj (t∗j ) = Suy ra, tập [s − k, s] đỉnh vi nhận deg(vi ) chip Suy ra, ∃t ∈ [s − k, s] cho Cvi (t) ≥ deg(vi ), mâu thuẫn với giả thiết Định nghĩa 3.7 Cho xích giới hạn phân hoạch giá (3.2), ta định nghĩa số lớn kí tự liên tiếp fvi : M = max max Ski vi ∈V 1≤k≤pi 28 Tương tự, ta định nghĩa phân hoạch tập lớn kí tự qi c Dki , vi ∈ V (supp(fvi )) = k=1 Dki tập lớn gồm kí tự liên tiếp vector vết fvi Ta định nghĩa: N = max max Dki vi ∈V 1≤k≤qi Rõ ràng, ≤ M, N ≤ T Nếu M = M = T tương ứng với điểm cố định Bổ đề 3.6 Trong trường hợp đồ thị cây, ta có bổ đề sau: Bổ đề 3.8 Cho G = (V, E) (C(0), C(1), , C(T − 1)) xích giới hạn CFG song song Khi đó, < M < T =⇒ M = < N < T =⇒ N = tức là, vòng lặp địa phương khơng điểm cố định, tập lớn có cỡ Chứng minh Giả sử M ≥ 2, v0 ∈ V cho tồn tập lớn fv0 kí tự 1, tức là: supp(fv0 ) ⊇ S = [t, t + M − 1], S tập lớn Từ bổ đề 3.6(b), ∃v1 ∈ N (v0 ) cho supp(fv1 ) ⊇ S = [t − 1, t + M − 2] với S tập lớn (do M là số lớn kí tự fvi ) Từ bổ đề 3.6(b), ∃v2 ∈ N (v1 ) cho supp(fv2 ) ⊇ S = [t − 2, t + M − 3] với S tập lớn Hơn nữa, v2 = v0 Thật vậy, giả sử phản chứng v2 = v0 t−1 ∈ supp(fv2 ) kéo theo fv0 (t − 1) = fv2 (t − 1) = Mặt khác, t − ∈ / supp(fv0 ) nên fv0 (t − 1) = Mâu thuẫn Tiếp tục trình này, G áp dụng bổ đề 3.6(b), ta tìm dãy đỉnh đôi khác {v0 , , vk } cho vk đỉnh (tức deg vk = 1, N (vk ) = {vk−1 }) S = [t, t + M − 1], 29 S = [t − 1, t + M − 2], S k = [t − k, t + M − (k + 1)], S i các tập lớn có độ dài M cho đỉnh vi với i = 0, · · · , k Áp dụng bổ đề 3.6(b) tập lớn S k cho đỉnh vk , ta thấy tồn tập lớn có độ dài M cho đỉnh vj ∈ N (vk ) cho [t − k − 1, t + M − (k + 2)] ⊆ supp(fvj ) Do N (vk ) = {vk−1 } nên vj = vk−1 [t − k − 1, t + M − (k + 2)] ⊆ supp(fvk−1 ), fvk−1 (t − k) = Mặt khác, S k−1 = [t − k + 1, t + M − k] ⊆ supp(fvk−1 ) tập lớn nên fvk−1 (t − k) = Mâu thuẫn Vậy M = Từ bổ đề 3.8, ta thu hệ sau Hệ 3.9 Cho G = (V, E) cây, chu kỳ T vết xích giới hạn (C(0), , C(T − 1)) Tức là, M = ⇒ T = 1, M = ⇒ T = Định lý 3.10 Giả sử G = (V, E) thực CFG song song G Khi đó, trạng thái ổn định chu kỳ T = T = Chứng minh Giả sử (C(0), , C(T − 1)) xích giới hạn từ Bổ đề 3.8 ta có trường hợp sau • M = từ bổ đề 3.6, chu kỳ điểm cố định tức fv = M = T fv = điểm cố định nên T = • M = ∀vi ∈ V : = fvi = Giả sử vi ∈ V t ∈ [0, T − 1] cho fvi (t) = với m đỉnh kề bắn fvj (t) = (suy có deg(vi ) − m đỉnh kề không bắn được) Do M = nên fvj (t) = 1(0) ⇒ fvj (t + 1) = 0(1) Suy fvi (t + 1) = Cvi (t + 1) = Cvi (t) − deg(vi )fvi (t) + fvj (t) vj ∈N (vi ) 30 ⇒ Cvi (t + 1) = Cvi (t) − deg(vi ) + m, Cvi (t + 2) = Cvi (t + 1) + deg(vi ) − m = Cvi (t) Tương tự, fvi (t) = với m đỉnh kề không bắn fvj (t) = (suy có di − m đỉnh kề bắn được) Khi đó, fvi (t + 1) = từ cơng thức (3.1) ta có: Cvi (t + 1) = Cvi (t) + deg(vi ) − m Cvi (t + 2) = Cvi (t + 1) − deg(vi ) + m = Cvi (t) Suy ra, Cvi (t + 2) = Cvi (t) Do đó, ∀t ∈ [0, T − 1] : Cvi (t + 2) = Cvi (t) Vậy T = Hình 3.4: Cây có chu kỳ T = Ví dụ 3.11 Cho có cấu hình chip ban đầu C(0) = {4, 0, 0, 0, 0} (Hình 3.4) Ta tìm C(1) = {0, 1, 1, 1, 1}, C(2) = C(0) nên chu kỳ T = Phân bố chip đỉnh Cv1 = (4, 0), Cv2 = Cv3 = Cv4 = Cv5 = (0, 1) vết đỉnh fv1 = (10), fv2 = fv3 = fv4 = fv5 = (01) số lớn kí tự liên tiếp fvi M = Định lý 3.9 mở rơng cho đồ thị có chu trình, ta lấy ví dụ đồ thị chu trình gồm đỉnh Ví dụ 3.12 Cho chu trình (Hình 3.5) có cấu hình chip ban đầu C(0) = {2, 0, 1, 1, 1} Ta thực bắn chip song song bảng 3.3 tìm chu kỳ T = 31 Hình 3.5: Chu trình có chu kỳ T = chips t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 C v1 1 C v2 1 C v3 1 C v4 1 1 C v5 1 Bảng 3.3: CFG song song chu trình đỉnh 32 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hoàng Thạch (2017) Giới thiệu đồ thị Trường hè Toán học Đại học Quảng Nam, 2017 [2] Ngô Đắc Tân (2003) Lý thuyết tổ hợp đồ thị NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2003 [3] A Bjorner, L Lovász, P W Shor (1991) Chip-firing game on graphs European Journal of Combinatorics, 1991 [4] Javier Bitar and Eric Goles (1992) Parallel chip firing game on graphs Theoretical Computer Science, 1992 [5] A Bjorner and L Lovász (1992) Chip-firing game on directed graphs Journal of algebraic combinatorics, 1992 33 Phụ lục A Mã nguồn CFG Mã nguồn phần phụ lục sử dụng ngôn ngữ Python 3.7 dùng thư viện Networkx 2.2 để thực trình bắn chip đồ thị import networkx as nx import matplotlib.pyplot as plt # Graph G = nx.Graph() nodes=["v1","v2","v3","v4","v5"] G.add_nodes_from(nodes) edges = [("v1", "v2"), ("v1", "v5"), ("v2", "v3"), ("v2", → "v4"), ("v2", "v5"), ("v3", "v4"), ("v4", "v5")] G.add_edges_from(edges) chips={"v1":1, "v2":2, "v3":2, "v4":1, "v5":0} adj_list={"v1":["v2", "v5"], "v2":["v1","v3","v4","v5"], → "v3":["v2","v4"], "v4":["v2","v3","v5"], → "v5":["v1","v2","v4"]} # Start CFG print("The start configure: ", chips) for n in range(1,30): print("At time t = ", n) firing_set =[] for vertice in chips: if chips[vertice] >= G.degree[vertice]: firing_set.append(vertice) print("***The set of firing vertice: ",firing_set) if (len(firing_set)==0): print("The configure terminate: ", chips) break 34 if (len(firing_set)>0): node = firing_set[0] print("***Firing node: ", node) chips[node] = chips[node] - G.degree[node] for adj in adj_list[node]: chips[adj] = chips[adj] + print("***The configure: ", chips) firing_set = firing_set.remove(node) n = n+1 35 Phụ lục B Mã nguồn CFG song song Mã nguồn phần phụ lục sử dụng ngôn ngữ Python 3.7 dùng thư viện Networkx 2.2 để thực trình bắn chip song song đồ thị import networkx as nx import matplotlib.pyplot as plt # Graph G = nx.Graph() nodes=["v1","v2","v3","v4","v5"] G.add_nodes_from(nodes) edges = [("v1", "v2"), ("v1", "v5"), ("v2", "v3"), ("v2", → "v4"), ("v2", "v5"), ("v3", "v4"), ("v4", "v5")] G.add_edges_from(edges) chips={"v1":3, "v2":4, "v3":2, "v4":1, "v5":2} adj_list={"v1":["v2", "v5"], "v2":["v1","v3","v4","v5"], → "v3":["v2","v4"], "v4":["v2","v3","v5"], → "v5":["v1","v2","v4"]} # Count the firing adjacency of each node def num_adj_firing(node): num = for adj in adj_list[node]: if chips[adj] >= G.degree[adj]: num +=1 return num # Start parallel CFG print("The start configure: ", chips) for n in range(1,9): print("At time t = ", n) 36 new_chips={} for node in chips: if chips[node] >= G.degree[node]: new_chips[node] = chips[node] - G.degree[node] + → num_adj_firing(node) else: new_chips[node] = chips[node] + → num_adj_firing(node) chips = new_chips print("***The configure: ", chips) ... - Mai Thu Huyền CHU KỲ CỦA CHIP- FIRING GAME SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Hoàng Thạch Hà Nội - 2019... ĐỒ THỊ 21 3.1 MƠ HÌNH CFG SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ 21 3.2 CHU KỲ CỦA CHIPS TRÊN CÂY 24 A Mã nguồn CFG 33 B Mã nguồn CFG song song 35 MỞ ĐẦU Trong năm gần đây, mơ hình Chip- firing. .. CHIP- FIRING GAME TRÊN ĐỒ THỊ 12 2.1 MƠ HÌNH CFG TRÊN ĐỒ THỊ 12 2.2 TÍNH HỮU HẠN CỦA CFG 14 2.3 CFG VÀ MA TRẬN LAPLACE 17 CFG SONG SONG TRÊN ĐỒ